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第9讲　平抛运动
知识内容 考试要求 说明
平抛运动 d 1.不要求推导合运动的轨迹方程． 2.不要求计算与平抛运动有关的相遇问题． 3.不要求定量计算有关斜抛运动的问题.
平抛运动
1．定义
将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．平抛运动的研究方法
将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成的方法进行合成．
4．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
(5)角度关系：tan θ＝2tan α.
命题点一　平抛运动的基本规律
1．飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关．
3．落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．重要推论：做平抛运动的物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线必通过此时水平位移的中点．
（2024 白银二模）如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经过A点时的速度大小为13m/s，从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球做平抛运动的初速度大小为10m/s
B．O、A两点间的距离为5m
C．A、B两点间的距离为10m
D．O、B两点间的距离为13m
（2024 重庆模拟）如图所示，在飞镖比赛中，某运动员先后两次将飞镖（可视为质点）从同一位置正对竖直固定靶上的O点水平抛出，第一次抛出的飞镖击中O点正下方的P点，第二次抛出的飞镖击中O点正下方的Q点。已知飞镖击中P点和Q点时速度大小相等，且OP＝L，PQ＝3L，不计空气阻力，则抛出点到O点的水平距离为（　　）
A．3L B．4L C．5L D．6L
（2024 重庆模拟）充气弹跳飞人娱乐装置如图1所示，开始时娱乐者静止躺在气包上，工作人员从站台上蹦到气包上，娱乐者即被弹起并落入厚厚的海洋球。若娱乐者弹起后做抛体运动，其重心运动轨迹如图2虚线POB所示。开始娱乐者所处的面可视为斜面AC，与水平方向夹角θ＝37°。已知娱乐者从P点抛起的初速度方向与AC垂直，B点到轨迹最高点O的竖直高度h＝3.2m，水平距离l＝2.4m，AB在同一水平面上，忽略空气阻力，sin37＝0.6，重力加速度g＝10m/s2，则（　　）
A．P点到B点的位移为3.6m
B．AB之间的距离为0.4m
C．娱乐者从P点到B点过程中的时间为1s
D．娱乐者从P点到B点过程中的最大速度9m/s
命题点二　有约束条件的平抛运动模型
模型1　对着竖直墙壁平抛
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
（2024 宿迁一模）如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则（　　）
A．两次击中墙时的速度相等
B．沿1轨迹打出时的初速度大
C．沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角大
D．从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动时间长
（2023 合川区模拟）在水平地面上O点正上方不同高度的A、B两点分别水平抛出一小球，不计空气阻力，如果两小球均落在同一点C上，则两小球（　　）
A．抛出时的速度大小可能相等
B．落地时的速度大小可能相等
C．落地时的速度方向可能相同
D．在空中运动的时间可能相同
（2023 西城区三模）如图所示，将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直墙上，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A．篮球两次撞墙的速度可能相等
B．从抛出到撞墙，第二次球在空中运动的时间较短
C．篮球两次抛出时速度的竖直分量可能相等
D．抛出时的动能，第一次一定比第二次大
模型2　斜面上的平抛问题
1．顺着斜面平抛(如图)
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．对着斜面平抛(如图10)
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
（2023 大庆模拟）如图所示，光滑斜面AB固定，倾角为37°，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为L，D点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物块与小球均视为质点，不计空气阻力。A、B两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
（2023 浙江模拟）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为30°且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同
B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比
C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角60°
D．运动员的质量越大，落点离A越远
（2023 张家口二模）如图所示，一个倾角为45°的斜面与一个圆弧对接，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　）
A．小球初速度不同，则运动时间一定不同
B．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同
C．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直
D．小球落到圆弧面上时位置越高，末速度越大
（2023 雨花区校级一模）如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为（　　）
A． B． C． D．
命题点三　平抛运动的临界问题
1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到临界的条件．
2．确立临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，还可以使一些隐藏于问题深处的条件暴露出来
（2023 青羊区校级模拟）如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3m的高处将排球以30m/s的速度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为9m。球网的高度为2m，对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3m的排球，起跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2。已知球员A、B的连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（　　）
A．排球运动到球网正上方的时间为0.3s
B．球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球
C．若球员B未拦到排球则排球不会出界
D．若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为2.6m
（2023 陈仓区一模）如图所示，棱长为1m的正方体空间图形ABCD﹣A1B1C1D1，其下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同的水平方向抛出，落点都在A1B1C1D1平面范围内（包括边界）。不计空气阻力，g取10m/s2，则（　　）
A．小球落在B1点时，初速度为，是抛出速度的最小值
B．小球落在C1点时，初速度为，是抛出速度的最大值
C．落在B1D1线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是1：2
D．落在B1D1线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是
（2023 东城区模拟）如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，墙的厚度d＝0.4m，某人在离墙壁距离L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10m/s2。则v的取值范围是（　　）
A．v＞7 m/s B．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
