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热点09 尺规作图
中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：
一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）
二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）
三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）
尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。
考向一：尺规作图的痕迹
【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】
满分技巧 1、线段垂直平分线的画图痕迹： 2、线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
1．（2023 凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
2．（2023 西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（　　）
A．直线PQ是AC的垂直平分线
B．CD＝AB
C．DE＝BC
D．S△ADE：S四边形DBCE＝1：4
3．（2023 随州）如图，在 ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（　　）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC
4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．（2023 西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为 　 　．
6．（2023 广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为 　 　．
【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】
满分技巧 1、角平分线的画法： 2、角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等
1．（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
2．（2023 辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
3．阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM
4．（2023 湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（　　）
A． B． C． D．4
5．（2023 丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．（2023 内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：5 D．3：8
7．如图，在 ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 　　．
8．（2023 鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为 　 　．
9．（2023 甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为 　 　°．
10．（2023 阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段DH的长是 　　．
考向二：尺规作图画图
【题型3 作一条线段的垂直平分线】
满分技巧 线段垂直平分线的画图步骤： 分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点； 过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。
1．（2023 陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）
2．（2023 连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．
【题型4 作一个角的角平分线】
满分技巧 一个角的角平分线的画图步骤： 1、以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于一点； 2、分别以两个交点为圆心，相同适当长（大于两交点长的一半）为半径画圆弧，相交于一点； 3、连结角的顶点与两弧交点并延长，则该射线即为所求作的角平分线。
1．（2023 淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．
2．（2023 无锡）如图，△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5．
（1）尺规作图：作菱形ADEF，使D、E、F分别在AB、BC、AC上；
（2）题（1）中所作的菱形ADEF的周长为 　　．
3．（2023 无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　 　．
4．（2023 常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．
①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接PQ，则PQ与BE的关系是 　 　．
【题型5 作一个三角形一边上的高线】
满分技巧 一个三角形一边上的高线的画图步骤： 1、以边所对的顶点为圆心，顶点挨着的较短边为半径画弧，交边与两点（其中一点为边的端点）； 2、作两交点间线段的垂直平分线，以虚线形式画，必过边所对的顶点； 3、将垂直平分线中顶点到边的部分画成实线，表上字母，则该线段即为所求作的三角形的高线。
1．（2023 广东）如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
2．（2023 青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上．
3．（2022 重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴　 　①
∵AD∥BC，
∴　 　②
又 　 　③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 　 　④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．
考向三：网格问题中的作图设计
【题型5 利用网格找符合题意的点】
满分技巧 1、找中点：则找矩形对角线交点； 2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比；
1．（2023 长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．
（1）在图①中，△ABC的面积为；
（2）在图②中，△ABC的面积为5；
（3）在图③中，△ABC是面积为的钝角三角形．
2．（2023 江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
【题型6 利用网格画符合题意的线】
满分技巧 1、画平行线：利用平行四边形的对边平行且相等画图； 2、画垂线：利用正方形的十字架模型画图；
1．（2023 深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）求AE的长度．
2．（2023 吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
3．（2023 广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
（建议用时：30分钟）
1．（2023 乐至县）下列说法不正确的是（　　）
A．方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根
B．若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等
C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线
D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等
2．（2023 贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023 黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
4．（2023 河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
5．（2023 兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
6．（2023 通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°． 求作：Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2， （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O． ⊙O即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（　　）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
7．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　　．
8．（2023 荆州）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 　 　．
9．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则＝　　．
10．（2023 营口）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝　 　．
