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2024济南中考数学选择题高频考点训练
（一）济南市中考数学选择题高频考点列表 ：
济南市中考数学选择题高频考点一览表
一、视图
实数性质
三、科学计数法
四、平行线、相交线
五、轴对称、中心对称
六、幂的运算性质
七、数轴中实数比较大小，不等式性质
八、统计初步
九、一次函数、反比例函数图像性质、解析式
十、分式化简
十一、二步概率问题
十二、尺规作图（角平分线、垂直平分线及性质）
十三、求规则以及不规则阴影面积
十四、解直角三角形
十五、二次函数综合
济南市中考数学选择题高频考点训练
一、视图
1. （2023·山东济南·中考真题）
下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　）
A. B. C. D.
2.（2023·山东济南·中考真题）
如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　　）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱
3.（2021·山东济南·中考真题）
下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（　　　）
A． B． C． D．
实数性质
（2024·山东济南·中考一模）
2024的倒数是（　　　）
A． B．2024 C． D．
（2022·山东济南·中考真题）
- 7的相反数是（　　　）
A．7 B．-7 C． D．
（2021·山东济南·中考真题）
9的算术平方根是（　　　）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
三、科学计数法
（2023·山东济南·中考真题）
2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　　）
A. B. C. D.
（2022·山东济南·中考真题）
神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，
于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（　　　）
A． B． C． D．
（2021·山东济南·中考真题）
2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．
据测算，地球到火星的最近距离约为55 000 000km，将数据55 000 000用科学记数法表示为（　　　）
A． B． C． D．
四、平行线、相交线
1.（2023·山东济南·中考真题）
如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　　）
A. B. C. D.
2.（2022·山东济南·中考真题）
如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　　）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
3.（2021·山东济南·中考真题）
如图，，，平分，则的度数为（　　　）
A． B． C． D．
五、轴对称、中心对称
（2023·山东济南·中考真题）
下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，
其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　）
A. B.
C. D.
（2022·山东济南·中考真题）
下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　）
A． B． C． D．
3.（2021·山东济南·中考真题）
以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　）
A． B． C． D．
六、幂的运算性质
1.（2023·山东济南·中考真题）
下列运算正确的是（　　　）
A. B. C. D.
2.（2024·山东济南·中考一模）
下列运算正确的是（　　　）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
3.（2024·山东济南·中考一模）
下列运算正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
七、数轴中实数比较大小，不等式性质
1.（2023·山东济南·中考真题）
实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）
A. B. C. D.
2.（2022·山东济南·中考真题）
实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　　）
A． B． C． D．
3 .（2021·山东济南·中考真题）
实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）
A． B． C． D．
八、统计
1.（2020·山东济南·中考真题）
某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，
绘制了折线统计图，下列说法正确的是（　　　）
A．每月阅读课外书本数的众数是45
B．每月阅读课外书本数的中位数是58
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
2.（2019·山东济南·中考真题）
在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，
则这7次成绩的中位数和平均数分别是（　　　）
A．9.7，9.9 B．9.7，9.8 C．9.8，9.7 D．9.8，9.9
（2024山东济南·一模）
4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 6 7 10 7
课外书数量（本） 6 7 9 12
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　　）
A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9
九、一次函数、反比例函数图像性质、解析式
1.（2023·山东济南·中考真题）
已知点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系为（　　　）
A. B. C. D.
2.（2022·山东济南·中考真题）
某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，
木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，
当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　　）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
