资源简介 重庆市朝阳中学2023-2024学年(下)期期中考试高一年级 数学试题分值:150分 时间:120分钟一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 若复数满足,则在复平面内复数对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义可解.【详解】复数在复平面内对应的点为,其位于第二象限.故选:B2. 若一个球的表面积和体积的数值相等,则该球的半径为( )A. B. C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根据球的表面积、体积公式计算可得.【详解】设球的半径为,依题意可得,显然,所以.故选:D3. 的内角所对边分别为,若,则角的大小( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由余弦定理及,即可求得角.【详解】由余弦定理得,,因为,所以,由,所以,故选:D.4. 已知平面向量,,则在上的投影向量为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的公式计算即可.【详解】设与夹角为,则,在上的投影向量为:,故选:C.5. 在,其内角所对边分别为,若,则的形状是( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理角化边,然后整理化简即可得答案.【详解】因为所以,整理得,即的形状是等腰三角形.故选:B.6. 在等腰梯形中,,若,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的几何图形,结合向量的线性运算求解即得.【详解】在等腰梯形中,,,,则有,所以.故选:A7. 已知一个直四棱柱的高为4,其底面水平放置的直观图(斜二测画法)是边长为2的正方形,则这个直四棱柱的表面积为( )A. 40 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出侧面积和底面积,即可得到表面积.【详解】由于直观图是正方形,所以ABCD是两邻边分别为2与6,高为的平行四边形,其周长是,面积是,所以直四棱柱的表面积是.故选:C8. 内角对应边分别为.若,,点在边上,并且,为的外心,则之长为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】连结,根据正弦定理边化角,可得和外接圆半径,在中,利用余弦定理可解.【详解】连结,因为,根据正弦定理得,则,即,且外接圆半径,即在中,,,所以,且,在中,,所以.故选:B二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知是虚数单位,以下四个说法中正确的是( )A.B. 复数的虚部为C. 若复数满足,则D. 已知复数满足,则在复平面内对应的点的轨迹为圆【答案】AD【解析】【分析】对于A:利用的周期性计算可得,故A选项正确;对于B:利用复数的定义直接判断;对于C:利用复数的乘法运算可判断;对于D:利用复数的几何意义直接判断.【详解】对于A:,故A选项正确;对于B:的虚部为,故B选项错误;对于C:设复数,,则,若,则,故C选项错误;对于D:若复数满足,则在复平面内对应的点的轨迹为以点为圆心,以2为半径的圆,故D选项正确.故选:AD10. 在等腰梯形中,,,,以所在的直线为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体,则下列说法正确的是( )A. 等腰梯形的高为2 B. 该几何体为圆柱C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为【答案】ACD【解析】【分析】过点作交于点,过点作交于点,求出、,即可判断A,依题意可得该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上、下两个圆锥,且圆柱的底面半径,高为,圆锥的底面半径,高为,再求出几何体的表面积与体积,即可得解.【详解】因为在等腰梯形中,,,,过点作交于点,过点作交于点,则,所以,所以等腰梯形的高为,以所在的直线为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体,则该几何体的结构特征为一个圆柱挖去上、下两个圆锥,且圆柱的底面半径,高为,圆锥的底面半径,高为,故A正确,B错误.该几何体的表面积,体积,故C、D正确.故选:ACD11. 在中,内角所对应边分别为,则下列说法正确的是( )A. 若点为的重心,则B. 若满足,,的有两解,则的取值范围为C. 若点为内一点,且,则D. 若,则的最大值为【答案】ABC【解析】【分析】对于A,利用重心到一顶点和其对边中点的距离之比为即可得到结果;对于B,使用二次方程的性质证明若有两解则,再在的条件下构造出两解即可;对于C,利用向量之间的比值即可求出面积比;对于D,直接证明,即可否定结论.【详解】对于A,若点为的重心,设的中点为,则由重心的性质得,所以,A正确;对于B,一方面,若满足,,的有两解,则首先,且必有两种可能的取值,而满足,即,故关于的方程必有两个不同的正数解,从而判别式为正数,且两根之积为正数,即,. 结合,得;另一方面,当时,确有两解,,.所以的取值范围是,B正确;对于C,延长交于,由于在的延长线上,故存在实数,使得,从而.由于在直线上,故,从而,故,即,从而.所以,C正确;对于D,由于,故由数量积定义,知该条件就是.