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第2课时——反比例函数的实际应用
知识点一：待定系数法求反比例函数解析式
1. 具体步骤：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式．
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入函数解析式，得到待定系数的方程．
（3）解方程，求出待定系数．
（4）写出解析式．
【类型一：根据图像上的点求反比例函数解析式】
1．如图，已知，，以、为边作，若一个反比例函数的图象经过点，则这个函数的解析式为 ．
2．如图，矩形中，．反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是反比例函数的图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为 ．
4．已知：反比例函数的图象过点A（-3，-2）；
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B（1，m）在该函数图象上，求m的值．
【类型二：根据k的几何意义求反比例函数解析式】
5．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，OP=AB，四边形ABPO的面积为6，则这个反比例函数的表达式为 ．
6．如图，反比例函数在第一象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，已知△AOB的面积为3，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
7．如图，已知点P是双曲线上任意一点，过点P作PA⊥y轴于点A，B是x轴上一点，连接AB、PB，若△PAB的面积为2，则双曲线的解析式为（　　）
A．y B．y C．y D．y
8．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图像上，则经过点的反比例函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
知识点一：反比例函数与一次函数
1.求反比例函数遇一次函数的交点时，只需把两个函数组合成方程，若方程有解，则两个函数有2个交点；若方程无解，则函数无交点．反之成立．
2.判断正比例函数与反比例函数的交点情况：
若存在正比例函数与反比例函数：
（1）当与同号时，即，则正比例函数与反比例函数有两个交点．且关于原点对称．
（2）当与异号时，即，则正比例函数与反比例函数没有交点．
9．函数与的图象没有交点，那么（　　）
A． B． C． D．
10．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点，点A的横坐标为2，当时，x取值范围是( )

A．或 B． C． D．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点,两点，当时，则自变量的取值范围是 ．
12．如图，已知正比例函数与反比例函数交于、两点，点是第三象限反比例函数上一点，且点在点的左侧，线段交轴的正半轴于点，若的面积是，则点的坐标是 ．
知识点一：实际问题与反比例函数：
1. 利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
2. 跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式，同时体会数学中的转化思想．
3. 反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
【类型一：有实际问题抽象出反比例函数解析式】
13．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产只（取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（ ）
A． B．
C． D．
14．某电子产品的售价为元，购买该产品时可分期付款：前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额（元）与付款月数（为正整数）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
15．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记，点D到直线PA的距离为，则关于的函数解析式是 ．
【类型二：反比例函数的实际应用】
17．一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．I与R的函数关系式是 B．当时，
C．当时， D．当电阻R（）越大时，该台灯的电流I（A）也越大
18．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）．
A．不小于 B．小于 C．不小于 D．小于
19．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．教室空气中的药物浓度不低于于时，对杀灭病毒有效．当时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 min
20．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．

(1)写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式．
(2)当上市的天数为多少时，日销售量为100件？
21．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为，动力臂长为．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计）
(1)求关于的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要多大的力？
22．某气球内充满一定质量的理想气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kpa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)写出这一函数的表达式；
(2)当气体体积为2 m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于150 kpa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．##
【分析】利用平行四边形的性质得出C点坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式．
【详解】解：如图，设与y轴交于点E，
∵，，以、为边作，
∴，，，
∴，
故，
设反比例函数的图象经过C点，
则，
∴，
∴这个函数的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和反比例函数解析式的求法，难度不大，根据平行四边形的性质求出C点坐标是解题的关键．
2．B
【分析】根据矩形的性质，可得点，再把点代入，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵点，
∴点，
把点代入得：
，解得：，
∴该反比例函数的解析式是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，求反比例函数的解析式，根据矩形的性质得到点是解题的关键．
3．
【分析】首先根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：，即可求得圆的半径，再根据两点间距离公式，可得，据此即可求解．
【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：，
解得：．
∵点是反比例函的图象与的一个交点．
且，
．
，
则反比例函数的解析式是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，熟练掌握和运用反比例函数图象的性质是解决本题的关键．
4．（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）反点B（1，m）代入已求得的反比例函数的解析式中，即可求得m的值．
【详解】（1） 把A（-3，-2）代入得，，
解得k =6，
∴反比例函数的表达式为；
（2）由（1）知，反比例函数的表达式为，
把B（1，m）代入得
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，正确的理解题意是解题的关键．
5．
【分析】先设反比例函数解析式为y= (k≠0) ，根据OP=AB，四边形ABPO的面积为6，可求出△ABO的面积，再利用反比例函数k的几何意义及反比例函数图象位于第二象限，即可确定k的值．
【详解】解：如图所示
设反比例函数解析式为 y= (k≠0)，
由图知：AB∥PO，AB=PO
∴四边形AOPB为平行四边形；
∴S△AOB=四边形ABPO的面积=,
∴
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴k＜0，
