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第8讲　曲线运动　运动的合成与分解
知识内容 考试要求 说明
曲线运动 b 不要求会画速度变化量矢量图.
运动的合成与分解 c
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，是沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度．
3．物体做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系：
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
命题点一　曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动的特点
速度方向 时刻改变，某时刻的速度方向沿曲线上物体所处位置的切线方向
运动性质 变速运动
受力 合力与速度方向不共线
位移与路程的关系 位移大小小于路程
合力 合力不为0，指向曲线凹侧
轨迹 夹在速度方向与合力方向之间
2.判断物体是否做曲线运动的方法
判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，不在同一直线上则做曲线运动．
3．判断物体速度大小增减的方法
根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速度大小变化情况：夹角为锐角时，速度大小变大；夹角为钝角时，速度大小变小；合力方向与速度方向总是垂直时，速度大小不变．
（2024 重庆模拟）如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：“嫦娥号”探月卫星从M点运动到N，做曲线运动，速度逐渐减小，故合力指向指向凹侧，且合力与速度的方向的夹角要大于90°，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（多选）（2024 乌鲁木齐模拟）在学校篮球比赛中，小王同学投进一个三分球，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示。若篮球所受空气阻力与其速度大小成正比，篮球从被投出到入筐的过程中，所受到的空气阻力Ff与合力F合的变化情况是（　　）
A．Ff一直变小 B．Ff先变小后变大
C．F合一直变小 D．F合先变小后变大
【解答】解：AB、在篮球上升过程中，篮球的速度逐渐变小，根据题意可知篮球受到的空气阻力Ff变小，在篮球下降过程中，篮球的速度逐渐变大，篮球受到的空气阻力Ff变大，即篮球受到的空气阻力Ff先变小后变大，故B正确，A错误；
CD、将篮球的运动分解为水平方向和竖直方向，篮球水平方向的速度一直减小，则篮球受到的空气阻力Ff水平方向的分力一直减小，上升过程中，篮球速度减小，篮球受到的空气阻力Ff竖直方向的分力向下且减小，重力不变，竖直方向受到的合力减小，篮球下降过程中，篮球竖直方向速度增大，篮球受到的空气阻力Ff竖直方向的分力向上且增大，重力不变，竖直方向受到的合力减小，根据力的合成可知F合一直变小，故C正确，D错误。
故选：BC。
（2023 黄埔区三模）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球运动路线垂直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被吹后（　　）
A．保持原运动方向继续前进
B．一定能沿吹气方向进入纸筒
C．偏离原运动方向滚向纸筒左侧
D．偏离原运动方向滚向纸筒右侧
【解答】解：一开始乒乓球向右运动，当乒乓球受到沿纸筒方向的吹气的力后，乒乓球参与了两个方向的分运动，会偏离原运动方向滚向纸筒右侧；由于惯性，乒乓球不可能吹气方向进入纸筒。故ABC错误，D正确。
故选：D。
命题点二　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动具有等时性，这是处理运动分解问题的切入点．
3．合运动是物体的实际运动，而分运动是物体同时参与的几个运动，并不是物体的实际运动．
4．两个分运动是直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，这是由合初速度与合加速度是否共线决定的．
（2024 沈阳二模）风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将小球从A点以某一速度v0水平向左抛出，经过一段时间，小球运动到A点正下方的B点，O点是轨迹的最左端，风对小球的作用力水平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于（　　）
A．A点 B．O点
C．轨迹AO之间的某一点 D．轨迹OB之间的某一点
【解答】解：风对小球的力恒定，说明水平方向的加速度恒定，设水平方向加速度为a，则有vx＝v0﹣at
竖直方向受重力加速度影响，做匀加速运动，有vy＝gt
合速度为v