11．（2023 威海）如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE＝　 　°．
12．（2023 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 　　；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）
　 　．
13．（2023 眉山）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为 　　．
14．（2023 河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
15．（2023 襄阳）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．
16．（2023 盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
17．（2023 金昌）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取＝＝；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．
18．（2023 陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（2023 朝阳）如图1，在 ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于 ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．
小明的作法 ①如图2，连接AC，BD相交于点O． ②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H． ③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G． ④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．
（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？
（2）四边形EFGH的面积等于 ABCD的面积的一半吗？请说明理由．
20．（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
21．（2023 巴中）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AC＝4，求△AFD的面积．
（建议用时：30分钟）
1．（2023 扶余市四模）如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023 镇平县模拟）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．（2023 衡阳模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（　　）
A．68° B．56° C．45° D．54°
4．（2024 潮州模拟）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2024 广平县模拟）在给定的平行四边形ABCD中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：如图（1），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM是菱形．
乙：如图（2），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线GH交BC于点K，连接EK，则四边形ABKE是菱形．
下列判断正确的是（　　）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对
C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
6．（2024 台安县一模）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（　　）
A．（，﹣5） B．（﹣5，） C．（1，﹣4﹣） D．（﹣4﹣，1）
7．（2023 临淄区一模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DEA的度数是（　　）
A．35° B．60° C．70° D．85°
8．（2023 三亚模拟）如图，已知AB∥CD，∠BFC＝126°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为（　　）
A．22° B．26° C．27° D．36°
9．（2024 平舆县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，且A（0，2），C（4，0）．点E为OC上一点，连接AE，射线AF⊥AE．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AE，AF于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点G．若OE＝1，则点G的坐标为（　　）
A．（4，） B．（4，1） C．（4，） D．（4，）
10．（2024 河东区模拟）如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以AB为直径作圆，点M为的中点．
（Ⅰ）线段AB的长度等于 　　．
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得∠MAP＝3∠BMP，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．
11．（2024 广东一模）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，DE是△ABC的中位线，其中点D在AB边上，点E在AC边上．
（1）用圆规和直尺在△ABC中作出中位线DE．（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝6，求DE的长．
12．（2024 碑林区校级二模）如图，已知△ABC，在平面内求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点且以AC为对角线的四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
13．（2024 偃师区模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．
（2）在图②中，在线段AB上画出点N，使AN＝2BN．
（3）在图③中，在线段AB上画出点Q，使PQ⊥AB．
（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．）
14．（2024 郑州模拟）已知⊙O及圆外一点A，连接线段OA，请用无刻度直尺和圆规完成操作并解答．
（1）过点A作出⊙O的两条切线AP，AQ，切点分别为点P、点Q；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点E为优弧上不与端点重合的一点，且∠PEQ＝64°．求∠PAQ的度数．
15．（2024 浙江模拟）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（1，3），B（3，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个等腰三角形ABC，使得点C的横、纵坐标之和为偶数；
（2）在图2中画一个Rt△ABP，使得点P在坐标轴上．
16．（2024 宿迁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，求EF的长度．
17．（2024 南昌一模）如图是7×6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）图1中，在AB边上找一点D，作线段CD，使得S△ACD＝；
（2）图2中，在AB边上找一点E，作线段CE，使得S△ACE＝．
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热点09 尺规作图
中考数学中《尺规作图》部分主要考向分为三类：
一、尺规作图的痕迹（每年1道，3~8分）
二、尺规作图画图（每年1道，3~12分）
三、网格问题中的作图设计（每年1题，6~8分）
尺规作图指的是只用无刻度的直尺和圆规，作已知线段的中垂线、已知角的角平分线；部分题型则考察由作图痕迹逆向推导是什么线，然后利用中垂线或者角平分线的性质继续解题。最近几年又出现一类不用“尺规”，只用无刻度的直尺在网格图中按要求画图或找点。当考察作图痕迹时，基本以选择题为主，实际画图题或者网格类问题则是简单题，虽然难度中等，但是对应考点的综合性已经越来越强，需要在做题时更加全面的分析。
考向一：尺规作图的痕迹
【题型1 线段中垂线的尺规作图痕迹】
满分技巧 1、线段垂直平分线的画图痕迹： 2、线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
1．（2023 凉山州）如图，在等腰△ABC中，∠A＝40°，分别以点A、点B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接BD，则∠DBC的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】利用基本作图得MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠A＝40°，则计算出∠ABC＝∠C＝70°，然后计算∠ABC﹣∠ABD即可．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
2．（2023 西宁）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（　　）
A．直线PQ是AC的垂直平分线
B．CD＝AB
C．DE＝BC
D．S△ADE：S四边形DBCE＝1：4
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
【解答】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∴∠A＝∠DCA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠B＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∴AD＝DB，