∴k=-6，
∴反比例函数解析式为： y= ．
故答案为： y= ．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值是解题的关键．
6．B
【分析】根据|k|的几何意义可得答案，|k|的几何意义：从反比例函数（）图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于．
【详解】解：根据|k|的几何意义可知：，
∴，
解得．
∵反比例函数图形在第一，三象限，
∴，
∴，
∴该反比例函数的解析式为：y=．
故选B．
【点睛】本题考查|k|的几何意义，掌握|k|的几何意义是解题的关键．
7．C
【分析】连接OP，根据平行线的判定定理得到AP∥OB，求得S△APO=S△ABP=2，设双曲线的解析式为，于是得到结论．
【详解】解：连接OP，
∵PA⊥y轴于点A，OB⊥y轴，
∴AP∥OB，
∴S△APO=S△ABP=2，
设双曲线的解析式为，
∴，
∴双曲线的解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．
8．D
【分析】分别过过点A、点B作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，利用一线三垂直得到△AOD∽△OBC，进一步有，求出S△BOC即可得到所求．
【详解】解：在直角△AOB中，
∵∠BAO=30°，
∴tan∠BAO= ，
分别过点A、点B作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，
∴∠OCB=∠ADO=90°，
∴∠AOD+∠OAD=90°，
又∵AOD+∠COB=90°，
∴∠COB=∠OAD，
∴△AOD∽△OBC，
∴ ,
即，
S△BOC=2，
又因为点B第二象限，
∴反比例函数解析式为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握k的几何意义．
9．C
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像和性质，进行判断即可．
【详解】解：∵函数与的图象没有交点，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握正比例函数，当时，图像位于一、三象限，当时，图像位于二、四象限；反比例函数当时，图像位于一、三象限，当时，图像位于二、四象限．
10．C
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点的横坐标，再结合函数图像即可得出答案．
【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为2，
点B的横坐标为，
由函数图象可知，当时，反比例函数图象在正比例函数的图象的上方，且位于轴负半轴，
当时，x取值范围是，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握函数的图像和性质是解题关键．
11．或
【分析】根据图象中一次函数与反比例函数的分布即可求出取值范围．
【详解】由图像知，当或时，一次函数在反比例函数上方，即，
故答案为：或
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的图象问题，解题的关键是不要被题目中的无关字母干扰．
12．
【分析】过作轴的平行线交于点，联立正比例函数与反比例函数求得，，得到的解析式为，利用的面积即可求得点的坐标
【详解】联立，
解得：，，
设，：，
则，
解得：，，
：
过作轴的平行线交于点，
则，
，
即：，
解得，，
．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的性质、待定系数法求一次函数的表达式及三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解决问题的关键
13．C
【分析】根据等量关系“每只玩具熊猫的成本=总成本÷数量”列出关系式即可．
【详解】解：由题意得：y与x之间满足的关系为．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的运用，重点是找出题中的等量关系．
14．D
【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到与的关系式．
【详解】解：由题意得：，
即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
15．C
【分析】利用三角形面积公式得出，进而得出答案．
【详解】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴，
∴y与x的函数关系式为：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
16．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得 ，然后整理即可得到y与x的关系式．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠DAE＝∠APB，
∵∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴，
∴，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
17．A
【分析】直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
【详解】解：A．设反比例函数解析式为：，把代入得：
，则，故此选项符合题意；
B．当时，，故此选项不合题意；
C．当时，，故此选项不合题意；
D．当电阻越大时，该台灯的电流（A）越小，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
18．C
【分析】由题意设设 (V＞0)，把（1.6，60）代入得到k=96，推出 (V＞0)，当P=120时，V＝，由此即可判断．
【详解】解：∵根据题意可设 (V＞0)，
由题图可知，当V=1.6时， p=60，
∴把（1.6，60）代入得到
解得：k=96，
∴ (V＞0)，
为了安全起见，气球内的气压应不大于120kPa，即≤120，
∴V≥．
故选C.
【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式．
19．8
【分析】根据的解析式可求出点A的坐标，进而可得熏蒸完后的关系式，令，结合函数的性质可得有效时间．
【详解】解：当时，，
，
设熏蒸完后函数的关系式为：，
，
∴熏蒸完后函数的关系式为，
∵药物浓度不低于，
∴当时，，
当时，，
∴有效时长为：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了反比例函数及正比例函数的应用，解题的关键是能够从实际问题中抽象出反比例函数和正比例函数模型．
20．(1)当时，；当时，；
(2)10天或40天
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）直接利用函数解析式分别得出答案．
【详解】（1）当时，设，把代入得：，
∴；
当时，设，把代入得：，
∴，
∴当时，；当时，；
（2）当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型．
21．(1)关于的函数关系式为
(2)当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力
【分析】（1）根据题意，杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，代值求解即可得到关于的函数关系式；
（2）由（1）中得到的函数表达式，当动力臂长为时，即时求函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，
，
即关于的函数关系式为；
（2）解：∵，
∴当时，，
即当动力臂长为时，撬动石头至少需要的力．
【点睛】本题考查反比例函数解实际应用题，读懂题意，得到反比例函数表达式是解决问题的关键．
22．(1)（）
(2)当气体的体积为2 m3，气压是50 kpa
(3)为了安全起见，气体的体积应不小于m3
【分析】（1）根据题意可知p与V的函数关系式为，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）直接把代入解析式可求得；
（3）利用“气球内的气压小于等于”作为不等关系解不等式求解即可．
【详解】（1）由图知，P是V的反比例函数，故设，当，．
∴ ．
∴ （）．
（2）当m3时，；
所以，当气体的体积为2 m3，气压是．
（3）当气球内的气压等于时， m3．
因为P随V的增大而减小，所以m3．
答：为了安全起见，气体的体积应不小于m3．
【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式．会用不等式解决实际问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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