根号内为二次函数，其对称轴为t，说明当t时，合速度有最小值
当vx＝v0﹣at＝0时，t，说明最小速度出现在AO轨迹之间的某一点，故C正确，ABD错误；
故选：C。
（2024 天河区一模）如图为自动控制货品运动的智能传送带，其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件，每个部件上有三个导向轮A、B、C，在单个方向轮子的作用下，货品可获得与导向轮同向的速度v，若此时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动，则货品获得的速度大小为（　　）
A．v B． C． D．2v
【解答】解：物体参与了两个方向的运动，两个分速度的夹角为60°，根据速度合成可知，合速度为
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024 兰州模拟）海水因密度不同会造成“水下断崖”现象，潜艇从海水高密度区域驶入低密度区域，浮力顿减，如同疾驶的汽车掉下悬崖，专业上称之为“掉深”。中国海军南海舰队的636M型常规潜艇372艇是目前世界上唯一一艘遭遇到海底断崖“掉深”后还能成功自救脱险的潜艇，创造了世界潜艇发展史上的奇迹。设某一潜艇正在高密度海水区域沿水平方向航行，t＝0时刻潜艇“掉深”，水平方向的x﹣t图象和竖直方向的v﹣t图象如图所示。重力加速度g取10m/s2，不计水的阻力，对潜艇“掉深”后的运动，下列说法正确的是（　　）
A．依然能做直线运动
B．10s末潜艇的速度约为21m/s
C．竖直向下的最大位移为200m
D．先超重后失重
【解答】解：A、由两图可知，潜艇在水平方向做匀速运动，竖直方向先向下加速后向下减速，故合运动一定为曲线运动，故A错误；
B、水平方向上的速度为vxm/s＝5m/s，10s时的竖直速度vy＝20m/s，故合速度vm/s≈21m/s，故B正确；
C、v﹣t图象中的面积表示竖直向下的位移，故最大位移hm＝300m，故C错误；
D、由于加速度先向下，后向上，故先失重后超重，故D错误。
故选：B。
命题点三　小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
②过河路径最短(v2③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
图5
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图5所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
（2023 海南模拟）一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽150m，流速为5m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是（　　）
A．小船渡河时间不少于60s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250m
D．小船以最短位移渡河时，时间为60s
【解答】解：AD、当船头垂直对岸行驶时时间最短，故最短时间是tmin代入数据解得tmin＝50s，故AD错误；
B、船以最短时间渡河，它沿水流方向位移大小为x＝v水t代入数据解得x＝250m，故B错误；
C、因船速小于水速，故当合速度方向与船速垂直时，渡河位移最短，如图所示
设此时合速度的方向与河岸的夹角为θ，sinθ，则渡河的最小位移为x代入数据解得x＝250m，故C正确；
故选：C。
（2022 桃城区校级模拟）某小船在河宽为d，水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v1，所用时间为t1；第二次用最短航程渡河从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v2，所用时间为t2，结果两次恰好抵达对岸的同一地点，则（　　）
A．第一次所用时间t1
B．第二次所用时间t2
C．两次渡河的位移大小之比为
D．两次渡河所用时间之比
【解答】解：A．两次渡河时如图渡河最短时间t，所以，故A错误；
B．第一次渡河有，第二次渡河时有：，
所以，
第二次渡河时间为：，故B错误；
C．根据图形可知两次位移之比为1：1，故C错误；
D．两次时间之比，故D正确；
故选：D。
（2023 南岗区校级三模）如图所示，以岸边O点为原点建立空间直角坐标系，x轴沿河岸方向、y轴垂直河岸方向、z轴竖直向上。水速恒为vx＝5m/s，方向沿x轴正向。t＝0时刻开始，某船保持船头始终朝向y轴正方向运动至江心，船在y方向上的初速度为零，加速度为。船在x轴方向上的速度始终与水速相同。在t＝5s时，船员相对船体以vz＝10m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）t＝5s时船的位置坐标（x1，y1，z1）；
（2）石块到达最高点时的位置坐标（x2，y2，z2）。
【解答】解：（1）沿y方向做匀加速直线运动，则：
代入已知数据解得：y1＝50m