∴CD＝AB，故选项B正确，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，故选项C正确，
据三角形中位线的性质得到DE∥BC，
进而证明△ADE∽△ABC，
根据相似三角形的性质得到面积比S△ADE：S△ABC＝1：4；
故选：D．
3．（2023 随州）如图，在 ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（　　）
A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC
【分析】根据作图可知：EF垂直平分BD，根据线段垂直平分线的性质得到BO＝DO，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；无法证明DE＝CD，故D错误．
【解答】解：根据作图可知：EF垂直平分BD，
∴BO＝DO，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF＝DE，OE＝OF，故B，C正确；
无法证明DE＝CD，故D错误；
故选：D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝40°，分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交边AC于点D，连接BD，则∠ADB的度数为（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据线段的垂线平分线的性质及三角形的外角定理求解．
【解答】解：由作图得：MN垂直平分BC，
∴CD＝BD，
∴∠CBD＝∠C＝40°，
∴∠ADB＝∠C+∠CBD＝80°，
故选：C．
5．（2023 西藏）如图，在△ABC中，∠A＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E．若线段AE＝5，AC＝12，则BE长为 　13　．
【分析】连接CE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接CE，
由作图知，直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴CE＝BE，
∵∠A＝90°，AE＝5，AC＝12，
∴BE＝CE＝＝＝13，
故答案为：13．
6．（2023 广元）如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若∠CDA＝34°，则∠CAB的度数为 　56°　．
【分析】由作图可知CD垂直平分线段AB，推出CA＝CB，再利用等腰三角形的三线合一的性质以及平行线的性质求解．
【解答】解：由作图可知CD垂直平分线段AB，
∴CA＝CB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵a∥b，
∴∠ADC＝∠BCD＝34°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝68°，
∴∠CAB＝∠CBA＝（180°﹣68°）＝56°．
故答案为：56°．
【题型2 角平分线的尺规作图痕迹】
满分技巧 1、角平分线的画法： 2、角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等
1．（2023 衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　）
A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC
【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．
【解答】解：根据题中所给的作图步骤可知，
AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．
当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（SAS），
所以BG＝CG，
故A选项不符合题意．
当AG⊥BC时，
∠AGB＝∠AGC＝90°，
又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，
所以△ABG≌△ACG（ASA），
所以BG＝CG，
故B选项不符合题意．
当∠DGB＝∠EGC时，
因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，
所以△ADG≌△AEG（SAS），
所以∠AGD＝∠AGE，
又∠DGB＝∠EGC，
所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，
即∠AGB＝∠AGC．
又∠AGB+∠AGC＝90°，
所以∠AGB＝∠AGC＝90°，
则方法同（2）可得出BG＝CG，
故C选项不符合题意．
故选：D．
2．（2023 辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由角平分线的性质定理推出CD＝MD，由勾股定理求出AC的长，由△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，得到AC BC＝AC CD+AB MD，因此4×3＝4CD+5CD，即可求出CD的长，得到DB的长．
【解答】解：作DM⊥AB于M，
由题意知AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，
∴CD＝DM，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，
∴AC BC＝AC CD+AB MD，
∴4×3＝4CD+5CD，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝．
故选：D．
3．阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；
②分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；
③作射线OM，连接CM，DM，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM
C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM
【分析】由△OCM≌△ODM（SSS）推出∠1＝∠2；OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3；OD和DM不一定相等；CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3．
【解答】解：A、以C，D为圆心画弧的半径相等，因此CM＝DM，又OC＝OD，OM＝OM，因此△OCM≌△ODM（SSS）得到∠1＝∠2，故A符合题意；
B、因为OC、CM的长在变化，所以OC和CM不一定相等，因此∠1不一定等于∠3，故B不符合题意；
C、因为OD、DM的长在变化，所以OD和DM不一定相等，故C不符合题意；
D、CM的位置在变化，所以CM和OB不一定平行，因此∠2不一定等于∠3，故D不符合题意．
故选：A．
4．（2023 湖北）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（　　）
A． B． C． D．4
【分析】如图，设BP交CD与点J，过点J作JK⊥BD于点K．首先利用相似三角形的性质证明CN BM＝12，再想办法求出BM，可得结论．
【解答】解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，
∵CN⊥BT，
∴∠CTB＝∠CDN＝90°，
∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，
∴∠CBT＝∠DCN，
∴△BTC∽△CDN，
∴＝，
∴BM CN＝CD CB＝3×4＝12，
∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，
∴＝＝5，
由作图可知BP平分∠CBD，
∵JK⊥BD，JC⊥BC，
∴JK＝JC，
∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，
∴×3×4＝×5×JK+×4×JC，
∴JC＝KJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∵cos∠CBJ＝＝，
∴＝，
∴BT＝，
∵CN BT＝12，
∴CN＝．
故选：A．
5．（2023 丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P，作射线BP，交AD于点G，交CD的延长线于点H．若AB＝AG＝4，GD＝5，则CH的长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，推出BC＝AD＝9，再证明CH＝CB，可得结论．
【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠CBH，
∵AB＝AG＝4，
∴∠ABG＝∠AGB，
∴∠AGB＝∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝AG+DG＝4+5＝9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG＝∠CHB，
∴∠CBH＝∠CHB，
∴CH＝CB＝9．
故选：C．
6．（2023 内蒙古）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BD于点M，交BC于点E，连接DE，则S△BDE：S△CDE是（　　）
A．1：2 B．1： C．2：5 D．3：8
【分析】先根据三角函数求出AB：AC的值，再根据三角形的面积公式求出BE：CE的值，再根据三角形的面积公式求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴AB：AC＝sinC＝1：2，
由题意得：AP平分∠BAC，
∴AB：AC＝BE：CE＝1：2，
∴S△BDE：S△CDE＝1：2，
故选：A．
7．如图，在 ABCD中，∠D＝60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则的值为 　　．
【分析】证明△ABE是等边三角形，推出BO⊥AE，AO＝OE，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，
