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专题5 导数在研究函数性质中的应用（2）
【必备知识】1.极值点与极值
如图，函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；
而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0.类似地，函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0.我们把a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值；b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
【必备技能】1.求函数y＝f（x）的极值的方法
解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时：
（1）如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值.2.函数在区间[a，b]上最值的求法
一般地，求函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数y＝f（x）在区间（a，b）上的极值；
（2）将函数y＝f（x）的各极值与端点处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【考向总览】
考向一 求已知函数的极值点/极值（★★★★）
考向二 求已知函数的最值（★★★）
【考向归类】
考向一 求已知函数的极值点/极值
【典例1-1】
（23-24高二下·江苏无锡·期中）
1．已知在处取得极小值．
(1)求的解析式；
(2)求在处的切线方程；
(3)求的极值.
【典例1-2】
（22-23高二下·湖北·期中）
2．给定函数．
(1)求函数的单调区间，并求出的极值点；
(2)若关于的方程有两个不同的解，求实数的范围．
【备考提醒】1.利用导数求函数极值的主要步骤：
求y＝f′（x）→解方程f′（x）＝0→判断f′（x）在各根左右两侧的符号，进一步确定函数的极值.如果在点x0两侧的单调性相反，则x0为极值点，否则x0不是极值点.
2.可导函数的极值点一定是导数为零的点，导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数异号.
3.一般地，列表分析x，y′，y的变化情况是求极值的有效方法，也可画出导函数图象判断极值情况.
【举一反三】
3．函数在区间上的极值点的个数为 ．
（23-24高二上·浙江宁波·期末）
4．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
(1)求的值；
(2)求函数的极值.
考向二 求已知函数的最值
【典例2-1】
（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）
5．已知函数，是的极值点．
(1)求实数a的值；
(2)求在上的最值．
【典例2-2】
（22-23高二下·广东揭阳·阶段练习）
6．设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.
【备考提醒】求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值的方法：
（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；
（2）计算函数f（x）在区间（a，b）内使得f′（x）＝0的所有点以及端点的函数值f（a）与f（b）；
（3）比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.
【举一反三】
（23-24高二下·安徽淮南·开学考试）
7．已知函数，且当时，有极值．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值．
（2024高二下·上海·专题练习）
8．已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求函数过点的切线；
【必备知识】1.极值点与极值
如图，函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；
而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0.类似地，函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0.我们把a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值；b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
【必备技能】求一个函数在无穷区间（或开区间）上的最值与在闭区间上的最值的方法是不同的.求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
【考向总览】
考向一 含参讨论函数的极值（★★★★）
考向二 含参讨论函数的最值 （★★★★）
【考向归类】
考向一 含参讨论函数的极值
【典例1-1】
9．已知函数，.
(1)若函数在时取得极值，求的值；
(2)讨论函数的极值.
【典例1-2】
（2023高二·全国·专题练习）
10．已知函数.讨论函数的极值；
【备考提醒】根据题意选择合适的分界点，逐一分类讨论即可.
【举一反三】
（22-23高二下·甘肃金昌·期中）
11．已知函数，，讨论函数的极值.
（22-23高二下·天津南开·期中）
12．已知函数，讨论其单调区间与极值.
考向二 含参讨论函数的最值
【典例2-1】
（22-23高二下·全国·课时练习）
13．已知函数，求函数在区间上的最小值．
【典例2-2】
（23-24高二下·河北·开学考试）
14．已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)求在上的最小值．
【备考提醒】含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间；二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论.
【举一反三】
15．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，求函数在上的最小值．
（23-24高二下·全国·课前预习）
16．已知函数，，.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值.
【必备知识】函数极值的定义：如图，函数y＝f （x）在点x＝a的函数值f （a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′（x）<0，右侧f ′（x）>0.类似地，函数y＝f （x）在点x＝b的函数值f （b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′（x）>0，右侧f ′（x）<0.我们把a叫做函数y＝f （x）的极小值点，f （a）叫做函数y＝f （x）的极小值；b叫做函数y＝f （x）的极大值点，f （b）叫做函数y＝f （x）的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
【必备技能】已知极值情况求参数问题时要注意：①f ′（x0）＝0是x0为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；②若函数y＝f （x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f （x）在（a，b）内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值.