从而,使用余弦定理又可化为,展开再合并同类项得,即.所以,这意味着,D错误.故选:ABC.【点睛】关键点点睛:本题的关键点在于灵活运用向量和解三角形中的定理,在适当的时候使用恰当的定理能够发挥较好的作用.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 设向量,,若,则___________.【答案】##0.5【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可求结果.【详解】因为,所以,所以.故答案为:13. 我国著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中,提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式,可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设分别为内角的对边,表示的面积,其公式为.若,,则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理,可得,再化简已知条件,结合面积公式求解.【详解】因为,根据正弦定理,得,即,又因为,即,所以.故答案为:14. 已知平面向量与的夹角为,若恒成立,则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】设,构造平行四边形,由于恒成立,即恒成立,结合正弦定理将恒成立问题转化为最值问题,即可求解.【详解】设,如图作平行四边形,则,令,由于恒成立,即恒成立,在中,,,,由于恒成立,故,即实数的取值范围为,故答案为:.【点睛】关键点点睛:解答本题的关键是结合题意构造出平行四边形,利用正弦定理,从而将恒成立问题转化为最值问题..四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知单位向量的夹角为.(1)求;(2)求;(3)求与的夹角.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)由数量积的运算可得;(2)由向量模长和数量积的运算可得;(3)由数量积的运算和夹角的运算可得;【小问1详解】因为,所以.【小问2详解】因为,所以,所以.【小问3详解】因为,所以,由(1)(2)知,,设与的夹角为,则,因为,所以.16. 在中,内角所对的边分别是,且.(1)求角;(2)若是的角平分线,,的面积为,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)将条件化为关于正弦的齐次方程,再使用正弦定理即可得到边的关系,最后使用余弦定理即可;(2)分别求出和的值,再使用余弦定理得到.【小问1详解】由条件知,此即,故由正弦定理得,再由余弦定理知,且,所以.【小问2详解】由,,结合正弦定理得,而,故,.由于,故.所以,故.而,故.所以.故.17. 在等边中,点是上靠近点的一个三等分点,点为的中点,交于点.(1)若,求的值;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用向量线性坐标运算求得,然后根据三点共线即可求解.(2)用基底表示,然后利用三点共线求得,结合已知求得,结合数量积的运算律求得,利用正三角形面积公式求解即可.【小问1详解】点为的中点,,,,,,三点共线,,.【小问2详解】由(1)知,.设,,,三点共线,,解得,,从而有,,即,故,,,.18. 某学校有一四边形地块,为了提高校园土地的利用率,现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地.如图所示,,是中点,分别在、上,拟作为花草种植区,四边形拟作为景观欣赏区,拟作为谷物蔬菜区,和拟建造快速通道,,记.(快速通道的宽度忽略不计)(1)若,求景观欣赏区所在四边形的面积;(2)当取何值时,可使快速通道路程最短?最短路程是多少?【答案】(1)(2),最短路程为【解析】【分析】(1)由得出四边形为直角梯形,即可计算出面积;(2)由正弦定理表示出,根据两角和与差的正弦及同角三角函数的平方关系,化简出的表达式,再用换元法,辅助角公式及函数单调性即可得出最短路程.【小问1详解】由题可知,,当,则中,,,,则,所以为等边三角形,则,所以为中点,且是中点,所以,所以四边形为直角梯形,其面积为:.【小问2详解】,则,在中,由正弦定理:,在中,由正弦定理:,因为,所以,,,因为,设,则,所以因为,所以在上单调递增,所以在上单调递减,所以当,即时,取最小值.19. 对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质.(1)已知数集,请写出数集对应的向量集,并判断是否具有性质(不需要证明).(2)若,且具有性质,求的值;(3)若具有性质,且,常数且,求证:.【答案】(1),具有(2)(3)证明见解析【解析】【分析】(1)先进行一些准备工作,给出具有性质的充要条件,然后用列举法给出,并用已证明的结论即可说明是否具有性质;(2)利用具有性质的充要条件即可证明,再验证满足条件即可;(3)先证明,然后使用反证法证明原结论.【小问1详解】设集合,先证明两个结论.结论①:设,其中,,则具有性质的充分必要条件是:对任意的,都有或.证明:设,其中,,记,.一方面,如果具有性质:此时对任意的,由于,故根据具有性质,存在使得,而,所以不同号,从而其中恰有一个等于,另一个属于.设另一个属于的是,其中,则或,所以或.结合可知对任意的,都有或.