∵BA＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵BF平分∠ABE，
∴AO＝OE，BO⊥AE，
∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，
∴tan∠OAF＝＝，
∴＝，
故答案为：．
8．（2023 鞍山）如图，△ABC中，在CA，CB上分别截取CD，CE，使CD＝CE，分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点F，作射线CF，交AB于点M，过点M作MN⊥BC，垂足为点N．若BN＝CN，AM＝4，BM＝5，则AC的长为 　6　．
【分析】由线段垂直平分线的性质定理得到MB＝MC，因此∠B＝∠BCM，由角平分线定义推出∠ACM＝∠B，又∠CAM＝∠CAB，推△ACM∽△ABC，得到AC：AB＝AM：AC，代入有关数据，即可求出AC的长．
【解答】解：由题中作图可知：CM平分∠ACB，
∴∠ACM＝∠BCM，
∵MN⊥BC，BN＝CN，
∴MB＝MC，
∴∠B＝∠BCM，
∴∠ACM＝∠B，
∵∠CAM＝∠CAB，
∴△ACM∽△ABC，
∴AC：AB＝AM：AC，
∵AM＝4，BM＝5，
∴AB＝AM+BM＝9，
∴AC：9＝4：AC，
∴AC＝6．
故答案为：6．
9．（2023 甘孜州）如图，在平行四边形ABCD（AB＜AD）中，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在∠BAD内交于点P；③作射线AP交BC于点E．若∠B＝120°，则∠EAD为 　30　°．
【分析】先利用基本作图得到∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAD＝180°﹣∠B＝60°，从而得到∠EAD＝30°．
【解答】解：由作法得AE平分∠BAD，
∴∠EAB＝∠EAD＝∠BAD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EAD＝∠BAD＝30°．
故答案为：30．
10．（2023 阜新）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使AE＝AF，分别以点E和点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交CD于点H，则线段DH的长是 　　．
【分析】过H作HQ⊥AC于Q，再根据勾股定理列方程求解．
【解答】解：设DH＝x，
过H作HQ⊥AC于Q，
在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，
∴AC＝10，
由作图得：AG平分∠CAD，
∴∠CAG＝∠DAG，
∵∠D＝∠AQH＝90°，AH＝AH，
∴△ADH≌△AQH（AAS），
∴DH＝HQ＝x，AQ＝QD＝8，
∴CQ＝AC﹣QA＝2，
在Rt△CHQ中，有CQ2+QH2＝CH2，
即：22+x2＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
故答案为：．
考向二：尺规作图画图
【题型3 作一条线段的垂直平分线】
满分技巧 线段垂直平分线的画图步骤： 分别以线段两端点为圆心，相同适当长（大于线段的一半）为半径画圆弧，上下各得两个弧的一个交点； 过两个弧的交点作一条直线，则该直线即为所求作的线段中垂线。
1．（2023 陕西）如图．已知锐角△ABC，∠B＝48°，请用尺规作图法，在△ABC内部求作一点P．使PB＝PC．且∠PBC＝24°．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先作∠ABC的平分线BD，再作BC的垂直平分线l，直线l交BD于P点，则P点满足条件．
【解答】解：如图，点P即为所求．
2．（2023 连云港）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作⊙O的切线，交CE于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）在（1）的条件下，求证：BD＝BF．
【分析】（1）过B作AB的垂线即为过点B的⊙O的切线；
（2）由AB＝AC，AB∥CE，可得∠BCF＝∠ACB，而点D在以AB为直径的圆上，BF为⊙O的切线，可得∠BDC＝∠BFC，即可证明△BCD≌△BCF，从而BD＝BF．
【解答】（1）解：如图：
过B作BF⊥AB，交CE于F，直线BF即为所求直线；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CE，
∴∠ABC＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠ACB，
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∵BF为⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∵AB∥CE，
∴∠BFC+∠ABF＝180°，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BDC＝∠BFC，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF（AAS），
∴BD＝BF．
【题型4 作一个角的角平分线】
满分技巧 一个角的角平分线的画图步骤： 1、以角的顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交角的两边于一点； 2、分别以两个交点为圆心，相同适当长（大于两交点长的一半）为半径画圆弧，相交于一点； 3、连结角的顶点与两弧交点并延长，则该射线即为所求作的角平分线。
1．（2023 淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：作⊙O，使得圆心O在边AB上，⊙O过点B且与边AC相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若∠ABC＝60°，AB＝4，求⊙O与△ABC重叠部分的面积．
【分析】（1）如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D，再作DO⊥AC交AB于O点，则以O点为圆心，OB为半径的圆满足条件；
（2）⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE，如图，设⊙O的半径为r，则OB＝r，根据切线的性质得到OD⊥AC，再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA＝2r，接着求出r＝，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O与△ABC重叠部分的面积＝S扇形EOF+S△OBE进行计算．
【解答】解：（1）如图，先作∠ABC的平分线交AC于点D，再过D点作AC的垂线交AB于O点，然后以O点为圆心，OB为半径作⊙O，
则⊙O为所作；
（2）⊙O交BC于E点，交AB于F点，连接OE，如图，
设⊙O的半径为r，则OB＝r，
∵AC为⊙O的切线，
∴OD⊥AC，OD＝r，
∵∠C＝90°．∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴OA＝2r，
∵AB＝4，
∴2r+r＝4，
解得r＝，
∵OB＝OE，∠OBE＝60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴⊙O与△ABC重叠部分的面积＝S扇形EOF+S△OBE＝+×（）2＝π+．
2．（2023 无锡）如图，△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5．
（1）尺规作图：作菱形ADEF，使D、E、F分别在AB、BC、AC上；
（2）题（1）中所作的菱形ADEF的周长为 　　．
【分析】（1）先作∠BAC的平分线AE，再作∠BED＝∠C交AB于D点，作∠CEF＝∠B交AC于F点，则四边形ADEF满足条件；
（2）设菱形的边长为x，则AF＝EF＝x，CF＝6﹣x，再证明△CFE∽△CAB，根据相似三角形的性质得到＝，即＝，利用比例性质求出x，从而得到菱形的周长．
【解答】解：（1）如图，菱形ADEF为所作；
（2）设菱形的边长为x，则AF＝EF＝x，CF＝6﹣x，
∵四边形ADEF为菱形，
∴EF∥AD，
∴△CFE∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得x＝，
即菱形的边长为，
∴菱形的周长＝4×＝．
故答案为：．
3．（2023 无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　3﹣π　．
【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON⊥PA于N点，然后以O点为圆心，OM为半径作圆，则⊙O满足条件；
（2）先利用切线的性质得到OM⊥PB，ON⊥PN，根据切线长定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，则∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM＝，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON进行计算．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
4．（2023 常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心．
①用直尺和圆规作出点Q（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接PQ，则PQ与BE的关系是 　PQ∥BE，PQ＝BE　．
【分析】（1）利用SSS即可证明△ABC≌△DEF；
（2）①根据三角形的内心定义和角平分线的画法即可解决问题；
②根据三角形的内心定义证明四边形PQEB是平行四边形，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：①如图，点Q即为所求；
②PQ与BE的关系是：PQ∥BE，PQ＝BE，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，
∴BP平分∠ABC，EQ平分∠DEF，
∴∠PBE＝∠ABC，∠QEF＝∠DEF，
∴∠PBE＝∠QEF，
∴PB∥QE，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，
