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海珠区 2023 学年第二学期九年级数学综合练习
参考答案
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，满分 30分）
1~5：ADBCD 6~10：CADBC
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，满分 18分）
11. 如果 a=b，那么 a2=b2 12. a(3y－4) 13. 60 14. 8.6 15. 10 16.①②④
三、解答题（本大题共 9小题，满分 72分）
17．（本小题满分 4分）
解：①+②，得： 4x=8
x=2 ③ ……2分
③代入②，得： 2+2y=4
y=1 ……2分
x 2∴
y 1 （没写正确结论倒扣 1分）
18.（本小题满分 4分）
证明：∵AB∥CD
∴∠A=∠D ……1分
∵AE=DF
∴AE+EF=DF+EF
即 AF=DE ……1分
∵AB=CD
∴△ABF≌△DCE ……1分
∴∠B=∠C ……1分
19.（本小题满分 6分）
1
解：（1） ……1分
2
（2）设剪断梅花 5 得到的纸片是 A，B；剪断红桃 Q得到的纸片是 C, D
根据题意，画出如下的树状图：
第一张 A B C D
……2分
第二张 B C D A C D A B D A B C
由树状图可知，共有 12 种等可能得结果，其中恰好合成一张完整扑克的有 4 种，
即 AB，BA，CD，DC. ……1分
4 1
∴P（恰好合成一张完整扑克）= = ……2分
12 3
20.（本小题满分 6分）
{#{QQABTYQEogigAoBAABhCQQEgCkIQkACACCoGBBAEMAAACANABCA=}#}
a

a 1 1 a a a a 1 1
解：原式 2 a 1 a 1 a 1 a 1 2 a 1 a 1 2 a ……3分a 1
过 B作 BE⊥AD于点 E
∵菱形 ABCD中，
∴AB＝AD
∵∠A=60°
∴△ABD为等边三角形，AB=BD=AD=2
Rt△ABE中，BE=AB·sinA= 3
∴ = 菱形 = 2
1
△ = 2( ·2· 3) = 2 3 ……2分2
1 2 3+1
∴原式 ……1分
2 3 1 11
21.（本小题满分 8分）
解答：（1）如图 FA、FD为所求 ……2分
（2）证明：连接 OD ……1分
∵⊙O中，AB为直径，∴∠ACB＝90°
∵CD平分∠ACB，∴∠1 2 1＝∠ ＝ ∠ACB＝45°
2
∵ =
∴∠BOD＝2∠2＝90° ……1分
∵CF＝CD
1
∴∠CFD＝∠CDF＝ (180°－∠1)＝67.5° ……1分
2
∵ = ，∴∠CAB＝∠CDB，
∵∠CDB＝3∠ABC，∴∠CAB＝3∠ABC
∵∠CAB＋∠ABC＝90°，3∠ABC＋∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5° ……1分
∴∠CFD＝∠CAE
∴AB∥FD ……1分
∴∠FDO＝∠3＝90°，∴FD⊥OD
又∵OD为⊙O半径，∴FD是⊙O切线 ……1分
22.（本小题满分 10分）
解（1）设甲步行的平均速度是 x千米 /小时，则甲开车的平均速度是 10x千米 /小时， ……1分
20 2
1，解得 x=4 ……2分
10x x
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意 ……1分
∴10x=10×4=40
答：甲开车的平均速度是 40千米/小时，步行的平均速度是 4千米/小时；……1分
（2）由题意可知,乙骑车的平均速度为（4+8a）千米/小时.时间为 1 a

小时， ……1分
2
4 8a 1 a 8 ……1分
2
解得： a 1
3
， a2 (不符合题意，舍去)， ……3分1 2 2
a 1答： 的值为 ．
2
{#{QQABTYQEogigAoBAABhCQQEgCkIQkACACCoGBBAEMAAACANABCA=}#}
23．（本小题满分 10分）
解：
（1）把点 A( 2, 3)、B （1，n）代入 y = ，得 3 = ， =
x 2 1
解得 m=6 6，n=6，∴反比例函数解析式为 y = ……2分
x
把点 A( 2, 3)、B（1，6）代入 = + 3 = 2 + = 3，得 6 = + ，解得 = 3
∴一次函数解析式为 y=3x+3 ……2分
（2）
①∵y=3x+3与 x轴、y轴相交于点 C、点 D，求得 C（－1,0）,D（0,3）
1 3
∴ △ = = ……1分2 2
∴ △ = 6 △ = 9 ……1分
∵P（p,q），∴E p,6（ ）

