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南昌十九中2023-2024学年下学期高三第二次模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，，，则与的夹角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂直关系得到方程，利用数量积公式求出夹角.
【详解】设两个向量的夹角为,
,
即,
即,
故选：B.
2. 已知，且，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可.
【详解】若，符合，但此时，不满足充分性，
若，符合，但是，不满足必要性.
故选：D
3. 若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性结合函数求解.
【详解】函数在上单调递减，
由函数在定义域内单调递增，所以函数在上单调递减且恒大于0，
则有，解得.
故选：C
4. 复数满足（为虚数单位），则的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的几何意义及两点间的距离公式即可求解.
【详解】设,则
所以，
又，
所以，即，
所以对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示复平面内的点到点的距离，
所以的最小值是.
故选：B.
5. 已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式系数和可得，即可根据通项特征，列举比较可得最大值.
【详解】由已知，故，故通项为（，1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
故最大，因此第七项的系数最大，
故选：C．
6. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求得面截圆锥时所得小圆锥的体积和平面与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.
【详解】平面截圆柱所得截面圆半径，
平面截圆锥时所得小圆锥的体积，
又平面与圆柱下底面之间的部分的体积为
根据祖暅原理可知：平面与半球底面之间的几何体体积.
故选：C.
7. 6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种
【答案】C
【解析】
【分析】分A有2人和4人，结合排列组合求解即可.
详解】若A有2人游玩，则有种；
若A有4人游玩，则有种；
所以共有240种，
故选：C.
8. 若，，成等比数列，则（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比中项，结合三角恒等变换求解即得.
【详解】由，，成等比数列，得，
即，
，所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出新样本的中心点，进而求出新回归直线的斜率，再逐项判断即得.
【详解】依题意，原样本中，，
剔除一个偏离直线较大的异常点后，新样本中，，
因此剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
由新的回归直线经过点，得新的回归直线斜率为，因此相关变量x，y具有负相关关系，A错误；
又，则剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变大，D错误；
由剔除的是偏离直线较大的异常点，得剔除该点后，新样本数据的线性相关程度变强，即样本相关系数的绝对值变大，B正确.
故选：BC
10. “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C.
D. 过点作垂直的延长线于H，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项根据离心率找到关系，代点求方程即可；B选项可由双曲线渐近线的斜率得到；C选项判断直线为切线，再由题中所给定义得到结论；D选项联立两条直线方程求出点坐标，求出.
【详解】A选项：设焦点在轴上的双曲线方程为.由离心率，可得，
于是方程为.代入点，解得.双曲线方程为.故A正确.
B选项: 根据题中条件分析可知，反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线斜率之间.
焦点在轴上双曲线渐近线斜率，答案应为.故B错误.
C选项：利用点斜式求得，与双曲线方程联立，得到，
可知该直线与双曲线只有一个交点，即直线为双曲线在点处的切线.
根据题中条件“过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角”可知，.故C正确.
D选项：由C选项的计算结果.因为直线垂直于直线，所以.
因为，可求得.
两方程进行联立，解出，因此.故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数与，记，其中，且．下列说法正确的是（ ）
A. 一定为周期函数
B. 若，则在上总有零点
C. 可能为偶函数
D. 在区间上的图象过3个定点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A：计算，化简即可；对于B：求出，然后计算的正负即可；对于C：计算是否恒相等即可；对于D：令，求解即可.
【详解】对于A，，，A正确；
对于B，，
则，，
因为，即，同号，所以，
由零点存在定理知在上总有零点，故B正确；
对于C，，
，
由得
对恒成立，
则与题意不符，故C错误；
对于D，令，
则
，即，，
故所有定点坐标为，，，，
又因为，所以函数的图象过定点，，，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.
【详解】，，
，
故答案为：
13. 已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由圆的方程的特征求出，再将圆的方程化为标准式，令、得到两个圆的方程，两圆作差得到公共弦方程，求出公共弦长，即可求出.
【详解】圆，
则，解得，
所以圆，即，
由题设，令可得，令可得，
显然两圆相交，则两圆方程作差可得，
由，解得或，
所以直线与圆相交的弦长为，
所以，则.
故答案为：
14. 已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有__________个.
【答案】
【解析】
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，想要有实根，则，结合根的判别式与基本不等式得，中至少一个成立，同理得到，中至少一个成立，，，中至少一个成立，且，即可解决问题.
【详解】由题意得，，
又因为，，
代入得，要使方程有实数解，则，
显然第个方程有解，设方程与方程的判别式分别为，
则
即，等号成立的条件，
所以，中至少一个成立，
同理可得，中至少一个成立，，，中至少一个成立，且，
综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少个，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，若甲赢而乙输，则甲得2分；若甲输而乙赢，则甲得分；若甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢教练的概率为0.4，乙赢教练的概率为0.5，每轮比赛结果相互独立.
（1）求在一轮比赛中，甲得分X的分布列；
（2）求前两轮比赛中甲得分之和为0的概率.
【答案】（1）分布列见解析
（2）0.37
【解析】
【分析】（1）由甲、乙与教练比赛的结果相互独立，分别计算随机变量X取，0，2时的概率，从而得出分布列；
（2）设第一轮比赛中甲得分为x，第二轮比赛中甲得分为y，前两轮比赛中甲得分之和为0分解为三个两两互斥的事件：，计算它们的概率和即可.