∴△ABG≌△DEH（ASA），
∴BG＝EH，
∵点P、Q分别是△ABC、△DEF的内心，
∴BP＝EQ，
∴四边形PQEB是平行四边形，
∴PQ∥BE，PQ＝BE．
故答案为：PQ∥BE，PQ＝BE．
【题型5 作一个三角形一边上的高线】
满分技巧 一个三角形一边上的高线的画图步骤： 1、以边所对的顶点为圆心，顶点挨着的较短边为半径画弧，交边与两点（其中一点为边的端点）； 2、作两交点间线段的垂直平分线，以虚线形式画，必过边所对的顶点； 3、将垂直平分线中顶点到边的部分画成实线，表上字母，则该线段即为所求作的三角形的高线。
1．（2023 广东）如图，在 ABCD中，∠DAB＝30°．
（1）实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）应用与计算：在（1）的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE的长．
【分析】（1）由基本作图即可解决问题；
（2）由锐角的余弦求出AE的长，即可得到BE的长．
【解答】解：（1）如图E即为所求作的点；
（2）∵cos∠DAB＝，
∴AE＝AD cos30°＝4×＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2．
2．（2023 青岛）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：△ABC．
求作：点P，使PA＝PC，且点P在△ABC边AB的高上．
【分析】作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点为P点．
【解答】解：如图，点P为所作．
3．（2022 重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴　∠A＝∠EFB，　①
∵AD∥BC，
∴　∠AEB＝∠FBE，　②
又 　BE＝EB，　③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 　△EDC≌△CFE（AAS），　④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．
【分析】以C为圆心DE长为半径画弧交BC于F，连接CF，根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．
【解答】解：根据题意作图如下：
由题知，在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴∠A＝∠EFB，①
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，②
又 BE＝EB，③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④
∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，
故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．
考向三：网格问题中的作图设计
【题型5 利用网格找符合题意的点】
满分技巧 1、找中点：则找矩形对角线交点； 2、找三等分点：则转化为水平或竖直边的平行相似的相似比；
1．（2023 长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的尺，分别在给定的网格中按下列要求作△ABC，点C在格点上．
（1）在图①中，△ABC的面积为；
（2）在图②中，△ABC的面积为5；
（3）在图③中，△ABC是面积为的钝角三角形．
【分析】（1）先根据三角形的面积求出AB边上的高，再作图；
（2）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图；
（3）根据网格线的特点及三角形的面积公式作图．
【解答】解：如图：
（1）如图①：△ABC即为所求；
（2）如图②：△ABC即为所求；
（3）如图③：△ABC即为所求．
2．（2023 江西）如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作锐角△ABC，使点C在格点上；
（2）在图2中的线段AB上作点Q，使PQ最短．
【分析】（1）根据锐角三角形的定义及网格线的特点作图；
（2）根据网格线的特点及垂线段最短作图．
【解答】解：如图：
（1）△ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）点Q即为所求．
【题型6 利用网格画符合题意的线】
满分技巧 1、画平行线：利用平行四边形的对边平行且相等画图； 2、画垂线：利用正方形的十字架模型画图；
1．（2023 深圳）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，OA＝3，AB＝2，以O为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线AC，且AC＝4（点C在A的上方）；
②连接OC，交⊙O于点D；
③连接BD，与AC交于点E．
（1）求证：DB为⊙O的切线；
（2）求AE的长度．
【分析】（1）根据“经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线”，进行证明；
（2）根据三角形相似的性质求解．
【解答】解：如图：
（1）∵AC是圆的切线，
∴∠OAC＝90°，
∴OC＝5，
由题意得：OD＝AO＝3，OB＝OC＝5，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴∠ODB＝∠OAC＝90°，
∵OD是圆的半径，
∴DB为⊙O的切线；
（2）∵∠CDE＝∠CAO＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAO，
∴，
即：，
解得：CE＝2.5，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣2.5＝1.5．
2．（2023 吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
【分析】根据网格线的特点及锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的意义作图．
【解答】解：如图：
图①△ABC即为所求锐角三角形；
图②△ABD即为所求直角三角形；
图③△ABCF为所求钝角三角形．
3．（2023 广安）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的意义作图．
【解答】解：如图：
（建议用时：30分钟）
1．（2023 乐至县）下列说法不正确的是（　　）
A．方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根
B．若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等
C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线
D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等
【分析】利用根的判别式，全等三角形的性质，基本作图，平行线的性质一一判断即可．
【解答】解：A、方程3x2+5x﹣4＝0，Δ＝52﹣4×3×（﹣4）＝73＞0，
∴方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故本选项正确，不符合题意；
B、若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等，正确，本选项不符合题意；
C、用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线，正确，本选项不符合题意；
D、在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，错误这两个角也可能是互补，本选项符合题意．
故选：D．
2．（2023 贵州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交DA，DC于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到CG＝CD，进而得到BG的长．
【解答】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线．
∴∠ADG＝∠CDG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG＝∠CGD，
∴∠CDG＝∠CGD，
∴CG＝CD＝3，
∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．
故选：A．
3．（2023 黄石）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接ON．若AB＝9，AC＝5，则ON的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【分析】利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
【解答】解：由作图可知EF垂直平分线段BC，AM垂直平分线段CD，
∴OB＝OC，DN＝CN，
∴ON＝BD，
∵AB＝9，AC＝AD＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣5＝4，
∴ON＝×4＝2．
故选：A．
4．（2023 河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．
（1）作BD的垂直平分线交BD于点O；
（2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO；
（3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
【分析】根据：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明．
【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选：C．
5．（2023 兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA＝OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO＝35°，则∠AOC＝（　　）