x方向做匀速直线运动，则x1＝vxt
代入已知条件解得：x1＝25m
所以t＝5s时船的位置坐标为（25m，50m，0）
（2）石块扔出瞬间，此时：vy＝ayt＝4×5m/s＝20m/s
石块到达最高点的时间：1s
此时x方向的位移：x2＝vx（t+t2）＝5（5+1）m＝30m
y方向的位移：y2＝y1+vyt2＝50m+20×1m＝70m
沿z方向的位移：m＝5m
所以石块到达最高点时的位置坐标（30m，70m，5m）
答：（1）t＝5s时船的位置坐标（25m，50m，0）；
（2）石块到达最高点时的位置坐标（30m，70m，5m）。
命题点四　绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图8所示．
（2024 西城区校级模拟）如图所示，小球A、B用一根长为L的轻杆相连，竖直放置在光滑水平地面上，小球C挨着小球B放置在地面上。由于微小扰动，小球A沿光滑的竖直墙面下滑，小球B、C在同一竖直面内向右运动。当杆与墙面夹角为θ，小球A和墙面恰好分离，最后小球A落到水平地面上。下列说法中不正确的是（　　）
A．当小球A的机械能取最小值时，小球B与小球C的加速度为零
B．小球A由静止到与墙面分离的过程中，小球B的速度先增大后减小
C．当小球A和墙面恰好分离时，小球B与小球C也恰好分离
D．当小球A和墙面恰好分离时，A、B两球的速率之比为tanθ：1
【解答】解：B．从静止开始到小球A和墙面恰好分离的过程，对A、B、C三个小球组成的系统，由于受到竖直墙面向右的弹力，根据动量定理可得Ft＝（mB+mC）vB，
所以小球A由静止到与墙面分离的过程中，小球B的速度一直增大，故B错误；
A．对A、B、C三个小球组成的系统，机械能守恒，由B项的分析可知，球A和墙面恰好分离时，小球B与小球C速度最大，则其加速度最小，机械能最大，则此时A球机械能最小，
所以当小球A的机械能取最小值时，小球B与小球C的加速度为零，故A正确；
C．当小球A与墙面分离后，水平方向动量守恒，小球A在水平方向的速度会不断增大，B球在水平方向的速度会不断减小，所以在小球A与墙面分离瞬间，小球 C球和小球B分离，故C正确；
D．当小球A和墙面恰好分离时，两球的速度分解如图所示：
两球的速度关联，沿杆方向的速度相等，有vAcosθ＝vBsinθ，可得：，故D正确。
本题选错误的，
故选：B。
（2024 碑林区校级模拟）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球的速度大小之比为4：3
B．甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
【解答】解：AB、当乙球距离起点3m时，设轻杆与竖直方向夹角为θ，根据几何知识可得sinθ，cosθ
将两球的速度分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，如图所示：
则甲的速度v1在沿杆方向的分量为v1杆＝v1cosθ，乙的速度v2在沿杆方向的分量为v2杆＝v2sinθ，结合v1杆＝v2杆，解得甲、乙两球的速度大小之比为 v1：v2＝3：，故A错误，B正确；
CD、当甲球即将落地时，θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，根据v1cosθ＝v2sinθ，得乙球的速度v2＝0，故CD错误；
故选：B。
（2023 琼山区校级三模）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（　　）
A．环减少的机械能大于重物增加的机械能
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
D．环在B处的速度为
【解答】解：A、由于小环和重物只有重力做功，则系统机械能守恒，所以环减少的机械能等于重物增加的机械能，故A错误；
B、结合几何关系可知，重物上升的高度：hd＝（1）d，故B错误；
C、两个物体沿着绳子方向的分速度，故：v环cos45°＝vG，故环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为：1，故C错误；
D、小环和重物组成的系统机械能守恒，故：mgdmv环2（2m）（2m）gh；联立解得：v环，故D正确。
故选：D。
（2024 金台区模拟）我国研制的“威龙”J﹣20是高性能五代歼击机，它在空中能做连续的开普勒抛物线飞行，飞机飞行的轨迹从左向右运动，图中各点的速度与飞机所受合力的方向可能正确的（　　）
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
【解答】解：由于曲线运动的速度方向沿轨迹上该点的切线方向，合外力应指向曲线的内侧，故ACD错误，B正确
故选：B。
（2023 昌平区模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（　　）
A．曲线运动的速度方向可以不变
B．匀变速曲线运动任意相等时间内速度的变化量相同
C．速率恒定的曲线运动，任意相等时间内速度的变化量相同