3.（2021·山东济南·中考真题）
反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
则一次函数的图象大致是（　　　）
A．B．C．D．
十、分式化简
1.（2022·山东济南·中考真题）
若m－n＝2，则代数式的值是（　　　）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
2.（2021·山东济南·中考真题）
计算的结果是（　　　）
A． B． C． D．
3.（2024·山东济南·中考一模）
化简的结果是（　　　）
A． B． C． D．
十一、二步概率问题
1.（2023·山东济南·中考真题）
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　）
A. B. C. D.
2.（2022·山东济南·中考真题）
某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，
若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（　　　）
A． B． C． D．
3.（2021·山东济南·中考真题）
某校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，
如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（　　　）
A． B． C． D．
十二、尺规作图（角平分线、垂直平分线及性质）
1.（2023·山东济南·中考真题）
如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（　　　）
A. B.
C. D.
2.（2022·山东济南·中考真题）
如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，
作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（　　　）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
3.（2021·山东济南·中考真题）
如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，
连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，
作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（　　　）
A． B．垂直平分线段
C． D．
4.（2020·山东济南·中考真题）
如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，
作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，
则BM+MD长度的最小值为（　　　）
A． B．3 C．4 D．5
十三、求规则以及不规则阴影面积
1.（2019·山东济南·中考真题）
如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，
连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　　）
A．9－3π B．9－2π C．18－9π D．18－6π
（2024·山东济南·中考一模）
如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，
若，且，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
3.（2024·山东济南·中考一模）
如图，在中，，，，
将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为，
图中阴影部分面积是（ ）
A． B．2 C． D．4
十四、解直角三角形
1.（2022·山东济南·中考真题）
数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．
如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，
又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
2.（2021·山东济南·中考真题）
无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．
如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，
在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，
又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（ ）
（参考数据：，，，，结果保留整数）
A． B．
C． D．
3.（2020·山东济南·中考真题）
如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，
视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，
AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）
（参者数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
（2019·山东济南·中考真题）
某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，
继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方向．
请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（ ）
(参考数据：tan37°≈，tan53°≈ )．
A．225m B．275m C．300m D．315m
十五、二次函数压轴（最值、范围）
1.（2023·山东济南·中考真题）
10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，
称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（　　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.（2022·山东济南·中考真题）
抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，
将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，
点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
3.（2021·山东济南·中考真题）
新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，
若满足时，；时，，则称点是点的限变点．
例如：点的限变点是，点的限变点是．
若点在二次函数的图象上，则当时，
其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
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2024济南中考数学选择题高频考点训练解析
（一）济南市中考数学选择题高频考点列表 ：
济南市中考数学选择题高频考点一览表
一、视图
实数性质
三、科学计数法
四、平行线、相交线
五、轴对称、中心对称
六、幂的运算性质
七、数轴中实数比较大小，不等式性质
八、统计初步
九、一次函数、反比例函数图像性质、解析式
十、分式化简
十一、二步概率问题
十二、尺规作图（角平分线、垂直平分线及性质）
十三、求规则以及不规则阴影面积
十四、解直角三角形
十五、二次函数综合
济南市中考数学选择题高频考点训练
一、视图
1. （2023·山东济南·中考真题）
下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案.
【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意；
B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意；
故选：A.
2.（2023·山东济南·中考真题）
如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　　）
A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．正四棱柱
【答案】A
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：主视图和左视图都是长方形，那么此几何体为柱体，由俯视图为圆，
可得此几何体是圆柱．
故选：A．
3.（2021·山东济南·中考真题）
下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解．
【详解】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故选项A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故选项C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故选项D错误．
故答案为：C．
实数性质
（2024·山东济南·中考一模）
2024的倒数是（　　　）
A． B．2024 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选∶D．
（2022·山东济南·中考真题）
- 7的相反数是（　　　）
A．7 B．-7 C． D．
【答案】A
【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7．
故选A．
（2021·山东济南·中考真题）
9的算术平方根是（　　　）
A．﹣3 B．±3 C．3 D．
【答案】C
【详解】试题分析：9的算术平方根是3，
故选C．
三、科学计数法
（2023·山东济南·中考真题）
2022年我国粮食总产量再创新高，达686530000吨．将数字686530000用科学记数法表示为（　　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：B
（2022·山东济南·中考真题）
神舟十三号飞船在近地点高度200000m，远地点高度356000m的轨道上驻留了6个月后，
于2022年4月16日顺利返回．将数字356000用科学记数法表示为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：356000＝3.56×105．
故选：A．
（2021·山东济南·中考真题）
2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，中国成为全世界第二个实现火星着陆的国家．
据测算，地球到火星的最近距离约为55 000 000km，将数据55 000 000用科学记数法表示为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：55000000=5.5×107，
故选：C．
四、平行线、相交线
1.（2023·山东济南·中考真题）
如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．
如果，那么的度数是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数．
【详解】解：如下图进行标注，
，
，
，
故选：．
2.（2022·山东济南·中考真题）
如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　　）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【答案】B
【分析】根据平行线及角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，
∵∠1=65°，
∴∠CED =∠1=65°，
∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．
3.（2021·山东济南·中考真题）
如图，，，平分，则的度数为（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意易得，然后根据角平分线的定义可得，进而根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
故选B．
五、轴对称、中心对称
（2023·山东济南·中考真题）
下图是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示意图，
其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
（2022·山东济南·中考真题）
下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
3.（2021·山东济南·中考真题）
以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】A.既是轴对称图形又是中心对称图形,故该选项符合题意；
B.是轴对称图形，但不是中心对称图形,故该选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，但是中心对称图形,故该选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故该选项不符合题意．
故选A．
六、幂的运算性质
1.（2023·山东济南·中考真题）
下列运算正确的是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方等运算法则逐项判断即得答案.
