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吉林市2023—2024学年度初中毕业年级第一次阶段性教学质量检测
数学
本试卷包括六道大题，共26道小题．共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，上交答题卡．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．的绝对值是（ ）
A． B．3 C． D．
2．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③同角的余角相等；④垂线段最短．其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，若，则m与n的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．如图，AB，AC是的弦，OB，OC是的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP，若，则的度数可能是（ ）
（第5题）
A． B． C． D．
6．某数学兴趣小组借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）
（第6题）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．分解因式：______．
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
9．2023年12月31日晚，“新时代新江城”吉林市2024迎新年大型烟花秀精彩上演，约有41万人前往现场观看，在线观看更是达到了万人次．数据万用科学记数法表示为______．
10．若边长为5cm的正多边形的一个外角是，则该正多边形的周长为______cm．
11．如图，在矩形ABCD中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③画射线AF，交DC于点G，则______．
（第11题）
12．小莹计划购买一台圆形自动扫地机，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，，37，，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机尺寸最多有______种．
（第12题）
13．如图是浩洋老师办公桌上的2024年台历，台历上显示的是2024年1月的月历，通过此月历，可以推算出2025年1月1日是星期______．
（第13题）
14．如图，AD平分，AE平分，AF平分，点O为射线AF上一点，以点O为圆心，AO长为半径画圆．若，，则图中阴影部分的面积是______（结果保留）．
（第14题）
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．先化简，再求值：，其中．
16．舒兰大米种植区域处于北纬43度世界黄金水稻带．舒兰大米具有营养丰富、绵软柔糯等特点．某校食堂计划采购甲、乙两种舒兰大米，若购进甲种大米500千克和乙种大米300千克需花费11000元；若购进甲种大米200千克和乙种大米600千克需花费9200元．求每千克甲种大米和每千克乙种大米的价格．
17．以下内容节选自人教版初中数学教材八年级上册．请说明内容中的尺规作图的原理，
即求证．
图12.2—4作法：（1）如图12.2—4，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点；（4）过点画射线，则．
18．如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
托盘B与点O的距离d/厘米 5 10 15 20 25
托盘B中的砝码质量m/克 30 15 10 6
（1）根据表格数据求出m关于d的函数解析式．
（2）当砝码质量为12克时，求托盘B与点O的距离．
（第18题）
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．在2023年高考期间，吉林市委“爱在江城温馨高考”的暖心举措温暖着江城每一位考生和家长．其中吉林市第一中学校考点设置了家长休息区，共搭建了121个遮阳篷．图①是一个遮阳篷的实物图，图②是它的侧面示意图，AD长为m，太阳光线AB与地面BC的夹角为时，求BD的长（结果精确到m）．
（参考数据：，，）
图① 图②
（第19题）
20．游神民俗文化活动，主要在中国的闽台地区流行，是一项流传了数百年的习俗，在甲辰龙年春节爆火出圈，无数网友对游神前的掷筊杯仪式感到好奇．掷筊杯是民间一种问卜的方式，每次将两个筊杯掷向地面，根据筊杯落地后的状态来推测行事是否顺利．每个筊杯都有一个平面，一个凸面．筊杯落地的结果如图所示，如果是两个平面称之为笑杯，表示行事状况不明；如果是两个凸面称之为阴杯，表示不宜行事；如果是一个平面和一个凸面称之为圣杯，表示行事会顺利．假设每个筊杯形状大小相同，掷筊杯落地后平面朝上和凸面朝上的可能性也相同．
笑杯 阴杯 圣杯
（第20题）
（1）笑笑同学想要计算将两个筊杯连续掷两次都得到圣杯的概率，她采用面树状图的方法，请将她的求解过程补充完整．
解：根据题意，可以画出如下的树状图：
（2）在中国台湾电影《周处除三害》中有一段场景，主角陈桂林用签杯问卜，将两个筊杯连续掷九次．请问连续掷筊杯九次都出现圣杯的概率是______．
21．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按要求画图，保留作图痕迹，不要求写面法．
（1）在图①中画线段EF平分AB，且点E，F均在格点上．
（2）在图②中画线段CD，线段CD平分的面积．
（3）如图③，点P，Q均在格点上，连接PQ交AC于点M，连接BM，则的面积是______．