D．物体受到的合外力持续为零时，物体仍可以做曲线运动
【解答】解：A、曲线运动的速度方向一定变，故A错误；
B、匀变速曲线运动，加速度不变，即相等时间，速度变化量相同，故B正确；
C、曲线运动速度的方向是变化的，速率恒定的曲线运动受到的合外力的方向一定与速度的方向始终垂直，则合外力的方向必定是变化的，则任意相等时间内速度的变化量一定不相同，故C错误；
D、物体做曲线运动的条件是物体所受的合外力和它速度方向不在同一直线上，所以物体受到的合外力持续为零时，物体不可能做曲线运动，故D错误。
故选：B。
（2023 海口一模）如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动轨迹的示意图，已知B为轨迹的最高点，则下列说法正确的是（　　）
A．质点在B点时的加速度方向与速度方向不垂直
B．质点在A点时的加速度比在B点时的加速度小
C．质点在C点时的速率大于在B点时的速率
D．质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减小
【解答】解：AB、质点受重力作用做匀变速曲线运动，在最高点B时，速度方向与重力加速度的方向垂直，整个过程重力加速度保持不变，故AB错误；
C、质点从B点到C点，加速度方向与速度方向夹角小于90°，因此该过程质点的速度增大，所以质点在C点时的速率大于在B点时的速率，故C正确；
D、质点只受重力作用，加速度方向始终竖直向下，质点的速度方向沿运动轨迹的切线方向，质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角一直减小；从A到B的过程中，加速度与速度方向的夹角大于90°，质点做减速运动，从B到C的过程中，加速度与速度方向的夹角小于90°，质点做加速运动，速度增大，因此质点从A到C的过程中，速度先减小后增大，故D错误。
故选：C。
（2022 宜春模拟）图甲为2022年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛的场景。比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动。在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）可能正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：由题意可知，擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，而后侧受摩擦力几乎不变，若冰壶按如图①的逆时针方向旋转，则沿速度垂直的方向，摩擦力的合力向左，则冰壶运动轨迹将向左偏转；同理若冰壶按顺时针方向旋转，冰壶运动轨迹向右偏转。即①④正确。故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024 苏州模拟）如图所示，一质点在光滑水平桌面上受水平恒力作用，先后经过a、b两点，速度方向偏转90°。已知经过a点的速度大小为v、方向与ab连线夹角为60°，ab连线长度为d。对质点从a到b的运动过程，下列说法正确的是（　　）
A．最小速度为
B．运动时间为
C．经过b点的速度为
D．恒力方向与ab连线的夹角为45°
【解答】解：BC．设恒力与ab连线的夹角为θ，根据几何关系可知b点速度方向与ab连线的夹角为30°。
该质点做类斜抛运动，在沿初速度方向上速度由v减小到0，由匀变速直线运动规律
解得a到b的时间为
设b点速度为vb从a点运动到b点沿ab方向的平均速度为
解得
故B错误，C正确；
AD．质点在垂直于恒力方向上速度不变，即
vsin（π﹣θ﹣60°）＝vbsin（θ﹣30°）
解得
θ＝60°
当粒子沿恒方向的速度为0时，粒子的速度最小，此时粒子的最小速度为
故AD错误。
故选：C。
（2024 福州二模）甲同学在水平匀速直线行驶的车上，利用实验装置竖直向上提起小球，观测小球的运动情况，并作出小球的速度平方与提起高度y的关系图像（如图所示）。静止在地面上的乙同学观察到小球的运动轨迹可能是（　　）
A．B． C． D．
【解答】解：小球的速度平方与提起高度y的关系图像是坐在实验车上的甲观察的图像，即小球相对于车的速度关系图像，小球相对于车竖直提起，则图像中的速度为小球竖直方向的速度图像，由速度与位移关系公式
结合图像可得
小球在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度竖直向上，结合小球在水平方向一直做匀速直线运动可知，地面上静止的观察者乙看到的运动轨迹可能是C选项。
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024 吉林一模）质量为2kg的质点在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．质点的初速度为3 m/s
B．质点所受的合外力为3 N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直
D．2 s末质点速度大小为6 m/s