连接 EO，∴ = 1△ =
1 ·| · 6 |=3 ……1分
2 2
（若直接使用 k的几何意义，没有适当的过程，本步骤不得分）
1
△ 2| | = = ∵ 1 ，∴ =
9 = 3，PE=3EF ……2分
△ 2| | 3
∴PE＞EF，点 P在线段 EF外，如图
= = 3 = 3∴ ……1分
+ 4 4
②由图象可知，点 P在点 E上方时，∴－2＜p＜0或 p>1 ……1分
当 p=－1时，方程( + 1) 2 + ( 1) 1 = 0为一元一次方程－2x+1=0，
2
∴方程有一个实数根 ……1分
当 p≠－1时，方程( + 1) 2 + ( 1) 1 = 0为一元二次方程
2
△= ( 1)2 + 4( + 1) 1 = 3 2 2 1 = (3 + 1)( 1) …1分
2
∴当 p＞1时，△＞0，方程有 2个实数解 ……1分
当－2＜p＜－1/3，且 p≠－1时， (3 + 1)( 1) > 0，即△＞0，方程
有 2个实数解
当－1/3＜p＜0时，(3 + 1)( 1) < 0，即△＜0，方程无实数解
当－1/3=p 时， (3 + 1)( 1) = 0，方程有两个相等实数解 ……2分
当 p＝－1时，方程有一个实数解
24．（本小题满分 12分）
1
解：（1）∵BD BC 1，∴BC＝4，
4
AB 2 2 BC 4 2 AB BC , ，∴ 2， ……1分
BD 1 AB 2 BD AB
{#{QQABTYQEogigAoBAABhCQQEgCkIQkACACCoGBBAEMAAACANABCA=}#}
∵∠B＝∠B，，∴△ABD∽△CBA，∴△ABC是友好三角形；……1分
（1）答案不唯一
……2分
（3）①∵△ABD∽△CBA，，∴∠ACB＝∠BAD＝∠AED，
AC AB
∴ 2，∴ AC 2AD 2x
AD BD
∴CE CA 2x， ……1分
∴∠CEA＝∠CAE，
∵四边形 ADCE内接于⊙O，
∴∠ADC+∠CEA＝∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠EAC，，∴△ABD∽△EFA，
AD BD x 1 y
∴ ，∴ ， AF ， ……1分
AE AF y AF x
∵∠BAD＝∠BCA，∠ADB＝∠CAE＝∠CDE，
∴△DAB∽△DCF，
CD CF 3 CF
∴ ，∴ ，∴CF 6 ， ……1分
AD AB x 2 x
∴ AC AF CF y 6 2x，
x x
∴ y与x的函数关系式为：y 2x2 6； ……1分
②连接 OA、OC，∵CE∥AB，∴∠CEA＝∠CAE＝∠CDE＝∠CAB＝∠ACE，
∴△ACE是等边三角形，∴ y 2x，∴ 2x 2x2 6， ……1分
1 13 1 13
解得 x1 , x2 (不合题意，舍去）， y 2x 1 13，2 2
∵AC＝AE＝CE， AC 1 13 ……2分
∴∠AOC＝120°，
∵OA＝OC，过点 O作OH AC于点H
AH 1 CH AC, OCH OAH 30
2
1 AC
在Rt OCH中 cos CH OCH ， cos30 2 ，
OC r
r 3 AC 3 3 39 ,∴⊙O的半径为 AC ……1分
3 3 3
25．（本小题满分 12分）
解：（1）∵直线 y＝kx＋1 经过点 B(1,3)，∴k＋1＝3，∴k＝2 ……2分
（2）方法一；由图像动态分析可得，
(i)当⊙F经过点 C时，∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，过点 A,B分别作 x轴的垂线，垂足为 K ,H
∴∠BHC=∠CKA=90°，∠HBC=∠ACK
{#{QQABTYQEogigAoBAABhCQQEgCkIQkACACCoGBBAEMAAACANABCA=}#}
∴△BHC∽△CKA