【考向总览】
考向一 根据函数极值点求参数 （★★★★）
考向二 根据函数极值/最值求参数（★★★）
【考向归类】
考向一 根据函数极值点求参数
【典例1-1】
（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）
17．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（23-24高三上·江苏扬州·期中）
18．已知函数，其中．
(1)若是函数的极值点，求a的值；
(2)若，讨论函数的单调性．
【备考提醒】根据函数极值的定义可知，如果一个函数是可导函数，那么在极值点处的导数必然为零，即对于可导函数y＝f（x），f′（x0）＝0是x0为极值点的必要条件.其充分条件是这点两侧的导数异号，当可导函数在某一点处取得极值时，该点处的导数值一定为零，据此可建立关于参数的方程进行求解.但导数值为0的点不一定是极值点.
【举一反三】
（22-23高二下·河南·期中）
19．若函数有两个极值点，则非负实数的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
（22-23高二下·陕西榆林·期中）
20．已知函数存在两个极值点，，且．
(1)求的取值范围；
(2)若，求正实数的取值范围．
考向二 根据函数极值/最值求参数
【典例2-1】
（23-24高二上·江苏泰州·期末）
21．已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】
（2024高二下·全国·专题练习）
22．若函数在上的最小值为4，则 ．
【备考提醒】（1）已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值.结合已知求出参数，进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内.
（2）当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解.
【举一反三】
（23-24高二上·陕西西安·期末）
23．已知函数在时取得极大值4，则 ．
（22-23高二下·黑龙江鹤岗·期中）
24．函数，的最大值为，最小值为，则（ ）
A．或 B．若，则
C．若，可得 D．或
【必备知识】生活、生产和科研中会遇到许多实际问题，要善于用数学的观点和方法去分析问题.求实际问题的最大（小）值，主要步骤如下：
（1）找关系：分析实际问题中各量之间的关系.
（2）列模型：列出实际问题的数学模型.
（3）写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f（x）.
（4）求导：求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0.
（5）比较：比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.
（6）结论：根据比较值写出答案.
【必备技能】极值问题的综合运用主要涉及极值的正用和逆用，根据函数的极值画函数图象，以及函数的单调性问题.注意已知与未知的转化以及函数与方程、分类讨论思想在解题中的应用，解题的关键是掌握求单调区间和极值的基本解题策略.
【考向总览】
考向一 实际问题中的极值与最值（★★★）
考向二 利用导数研究函数零点或方程的根（★★★★★）
考向三 利用导数研究函数图象（★★★★★）
考向四 利用导数研究极值点偏移问题（★★★★★）
考向五 导数图象与函数极值点/极值的关系（★★★）
【考向归类】
考向一 实际问题中的极值与最值
【典例1-1】
（23-24高二下·上海·阶段练习）
25．如图，将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁．矩形的高为，宽为．已知梁的抗弯强度为．
(1)将表示为的函数，并写出定义域；
(2)求的值使得抗弯强度最大．
【典例1-2】
（23-24高二上·江苏南京·期末）
26．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元．
【备考提醒】1.求面积与体积的最值问题是实际生产生活中的常见问题.解决这类问题的关键是熟练掌握相关的面积、体积公式，能够依据题意确定出自变量的取值范围，建立准确的函数关系式，然后利用导数的方法加以解决.必要时，可选择建立坐标系，通过点的坐标建立函数关系式或曲线方程，以便于问题的解决.
2.利用导数解决利润（收益）最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润（收益）的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润（收益）.常见的基本等量关系如下：
（1）利润（收益）＝收入－成本；
（2）利润（收益）＝每件产品的利润（收益）×销售量.