【解答】解：A、x轴方向初速度为vx＝3m/s，y轴方向初速度vy4m/s，质点的初速度v0m/s。故A错误。
B、x轴方向的加速度a1.5m/s2，质点的合力F合＝ma＝3N．故B正确。
C、合力沿x轴方向，而初速度方向既不在x轴，也不在y轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直。故C错误。
D、由图可知，2 s末质点速度x方向的大小为6 m/s，而y方向的速度仍然是﹣4m/s，所以合速度是m/s。故D错误。
故选：B。
（2023 浙江模拟）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹。O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b时的加速度为g
B．炮弹经过c点时的加速度方向沿该点切线斜向上
C．炮弹经过a点时加速度的竖直分量大于g
D．炮弹由a点运动到b点的时间与由b点运动到c点的时间相等
【解答】解：A．在最高点b，炮弹除了受重力还受到向后的空气阻力，加速度大于g，故A错误；
B．根据曲线运动特点，炮弹经过c点时加速度方向一定指向轨迹凹侧，故B错误；
C．炮弹经过a点时，受空气阻力和重力共同作用，空气阻力方向与速度方向相反斜向左下方，根据牛顿第二定律，加速度的竖直分量由重力和空气阻力竖直分力相加得出，所以炮弹经过a点时加速度的竖直分量大于g，故C正确；
D．设炮弹由a点运动到b点过程中，受阻力平均竖直分量为f1，由b点运动到c点过程中，受阻力平均竖直分量为f2，根据牛顿第二定律，则前、后两个过程炮弹竖直平均加速度大小分别为
根据运动学规律，炮弹由a点运动到b点时间小于由b点运动到c点时间，故D错误。
故选：C。
（2023 河北模拟）如图所示，质量为m的物块放在光滑的水平桌面上，系在物块上的轻质绳子绕过光滑的定滑轮，滑轮右侧绳子水平，人拉着绳子的下端以速度v0水平向左做匀速运动，在拉紧的绳子与水平方向的夹角由53°变成37°的过程中（sin53°＝0.8、cos53°＝0.6），人对物体做的功为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：把绳子下端的速度分别沿着垂直绳子方向和沿着绳子方向分解，物块在各个时刻的速度等于对应时刻沿着绳子方向的分速度，由功能关系可得人做的功等于物块动能的增加量，则
，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2023 黄埔区校级三模）在一次足球比赛中，队友甲示意队友乙向前跑。当队友乙在图中位置以某一速度匀速前跑时，队友甲将足球从静止瞬间踢起，足球轨迹如图所示且刚好落在队友乙的脚下。用v表示队友乙与足球的水平速度，s表示水平位移。速率越大，空气阻力越大，从踢起足球到落地，下列图像大致能反映乙和球的运动情况的是（　　）
A．B． C． D．
【解答】解：根据题意可知，球在水平方向只受到了阻力的作用，所以根据牛顿第二定律可知球的水平方向的加速度减小，故球的水平速度逐渐减小，所以水平方向上，球做加速度减小的减速运动，而乙做匀速直线运动；s﹣t图像的斜率表示速度，球做加速度减小的减速运动，即球的速度减小，即球的位移—时间图像斜率会变小；乙做匀速直线运动，位移随时间均匀增加。故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2023 苏州三模）如图所示，质量为2m的小球A通过足够长的轻绳绕过定滑轮P与质量为m的小球B相连，通过长度为L的轻杆与转轴O相连，O、P距离为2L，且O、P在同一水平线上。初始时给小球A施加力F，使其刚好静止于O点正上方的Q点。重力加速度为g，不计一切摩擦和定滑轮质量，两球视为质点。求：
（1）小球A处于初始位置时的拉力的最小值F；
（2）撤去拉力F的瞬间，小球B的加速度aB；
（3）当A、B速度大小相等时，轻杆上的弹力FN。
【解答】解：（1）在Q点时，当F沿水平方向时，F有最小值。设绳子的张力为F1，绳子与水平方向的夹角为θ，
对小球A由平衡条件得：F﹣F1cosθ＝0
对小球B由平衡条件得：F1﹣mg＝0
解得：；
（2）撤去力F的瞬间，设绳子的张力为F2，绳子与水平方向的夹角依然为θ。
对小球A，根据牛顿第二定律得：
F2cosθ＝2maA
对小球B，由牛顿第二定律得：
mg﹣F2＝maa
且有：aAcosθ＝aB
解得：；
（3）由题意可知，释放后小球A做圆周运动，当AP与小球A的运动轨迹相切时vA＝vB，此时小球A所处的位置有两种情形，如图所示。
情形一，设轻杆上的弹力为FN，方向指向圆心，对A、B构成的系统由机械能守恒定律得：
，其中
对小球A由牛顿第二定律得：
解得：，方向由O指向A。
情形二：设轻杆上的弹力为 FN，方向指向圆心，对A、B构成的系统由机械能守恒定律得：
，其中
对小球A由牛顿第二定律得：
解得：，方向由A指向O。