【小问1详解】
由题设，X的可能取值为，0，2，
，
，
.
X的概率分布为
X 0 2
P 0.3 0.5 02
【小问2详解】设第一轮比赛中甲得分x，第二轮比赛中甲得分为y，前两轮比赛中甲得分之和为0为事件A，则事件A包含三个事件：，
三个事件两两互斥，
又每轮比赛结果相互独立，
所以，
，
即前两轮比赛中甲得分之和为0的概率为0.37.
16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点.
（1）证明：四边形为平行四边形；
（2）若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理证明线线平行，即可得证；
（2）取的中点，利用面面垂直的性质定理证明，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后代入线面角的向量公式，利用二次函数性质求解最值即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，所以.
因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，
所以四边形为平行四边形.
【小问2详解】
取的中点，连接，
由及，得为等边三角形，所以.
又平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，所以，由及，
得为等腰直角三角形，所以.
以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，
建立如图的空间直角坐标系，
则，，
所以，
设，则，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
所以当，即为的中点时，，
故当时，直线与平面所成角的正弦值最大.
17. 已知函数
（Ⅰ）当时，若函数在区间上的最小值为，求的值；
（Ⅱ）当时，求证：对于一切的，恒成立.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，再对分类讨论即可得出；（Ⅱ）先作差放缩.再利用导数证明即得证.
详解】（Ⅰ）函数的定义域是．
当时，
令，即，
所以或．
当，即时，在，上单调递增，
所以在，上的最小值是，解得；
当即时，在，上的最小值是，
即
令，所以时单调递增，
所以，所以无解；
综上得．
（Ⅱ）
.
令，
令，所以，所以，所以.
所以对于一切的，恒成立.
即得证.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
18. 已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.
（1）证明：为定值（为坐标原点）；
（2）若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；
（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.
【小问1详解】
设直线的方程为，则，
由，消去，得，
，
所以，
直线的方程为，化简得，
令，得，所以
因此.
【小问2详解】
因为点的横坐标为，由（1）可知，，
设交抛物线于，，如图所示
又由（1）知，，同理可得，得，
又，
，
又，
则，
故结合，得.
所以直线的方程为
又，
则，
所以直线的方程为，
设圆心,
因为为的平分线，故点到直线和直线的距离相等，
所以，因为，解得，
故圆的半径，
因此圆的方程为.
19. 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据弯曲度、曲率的定义求得正确答案.
（2）（i）结合多面体的表面积的求法求得；（ii）利用导数求得蜂房表面积最小时的值.令，利用余弦定理求得，结合三角恒等变换的知识求得顶点的曲率的余弦值.
【小问1详解】
蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，
根据定义其度量值等于减去三个菱形的内角和，
再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为.
【小问2详解】
（i）如图所示，连接AC，SH，则，设点在平面的射影为O，
则，则，
菱形SAHC的面积为，
侧面积，
所以蜂房的表面积为.
（ii），
令得到，
所以在递增；在递增.
所以在处取得极小值，也即是最小值.
此时，在中，令，由余弦定理得，
又顶点的曲率为，
.南昌十九中2023-2024学年下学期高三第二次模拟考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，，，则与的夹角为（ ）
A 30° B. 45° C. 60° D. 75°
2. 已知，且，则是的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
4. 复数满足（为虚数单位），则的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 已知的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A. 第5项 B. 第6项 C. 第7项 D. 第8项
6. 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面与半球底面之间的几何体的体积是（ ）
A. B. C. D.
7. 6位学生在游乐场游玩三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A. 180种 B. 210种 C. 240种 D. 360种
8. 若，，成等比数列，则（　　）
A. B. C. D.
二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知由样本数据（i=1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到回归直线方程为，且．剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点．则下列说法正确的是
A. 相关变量x，y具有正相关关系
B. 剔除该异常点后，样本相关系数绝对值变大
C. 剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D. 剔除该异常点后，随x值增加相关变量y值减小速度变小
10. “双曲线电瓶新闻灯”是记者常用的一种电瓶新闻灯，具有体积小，光线柔和等特点．这种灯利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．并且过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，如图所示：
已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为
C.
D. 过点作垂直的延长线于H，则
11. 已知函数与，记，其中，且．下列说法正确的是（ ）
A. 一定为周期函数
B. 若，则在上总有零点
C. 可能为偶函数
D. 在区间上的图象过3个定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，则________．
13. 已知圆，若对于任意，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则__________.
14. 已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有__________个.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，若甲赢而乙输，则甲得2分；若甲输而乙赢，则甲得分；若甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢教练的概率为0.4，乙赢教练的概率为0.5，每轮比赛结果相互独立.
（1）求在一轮比赛中，甲得分X的分布列；
（2）求前两轮比赛中甲得分之和为0的概率.
16. 如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点.
（1）证明：四边形为平行四边形；
（2）若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
17. 已知函数
（Ⅰ）当时，若函数在区间上的最小值为，求的值；
（Ⅱ）当时，求证：对于一切，恒成立.
18. 已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.
（1）证明：为定值（为坐标原点）；
（2）若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.
19. 蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥，，，再分别以，，为轴将，，分别向上翻转，使，，三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为.
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.

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