资源简介

2024年第四届英才杯(MEIP)试题
数 学
注意事项：
1.全套试卷满分 150分；考试时间 2个小时.(请考生一定掌握好时间!)
2.在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方.
考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回.
3.选择题部分必须使用 2B铅笔填涂；非选择题部分也必须使用 0.5毫米黑色签
字笔书写；字体工整，笔记清楚.
4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答
案无效，在草稿纸上、试卷上答题均无效.
5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等.
6.本次出题人：(排名不分先后)
①搁浅(1589541195)
②Ranson(3262476231)
③17(811969396)
④逍遥不羡仙(2873341645)
⑤核燃料(749342508)
⑥风阻归途(2139845347) 特此表示感谢
(本试题中，若没有特殊强调，则默认为实数范围)
符号提示：
max a，b 和min a，b ： a，b中最大和最小的数； x ：不超过 x的最大整数
本届赛标
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第Ⅰ卷(选择题,共 35 分)
一.单项选择题(本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分)
1.当max 2x 2， x
2
1， x2 3 取得最小值时， x的值为( ).
3
A. 3 57 B. 57 7 C. 3 3 5 D. 1
4 4 3
2.已知 y x4 8x2 15 m与 x轴有四个不同的非零交点，且每相邻两个交点之间
的距离都相等，则m的值为( ).
A. 231 B. 231 C. 231 D. 231
25 25 25 5
3.已知方程 f (x) (x2 3)(ax2 3x 7) 0恰好有三个不同的实数根，则满足题意
的 a的最大值为( ).
A. 9 B. 7 3 3 C. 7 6 3 D. 3 3 7
28 3 3 3
4.已知 a sin x bcos x a2 b2 sin(x φ) ( tanφ b 其中 ).在平面直角坐标系 xOy
a
2
中，有一个动点 P(m，n)，且 n2 m 1 .给定 l : x y 8 0，作 PQ l，垂足
5
为点Q，则 PQ 的最大值为( ).
A. 4 2 3 B. 4 3 2 C. 4 6 3 D. 4 3 6
2 2
5.给定椭圆T : x y2 2 1 0 (其中 a＞b＞0 )和直线 l : y kx交于点 P、Q (其中 Pa b
点的横纵坐标分别满足 xP＜0， yP＞0 )，点M、N分别为椭圆T的右焦点和右顶
点，若直线 PM 平分线段 NQ，且 MN 的长度为 4，则 a2 b2 的值为( ).
A. 14 B. 68 C. 40 D. 49
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二.多项选择题(本大题共 3个小题，每小题 5分，共 15分)(注：不选
或有选错得 0分，选对但不全得 3分，全部选对得 5分)
6.在四边形 ABCD中， AB AD， BAD 90 ， AC平分 BAD，E为 BC上一
点，且 BAE 15 ，AF DE于点F ，G为 AC上一点，且CG 2BG，连接EG，
则下面说法不正确的有( ).
A.DE CE
B. AC不垂直于DE
C. AF 平分 DAC
D. S△ADE 2S△AGE
2
7. x 1已知函数 f (x) 和 g(x) x2 bx c，则下列说法正确的有( ).
x 1
A.若 g(x) 0有两个相同的实数根，则函数 y cx (b2 4c 1)经过一二四象限
B. f (x)的图象和一个以 (1，0)为圆心，1为半径的圆没有交点
C. f (x)可以在 12 x 0时取到最小值 2 2 2
D.若 g(x)有两个不同零点，设这两个零点分别为 x1、x2 ( x1在 x2的左边).在 x＞1
时，若 f (x)的最小值等于 x2，则b c是不可能成立的
8.若在 ( 1，1)上恒不为 0的 f (x) x y ( 11)