【详解】解：A、，故本选项运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算错误，不符合题意；
D、，故本选项运算正确，符合题意；
故选：D.
2.（2024·山东济南·中考一模）
下列运算正确的是（　　　）
A．a2+a3＝a5 B．（a3）2＝a6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．x6÷x3＝x2
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和同底数幂的除法法则，完全平方公式，进行判断即可．
【详解】A.a2和a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B.（a3）2＝a6，故B符合题意；
C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意；
D.x6÷x3＝x6﹣3＝x3，故D不符合题意．
故选：B．
3.（2024·山东济南·中考一模）
下列运算正确的是（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了完全平方公式，积的乘方和单项式乘以单项式等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
七、数轴中实数比较大小，不等式性质
1.（2023·山东济南·中考真题）
实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
2.（2022·山东济南·中考真题）
实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
，，
∴，故A项错误，
，故B项错误，
，故C项错误，
，故D项错误．
故选：D．
3 .（2021·山东济南·中考真题）
实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴可得，由此可排除选项．
【详解】解：由数轴可得，
∴，故A选项错误；，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项错误；
故选B．
八、统计
1.（2020·山东济南·中考真题）
某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，
绘制了折线统计图，下列说法正确的是（　　　）
A．每月阅读课外书本数的众数是45
B．每月阅读课外书本数的中位数是58
C．从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降
D．从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45
【分析】从折线图中获取信息，通过折线图和中位数、众数的定义及极差等知识求解．
【解答】解：因为58出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是58，故选项A错误；
每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：28、33、45、58、58、72、78，最中间的数字为58，所以该组数据的中位数为58，故选项B正确；
从折线图可以看出，从2月到4月阅读课外书的本数下降，4月到5月阅读课外书的本数上升，故选项C错误；
从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值78比最小值多28多50，故选项D错误．
故选：B．
2.（2019·山东济南·中考真题）
在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，
则这7次成绩的中位数和平均数分别是（　　　）
A．9.7，9.9 B．9.7，9.8 C．9.8，9.7 D．9.8，9.9
【答案】B
【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，
利用算术平均数的计算公式进行计算即可．
【详解】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7，因此中位数是9.7，
平均数为：，
故选B．
（2024山东济南·一模）
4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 6 7 10 7
课外书数量（本） 6 7 9 12
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　　）
A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9
【答案】D
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：，众数为9．
故选：D．
九、一次函数、反比例函数图像性质、解析式
1.（2023·山东济南·中考真题）
已知点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系为（　　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
此函数图象在二、四象限，
，
点，在第二象限，
，，
函数图象在第二象限内为增函数，，
．
，点在第四象限，
，
，，的大小关系为．
故选：C．
2.（2022·山东济南·中考真题）
某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．
如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，
则y与x满足的函数关系是（　　　）
A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【答案】B
【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，
∴y与x满足的函数关系是一次函数；
故选：B．
3.（2021·山东济南·中考真题）
反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
则一次函数的图象大致是（　　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况．
【详解】反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．
观察选项只有D选项符合．
故选D
十、分式化简
1.（2022·山东济南·中考真题）
若m－n＝2，则代数式的值是（　　　）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】D
【分析】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：原式
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
2.（2021·山东济南·中考真题）
计算的结果是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．
【详解】解：；
故选B．
3.（2024·山东济南·中考一模）
化简的结果是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可.
【详解】，
=
=
=
=
故选：C.
