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南菁高中实验班2023-2024学年第二学期高一期中（数学）试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 记数列的前项和为，若等差数列的首项为5，第4项为8，则（ ）
A. 14 B. 23 C. 32 D. 140
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式求出数列的通项，从而求出，再利用与的关系即可求得．
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
所以，
所以.
故选：B．
2. 已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（ ）
A. 或 B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】转化为圆心到直线的距离问题，即可列式求解.
【详解】圆，化简为标准方程为，
则圆的圆心为，半径，
若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离，,
即，得或
故选：D
3. 抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A. 1 B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】确定焦点和渐近线方程，设，，再计算面积即可.
【详解】抛物线的焦点为，双曲线C：的渐近线为，
不妨取，设，，
解得或，或.
故选：D
4. 等差数列中，，，是数列的前项和，则（ ）
A. B. 是中的最大项
C. 是中的最小项 D.
【答案】D
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、，即可得到通项公式，从而判断A、D，说明的单调性，即可判断B、C.
【详解】设等差数列的公差为，由，，
则，解得，所以，
则，故A错误；
令，解得，又，且单调递减，
所以，所以是中的最大项，故B错误；
又单调递减，所以不是中的最小项且中不存在最小项，故C错误；
因为，，
所以，故D正确.
故选：D
5. 已知数列满足，若，则的前2022项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数列递推式求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案.
【详解】由题意知数列满足，
当时，；
当时，，
故，则，
也适合该式，故，
则，
故的前2022项和为
，
故选：B
6. 已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出点P的轨迹方程，再结合题意求出点Q的轨迹方程，结合图形以及圆与圆的位置关系，即可求得答案.
【详解】由题意知两条动直线和交于点，
联立直线方程消去m可得，
由于，即，
该直线过定点，但不会过点，
故P点轨迹方程为（去掉点），
圆心为，半径为；
上两点，间的距离为，
Q为线段的中点，则圆C的圆心到Q的距离为，
则Q点轨迹方程为，圆心为，半径为；
由于与圆的圆心距满足，
故这两圆外离，
则的最小值为，
故选：B
7. 已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.
【详解】
不妨设点为第一象限的交点，则
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
所以，
因此，即，
所以，即，令
因此，其中，
所以当时，有最大值，最大值，
故选：B.
【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
8. 已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，线段AB的中点，代入双曲线的方程中可得，两式相减得，可得①，设，线段CD的中点，同理得②，由，得 三点共线， 从而求得，由此可求得双曲线的离心率.
【详解】设，线段AB的中点，
则，两式相减得，
所以①，
设，线段CD的中点，同理得②，
因为，所以，则三点共线，
所以，将①②代入得：，即，
所以，即，
所以，
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（ ）
A. B. 直线过点
C. 的面积最小值是 D. 与面积之和的最小值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】设：，联立方程后得关于的一元二次方程，由韦达定理写出，，再由，即可得，再结合，求解出，从而判断AB，再根据三角形面积公式表示出与的面积，由基本不等式可判断CD.
【详解】设：，，消可得.
，得，，∴，则或
∵，∴，∴，，故A错；
：过，故B对；
设定点，
，当且仅当时，取等号，故C对；
又，
不妨设，又，，当且仅当时，取等号，故D对.
故选：BCD.
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
10. 大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】当时，，当时，，联立可得，利用累加法可得，从而可求得的通项公式，在逐项判断即可.
【详解】因为，，
令且，
当时，①；
当时，②，
由①②联立得.
所以，
累加可得.
令(且为奇数)，得，
当时满足上式，
所以当为奇数时，.
当为奇数时，，
所以，其中为偶数.
所以，故C正确.
所以，故A错误
当为偶数时，，即，
当为奇数时，，即，
综上可得，故B正确.
因为
，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知椭圆：的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 当离心率为时，的最大值为
C. 存在点使得
D. 的最小值为1
【答案】BD
【解析】
【分析】由题设可得、，利用离心率公式即可求范围判断A；当得，进而求焦点坐标，再利用椭圆定义及有界性求的最大值判断B；根据已知判断的大小关系，再判断以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有无交点，即可判断C；由结合基本不等式求最值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，，则，又在椭圆内部，则，即，
∴，故A错误；
当时，有，易得，.
∴由，则，故B正确；
由，即，以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，
∴椭圆上不存在点使得，故C错误；
由，当且仅当时等号成立，即为短轴端点取等号，
∴的最小值为1，故D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：根据已知首先可得、，再综合应用离心率公式、椭圆定义及有界性，结合基本不等式判断各选项的正误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等差数列共有项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为______．
【答案】
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意奇数项有项，偶数项有项，，且，
奇数项之和为，
偶数项之和为，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为，
故答案为：
13. 已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足的面积为，，过点作的垂线交椭圆于，两点，则的周长为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的定义和三角形的面积公式得到和，利用余弦定理得到与的关系式，结合椭圆的离心率求出和的值，可以证明是的中垂线，最后再根据椭圆的定义求解即可.
【详解】
椭圆的离心率为，
，
，，
，
点在椭圆上，，
，
在中，根据余弦定理得，
即，
整理得，
，与上式联立，解得，，
，
由题意知，，
是的中垂线，
，，
，在椭圆上，
，
的周长为.
故答案为：.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得，进而联立直线与椭圆方程得，，进而令，则，再代入值计算即可得答案.
