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第3课时—相似三角形的应用与位似
知识点一：相似三角形的应用：
1. 利用影长测量物体的高度：
①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
2. 利用相似测量河的宽度（测量距离）：
①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．
②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
3. 借助标杆或直尺测量物体的高度：
利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【类型一：利用相似求高度】
1．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
2．为了测试成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物的高度，小军同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）.其中，，三点在同一条直线上.已知小军的眼睛距离地面的高度的长约为，和的长分别为和，求建筑物的高度.（说明：由物理知识，可知）
3．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）
【类型二：利用相似求高度】
4．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点，在他们所在的岸边选择了点，使得与河岸垂直，并在点竖起标杆，再在的延长线上选择点，竖起标杆，使得点与点，共线．，，测得，，．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽．

5．如图，为了估算池塘的宽度，在池塘边不远处选定一个目标点C，在近河边分别选N，M．使得B，N，C三点共线，A，M，C三点共线且．经测量，求池塘的宽度．
6．如图，为了估计河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，使与河岸垂直，在近岸取点C，E，使，，AE与交于点D．已测得米，米，米，求河宽．
【类型三：利用相似求其它】
7．小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪从测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B，E，F，D在同一水平线上．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑深度多少米？
8．【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两例；入射角i等于反射角r．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中A，B，C，D在同一条直线上．
(1)求的长；
(2)求灯泡到地面的高度．
9．如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，交于点E，则加工成的正方形零件的边长为多少？
小颖解得此题的答案为，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：
(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成．如图②，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少？
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图③，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求这个矩形面积的最大值以及这个矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长又分别是多少？
10．为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位1的的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在中，点P是边上任意一点（点P与点B，C不重合），矩形的顶点F，E分别在上．七年级为矩形部分，八九年级为和两部分．
(1)若，求；
(2)已知．设，矩形AFPE的面积为y，求y与x的函数关系式．
(3)在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大．求出七年级所分矩形部分的面积在x为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．
知识点一：位似：
1. 位似的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①位似的两个图形一定相似．所以位似具有相似的性质．
②对应点连线一定交于一点．
③对应边一定平行．
2. 位似图形与坐标：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图
形对应点的坐标的比等于k或-k．
【类型一：位似的性质】
11．如图，以点为位似中心，把放大得到，且位似比为，以下说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，若A点坐标为，C点坐标为，，则线段长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
14．如图，与位似，点O为位似中心．已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【类型二：利用位似性质求点的坐标】
15．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，将缩小为原来的一半，则点E的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
16．如图在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，矩形的面积等于矩形面积的，且点在第一象限，则点的坐标是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为（　　）
A． B． C． D．
18．在平面直角坐标系内，的顶点为，，，如图．若以点O为位似中心，在第三象限内作与的相似比为的位似图形，则点C的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
19．如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点为位似中心，其位似比为1∶2，若点，则其对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【类型三：相似与位似的作图】
20．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
(1)在图1中的线段AC上找一个点E，使
(2)在图2中作一个格点ΔCDE，使ΔCDE与ΔABC相似．
21．如图所示，的各顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边长都为1，绕点顺时针旋转后得到．
(1)在下图中画出；
(2)在下图中画一个格点，使，且相似比为．
22．在平面直角坐标系内，的位置如图所示．
(1)将绕点O顺时针旋转得到，作出．
(2)以原点O为位似中心，在第四象限内作出的位似图形，且与的相似比为．
23．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点A，B，C分别对应点D，E，F），且与的相似比为．
(1)画出；
(2)线段AC的中点变换后对应的点的坐标为______；
(3)求的周长．
24．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕原点逆时针方向旋转后得到的；
(2)连接，的度数为______；
(3)以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将缩小得到，画出，直接写出点的坐标．
25．在如图所示的平面直角坐标系中，已知A，B，C三个点的坐标分别为，，．
(1)画出；
(2)画出关于x轴对称的，并写出点的坐标为 　 　；
(3)以点O为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到，画出，并写出点的坐标为 　 　．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．17米
【分析】过点A作，交CD于点G，交EF于点H，根据题意图像可知，根据相似比可解决本题．
【详解】解：过点A作，交CD于点G，交EF于点H．
由题意得：，，，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
答：旗杆的高度为17米．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，能够熟练掌握相似三角形的性质是解决本题的关键．
2．
【分析】先求出，得到，代入数值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴,
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵和的长分别为40m和1m，的长约为1.75m，
∴，
∴（m），
答：建筑物的高度约为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．
3．
【分析】过点作于点，则，，解，得出，那么，再证明，因此得出，再求出即可.
【详解】如图，过点作于点，则，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴
由反射角等于入射角得,
∴,
∴，即，
解得
∴
∴这棵树高18米.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，证明三角形相似是解题的关键.