【举一反三】
（2024高二下·全国·专题练习）
27．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（ ）
A．16 m，16m B．32m，16m
C．32 m，8m D．16m，8m
28．福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为．

(1)求关于的函数关系式．
(2)若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．
考向二 利用导数研究函数零点或方程的根
【典例2-1】
（23-24高二上·山西吕梁·期末）
29．函数的零点个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2-2】
（23-24高二上·全国·期末）
30．若直线与存在两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】1.函数零点个数的讨论问题实质是研究函数图象的变化趋势，通过变化趋势看是否与x轴存在公共点，以此确定零点个数；在利用函数零点存在定理时，一般不使用极限语言，故常常需要“取点”，可借助ex≥x＋1，ln x≤x－1等结构放缩，必要时可构造函数证明所取点的符号.
2.根据函数零点的情况求参数值或取值范围的基本方法：①利用零点存在定理构建不等式求解；②分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解；③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
【举一反三】
（23-24高二上·甘肃陇南·期末）
31．关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·广西玉林·阶段练习）
32．已知函数，关于的性质，以下四个结论中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．函数在区间上是增函数
C．有两个零点 D．函数在处取得极小值
考向三 利用导数研究函数图象
【典例3-1】
（22-23高二上·江西宜春·期中）
33．已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】
（23-24高二上·广东深圳·期末）
34．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】导数可以研究函数单调性、极值与最值，进而研究函数图象的变化趋势，值域等基本特征，再根据数形结合的方法可以解决公共点等问题.
【举一反三】
（22-23高二下·四川遂宁·期中）
35．已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是
（23-24高二上·宁夏银川·期末）
36．已知函数.
(1)求函数的单调区间和最小值；
(2)画出函数的草图，并根据草图求函数的单调区间.
考向四 利用导数研究极值点偏移问题
【典例4-1】
（22-23高二下·陕西安康·期中）
37．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明.
【典例4-2】
（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）
38．已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.
【备考提醒】极值点偏移问题的常用策略：首先进行变量的转化，即由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，或者通过比值代换，利用关系式将其中一个变量用另一个变量表示，代入要证明的不等式，化简后根据其结构特点构造函数，再借助导数，判断函数的单调性，从而求其最值，并把最值应用到所证不等式.除了上述方法外，也常通过构造关联（对称）函数求解，常见步骤如下：①构造奇函数F （x）＝f （x0－x）－f （x0＋x）；②对F （x）求导，判断F ′（x）的符号，确定F （x）的单调性；③结合F （0）＝0，得到f （x0－x）>f （x0＋x）（或f （x0－x）（或<）f （x0＋（x0－x2））＝f （2x0－x2）得f （x1）>（或<）f （2x0－x2）；⑤结合f （x）的单调性，得x1>（或<）2x0－x2，得x1＋x2>（或<）2x0.其中也可考虑构造F （x）＝f （x）－f （2x0－x）等，具体视已知条件“执果索因”.
【举一反三】
（22-23高二下·辽宁·期末）
39．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
（22-23高二下·河北张家口·期末）
40．已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若方程的两个解为、，求证：.
考向五 导数图象与函数极值点/极值的关系
【典例5-1】
（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）
41．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．有4个极值点，其中有2个极大值点 B．有4个极值点，其中有2个极小值点
C．有3个极值点，其中有2个极大值点 D．有3个极值点，其中有2个极小值点
【典例5-2】
（23-24高二下·重庆·阶段练习）
42．若函数的导函数图象如图所示，则（ ）
A．的解集为 B．函数有两个极值点
C．函数的单调递减区间为 D．是函数的极小值点
【备考提醒】本类题型务必看清题目中给出的是导函数图象求解原函数的基本性质，还是给出了原函数图象求解导函数的基本性质！
【举一反三】
（23-24高二上·山西忻州·期末）
43．已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．有2个极大值点
D．只有1个极小值点
（22-23高二·全国·随堂练习）
44．已知函数的定义域为，且其导函数的图象如图所示，试找出函数在区间内的极大值点和极小值点．

试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)极大值为，极小值为
【分析】（1）借助极值点与极值的定义可得，计算即可得；
（2）借助导数的几何意义分别计算出切点与斜率即可得；
（3）借助导数得到函数的单调性即可得函数的极值.
【详解】（1）由题意知，
因为在处取得极小值，
则，解得，
当时，
，
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
故是函数的极小值点，
满足题意，所以，
所以；
（2）由题意知，，
所以，，所以切点坐标为，斜率，
所以切线方程为：，即；
（3），
当时，，当时，，
故在、上单调递增，在上单调递减，
故有极大值，
有极小值.