∴ =

设点 A(m,2m+1) 3， = 1 ，解得 m=-1，
2 |2 +1|
A（ 1, 1), AB 2 5 ……1分
当⊙F 与线段 DC 相切于点经过点 R 时,连接 FR，因 AB 为直径，所以圆心 F 必在直线
y kx 1 m 1上，设 A（m, 2m 1) F m 1 ，则点 （ ,m 2)，则 R（ ,0),连接 AR,BR，
2 2
过点 A,B分别作 x轴的垂线，垂足为 K ,H , 则点，

同理可得 = ，

+1
3 1 2
∴ 2 +1 = ，得到方程m 26m 11 0，
2 2 +1
解得m1 13 6 5,m2 13 6 5(舍去) ，
F（7 3 5,15 6 5), AB 30 12 5 ……1分
∵ S圆 r
2 ,
∴ (15 6 5)
2 S ( 5)2 ，
即 (405 180 5) S 5
∴⊙F的面积的取值范围是： (405 180 5) S 5 ……2分
方法二∵点 A在直线 y 2x 1上，设点 A的横坐标为m，∴ A（m,2m 1)
以 AB为直径的圆与线段CD有交点。
设圆心为 F，圆的半径为 r，过点 F 作 FR⊥x 轴于点 R,当⊙F与 x轴相切时，半径最小，
AB=2FR,F( +1 2 +1+3此时 ， )
2 2
AB =(2FR)
(m 2m 1 3 1)2 (2m 1 3)2 （2 ）2
2
解得m1 13 6 5,m2 13 6 5(舍去) ，
2 +1+3
∴r≥FR＝ 2
∴r≥15 6 5
过点 B 作 BH⊥x 轴于点 H，∵∠BHD=90°
当点A与点D重合时，此时⊙F经过点 H, FC＞FH ,点C在圆外
∴当⊙F经过点 C 时，其半径最大，
此时AB 2FC， AB2 (2FC)2
(m 1)2 (2m 1 3)2 4 (m 1 2)2 (2m 1 3 )2 ，解得m 1 2 2
AB (m 1)2 (2m 1 3)2
r FC 5 ，
2 2
∴ r 5 ，∴ FR r FC
∴15 6 5 r 5
∴30 12 5 AB 2 5
{#{QQABTYQEogigAoBAABhCQQEgCkIQkACACCoGBBAEMAAACANABCA=}#}
∵ S r 2 , (15 6 5)2圆 ∴ S ( 5)
2 ，即 (405 180 5) S 5
∴⊙F的面积的取值范围是： (405 180 5) S 5 ……4分
（3）方法一：设 B（n, 2n 1), A（m, 2m 1),∵15 6 5 r 5
即30 12 5 AB 2 5 ，而 AB 5(n m)，∴6 5 12 n m 2
线段 AB绕点 A按逆时钟方向旋转 2 得到线段 AB ' , ∴ B '(2m n,2n 1)
依题意得 AB∥ A'B ' , AB A'B ' , AB '∥ A'B '' , AB ' A'B ''
∴四边形 ABB 'A'和四边形 AB 'B ''A' 都是平行四边形。
∴点B、B ''关于点 B '对称
抛物线 y ax2 bx c经过 A、B、A'、B ''四点，即对称轴经过 B、B ''的中点 B '，
∴抛物线的对称轴为 x 2m n ……2 分
设抛物线的解析式为 y a(x 2m n)2 p
∵图像经过 A（m,2m 1)和 B（n,2n 1)
a( m n)2 p 2m 1
∴ ,化简可得3a(m n)
2 2(n m ) ，∴3a(n m) 2
a(2n 2m)
2 p 2n 1
∵ a(2n 2m)
2 p 2n 1，∴ 4a(n m)
2 p 2n 1，
∴ 4
2 (n m) p 2 8 1，∴ p 3 （n m)3 3 ……1 分
∵6 5 12 n m 2 , 7，∴ p 35 16 53 ……2 分
7
∴抛物线的顶点的最大值为 35 16 5 ，最小值为 ，最大值与最小值得差为
3
112 48 5
3 ……1 分
方法二：线段 AB绕点 A按逆时钟方向旋转 2 得到线段 AB ' , ∴ B '(2m n,2n 1)
依题意得 AB∥ A'B ' , AB A'B ' , AB '∥ A'B '' , AB ' A'B ''
∴四边形 ABB 'A'和四边形 AB 'B ''A' 都是平行四边形。
∴点B、B ''关于点 B '对称
抛物线 y ax2 bx c经过 A、B、A'、B ''四点，即对称轴经过 B、B ''的中点 B '，
∴抛物线的对称轴为 x 2m n
由图像分析可得当 AB 的越长时，抛物线的开口越大，因为开口向上，则抛物线
y ax2 bx c中的 a越小，由于点 B固定，则抛物线的顶点的纵坐标则随着 AB最长
时达到最小值，AB最短时达到最大值， ……1 分
由（2）可得当 AB 2 5时，点 A（ 1, 1) .∴m 1,n 1，∴ x 2m n 3，设
抛物线的解析式为 y a(x 3)2 p
1
2 a(1 3)
2 p 3 a 3
而 y a(x 3) p经过点 A、B、，联立方程 ，解得 ，
a( 1 3)
2 p 1 p 7
3
