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专题3 数列的实际应用和综合问题
【必备知识】
1.公式法
（1）等差数列{an}的前n项和为：，推导方法为倒序相加法.
（2）等比数列{an}的前n项和为：，推导方法为乘公比与错位相减法.
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；.
②；
③；
④.
2.几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和.
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
【必备技能】
常见的裂项技巧：
①；；；；
②；；
③；；
④；
⑤；
常见放缩公式：.
【考向总览】
考向一：等差数列、等比数列的综合运算（★★★★）
考向二：数列与不等式的交汇（★★★）
考向三：数列与函数的交汇（★★★）
【考向归类】
考向一：等差数列、等比数列的综合运算
【典例1-1】
（2022·辽宁辽阳·统考二模）
1．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.令，则数列的前50项和（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（2022下·江苏南通·高一统考期中）
2．已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为
A． B．2 C． D．
【备考提醒】
数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.
【举一反三】
3．已知数列既是等差数列又是等比数列，首项a1=1，则它的前2020项的和等于（ ）
A． B． C．2020 D．0
4．等差数列的首项为5，公差不等于零．若，，成等比数列，则（ ）
A． B． C． D．-2014
考向二：数列与不等式的交汇
【典例2-1】
（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）
5．已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．16 C． D．32
【典例2-2】
（2023·河南驻马店·统考二模）
6．设数列的前项和为，，且，若恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．8
【备考提醒】
数列与不等式的综合问题及求解策略
①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小.
②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值.
③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明.
【举一反三】
（2023下·辽宁铁岭·高二校联考期中）
7．已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）
8．已知，，，．设，为数列的前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
考向三：数列与函数的交汇
【典例3-1】
（2023·全国·模拟预测）
9．已知正项等比数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】
（2023·江苏连云港·统考一模）
10．已知，，数列是公差为1的等差数列，若的值最小，则 ．
【备考提醒】
数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题.
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形.
【举一反三】
（2023·四川成都·校联考一模）
11．在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A．3 B．9 C． D．
（2023·江苏泰州·统考一模）
12．等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【必备知识】
1.等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）.
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有.
2.等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是.
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和.
3.等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为.
（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项.
即是与的等比中项 ，，成等比数列 .
4.等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式.
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为，则当时，；当时，
.
【必备技能】
数列在数学文化与实际问题中的应用
纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新.同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开.本节通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化理解，发展数学核心素养.
【考向总览】
考向一：数列的实际应用（★★★）
【考向归类】
考向一：数列的实际应用
【典例2-1】
13．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理.某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（ ）
A．11小时 B．13小时 C．17小时 D．19小时
【典例2-2】
14．某科技创新公司投资万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长，同时，该产品第1个月的维护费支出为万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.
（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？
（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）
【举一反三】
（2022下·河北石家庄·高二校联考期中）
15．如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是 ，第二行共有二项是，第三行共有三项是 ，依此类推第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是 ，则m=

A．105 B．109 C．110 D．215
（2023·全国·高三专题练习）
16．某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元．
(1)求的通项公式．
(2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？
(3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据，，成等比数列结合公差为2，求得，得到，再利用裂项相消法求解.
【详解】因为，，，
由题意得，
解得，
所以，
则，
则.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
2．A
【解析】由成等比数列可得数列的公差，再利用等差数列的前项和公式及通项公式可得为关于的式子，再利用对勾函数求最小值.
【详解】∵成等比数列，
∴，解得：，
∴，
令，令，其中的整数，
∵函数在递减，在递增，
∴当时，；当时，，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本量运算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数，如果利用基本不等式求解，等号是取不到的.
3．C
【分析】根据既是等差数列又是等比数列，得到数列是常数列，再根据，写出通项，然后求和.
【详解】因为既是等差数列又是等比数列，且，
所以(常数数列)，
所以前2020项的和等于2020，
故选：C.
【点睛】本题主要考查数列的通项及数列求和，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
4．D
【分析】先根据三项成等比数例求出的通项公式，进而求出的值.
【详解】因为等差数列的首项为5，设公差为，
则，所以，
解得或者（舍），所以，
所以，
故选：D
5．D
【分析】根据，求出和的通项公式，代入不等式计算，再根据基本不等式即可求解得出.
【详解】，
数列是首项为、公比为2的等比数列，
，解得或（舍），
，即恒成立，
，当且仅当即时取等号，.
故选：.