（2020 平谷区一模）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图乙所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿OA方向运动，经时间t运动至对岸A处，位移为x1；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O点沿河岸运动，经相同时间t运动至下游B处，位移为x小船在流动的河水中，从O点出发，船头朝向OA方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图丙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为L，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。
【解答】解：如图所示：
箭射出后，若不受重力，将沿初速度方向做匀速直线运动，经时间t从P运动至小球初始位置D处，位移为x1＝L；脱离弓后，若箭的初速度为零，将沿竖直方向做自由落体运动，经相同时间t从P运动至E，位移为x2；箭射出后的实际运动，同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和（遵循平行四边形定则），即此时箭将到达F处。小球由静止释放后做自由落体运动，经相同时间t运动的位移与箭在竖直方向分位移x2相同，即小球与箭同时到达F处，能够射中小球。
若不受重力，箭从P运动至小球初始位置D处的时间：t
射中时小球下落的高度：hgt2，解得：h
答：能射中，小球下落时被射中。第8讲　曲线运动　运动的合成与分解
知识内容 考试要求 说明
曲线运动 b 不要求会画速度变化量矢量图.
运动的合成与分解 c
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，是沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度．
3．物体做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系：
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
命题点一　曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动的特点
速度方向 时刻改变，某时刻的速度方向沿曲线上物体所处位置的切线方向
运动性质 变速运动
受力 合力与速度方向不共线
位移与路程的关系 位移大小小于路程
合力 合力不为0，指向曲线凹侧
轨迹 夹在速度方向与合力方向之间
2.判断物体是否做曲线运动的方法
判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，不在同一直线上则做曲线运动．
3．判断物体速度大小增减的方法
根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速度大小变化情况：夹角为锐角时，速度大小变大；夹角为钝角时，速度大小变小；合力方向与速度方向总是垂直时，速度大小不变．
（2024 重庆模拟）如图所示，“嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
（多选）（2024 乌鲁木齐模拟）在学校篮球比赛中，小王同学投进一个三分球，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示。若篮球所受空气阻力与其速度大小成正比，篮球从被投出到入筐的过程中，所受到的空气阻力Ff与合力F合的变化情况是（　　）
A．Ff一直变小 B．Ff先变小后变大
C．F合一直变小 D．F合先变小后变大
（2023 黄埔区三模）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球运动路线垂直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被吹后（　　）
A．保持原运动方向继续前进
B．一定能沿吹气方向进入纸筒
C．偏离原运动方向滚向纸筒左侧
D．偏离原运动方向滚向纸筒右侧
命题点二　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动具有等时性，这是处理运动分解问题的切入点．
3．合运动是物体的实际运动，而分运动是物体同时参与的几个运动，并不是物体的实际运动．
4．两个分运动是直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，这是由合初速度与合加速度是否共线决定的．
（2024 沈阳二模）风洞实验是进行空气动力学研究的重要方法。如图所示，将小球从A点以某一速度v0水平向左抛出，经过一段时间，小球运动到A点正下方的B点，O点是轨迹的最左端，风对小球的作用力水平向右，大小恒定。则小球速度最小时位于（　　）
A．A点 B．O点
C．轨迹AO之间的某一点 D．轨迹OB之间的某一点
（2024 天河区一模）如图为自动控制货品运动的智能传送带，其奥秘在于面板上蜂窝状的小正六边形部件，每个部件上有三个导向轮A、B、C，在单个方向轮子的作用下，货品可获得与导向轮同向的速度v，若此时仅控制A、C两个方向的轮子同时按图示箭头方向等速转动，则货品获得的速度大小为（　　）