十一、二步概率问题
1.（2023·山东济南·中考真题）
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
2.（2022·山东济南·中考真题）
某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，
若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴小明和小刚恰好选择同一个主题的概率为．
故选：C．
3.（2021·山东济南·中考真题）
某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，
如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，用列表法求出概率即可．
【详解】根据题意，设三个宣传队分别为列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是．
故选C
十二、尺规作图（角平分线、垂直平分线及性质）
1.（2023·山东济南·中考真题）
如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，
再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，
连接．以下结论不正确的是（　　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，
∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
2.（2022·山东济南·中考真题）
如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，
作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（　　　）
A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
【答案】D
【分析】根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明，可得再根据勾股定理可得AB的长，即可判定得出结论．
【详解】解：A，根据作图过程可得，是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
B，如图，
由矩形的性质可以证明，
∵是的垂直平分线，
故此选项不符合题意．
C，
在中
故此选项不符合题意．
D，
故此选项符合题意．
故选：D．
3.（2021·山东济南·中考真题）
如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论中不正确的是（　　　）
A． B．垂直平分线段
C． D．
【答案】C
【分析】由题中作图方法易证AP为线段BD的垂直平分线，点E在AP上，所以BE=DE，再根据，，得到是等边三角形，由“三线合一”得AP平分，则，,且角所对的直角边等于斜边的一半，故，所以DE垂直平分线段，证明可得即可得到结论．
【详解】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上
，点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上，BE=DE，故A正确；
，，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分，故B正确；
，，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确
故选C．
4.（2020·山东济南·中考真题）
如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，
作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，
则BM+MD长度的最小值为（　　　）
A． B．3 C．4 D．5
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝ BC AD＝10，
∴AD＝＝5，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
十三、求规则以及不规则阴影面积
1.（2019·山东济南·中考真题）
如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，
连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（　　　）
A．9－3π B．9－2π C．18－9π D．18－6π
【答案】A
【解析】由已知可得：CE＝CF＝AB＝3，AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF＝3，∠ECF＝120°．
S△AEC＝S△AFC＝×3×3＝，S四边形AECF＝9，S扇形ECF＝×π×32＝3π．
∴S阴影＝S四边形AECF－S扇形ECF＝9－3π．
（2024·山东济南·中考一模）
如图，阴影表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，
若，且，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
解：由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
∵S1＋S2＝7，
∴×π×（）2＋×π×（）2＋×AC×BC ×π×（）2＝7，
∴AC×BC＝14，
AB＝＝＝6，
故选：A．
3.（2024·山东济南·中考一模）
如图，在中，，，，
将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为，
图中阴影部分面积是（ ）
A． B．2 C． D．4
【详解】
∵在中，，，，
∴AB=2AC=4，
∵绕点逆时针旋转后得到，
∴∠BAF=45°，，
∴=.
故选A.
十四、解直角三角形
1.（2022·山东济南·中考真题）
数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．
如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，
又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）
（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
【答案】C
【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．
【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：m，
故选：C．
2.（2021·山东济南·中考真题）
无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．
如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，
在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为，无人机垂直下降至处，
又测得试验田左侧边界处俯角为，则，之间的距离为（ ）
（参考数据：，，，，结果保留整数）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，
∴，
∴，，
∴；
故选C．
3.（2020·山东济南·中考真题）
如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，
视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，
AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）
（参者数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，求出AC，DF即可解决问题．
【解答】解：∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.44（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，
∴tan∠E＝，
∴DE≈＝2.8（m），
故选：B．
（2019·山东济南·中考真题）
某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，
继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方向．
请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为（ ）
(参考数据：tan37°≈，tan53°≈ )．
A．225m B．275m C．300m D．315m
【答案】C
【解析】过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D．
在Rt△ACD中，∵tan∠A＝，∴tan37°＝＝．
∴可设CD＝3x，AD＝4x．∴AC＝5x．
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC＝，∴tan53°＝＝．
∴＝．∴BD＝x．
∵AB＋BD＝AD，∴105＋x＝4x．解得x＝60．
∴AC＝5x＝300（m）．
十五、二次函数压轴（最值、范围）
1.（2023·山东济南·中考真题）
10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，
称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（　　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
2.（2022·山东济南·中考真题）
抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，
将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，
点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解．
【详解】抛物线解析式变形为：，
即抛物线对称轴为，
当x=m-1时，有，
当x=m+1时，有，
设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点，
即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称，
当x=0时，有，
∴C点坐标为，
当x=m时，有，
∴抛物线顶点坐标为，
∵直线l⊥y轴，
∴直线l为，
∵m-1＜m+1，
∴M点在N点左侧，
此时分情况讨论：
第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图，
由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有，
∴此时不符合题意；
第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时不符合题意；
第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图，
或者 ，
由图可知此时M、N点满足，
∴此时符合题意；
此时由图可知：，
解得，
综上所述：m的取值范围为：，
故选：D．
3.（2021·山东济南·中考真题）
新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，当时，的图象向下平移4个单位，当时，，的图象关于轴对称，据此即可求得其限变点的纵坐标的取值范围，作出函数图像，直观的观察可得到的取值范围
【详解】点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的图像即为图中虚线部分，如图，
当时，的图象向下平移4个单位，当时，的图象关于轴对称，
从图可知函数的最大值是当时，取得最大值3，
最小值是当时，取得最小值，
．
故选D．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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