6．B
【分析】根据递推公式构造数列，结合可得数列的通项公式，然后参变分离，利用对勾函数性质可解.
【详解】因为，所以，所以数列是常数列，
又，所以，从而，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，故．
因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．
设，则，从而．
记，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，且，
所以的最小值是，所以．
故选：B
7．A
【分析】根据给定条件，求出数列，的通项，再求出数列的最大项作答.
【详解】由数列满足，，得是首项为1，公比为的等比数列，，
于是，，
当，时，当且仅当时取等号，当时，，
因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，
则当或时，，而任意的，恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.
8．B
【分析】在等式两边同时除以得，推导出，，结合放缩法可判断B选项；利用的值可判断AD选项；利用的值可判断C选项.
【详解】由以及，可知，，，，
以此类推可知，对任意的，，
在等式两边同除得，即，则，
因为，则，
所以当时，，，所以，B对，
因为以及，，则，
，，
，所以，，，，
所以，不满足AD选项，，
不满足C选项，
故选：B.
9．A
【分析】设出等比数列的公比，利用求出，再由即可求出.
【详解】设等比数列的公比为．
由，得，
解得，
又
得．
故选：A
10．3
【分析】结合等差数列的通项公式，转化为二次函数的最值问题可解.
【详解】∵数列是公差为1的等差数列，可设：.
∴
∴当时，的值最小.
故答案为：3
11．B
【分析】根据韦达定理可得，结合等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，是方程两根，
所以，即，
在等比数列中，，又，
所以，因为，所以，所以.
故选：B.
12．C
【分析】求出的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解.
【详解】
所以是以为首项，为公差的等差数列，
若当且仅当时，的前项和取得最大值，
所以
即，，
故选：C.
13．B
【分析】利用题意，将给药时间与检测次数转化为等差数列模型，将给药时间与患者血药浓度转化为等比数列模型，则利用数列的通项公式求解即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以3为首项，2为公差的的等差数列，
所以，
设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为a，
则数列是首项为a，公比为的等比数列，所以，
令，即，解得，
当血药浓度为峰值的时，给药时间为，
故选：B.
14．（1）收入约为303.75万元，维护费为350万元（2）第10月
【分析】（Ⅰ）根据题意可知月收入依次成首项为40万元，公比为的等比数列，每月的维护费支出依次成首项为100万元，公差为50的等差数列．进而利用等差与等比数列的通项公式求得an和bn，代入n=6可得结果.
（Ⅱ）设经过n个月的总收入为Sn万元，总支出为Tn万元，进而根据等比数列及等差数列的求和公式分别求得Sn和Tn．进而根据，即 ，
求得n的范围．
【详解】解：记产品从第一个月起，每个月的收入为数列，每个月的维护费支出为数列，
则， ，
(1) 第6个月的收入为：万元，
第6个月的维护费为：万元，
∴第6个月的收入还不足以支付第6个月的维护费 .
(2)到第个月，该产品的总收入为
该产品的总支出为
由题意知，只需，即 ，
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=10.
∴从第10个月起，该产品的总收入首次超过总支出.
【点睛】本题主要考查了数列的实际应用，涉及了等差、等比数列的通项公式，求和公式．综合性很强．
15．B
【详解】分析：由题意，根据三角形数阵的数字的排列规律，利用等差数列的求和公式，可计算得出第14行的最后一个数字，从而求得第15行的第5个数字的值.
详解：由题意，三角形数阵中可知，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行由3个数字， ，第行有个数字，
由等差数列的前项和公式可得前共有个数字，
即第14行的最后一个数字为，
所以第15行的第1个数字为，第15行的第5个数字为，故选B.
点睛：本题主要考查了数表、数阵数列的应用，其中根据数表、数阵数列的数字排列规律，合理利用等差、等比数列的通项公式和前项和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能，以及转化与化归思想的应用.
16．(1)
(2)这个人第三年的收入最少，为元
(3)当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入
【分析】（1）根据题意得到时，，进而得到数列的通项公式；
（2）由时，，结合基本不等式，即可求解；
（3）由时，，结合基本不等式的等号成立的条件，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意得，当时，，
当时，，
所以
（2）解：由，当时，，
当且仅当，上式的等号成立，即，解得，
所以这个人第三年的收入最少，最小值为元．
（3）解：当时，
，
当且仅当且，上式等号成立，
因此，等号不能取到，
当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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