2．(1)答案见解析；
(2)
【分析】（1）由题可得，解不等式可得单调区间，即可得极值点；
（2）方程有两个不同的解相当于图象与有两个不同交点，由（1）做出图象，即可得答案.
【详解】（1）.
在上单调递增；
在上单调递减；
则在处取极小值，则的极小值点为；
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；的极小值点为；
（2）由（1）可知单调性，极小值为.
注意到当时，，；时，，据此可做图象如图，
则方程有两个不同的解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.
3．3
【分析】根据给定函数及区间，利用导数、零点存在性定理，结合极值点的意义求解即得.
【详解】函数，求导得，且，
令，求导得，当时，，
则函数在区间上单调递增，又，，
则使得，当时，，当时，，
于是，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
则，而，从而，使得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，
又，即函数为上的偶函数，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，在处取得极小值，
显然函数在处取得极大值，所以在区间上共有3个极值点.
故答案为：3
4．(1)
(2)极大值为，极小值为
【分析】（1）求导得，由此即可求解；
（2）求导得，根据导数与极值的关系列表即可得解.
【详解】（1），
∵在点处的切线平行于直线，
∴，∴；
（2）由（1）可得，
令得或，列表如下：
3
+ 0 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴极大值为，极小值为.
5．(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）利用导数与函数极值点的关系求得，再代入检验的单调性与极值点情况，从而得解；
（2）利用（1）中结论，结合函数最值的求法即可得解.
【详解】（1）易得的定义域为，
而，
因为是的极值点，所以，即，则，
当时，，
令，解得或；令，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点，故.
（2）由（1）知，
且在和上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最小值为，
所以要求在上的最大值，只要比较，的值即可，
又，，而，
所以在上的最大值为，最小值为.
6．(1)调递增区间为，；单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求导后，根据的正负可确定单调区间；
（2）根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可.
【详解】（1）当时，，则定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）定义域为，，
有两个极值点等价于在上有两个不等实根，
，，，，
；
设，
则，
在上单调递减，，
即，
的最小值为.
7．(1)
(2)最大值和最小值分别为
【分析】（1）由极值的必要条件以及可列方程求解参数，由此即可得解；
（2）求导得出在的单调性，比较极值点与端点函数值即可得解.
【详解】（1），由题意，
解得，所以的解析式为.
（2），，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
而，
，
所以在上的最大值和最小值分别为.
8．(1)
(2)或
【分析】（1）由题意对求导得函数单调性，由此即可求解；
（2）由题意设出切点，表示出切线方程（含参），从而，，由此可求得，，进一步即可得解.
【详解】（1）由题意得，的定义域为，
，
令，解得，或（舍去）；，解得，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
（2）设切点为，切线的斜率，
所以，
因为直线过点，所以，又，
解得或，
所以直线方程为或
9．(1)2
(2)答案见解析
【分析】（1）由求得的值.
（2）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得函数的极值.
【详解】（1）∵，则，
∵在处取得极值，故，解得.
当时，.
由，可得或；由，可得.
故在上递增，在上递减，在上递增，
故是函数的极大值点，符合题意；
（2）由（1）得，
令，则或，
①时，，此时在上单调递增，无极值；
②时，，
当时，；当时，，
故的单调递增区间为、，单调递减区间为；
∴极小值点极大值点为－1，
故极小值极大值；
③当时，，
当时，；当时，，
此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.
∴极小值点－1，极大值点为，
故极小值，极大值为；
综上所述，当时，极小值，极大值为；
当时，无极值；
当时，极小值，极大值为.
10．答案见解析
【分析】求出，分、讨论可得答案.
【详解】显然的定义域为，
因为，所以，
若，则当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减；
故在处取得唯一的极大值，且极大值为1，无极小值；
若，则当时恒成立，故函数在上单调递增，无极值.
综上，当时，的极大值为，无极小值；当时，无极值.
11．答案见解析
【分析】求导，分类讨论判断单调性，进而确定极值.