A．35° B．30° C．25° D．20°
【分析】根据平行线的性质及等腰三角形的性质求解．
【解答】解：由作图得：a∥b，
∴∠CON＝∠MNO＝35°，
∵OA＝OB，C平分AB，
∴OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠CON＝35°，
故选：A．
6．（2023 通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°． 求作：Rt△ABC的外接圆． 作法：如图2， （1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线PQ，交AB于点O； （3）以O为圆心，OA为半径作⊙O． ⊙O即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（　　）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【分析】根据线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质作图判定．
【解答】解：由作图得：PQ垂直平分AB，
∴O为AB的中点，
∴AO＝BO，
∵∠C＝90°．
∴CO＝AO＝BO，
∴⊙O是△ABC的外接圆，
故选：D．
7．如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　　．
【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1+＝，
∴△BDE的面积：△BAC的面积＝（）2＝，
∴＝，
∴＝．
故答案为：．
8．（2023 荆州）如图，∠AOB＝60°，点C在OB上，OC＝2，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为 　1　．
【分析】由作图知PE垂直平分OC，CO平分∠AOB，根据线段垂直平分线的性质得到OE＝OC＝，∠PEO＝90°，根据角平分线的定义得到∠POE＝∠AOC＝＝30°，根据三角函数的定义得到EP＝OE×tan30°＝，根据角平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知PE垂直平分OC，OP平分∠AOB，
∴OE＝OC＝，∠PEO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠POE＝∠AOP＝＝30°，
∴EP＝OE×tan30°＝，
∵PO平分∠AOB，
∴点P到OA的距离＝PE＝1．
故答案为：1．
9．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则＝　　．
【分析】先由作图得出BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，再根据三角形的面积公式求出△EFG和△DEG的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，
∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，
在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝CD＝4，
∴AF＝EF＝2，
∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，
S△DEG＝x，则S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴＝（）2＝（）2＝，
S△BCG＝12.5x，
∴＝＝，
故答案为：．
10．（2023 营口）如图，在△ABC中，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC＝5，CD＝6，则AE＝　4　．
【分析】由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，求出CE＝DE＝3，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：由作图可知，AD＝AC，AE是CD的垂直平分线，
∵CD＝6，
∴CE＝DE＝3，
∵CA＝5，
∴AE＝＝＝4，
故答案为：4．
11．（2023 威海）如图，在正方形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE＝　15　°．
【分析】根据条件可以得到△ABE是等边三角形，然后利用正方形的性质和等边三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：连接AE、BE，
∵AE＝BE＝AB，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠EAB＝60°，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵AE＝AD，∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，
故答案为：15．
12．（2023 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段AB的长为 　　；
（2）若点D在圆上，AB与CD相交于点P，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） 　取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与
GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．　．
【分析】（1）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）AB＝＝．
故答案为：；
（2）如图，点Q即为所求；
方法：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
理由：可以证明∠PCA＝∠QCB，∠CBQ＝∠CAP＝60°，
∵AC＝CB，
∴△ACP≌△BAQ（ASA），
∴∠ACP＝∠BCQ，CP＝CQ，
∴∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴△PCQ是等边三角形．
故答案为：取AC，AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
13．（2023 眉山）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，连结CE交AD于点F，过点D作DG∥CE，交AB于点G，若DG＝2，则CF的长为 　　．
【分析】先判断DG为△BCE的中位线，再根据三角形相似求解．
【解答】解：由作图得：MN垂直平分AB，
∴AE＝BE＝AB，
∵DG∥CE，
∴AD是中线，
∴GB＝EG＝BE＝AB，
∴GD为△BCE的中位线，
∴CE＝2GD＝4，
∵DG∥CE，
∴△AEF∽△AGD，
∴，即：，
解得：EF＝，
∴CF＝EC﹣EF＝4﹣＝，
故答案为：．
14．（2023 河南）如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE．求证：DE＝BE．
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明△BAE≌△DAE（SAS），即可得出结论．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵AB＝AD，AE＝AE，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴DE＝BE．
15．（2023 襄阳）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）作边AB的垂直平分线，分别与AB，AC交于点E，F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接FB，若∠D＝140°，求∠CBF的度数．
【分析】（1）按照尺规作图的要求作出边AB的垂直平分线即可；
（2）由菱形的性质得∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，则∠BAC＝∠BCA＝20°，由线段的垂直平分线的性质得AF＝BF，所以∠ABF＝∠BAC＝20°，则∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝120°．
【解答】（1）作法：1．分别以点A、点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，交于点M、点N，
2．作直线MN交AB于点E，交AC于点F，
直线MN、点E、点F就是所求的图形．
（2）解：连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠D＝140°，AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣140°）＝20°，
∵MN垂直平分AB，点F在MN上，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAC＝20°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝140°﹣20°＝120°，
∴∠CBF的度数是120°．
16．（2023 盐城）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）证明△ABC≌△AED（SAS），即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的性质和尺规作图方法即可解决问题．
【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图AF即为所求．
17．（2023 金昌）1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．（按如下步骤完成，保留作图痕迹）
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上逆时针方向顺次截取＝＝；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点．即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分．
【分析】根据题中的步骤作图．