A．v B． C． D．2v
（2024 兰州模拟）海水因密度不同会造成“水下断崖”现象，潜艇从海水高密度区域驶入低密度区域，浮力顿减，如同疾驶的汽车掉下悬崖，专业上称之为“掉深”。中国海军南海舰队的636M型常规潜艇372艇是目前世界上唯一一艘遭遇到海底断崖“掉深”后还能成功自救脱险的潜艇，创造了世界潜艇发展史上的奇迹。设某一潜艇正在高密度海水区域沿水平方向航行，t＝0时刻潜艇“掉深”，水平方向的x﹣t图象和竖直方向的v﹣t图象如图所示。重力加速度g取10m/s2，不计水的阻力，对潜艇“掉深”后的运动，下列说法正确的是（　　）
A．依然能做直线运动
B．10s末潜艇的速度约为21m/s
C．竖直向下的最大位移为200m
D．先超重后失重
命题点三　小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
②过河路径最短(v2③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
图5
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图5所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
（2023 海南模拟）一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条河宽150m，流速为5m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是（　　）
A．小船渡河时间不少于60s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250m
D．小船以最短位移渡河时，时间为60s
（2022 桃城区校级模拟）某小船在河宽为d，水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v1，所用时间为t1；第二次用最短航程渡河从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v2，所用时间为t2，结果两次恰好抵达对岸的同一地点，则（　　）
A．第一次所用时间t1
B．第二次所用时间t2
C．两次渡河的位移大小之比为
D．两次渡河所用时间之比
（2023 南岗区校级三模）如图所示，以岸边O点为原点建立空间直角坐标系，x轴沿河岸方向、y轴垂直河岸方向、z轴竖直向上。水速恒为vx＝5m/s，方向沿x轴正向。t＝0时刻开始，某船保持船头始终朝向y轴正方向运动至江心，船在y方向上的初速度为零，加速度为。船在x轴方向上的速度始终与水速相同。在t＝5s时，船员相对船体以vz＝10m/s的速度将一个小石块垂直向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度取g＝10m/s2。求：
（1）t＝5s时船的位置坐标（x1，y1，z1）；
（2）石块到达最高点时的位置坐标（x2，y2，z2）。
命题点四　绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图8所示．
（2024 西城区校级模拟）如图所示，小球A、B用一根长为L的轻杆相连，竖直放置在光滑水平地面上，小球C挨着小球B放置在地面上。由于微小扰动，小球A沿光滑的竖直墙面下滑，小球B、C在同一竖直面内向右运动。当杆与墙面夹角为θ，小球A和墙面恰好分离，最后小球A落到水平地面上。下列说法中不正确的是（　　）
A．当小球A的机械能取最小值时，小球B与小球C的加速度为零
B．小球A由静止到与墙面分离的过程中，小球B的速度先增大后减小
C．当小球A和墙面恰好分离时，小球B与小球C也恰好分离
D．当小球A和墙面恰好分离时，A、B两球的速率之比为tanθ：1
（2024 碑林区校级模拟）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。施加微小的扰动，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两球的速度大小之比为4：3
B．甲、乙两球的速度大小之比为
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
（2023 琼山区校级三模）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（　　）
A．环减少的机械能大于重物增加的机械能
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为
D．环在B处的速度为
（2024 金台区模拟）我国研制的“威龙”J﹣20是高性能五代歼击机，它在空中能做连续的开普勒抛物线飞行，飞机飞行的轨迹从左向右运动，图中各点的速度与飞机所受合力的方向可能正确的（　　）
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