【详解】由题意可得：的定义域为，，
令，得，，
①当，即时，恒成立，
则函数在定义域内单调递增，
所以函数在定义域内没有极值；
②当，即时，
当和时，；当时，；
则函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，函数有极大值，当时，函数有极小值；
③当，即时，
当和时，；当时，；
此时函数在区间和上单调递增；在区间上单调递减，
所以当时，函数有极小值；当时，函数有极大值；
综上所述：当时，没有极值；
当时，有极大值，极小值；
当时，有极小值，极大值.
12．答案见详解
【分析】求导，讨论的正负以及与0的大小，利用导数判断原函数的单调性与极值.
【详解】由题意可得：，
（i）当时，则，
令，解得；令，解得；
可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，无极小值；
（ⅱ）当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；令，解得；
可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；
②当，即时，则，
可得的单调递增区间为，无极值；
③当，即时，令，解得或；令，解得；
可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；
综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，无极小值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；
当时，的单调递增区间为，无极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值.
13．答案见解析
【分析】先求得函数的导函数，再按a分类讨论，分别求得函数在区间 上的单调性，进而求得函数在区间 上的最小值.
【详解】，
令，得，.
①当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
②当时，，在区间 上单调递增，
所以.
③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
综上所述，当时，；
当时，；
当时，.
14．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果；
（2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值.
【详解】（1）由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值.
15．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）利用导数分类讨论求出在上的最小值.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数，求导得，，
令，解得，
①当，即时，，，函数在上单调递减，
因此函数的最小值为；
②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数的最小值为；
③当，即时，，，函数在上单调递增，
因此函数的最小值为，
所以当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）求出，代值计算可得出的值；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在区间上的最大值.
【详解】（1）解：由得，所以.
（2）解：由得，
当时，对任意的恒成立，
故在区间上单调递增，所以；
当时，令，可得.
（1）当时，即当时，对任意的恒成立，
此时，函数在上为减函数，则；
（2）当时，即当时，对任意的恒成立，
此时，函数在上为增函数，则；
（3）当时，即当时，列表如下：
增 极大值 减
此时，函数在上单调递增，在上单调递减，
则.
综上可得：.
17．C
【分析】结合题意可将问题转化为方程有两个不同正实数根、，解出方程组即可得.
【详解】，
由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点，
即当时，有两个不同正实数根，
令方程有两个不同正实数根为、，
则有，，则，解得，
即实数a的取值范围是.
故选：C.
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，由得出，再检验即可；
（2）讨论的大小关系，根据导数得出单调性.
【详解】（1） ，
因为是函数的极值点，所以，解得，
当时，，
若，则，若，则或.
即函数在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点.
故．
（2），，
当时，令，解得或，
当，即时，
当时，，当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当时，
当时，，当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，所以在上单调递减.
综上，
当时，在上递减，在上递增，在上递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
19．D
【分析】利用导数分析的单调性，画出两段函数的图象，结合图象分析即可求解.
【详解】对于，，
令，可得.
当时，，所以为增函数，
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以在处有极大值为，
在处有极小值为，
所以在同一坐标系中作出的图像，如图所示：
若有两个极值点，则或.
故选：D
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意，对函数进行求导，将函数存在两个极值点转化成方程在有两个不同的解，列出不等式求解即可；
（2）结合（1）得到和之间的关系，对进行整理，根据，得到，通过构造新函数，将问题转化成新函数的最值问题，进而即可求解．
【详解】（1）∵，
又函数存在两个极值点，，
∴在上有两个不同的解，
∴即方程在有两个不同的解，
∴解得．
∴实数的取值范围为．
（2）由（1）知，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
又，，∴，
令，，
∴，
∵，∴，
由，得；由，得
∴在上单调递减，在单调递增，
则
令，则，解得，
∴
又因为,所以.
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立
21．C
【分析】根据极值定义进行求解即可.
【详解】由，
因为在处取得极小值1，
所以有，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以是函数的极小值点，故满足题意，
于是有.
故选：C
22．##
【分析】求导，得到函数单调性，得到为在上的极小值和最小值，列出方程，求出答案.
【详解】，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以为在上的极小值，也是最小值，
故，解得.