4．18米
【分析】由题意先证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得的长．
【详解】解：∵，，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∵，，，
∴．
解得．
∴河宽为18米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．
【分析】根据，可得，然后再根据相似三角形的性质可得 ，再代入数进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴池塘的宽度是．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确理解题意证明是解题的关键．
6．33
【分析】证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
答：河的宽度为33米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．5.5米
【分析】过点P作垂直，垂足为H，然后根据已知证明，，得出，设，则，解得，再求即可．
【详解】解：过点P作垂直，垂足为H，如图：
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，，
∴， ，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴深坑深度5.5米．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．(1)
(2)．
【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长；
（2）先证明，再利用相似三角形的性质得出，代入数据即可求的长．
【详解】（1）解：（1）由题意可得：，
则，
∴，
∴，
解得：，
答：的长为；
（2）解：∵，
∴，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
9．(1)，
(2)这个矩形面积的最大值为15，此时矩形零件的相邻两边长分别是3和5
【分析】（1）设，则，根据平行得出，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；
（2）设，矩形面积为S ，则，根据相似三角形的性质，可得，然后根据矩形的面积求出S与a的函数关系式，再根据二次函数的性质得出最大值，即可求解．
【详解】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，，
即这个矩形零件的相邻两边长又分别是，；
（2）解：设，矩形面积为S ，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为15，
此时，
即这个矩形面积的最大值为15，此时矩形零件的相邻两边长分别是3和5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，根据题意，列出函数关系式是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)当时，y有最大值，最大值为
【分析】（1）先证明，结合，可得 ，即可求解；
（2）根据，可得，从而得到，同理 ，进而得到，即可求解；
（3）根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理 ，
∴，
∴即y与x的函数关系式为；
（3）解：∵，
∴当时，y有最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键．
11．B
【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．
【详解】解：∵把放大得到，且位似比为，
∴A、，该选项不符合题意；
B、，该选项符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似三角形的性质是解题的关键．
12．B
【分析】利用位似图形性质得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形与四边形位似，其位似中心为点O，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
【点睛】此题考查了位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，利用位似图形概念得到是解题关键．
13．C
【分析】
根据题意求出位似比，根据位似比计算即可．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，A点坐标为，C点坐标为，
∴线段与线段的位似比为，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
14．D
【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方，计算即可．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心．已知，
∴，
又∵的面积为1，
∴的面积为．
故选：D
【点睛】本题考查了位似变换，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
15．D
【分析】分点E和点分别在原点的同侧或异侧两种情况，分别求解．
【详解】解：由题意可得，相似比为，
当点E和点在原点的同侧时，
点，原点O为位似中心，相似比为，
∴的坐标为；
当E和点在原点的异侧时，
点，原点O为位似中心，相似比为，
∴的坐标为，
综上的坐标为，，
故选：D
【点睛】本题考查了图形的位似，根据位似比正确作出符合题意的位似图是解题的关键．
16．
【分析】根据位似图形的性质：位似图形一定是相似图形，以及相似图形的性质：相似图形的面积比等于相似比的平方可得，，即可得到点的坐标．
【详解】解：如图，
∵矩形与矩形位似，，
∴矩形与矩形相似，
∵矩形的面积等于矩形面积的，，
∴矩形与矩形相似比为，
∴=，，
∵矩形的顶点坐标分别是，
∴，，
∵原点O是位似中心，且点在第一象限，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似，掌握位似的性质和相似的性质是解题的关键．
17．A
【分析】由题意可得出，再利用位似图形的性质结合相似比得出的长，进而得出的长，从而可得的长，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点G的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，利用相似的性质正确得出两正方形的边长是解题关键．
18．A
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可求解．
【详解】解：∵和以点O为位似中心，位似比为，点C在第三象限，，
∴A点的对应点C的坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
19．D
【分析】
由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标．
【详解】由题意得：
故选：D．
【点睛】本题考查了两个图形的位似知识，当位似的两个图形在原点的同侧时，位似比为正；否则为负，掌握此点是关键．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接CF，过点G画CF的平行线，与AC交于点E即可；
（2）利用相似三角形的性质画出图形即可．
【详解】（1）解：如图，点E即为所求；
可知：△AEG∽△ACF，
∴；
（2）如图，△CDE，△CDE′，△CDE″即为所求作．
【点睛】本题考查作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）先将、绕A点旋转得到，，再连接，即可；
（2）先利用勾股定理求出、、的长，并根据网格图得出，根据相似可以求出、、，再作图即可．
【详解】（1）解：先将、绕A点旋转90°得到，，再连接，如图，
即为所作；
（2）解：根据网格图，可得：、、，
结合网格图可知：，
根据，且相似比为，
可得：、、，
作图如下：
即为所作．
【点睛】本题主要考查了画旋转图形和相似三角形的知识，充分利用网格图，掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别作出点A、B、C绕点O顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可；
（2）分别连接并分别延长到点，使得，顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作．
（2）如图，即为所作．
【点睛】此题考查了旋转和位似图形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)（2，）
(3)
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出答案；
（2）利用（1）中所画图形得出答案；
（3）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：如图所示，△DEF即为所求；
（2）解：∵点A的坐标为（2，2），点C的坐标为（6，4），
∴线段AC的中点坐标为（4，3），
∴线段AC的中点变换后对应的点的坐标为（2，），
故答案为：（2，）；
（3）解：由题意得：DE=1，EF=，DF=，
∴△DEF的周长是DE＋EF＋DF＝1＋＋．
【点睛】本题主要考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，勾股定理，坐标与图形等等，熟知位似图形的相关知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
(3)图见解析，
【分析】（1）将点、分别绕点逆时针旋转得到其对应点，再与点首尾顺次连接即可得出答案；
（2）根据旋转的性质、等腰直角三角形的性质可得答案；
（3）根据位似变换的概念作出点、的对应点，再与点首尾顺次连接，根据位似比可得为的中点，即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，
，且，
；
故答案为：；
（3）如图，即为所求，
∵，，则为的中点，
∴
【点睛】本题主要考查作图：旋转变换与位似变换，解题的关键是掌握旋转变换与位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．
25．(1)见解析
(2)图见解析，
(3)图见解析，
【分析】（1）根据A、B、C三点坐标画出图形即可；
（2）作出A、B、C关于轴的对称点、、即可；
（3）延长到，使得，同法作出，即可；
【详解】（1）解∶ 如图，如图所示，
；
（2）解∶ 如图， 如图所示，
，
的坐标为；
（3）解∶ 如图， 如图所示，
的坐标为．
【点睛】本题考查作图-位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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