（2023 昌平区模拟）关于曲线运动，下列说法正确的是（　　）
A．曲线运动的速度方向可以不变
B．匀变速曲线运动任意相等时间内速度的变化量相同
C．速率恒定的曲线运动，任意相等时间内速度的变化量相同
D．物体受到的合外力持续为零时，物体仍可以做曲线运动
（2023 海口一模）如图所示，这是质点只在重力作用下所做的曲线运动轨迹的示意图，已知B为轨迹的最高点，则下列说法正确的是（　　）
A．质点在B点时的加速度方向与速度方向不垂直
B．质点在A点时的加速度比在B点时的加速度小
C．质点在C点时的速率大于在B点时的速率
D．质点从A点到C点，加速度方向与速度方向的夹角先减小后增大，速度先增大后减小
（2022 宜春模拟）图甲为2022年北京冬奥会我国运动员参加冰壶比赛的场景。比赛中投壶手在投出冰壶时会带有一定的旋转（自旋），擦冰手在冰壶运动的前方高速摩擦冰面（刷冰），减小冰壶前侧受到的摩擦力，可使冰壶做曲线运动。在图乙所示的各图中，圆表示冰壶，ω表示冰壶自旋的方向，v表示冰壶前进的方向，则在刷冰的过程中，冰壶运动的轨迹（虚线表示）可能正确的是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
（2024 苏州模拟）如图所示，一质点在光滑水平桌面上受水平恒力作用，先后经过a、b两点，速度方向偏转90°。已知经过a点的速度大小为v、方向与ab连线夹角为60°，ab连线长度为d。对质点从a到b的运动过程，下列说法正确的是（　　）
A．最小速度为
B．运动时间为
C．经过b点的速度为
D．恒力方向与ab连线的夹角为45°
（2024 福州二模）甲同学在水平匀速直线行驶的车上，利用实验装置竖直向上提起小球，观测小球的运动情况，并作出小球的速度平方与提起高度y的关系图像（如图所示）。静止在地面上的乙同学观察到小球的运动轨迹可能是（　　）
A．B． C． D．
（2024 吉林一模）质量为2kg的质点在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．质点的初速度为3 m/s
B．质点所受的合外力为3 N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直
D．2 s末质点速度大小为6 m/s
（2023 浙江模拟）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹。O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b时的加速度为g
B．炮弹经过c点时的加速度方向沿该点切线斜向上
C．炮弹经过a点时加速度的竖直分量大于g
D．炮弹由a点运动到b点的时间与由b点运动到c点的时间相等
（2023 河北模拟）如图所示，质量为m的物块放在光滑的水平桌面上，系在物块上的轻质绳子绕过光滑的定滑轮，滑轮右侧绳子水平，人拉着绳子的下端以速度v0水平向左做匀速运动，在拉紧的绳子与水平方向的夹角由53°变成37°的过程中（sin53°＝0.8、cos53°＝0.6），人对物体做的功为（　　）
A． B．
C． D．
（2023 黄埔区校级三模）在一次足球比赛中，队友甲示意队友乙向前跑。当队友乙在图中位置以某一速度匀速前跑时，队友甲将足球从静止瞬间踢起，足球轨迹如图所示且刚好落在队友乙的脚下。用v表示队友乙与足球的水平速度，s表示水平位移。速率越大，空气阻力越大，从踢起足球到落地，下列图像大致能反映乙和球的运动情况的是（　　）
A．B． C． D．
（2023 苏州三模）如图所示，质量为2m的小球A通过足够长的轻绳绕过定滑轮P与质量为m的小球B相连，通过长度为L的轻杆与转轴O相连，O、P距离为2L，且O、P在同一水平线上。初始时给小球A施加力F，使其刚好静止于O点正上方的Q点。重力加速度为g，不计一切摩擦和定滑轮质量，两球视为质点。求：
（1）小球A处于初始位置时的拉力的最小值F；
（2）撤去拉力F的瞬间，小球B的加速度aB；
（3）当A、B速度大小相等时，轻杆上的弹力FN。
（2020 平谷区一模）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图乙所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿OA方向运动，经时间t运动至对岸A处，位移为x1；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O点沿河岸运动，经相同时间t运动至下游B处，位移为x小船在流动的河水中，从O点出发，船头朝向OA方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图丙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为L，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。

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