故答案为：
23．
【分析】利用导数研究函数的极值，待定系数计算并验证即可.
【详解】由题意可知，
因为函数在时取得极大值4，所以，
解之得，
检验，此时，令或，
令，
即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，
故.
故答案为：
24．AB
【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合函数的最值可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出合适的选项.
【详解】因为，，则，
当时，则为常值函数，不合乎题意；
当时，由可得，由可得，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
此时，，则，
又因为，，
因为，则，解得；
当时，由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，，解得，
又因为，，
因为，则，解得.
综上所述，或，AB都对，CD都错.
故选：AB.
25．(1)，定义域为
(2)
【分析】（1）由勾股定理可得出，即可得出关于的函数，结合实际情况写出该函数的定义域；
（2）利用导数分析函数的单调性，即可得出该函数取最大值时对应的的值.
【详解】（1）由勾股定理可得，则，
所以，，其中，即该函数的定义域为.
（2）对函数求导得，由可得，列表如下：
增 极大值 减
所以，当时，取得极大值，亦即最大值，且
26．##1.5
【分析】列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的x的值.
【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，
则，
可得，
当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减；
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
故答案为：
27．B
【分析】求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案.
【详解】如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m，
因此新墙总长度，则，
令，得或(舍去)，
当时，，当时，，
则L在上单调递减，在上单调递增，
∴是L的最小值点，此时，
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.
故选：B
28．(1)，
(2)栈道长度是时建设费用最小，最小值为千元
【分析】（1）根据三角函数的概念分别求、、的长度即可；
（2）求出的导函数，得到函数的单调性，进而即可求出最值.
【详解】（1）因为在半圆形的中轴线上，，米，，
所以，，
所以，
所以栈道总长度
，.
（2）由（1）得，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当，即时，栈道的建设费用最小，
建设费用最小值为千元.
29．B
【分析】求导可得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求.
【详解】，令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有两个零点，
故选：B.
30．C
【分析】将原问题转化为有两个不等正根，再利用导数研究函数的增减性以及图象特征，结合图象即可得答案.
【详解】由题可知有两个不等正根,所以有两个不等正根；
设，则；
由可得，单调递增；
由可得，单调递减且恒大于0，
且，作出函数和的大致图象如图所示，

由图象可知当时，有两个正根.
故选：C.
31．D
【分析】已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点,根据导数的几何意义，数形结合可得参数范围.
【详解】
由已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点，
设直线的图象与相切于点，
因为，
所以，解得：，
又函数在单调递减，且，
函数在增，且，
所以函数与在所有且只有一个交点，
要使的图象与的图象有三个交点，
则需，
即实数的取值范围是，
故选：D．
32．CD
【分析】A选项，由，A错误；BD选项，求导，得到函数单调性和极值情况，得到B错误，D正确；C选项，在求出函数单调性的基础上，结合特殊点的函数值，画出函数图象，得到函数零点个数.
【详解】A选项，定义域为R，且，故不是奇函数，A错误；
BD选项，，
令，解得或，单调递增，
令，解得，单调递减，
故在处取得极小值，B错误，D正确；
C选项，因为，，，
又当或时，，当时，，
画出的图象，如下，

所以有两个零点，C正确.
故选：CD
33．C
【分析】对函数求导得，易知为奇函数，排除B、D选项；再对求导，易得在是递减，即可求解.
【详解】，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项B、D，
令，，
当，，也就是在递减，排除A，故C正确.
故选：C．
34．A
【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.
【详解】设切点为，∵，∴，
∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，
代入点的坐标，化简得，
∵过点可以作三条直线与曲线相切，
∴方程有三个不等实根.
令，求导得到，
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
如图所示，
故，即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题.
35．
【分析】利用导数求出的单调性，即可得到的取值情况，依题意函数与恰有一个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为，
当时，则，
所以当时，当时，所以在上单调递增，
在上单调递增，
即在处取得极大值，又，
且当时，当时，当时，，
当时，则，
所以在上单调递减，且，当时，
因为函数恰有一个实根，即恰有一个实根，
即函数与恰有一个交点，
所以或，即实数的取值范围是.