{#{QQABTYQEogigAoBAABhCQQEgCkIQkACACCoGBBAEMAAACANABCA=}#}
p 7∴ min ，3 ……2 分
同 理 可 得 当 AB 30 12 5 时 ， 点 A（13 6 5,27 12 5) . 联 立 方 程
1
a(12 5 24)2 p 3 a
，解得 9( 5 2) ，2
a(6 5 12) p 27 12 5
p 35 16 5
∴ pmax 35 16 5 ， ……2 分
112 48 5
∴最大值与最小值得差为 3 ……1 分
{#{QQABTYQEogigAoBAABhCQQEgCkIQkACACCoGBBAEMAAACANABCA=}#}2023学年第二学期九年级
数学综合练习
本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间
120分钟，不可以使用计算器.
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的纲笔或签字笔填
写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答題卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答
案必须写在答题卡各题指定区战内的相应位置上；如需改动，先别掉原来的答案，然
后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区战.不准使用铅笔、圆珠笔和涂
改液，不按以上要求作答的答案无放，
4.考生必领保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1.下列几何体中，圆锥是（)
A.
B
D
2.点P(4,-2)位于第（)象限.
A.-
B.二
C.三
D.四
3.若-2xy与4xy是同类项，则m等于（).
A.2
B.2
C.3
D.4
4.如图，ABDE,若∠CDE=40°，则∠B的度数是().
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
D
第4题图
5.下列运算正确的是（).
A.3a+a=4a
B.3a3.2a2=6a6
C.(a)2÷d=1
D.(-2a)3=-8a
6.不等式组)2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是（).
x<6-x
A2024
B.-
-2-101234
c.-2-101234
.2寸02号中
九年级数学试卷
第1页（共6页）
7.在R1△ABC中，∠B=90°，AB=12,AC=13,则sinA的值为().
12
B.3
C.12
D.
12
5
8.关于一次函数y=3x+2,下列说法正确的是（).
A.图象过点（1,1)
B.其图象可由y=3x的图象向下平移2个单位长度得到
C.y随着x的增大而增大
D.图象经过第一、二、四象限
9.在△ABC中，AB=20,BC=18,BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD
的周长是（).
A.47
B.43
C.38
D.25
10.如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH.小
乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F,仰角
为63°：小静沿着坡度=512的斜坡步行13m到达点C
45C
时拍到树顶点F,仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约
i=5:12
63A
（)m.(结果确到1m)(参考数据：sin63°≈0.9，
B
cos63°≈0.5，tan63°≈2.0)
第10题图
A.22
B.21
C.20
D.19
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11.写出命题“如果=b2,那么=b”的逆命题
12.因式分解：3y-4=
13.在 ABCD中，已知∠B=120°，则∠=
个同学数/人
25=
14.某班同学完成了10道选择题后，班长将答对题数的
20
20.18
情况绘制成条形统计图，根据图中信息，该班同学
10
答对数的平均数为道.（保留1位小数点)
10
做对您数/道
15.刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国
第14题图
民族文化的意义.圆形刺绣作品展示木架的设计简图
如图所示，已知AB、BC、CD分别与圆相交于点A、
刺绣作品
点E、点D,AB⊥BC,CD⊥BC,AB=CD=2Cm,
B E C
BC=12cm,则圆形喇绣作品的半径为
cm.
第15题图
九年级数学试卷第2页（共6页）

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