， ， ，，且 f (x) x y f (y) f ，则
1 xy
下列说法中，正确的有( ).
A.若3xy x y 1，则 f (x) x 1可以是
x 1
B.若 x ( 1，0)时 f (x)＞0，则 f (x)在其定义域内单调递增
C. π 3π设定义在 2kπ， 2kπ (k是整数)的 g(x) tan x，则 x，y使得 g(x y)
4 4
f (x) f (y)
k
D. f 1 f 1 1 f 4
n 1 n2 3n 1 n 2 2 17
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第Ⅱ卷(非选择题,共 115 分)
三.填空题(本大题共 5个小题，每小题 6分，共 30分)
9.当实数 a、b满足 a b 1，记 max a，b k ，且 k 2 ab ，则称 a、b是 k的
λ运算.已知 x，y是m的 λ运算，若 2xy x y＞0，则m的最小值是__________.
10. 3如图，在△ABC中， tan BAC ，AC 10， C 75 ，点 P是边 AB上一
4
个动点，作 PD AC， PE BC，连接DE，则DE的最小值为__________.
第十题图
11.在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线C : f (x) x2 2x 3和它的两个零点
A、B (点 A在点 B的左侧)，点M 是第一象限中C的图象上一动点，设直线 AM
和直线 BM QC分别交 y轴于点P、Q，若C(0，3)，则 的值为__________.
PC
12.在矩形 ABCD中，AB 8，BC 6，E在 AB上，F 在 AC上，AE CF，则
当DF CE取得最小值时， 1615 cos ECB的值为__________.
第十二题图
13.已知 f (x) ax2 bx c，我们设M max f (x) ( 1 x 1 ).则当 a 1，b 0，
c 1 时，M __________； a 0，b，c R，min M __________.
2
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四.基础知识型综合题(本大题共 3个小题，每小题 10分，共 30分)
14.(本题共有两个小问，每小问 5分，共 10分)
2
(1). 1 计算： tan 22.5 2sin 45 (2 3)(2 tan 60 ) (cos11 sin 22 )0
2
m(mn n2 ) 8
(2).若m、n m都是实数，且 ，求 的值.
3 m n
3 40 n
15.(本题有两个小问，第一小问 3分，第二小问 7分，共 10分)
如图，已知二次函数C : y ax2 bx c经过点 A( 2，0)，B(8，0)，C(0，4)，点P是
第一象限内抛物线上一点，设点 P关于直线 BC的对称点为点Q .作 PD x轴于
点D，连接CD，点M 是位于抛物线对称轴右边的线段 BC上一点，连接MP .
若有OQ∥BC， CDP CBA MPD .
(1).求C的解析式.
(2).求M 点的坐标.
第十二题图
16.(本题有两个小问，第一小问 5分，第二小问 5分，共 10分)
a b
a2 b2 16
已知 、 满足 .
3 a b
3 64
(1).求 a4 b4 .
(2).若 a、b分别是方程 x2 px q 0的两根，求 p q .
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五.创新拔高型综合题(本大题共 3个小题，17题 15分，18、19题均
为 20分一题，共 55分)
17.(本题有三个小问，第一小问 4分，第二小问 5分，第三小问 6分，共 15分)
1
如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线C : y x2 .
4
(1).若点P在G : (x 2)2 (y 2)2 1上，记G的几何中心为点 A，则当 OP AP 取
得最大值时，求点 P的坐标.
(2).已知动点P、Q在C上，分别过P、Q作抛物线的切线 l1、l2，设 l1和 l2 相交于
点T，若点T恒在直线 l : y 2x 1上，求证：直线 PQ经过定点.
(3).将C绕原点顺时针旋转90 得到C1，给定点K (1，0)，C1上有四点P、Q、M、N，
满足 PM QN，PKM、QKN均三点共线，且 P、Q都在 x轴上方，设线段 PM 和
QN的中点分别为T、S，试判断：直线TS是否会经过一个定点？若会，请求出
这个定点的坐标，若不会，请说明理由.
第十三题图
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18.(本题有三个小问，第一小问 6分，第二小问 6分，第三小问 8分，共 20分)
高斯在数学上的地位举足轻重，而高斯函数在数学中广泛运用.记 x x x .
(1).若 h是整数， k是正整数.
(i). h 1证明：对于任意实数 x，总是存在 x ＜ .
k k 2
(ii). 1证明：对于正整数 n，存在整数0 a＜b n，满足： ax bx ＜ .
n
n 1
(2). k 若 n、k都是正整数，证明： x nx .
k 0 n

(3).定义 x 为距离 x最近的整数的距离，证明： f (kx) min b 1 a ， .(其
a＜k b 2 x
中 a、b是整数， k是正整数)
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19.(本题有三个小问，第一小问 5分，第二小问 6分，第三小问 9分，共 20分)
若函数 f 的定义域为全体正整数集合N ，则称 f : N R或 f (n)，n N 为数
列，简记为 an ，数列中的每一项即为 ai (1 i n ).
我们举个例子，古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之
锤，日取其半，万世不竭.其含义为：一根长一尺的木棒，每天截下一半，这样
1 1 1
的过程可以无限进行下去.第一天截下 ，第二天截下 2 ，第 n天截下 n ...不2 2 2
1 1
难看出，数列 n 的通项 n 随着 n的无限增大而无限接近于 0，那么我们就说 2 2
1
数列 n 的极限为 0.我们定义：设 an 为数列， a为定数，若对给定的任意正 2
数 ε，总存在正整数N ，使得 n＞N时有 an a＜ε，则称数列 an 收敛于 a，定
数 a称为数列 an 的极限，记为 lim a a .n n
(1).已知数列F Fn Fn 1 Fn 2 (n 3 )，F1 F2 1，证明：当 n不断增大时， n 的Fn 1
5 1
值会不断趋向于黄金分割比 .
2
(2).设数列 an 0
1
满足 ＜an＜1，且 4an 1(1 an )＞1，证明： lim a .n n 2
(3).材料：设 an是个实数列，对任意给定的 ε＞0，若存在N N
，使得凡m，n N ，
且m，n＞N 都有 am an＜ε，则称 an为“柯西列”.
n 1
问题解决：定义 an α ，证明：α 1时， an 不是“柯西列”，α＞1时， an
k 1 k
是“柯西列”.
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