另一方面,如果满足对任意的,都有或:由于,故对任意的,都有或.那么,首先有或,即,从而.此时对任意:如果,则满足;如果,,则满足;如果,,则满足;如果,,则或,从而满足或满足.这表明具有性质.从而结论①得证.结论②:设,其中,,若具有性质,则存在使得.证明:根据结论①,此时对任意的,都有或,特别地令,有,而,故存在某个使得.从而结论②得证.回到原题.若,根据向量集的定义,知其对应的向量集.由于,,,故由结论①可知具有性质.【小问2详解】设,若具有性质,由结论①知或,而,,所以. 又由于,故,即.而当时,,此时,,,由结论①知的确具有性质.所以所求的.小问3详解】设,其中,.由条件知具有性质,且,为常数且.由结论②知,存在某个使得,而,故.根据结论①知,对任意的,,都有或.由于当时,有,而,故.设,则由于,知对任意的,,有.现已经有,下面证明:.假设结论不成立,那么存在一个最小的正整数,使得.换言之,满足,且.由,可知.由于,,故存在,使得,故.又因为,故,这意味着,即.设,,则,即,故.但,这与矛盾.所以假设不成立.故原结论成立.【点睛】关键点点睛:本题的关键点在于,在第3小问中,我们在使用反证法并假设结论不成立后,考虑的并不仅仅是某个满足的,而是最小的满足的,因为相比前者,后者更容易推导出矛盾.重庆市朝阳中学2023-2024学年(下)期期中考试高一年级 数学试题分值:150分 时间:120分钟一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 若复数满足,则在复平面内复数对应的点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 若一个球的表面积和体积的数值相等,则该球的半径为( )A. B. C. D. 33. 的内角所对边分别为,若,则角的大小( )A. B. C. D.4. 已知平面向量,,则在上的投影向量为( )A. B. C. D.5. 在,其内角所对边分别为,若,则的形状是( )A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形6. 在等腰梯形中,,若,,则( )A. B. C. D.7. 已知一个直四棱柱的高为4,其底面水平放置的直观图(斜二测画法)是边长为2的正方形,则这个直四棱柱的表面积为( )A. 40 B. C. D.8. 内角对应边分别为.若,,点在边上,并且,为的外心,则之长为( )A. B. C. D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知是虚数单位,以下四个说法中正确的是( )AB. 复数的虚部为C 若复数满足,则D. 已知复数满足,则在复平面内对应的点的轨迹为圆10. 在等腰梯形中,,,,以所在的直线为轴,其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体,则下列说法正确的是( )A. 等腰梯形的高为2 B. 该几何体为圆柱C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为11. 在中,内角所对应边分别为,则下列说法正确的是( )A. 若点为的重心,则B. 若满足,,的有两解,则的取值范围为C. 若点为内一点,且,则D. 若,则最大值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 设向量,,若,则___________.13. 我国著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中,提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式,可以看出我国古代已经具有很高的数学水平.设分别为内角的对边,表示的面积,其公式为.若,,则的面积为______.14. 已知平面向量与的夹角为,若恒成立,则实数的取值范围为______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知单位向量夹角为.(1)求;(2)求;(3)求与的夹角.16. 在中,内角所对的边分别是,且.(1)求角;(2)若是角平分线,,的面积为,求的值.17. 在等边中,点是上靠近点的一个三等分点,点为的中点,交于点.(1)若,求的值;(2)若,求的面积.18. 某学校有一四边形地块,为了提高校园土地的利用率,现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地.如图所示,,是中点,分别在、上,拟作为花草种植区,四边形拟作为景观欣赏区,拟作为谷物蔬菜区,和拟建造快速通道,,记.(快速通道的宽度忽略不计)(1)若,求景观欣赏区所在四边形的面积;(2)当取何值时,可使快速通道的路程最短?最短路程是多少?19. 对于数集,其中,,定义向量集,若对任意,存在,使得,则称具有性质.(1)已知数集,请写出数集对应的向量集,并判断是否具有性质(不需要证明).(2)若,且具有性质,求的值;(3)若具有性质,且,为常数且,求证:. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 重庆市朝阳中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(原卷版).docx 重庆市朝阳中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(解析版).docx