【详解】解：如图所示，由椭圆定义可得，，
设的面积为，的面积为，因为，
所以，，即，
设直线，则联立椭圆方程与直线，可得
，
所以，，
令，则，
当时，有.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求最大值并指明相应的值．
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）由得到，从而得到是公差为的等差数列，再由求出，即可求出通项公式；
（2）根据等差数列求和公式及二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
因为，即，
即，即，
所以数列是公差为的等差数列，
由，可得，解得，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
当或时，取得最大值．
16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【详解】【试题分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，结合抛物线的定义可求得，抛物线方程为.（2）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，代入，化简可求得，即求得直线方程.
【试题解析】
（1）由点在抛物线上，有，解得，
由抛物线定义有：，解：，
故抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为：，联立方程，消去得：，
故有：，，，
，
则，故，解得：，
所求直线的方程为：或．
17. 已知各项均为正数的数列，其前项和为．数列为等差数列且满足，，数列满足，求解下列问题：
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）由首先求出，再根据，作差得到，即可得到是首项为，公差为的等差数列，即可求出通项公式与前项和；
（2）首先求出的通项公式，参变分离可得对任意恒成立，结合反比例函数的性质求出，即可得解.
【小问1详解】
因为且，
当时，，解得或（舍去），
当时，
两式相减可得，
即，
又，所以，即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以；
【小问2详解】
因为数列为等差数列，设公差为，由，，
所以，
所以，
若对任意，不等式恒成立，
则，即对任意恒成立，
因为在上单调递减，当时，即，
所以，即实数的取值范围为．
18. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.
（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为.
【解析】
【分析】
（1）解方程组求得的值，即可求双曲线的标准方程；
（2）联立曲线与的方程，求得在第一象限的交点为的坐标，可得的坐标，利用可得结论.
（3）斜率不存在时，直接求出面积比，斜率存在时，设出直线方程，分别与椭圆、双曲线方程联立，利用韦达定理、结合弦长公式与三角形面积公式可得，进而可得答案.
【详解】（1）因为椭圆与双曲线有共同的焦点，，且双曲线的实轴长为，所以解之得
双曲线的标准方程为
（2）联立方程组解之得所以点
，
，
，∴
（3）当直线的斜率不存在时，
，，此时
当直线的斜率存在时，设方程为
代入椭圆方程得，
由弦长公式得
把直线方程代入双曲线方程得
由弦长公式得
因为直线与双曲线的右支相交于的，两点，
所以
设原点到直线的距离为，
∴
综上可知，的最小值为.
【点睛】求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单
19. 已知双曲线左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据已知列出关于方程组，求解即可得出答案；
（2）假设存在.设，有.由双曲线方程求得，求导根据导数的几何意义得出直线的斜率为，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出及其斜率，进而设出的方程为，，.联立直线的方程，求出坐标，表示出.联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理，表示出，再根据假设，化简运算，求解即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，双曲线的渐近线方程为，右焦点，
右焦点到其中一条渐近线，即的距离.
则由已知可得，解得，
所以，双曲线的方程为.
【小问2详解】
假设存在实数，使得.
由题意知点在第一象限，其坐标为，
则①.
因为双曲线的右支，所以，
由可得，，
求导可得，，
根据导数的几何意义可知，直线的斜率为.
又直线经过点以及点，所以，
所以有②.
由①②可解得，，，点，，
所以，直线的方程为，即，直线的斜率为.
设直线的方程为，，，
联立可得，
即，，
所以，.
联立可得，，
恒成立.
由韦达定理可得，.
因为都在直线上，
所以，
所以，，
所以，
，
所以，.
因为，
所以，假设成立.
所以，存在实数，使得，且.
【点睛】关键点点睛：由双曲线方程求得，求导根据导数的几何意义得出直线的斜率为，结合斜率的定义以及已知构造方程组，得出点的坐标以及切线的斜率.南菁高中实验班2023-2024学年第二学期高一期中（数学）试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 记数列前项和为，若等差数列的首项为5，第4项为8，则（ ）
A. 14 B. 23 C. 32 D. 140
2. 已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（ ）
A. 或 B.
C. 或 D. 或
3. 抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A. 1 B. C. 或 D. 或
4. 等差数列中，，，是数列的前项和，则（ ）
A. B. 是中的最大项
C. 是中的最小项 D.
5. 已知数列满足，若，则的前2022项和为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为.若点是线段的中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆：与双曲线：有相同焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线：斜率为的直线与的左右两支分别交于，两点，点的坐标为，直线交于另一点，直线交于另一点，如图1.若直线的斜率为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 在平面直角坐标系中，已知为抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，，则（ ）
A. B. 直线过点
C. 的面积最小值是 D. 与面积之和的最小值是
10. 大衍数列来源《乾坤诺》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则（ ）
A B.
C. D.
11. 已知椭圆：的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A. 离心率的取值范围为
B. 当离心率为时，的最大值为
C. 存在点使得
D. 的最小值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等差数列共有项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为______．
13. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足的面积为，，过点作的垂线交椭圆于，两点，则的周长为______.
14. 已知椭圆左、右焦点分别是，，斜率为的直线经过左焦点且交于，两点（点在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最大值并指明相应的值．
16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程．
17. 已知各项均为正数的数列，其前项和为．数列为等差数列且满足，，数列满足，求解下列问题：
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数取值范围．
18. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且双曲线的实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若曲线与在第一象限的交点为，求证：.
（3）过右焦点的直线与双曲线的右支相交于的，两点，与椭圆交于，两点.记，的面积分别为，，求的最小值.
19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，焦点到渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与双曲线的右支相切于点，与平行的直线与双曲线交于，两点，与直线交于点.是否存在实数，使得？若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.

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