【解答】解：如图：点G、D、H即为所求．
18．（2023 陕西）如图，已知四边形ABCD，AD∥BC．请用尺规作图法，在边AD上求作一点E，在边BC上求作一点F，使四边形BFDE为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作BD的垂直平分线与AD，BC的交点即可．
【解答】解：如图所示：E、F即为所求．
19．（2023 朝阳）如图1，在 ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于 ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．
小明的作法 ①如图2，连接AC，BD相交于点O． ②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H． ③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G． ④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．
（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？
（2）四边形EFGH的面积等于 ABCD的面积的一半吗？请说明理由．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到OA＝OC，AB∥CD，则∠OAF＝∠OCH，再证明△AOF≌△COH得到OF＝OH，同理可得OE＝OG，于是可判断四边形EFGH是平行四边形，然后利用EG⊥FH可判断四边形EFGH是菱形；
（2）先证明四边形AFHD为平行四边形得到FH＝AD，再根据菱形的面积公式和平行四边形的面积公式得到菱形EFGH的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半．
【解答】解：（1）小明所作的四边形EFGH是菱形．
理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAF＝∠OCH，
在△AOF和△COH中，
，
∴△AOF≌△COH（ASA），
∴OF＝OH，
同理可得OE＝OG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH是菱形；
（2）四边形EFGH的面积等于 ABCD的面积的一半．
理由如下：
∵FH∥AD，AB∥CD，
∴四边形AFHD为平行四边形，
∴FH＝AD，
∵菱形EFGH的面积＝FH EG，平行四边形ABCD的面积＝AD EG，
∴菱形EFGH的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半．
20．（1）已知线段m，n，求作Rt△ABC，使得∠C＝90°，CA＝m，CB＝n；（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（请借助上一小题所作图形，在完善的基础上，写出已知、求证与证明）
【分析】（1）先做直角，再截取做三角形；
（2）根据平行四边形的性质证明．
【解答】解：（1）如图：Rt△ABC即为所求；
（2）已知：Rt△ABC，∠ACB＝90°，CE是AB边上的中线，
求证：CE＝AB，
证明：延长CE到D，使得DE＝CE，
∵CD是AB边上的中线，
∴BE＝AE，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵∠BCA＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴CE＝CD＝AB．
21．（2023 巴中）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线DP交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF、AF．
（1）求证：四边形BDEF是菱形．
（2）若AC＝4，求△AFD的面积．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到D是BC的中点，求得△BED是等边三角形，得到BE＝BD＝DE，由作图知，DF平分∠EDB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠FDB，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠FDB，求得∠EFD＝∠RDF，推出四边形BDEF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，根据菱形的性质得到AG⊥FD，FG＝GD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝AB，
∵E为AB中点．
∴，
∴BD＝DE，
∴△BED是等边三角形，
∴BE＝BD＝DE，
由作图知，DF平分∠EDB，
∴∠EDF＝∠FDB，
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠FDB，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵DE＝BD，
∴四边形BDEF是菱形；
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠C＝60°，∠ADC＝90°，∠BAD＝30°，
∵AC＝4，
∴＝2，
∵四边形BDEF是菱形，
∴AG⊥FD，FG＝GD，
在Rt△AGD中，∵∠BAD＝30°，
∴，
∴，
∴．
（建议用时：30分钟）
1．（2023 扶余市四模）如图，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】点P到点A、点B的距离相等知点P在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．
【解答】解：∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故选：C．
2．（2023 镇平县模拟）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】利用基本作图得到OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△A'O'B'≌△AOB，然后根据全等三角形的性质得到∠A'O'B'＝∠AOB．
【解答】解：由作图痕迹得OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，
所以△C'O'D'≌△COD（SSS），
所以∠A'O'B'＝∠AOB．
故选：D．
3．（2023 衡阳模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数为（　　）
A．68° B．56° C．45° D．54°
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF＝∠DAC＝34°．
由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故选：B．
4．（2024 潮州模拟）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，则AP＝BP，进而可得AC+BP+PC＝3+BC＝10，即可得出答案．
【解答】解：由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∵△ACP的周长为10，
∴AC+AP+PC＝10，
即AC+BP+PC＝3+BC＝10，
∴BC＝7．
故选：B．
5．（2024 广平县模拟）在给定的平行四边形ABCD中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：如图（1），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点M，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点N，连接MN，则四边形ABNM是菱形．
乙：如图（2），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线GH交BC于点K，连接EK，则四边形ABKE是菱形．
下列判断正确的是（　　）
A．甲对，乙错 B．甲错，乙对
C．甲和乙都对 D．甲和乙都错
【分析】甲：根据作图过程可得有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
乙：根据作图过程可得GH是BE的垂直平分线，然后证明△AOE≌△KOB（ASA），可得OA＝OK，判断四边形AEKB是平行四边形，根据AK⊥BE，即可得四边形AEKB是菱形．
【解答】解：甲正确，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
根据作图过程可知：AM＝AB，BN＝AB，
∴AM＝BN，
∴四边形AMNB是平行四边形，
∵AM＝AB，
∴四边形AMNB是菱形，
故甲的说法正确；
乙正确，理由如下：
如图（2），连接BE交AK于点O，
根据作图过程可知：GH是BE的垂直平分线，
∴AK⊥BE，OB＝OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠KBO，
∵∠EOA＝∠BOK，
在△AOE和△KOB中，
，
∴△AOE≌△KOB（ASA），
∴OA＝OK，
∵OB＝OE，
∴四边形AEKB是平行四边形，
∵AK⊥BE，
∴四边形AEKB是菱形，
故乙的说法正确，
故选：C．
6．（2024 台安县一模）如图，已知菱形AOBC的顶点O（0，0），A（﹣4，0），按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点B，与AC交于点D，则点D的坐标为（　　）
A．（，﹣5） B．（﹣5，） C．（1，﹣4﹣） D．（﹣4﹣，1）
【分析】连接AB，过点D作DE⊥x轴于点E，根据线段垂直平分线和菱形的性质可得△ABC为等边三角形，进而可得∠DAE＝60°，在Rt△ADE中，利用三角函数求出DE，AE的长，从而可得答案．
【解答】解：连接AB，过点D作DE⊥x轴于点E，
由作图过程可知，直线MN为线段AC的垂直平分线，
∴BC＝AB，AD＝，
∵四边形AOBC为菱形，A（﹣4，0），
∴OA＝AC＝BC＝4，
∴AD＝2，BC＝AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠DAE＝60°，
在Rt△ADE中，DE＝AD sin60°＝2×＝，AE＝AD cos60°＝＝1，