故答案为：
36．(1)在上单调递减，在上单调递增，
(2)图象见解析，在单调递减，在单调递增
【分析】（1）求导，然后根据导函数的正负确定单调性和最值；
（2）根据单调性画出图象，然后对求导发现，观察的图象可以得答案.
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，解得；令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以；
（2）由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，并且，
作出草图如图所示，函数的定义域为，
由图象知当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
37．(1)；
(2)，证明见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；
（2）利用导数研究函数单调性及最值，分类讨论即可判定的取值范围，构造差函数证明即可.
【详解】（1）当时，，易知，
所以曲线在点处的切线方程为：；
（2）由已知可得，
①若，则，，
即在上单调递增，上单调递减，，
又时，，所以函数存在两个零点；
②若时，，显然不符合题意；
③若时，令，
当时，令或，令，
即在上单调递减，和上单调递增，
函数极小值为，函数极大值为，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
当时，，则单调递增，至多一个零点，不符合题意；
当时，令或，令，
即在上单调递减，和上单调递增，
函数极大值为，函数极小值为，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；
综上所述，时函数有两个零点，则一正一负，
不妨令，设，
令，即在R上单调递增，
所以，，
故时，有，时，有，
即，所以，
则，
又因为在上单调递减，故，证毕.
【点睛】第二问关键是分类讨论，通过判断单调性及极值、最值研究函数的零点个数，证明可利用构造差函数，通过证明来判定极值点偏移问题.
38．(1)增区间为，减区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，然后根据导函数的正负来判断得单调性；
（2）将变形为得到，然后构造函数，根据得单调性和得到，最后根据和得单调性即可证明.
【详解】（1），
令，解得，令，解得，
所以的增区间为，减区间为.
（2）证明：将两边同时除以得，即，
所以，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，，
设，则，
令，
则，
由得，所以，，
所以，在上单调递增，
又，所以，
当时，，即，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，
所以，即.
【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
39．(1)结论见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答.
（2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，
若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，两边取对数得，即，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，而，时，恒成立，
因此当时，存在且，满足，
若，则成立；
若，则，记，，
则，
即有函数在上单调递增，，即，
于是，
而，，，函数在上单调递增，因此，即，
又，则有，则，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
40．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值；
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导数，利用函数的单调性、极值与导数的关系可得出结果；
（2）设，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知，要证，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，证明出对任意的恒成立，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：函数的定义域为，且，
令可得，列表如下：
减 极小值 增
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
（2）解：设，其中，则，
令，可得，此时，函数在上单调递减，
令，可得，此时，函数在上单调递增，
所以，是函数的极小值点，
因为函数有两个零点、，设，则，
即且，要证，即证，
因为函数在上单调递增，
所以，只需证明：，即证，
令，其中，
则，
因为，则，
所以，，故函数在上为减函数，
又因为，所以，对任意的恒成立，
则，即，故成立.
【点睛】方法点睛：证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明（或）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（2）证明（或）（、都为正数）：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
41．C
【分析】由图象结合极值点以及极大值点的定义可得结果.
【详解】函数的极值点由两侧异号的零点个数决定，
由图象可知，的零点有4个，其中三个异号零点，所以极值点有3个；
两侧异号的零点中有2个先正后负的零点、1个先负后正的零点，所以极大值点有2个、极小值点有1个.
故选：C
42．D
【分析】根据导数与函数单调性和极值点的关系，即可判断选项.
【详解】A. 的解集为函数的单调递减区间，为，故A错误；
B.函数只有1个变号零点，所以函数有1个极值点，故B错误；
C.当时，，所以函数的单调递减区间为，故C错误；
D.当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，故D正确.
故选：D
43．ABD
【分析】根据导函数图象与函数单调性以及极值的关系一一分析即可.
【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，A，B均正确.
当时，，当时，，当时，，
所以的极大值点为，的极小值点为，C错误，D正确.
故选：ABD.
44．极大值点有，极小值点有.
【分析】由极值点定义，根据的图象判断区间符号，即可确定极值点.
【详解】由图知：上，上，
所以，极大值有，极小值有，
故极大值点有，极小值点有.
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