图① 图② 图③
（第21题）
22．书籍是人类进步的阶梯，中国图书出版已有十多年保持着持续、稳定、快速发展的良性态势．下面的统计图反映了2013年到2022年国家图书总印数和图书总印数年变化率的情况．
说明：图书总印数年变化率．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）计算2018年到2022年这五年国家图书总印数的平均数．
（2）下列说法正确的是______（下列选项中，有多项符合题目要求，全部选对得满分，部分选对得部分分，选错或未选得0分）．
A．2013年到2022年国家图书总印数变化率最低的是2022年，所以2022年国家图书总印数最少．
B．2013年到2022年国家图书总印数出现增长量最大的是2021年．
C．2013年到2022年国家图书总印数变化率的中位数是．
D．2013年到2017年国家图书总印数的方差记为，2018年到2022年国家图书总印数的方差记为，则．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．新能源汽车中的油电混合动力汽车，兼具纯电动汽车和燃油汽车的优势．某油电混合动力汽车先采用锂电池工作，当锂电池电量耗完后自动转换为油路工作，汽车油路工作时不能为锂电池进行充电．该汽车一次充满电，可以行驶最大里程是120千米；油电混合行驶时，满电满油可以行驶最大里程是720千米．下图为该汽车仪表盘显示电量 （单位：％），仪表盘显示油量 （单位：％）与某次行驶里程x（单位：千米）之间的函数图象．
（1） ______，______．
（2）求关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（第23题）
24．【实践操作】
操作一：如图①，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕PQ．
操作二：如图②，将正方形纸片ABCD的左上角沿AP折叠，得到点B的对应点为，交PQ于点E．
操作三：如图③，将正方形纸片ABCD的右上角沿折叠再展开，折痕交CD于点M．
【问题解决】
（1）求证．
（2）______·
【拓展应用】
（3）在图③中延长交CD于点N，则______．
图① 图② 图③
（第24题）
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．如图，四边形ABCD是矩形，，，连接AC．点G从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边DC向终点C匀速运动，线段DG绕点D逆时针方向旋转得到线段DE，以线段DG，DE为边作菱形DEFG．设菱形DEFG与重叠部分图形的面积为y（），点G运动的时间为x秒．
（1）______．
（2）当点F落在AC上时，______秒．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（第25题） （备用图）
26．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线上任意一点．连接OP，设点为线段OP的中点，通过求出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，可以得到一条新的抛物线记为．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标．
（2）求抛物线的解析式．
（3）过点P作线段轴，点P在点Q的右侧，，设点P的横坐标为m．
①当线段PQ与抛物线没有公共点时，直接写出m的取值范围．
②当线段PQ与抛物线和一共有3个公共点时，直接写出m的取值范围．
（第26题）
吉林市2023—2024学年度初中毕业年级第一次阶段性教学质量检测
数学参考答案
一、单项选择题
1．B 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D
二、填空题
7． 8． 9． 10．25
11．135 12．2 13．三 14．
三、解答题
15．解：原式
当时，原式
16．解：设每千克甲种大米价格是x元，每千克乙种大米价格是y元．
，解得
答：每千克甲种大米价格是16元，每千克乙种大米价格是10元．
17．证明：由作图得，，
在和中，
∴，∴
（第17题）
18．解：（1）设m关于d的函数解析式为
当时，，所以，解得
∴m关于d的函数解析式为．
（2）把代入得，解得
答：托盘B与点O的距离为厘米．
19．解：在中，，，
∵，∴
答：BD的长约为m．
20．解：（1）根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有等可能出现的结果共有16种，其中两次都得到圣杯的情况有4种，所以；
（2）
21．解（1）
图①
（2）
图②
（3）．
22．解：（1）（亿）
答：2018年到2022年国家图书总印数的平均数为亿．
（2）B，C，D
23．解：（1）120，270．
（2）当时，设，
将和代入得，解得
∴．
（第23题）
24．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴，，
由折叠得，，
∴，，连接，
在和中，，
∴，∴．
（2）． （3）．
（第24题）
25．解：（1）30． （2）1．
（3）当时，，
当时，．
当时，．
综上，
（第25题） 备用图
26．解：（1）把代入，得，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，．
（2）把代入，得．
∴抛物线与y轴交点为
∴，，均为点的坐标．
设抛物线的解析式为，
把，，代入得
，解得
∴抛物线的解析式为．
（3）①或．
②或．
（第26题）

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