∴OE＝OA+AE＝4+1＝5，
∴点D的坐标为（﹣5，）．
故选：B．
7．（2023 临淄区一模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DEA的度数是（　　）
A．35° B．60° C．70° D．85°
【分析】由题可得，直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：由题可得，直线DF是线段AB的垂直平分线，AE为∠DAC的平分线，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠CAE，
∴∠B＝∠BAD＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°，
∵∠C＝50°，
∴∠DAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠DAE＝∠CAE＝∠DAC＝35°，
∴∠DEA＝∠C+∠CAE＝85°．
故选：D．
8．（2023 三亚模拟）如图，已知AB∥CD，∠BFC＝126°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为（　　）
A．22° B．26° C．27° D．36°
【分析】先根据平行线的性质求出∠DCF，再根据角平分线的性质求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BFC＝126°，
∴∠DCF＝180°﹣∠BFC＝54°，
由作图得：BC平分∠FCD，
∴∠BCD＝∠DCF＝27°，
故选：C．
9．（2024 平舆县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，且A（0，2），C（4，0）．点E为OC上一点，连接AE，射线AF⊥AE．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AE，AF于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点G．若OE＝1，则点G的坐标为（　　）
A．（4，） B．（4，1） C．（4，） D．（4，）
【分析】延长CB交射线AF于点Q，过点G作GH⊥AF于点H，求出CG，可得结论．
【解答】解：延长CB交射线AF于点Q，过点G作GH⊥AF于点H，如解图所示．
∵AE⊥AF，四边形ABCO是矩形，
∴∠EAF＝∠OAB＝90°，
∴∠OAE＝∠BAF，
∵GH⊥AF，
∴∠GHF＝∠ABQ＝∠AOE＝90°，
∵∠AQB＝∠CQH，
∴△GHQ∽△ABQ∽△AOE，
∴，
∴GH＝2HQ，．
∴．由作图的步骤，可知AP平分∠EAF，
∴∠HAG＝45°．
又∵GH⊥AF，
∴AH＝HG．设HQ＝x，则AH＝HG＝2x．
∴AQ＝AH+HQ＝3x，即．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴点G的坐标为，
故选：A．
10．（2024 河东区模拟）如图，在每个边长为1的小正方形网格中，点A，B均在格点上，以AB为直径作圆，点M为的中点．
（Ⅰ）线段AB的长度等于 　　．
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在圆上找一点P，使得∠MAP＝3∠BMP，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）取格点T，连接AT，BT，AT交⊙O于点Q，连接BQ，取BT的中点R，连接OR交⊙O于点P（此时OP⊥BQ），连接MP，AP，点P即为所求．
【解答】解：（Ⅰ）AB＝＝，
故答案为：；
（Ⅱ）如图，点P即为所求．
11．（2024 广东一模）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，DE是△ABC的中位线，其中点D在AB边上，点E在AC边上．
（1）用圆规和直尺在△ABC中作出中位线DE．（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝6，求DE的长．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，交AC于点E，交AB于点D，则DE即为所求．
（2）根据三角形中位线定理可得答案．
【解答】解：（1）如图，作线段AC的垂直平分线，交AC于点E，交AB于点D，
则点E为AC的中点，∠AED＝90°，
∴DE∥BC，
∴DE为△ABC的中位线，
则DE即为所求．
（2）∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3．
12．（2024 碑林区校级二模）如图，已知△ABC，在平面内求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点且以AC为对角线的四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【分析】以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD即可．
【解答】解：如图，以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD，
则AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
即平行四边形ABCD为所求．
13．（2024 偃师区模拟）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．
（2）在图②中，在线段AB上画出点N，使AN＝2BN．
（3）在图③中，在线段AB上画出点Q，使PQ⊥AB．
（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．）
【分析】（1）取格点C，D，使AC＝3，BD＝1，且AC∥BD，连接CD，交AB于点M，则点M即为所求．
（2）取格点E，F，使AE＝2，BF＝1，且AE∥BF，连接EF，交AB于点N，则点N即为所求．
（3）利用网格，过点P作AB的垂线，与AB的交点即为点Q．
【解答】解：（1）如图①，取格点C，D，使AC＝3，BD＝1，且AC∥BD，
连接CD，交AB于点M，
则△ACM∽△BDM，
∴＝3，
即AM＝3BM，
则点M即为所求．
（2）如图②，取格点E，F，使AE＝2，BF＝1，且AE∥BF，
连接EF，交AB于点N，
则△AEN∽△BFN，
∴＝2，
即AN＝2BN，
则点N即为所求．
（3）如图③，取格点G，使PG⊥AB，连接PG交AB于点Q，
则点Q即为所求．
14．（2024 郑州模拟）已知⊙O及圆外一点A，连接线段OA，请用无刻度直尺和圆规完成操作并解答．
（1）过点A作出⊙O的两条切线AP，AQ，切点分别为点P、点Q；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点E为优弧上不与端点重合的一点，且∠PEQ＝64°．求∠PAQ的度数．
【分析】（1）作OA的垂直平分线，垂足为B，以点B为圆心作圆B交圆O于点P，Q，连接AP，AQ，根据直径所对的圆周角是直角可得AP，AQ为⊙O的两条切线；
（2）根据圆周角定理可得∠POQ＝2∠PEQ＝128°，根据切线的性质，利用四边形内角和定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示，AP，AQ为所作；
（2）连接PE，QE，如图所示．
由圆周角定理知：∠POQ＝2∠PEQ＝128°，
∵AP，AQ为⊙O的两条切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥QA．
∴∠APO＝∠AQO＝90°．
∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝180°﹣128°＝52°．
答：∠PAQ 的度数为52°．
15．（2024 浙江模拟）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（1，3），B（3，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个等腰三角形ABC，使得点C的横、纵坐标之和为偶数；
（2）在图2中画一个Rt△ABP，使得点P在坐标轴上．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质按要求画图即可．
（2）根据直角三角形的判定按要求画图即可．
【解答】解：（1）如图1，△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4均满足题意．
（2）如图2，Rt△ABP1，Rt△ABP2均满足题意．
16．（2024 宿迁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线EF，交AB于点E，交AC于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，求EF的长度．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用勾股定理求出BC，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求；
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝＝6，
∵EF垂直平分线段AB，
∴AE＝EB＝5，
∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB＝90°，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
17．（2024 南昌一模）如图是7×6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
（1）图1中，在AB边上找一点D，作线段CD，使得S△ACD＝；
（2）图2中，在AB边上找一点E，作线段CE，使得S△ACE＝．
【分析】（1）取线段AB的中点D，连接CD，则点D即为所求．
（2）取格点M，N，使AM：BN＝3：2，且AM∥BN，连接MN，交AB于点E，连接CE，则点E即为所求．
【解答】解：（1）如图1，取线段AB的中点D，连接CD，
则得S△ACD＝，
则点D即为所求．
（2）如图2，取格点M，N，使AM：BN＝3：2，且AM∥BN，
连接MN，交AB于点E，连接CE，
则△AME∽△BNE，
则，
∴S△ACE：S△BCE＝3：2，
∴S△ACE＝，
则点E即为所求．
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