（2024 成都三模）如图，在篮球比赛中，运动员跳起将篮球投入篮筐，投球点和篮筐正好在同一水平面上，不计空气阻力和转动的影响，该篮球在斜抛运动过程中（　　）
A．在最高点时的速度为零
B．在最高点时的加速度为零
C．进筐时的速度与抛出点的速度相同
D．做匀变速曲线运动
（2024 通州区模拟）某弹射管在沿足够高的光滑竖直轨道自由下落的过程中，每隔相同时间以某一速度水平弹出一小球，且弹射管保持水平。若先后弹出a、b、c三只小球，忽略空气阻力，则（　　）
A．c球先落地
B．落地时三球速度方向不同
C．三球在空中始终在竖直线上
D．b球落地时在a、c两球连线的中点
（2024 开福区校级模拟）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，某同学将一石子从距水面高度为h处以v0水平抛出，观察到在水面跳了n次，第n+1次已不能从水面跳起。石子每次与水面接触后水平方向的速度方向不变大小减为接触前的一半、竖直方向的速度方向反向大小减为接触前的四分之三。不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　）
A．
B．
C．
D．
（2024 辽宁二模）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则v1：v2等于（　　）
A．4：3 B．5：4 C．8：7 D．9：8
（2024 宝鸡一模）如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度同时水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB：BC：CD＝5：3：1，由此可判断（　　）
A．三个小球做平抛运动的时间之比为1：2：3
B．三个小球落在斜面上时速度方向相同
C．三个小球的初速度大小之比为1：2：3
D．三个小球的运动轨迹可能在空中相交
（2024 白云区校级模拟）如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s，水平距离都是7.5m，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球做平抛运动的初速度大小为10m/s
B．O、A两点间的竖直高度为1.25m
C．小球在A点的速度大小为15m/s
D．小球在B点的速度大小为35m/s
（2024 济南模拟）如图所示，某次足球比赛中，运动员用头将足球从离地面高度为2h处的O点斜向下顶出，足球从地面P点弹起后水平经过距离地面高度为2h的Q点。已知P点到O点和Q点的水平距离分别为s和2s，足球触地弹起前后水平速度不变。重力加速度为g，忽略空气阻力，则足球从O点顶出时的速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
（2024 宁波模拟）图为西湖音乐喷泉某时刻的照片，水从喷口倾斜射出，空中呈现不同的抛物线，取其中4条抛物线，分别记作①②③④，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　）
A．4条水柱中，①中的水上升较高，其出射速度最快
B．②中的水比③中的水在空中运动的时间长
C．在最高点，②中的水比③中的水速度大
D．喷口水平倾角越小，水射程越远
（2024 莲湖区校级模拟）2022年冬奥会即将在北京召开。如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道AB上由静止开始滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，E是运动轨迹上的某一点，在该点运动员的速度方向与轨道CD平行，设运动员从C到E与从E到D的运动时间分别为t1、t2，EF垂直CD，则有关离开C点后的飞行过程（　　）
A．一定有t1＝t2，且CF：FD＝1：3
B．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向夹角变大
C．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向不变
D．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的距离增加相同的倍数
（2024 南昌一模）一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所示甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处清火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是（　　）
A．v1＞v2，t1＝t2 B．v1＜v2，t1＝t2
C．v1＞v2，ι1＜t2 D．v1＜v2，t1＜t2
（2024 道里区校级一模）“刀削面”是我国传统面食制作手法之一。操作手法是一手托面，一手拿刀，将面削到开水锅里，如图甲所示。某次削面的过程可简化为图乙，面片（可视为质点）以初速度v0＝2m/s水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中，锅的截面可视为圆心在O点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为45°，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．面片在空中运动的水平位移为0.2m
B．面片运动到锅边缘时的速度大小为4m/s
C．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则面片处于超重状态
D．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则所受摩擦力大小保持不变
（2024 合肥一模）某同学在运动场内将足球踢出有一定厚度的围墙外，场外路人将足球从水平地面上某点正对围墙踢回场内，恰好人对其做功最少，球的初速度方向与地面成θ角，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．θ＞45°
B．θ＝45°
C．θ＜45°
D．θ可取小于90°的任意值
（2024 雨花区校级一模）如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球（视为质点），某次乒乓球与墙壁上的P点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的Q点，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。若球拍与水平方向的夹角为45°，乒乓球落到球拍前瞬间的速度大小为4m/s，则P、Q两点的高度差为（　　）
A．0.1m B．0.2m C．0.4m D．0.8m
（2023 市中区校级二模）军事训练中的火炮掩蔽所可简化为如图模型，火炮从掩蔽所下向外发射炮弹，掩蔽所的顶板与水平地面成α＝37°角，炮位O与掩蔽所顶点P相距l＝10m，火炮口离地高度可忽略，炮弹可视为质点，不计空气阻力，g取10m/s2，取2.45，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若从O处发出的炮弹运行轨道恰好与PA相切，且发射时速度方向为右偏上θ＝53°，求：发射速度v0的大小；
（2）若炮弹发射的初速度为（1）中所求v0，向右上方发射的速度方向可调，试求炮弹的最远射程x。
（2023 潍坊二模）“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水面时并不会直接沉入水中、而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中，俗称“打水漂”。如图所示，某同学在岸边离水面高度h0＝0.8m处，将一质量m＝20g的小石片以初速度v0＝16m/s水平抛出。若小石片第1次在水面上滑行时受到水平阻力的大小为1.2N，接触水面0.1s后弹起，弹起时竖直方向的速度是刚接触水面时竖直速度的。取重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）小石片第1次离开水面后到再次碰到水面前，在空中运动的水平距离；
（2）第1次与水面接触过程中，水面对小石片的作用力大小。第9讲　平抛运动
知识内容 考试要求 说明
平抛运动 d 1.不要求推导合运动的轨迹方程． 2.不要求计算与平抛运动有关的相遇问题． 3.不要求定量计算有关斜抛运动的问题.
平抛运动
1．定义
将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动．
2．性质
加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．
3．平抛运动的研究方法
将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成的方法进行合成．
4．基本规律
以抛出点为原点，水平方向(初速度v0方向)为x轴，竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：速度vx＝v0，位移x＝v0t.
(2)竖直方向：速度vy＝gt，位移y＝gt2.
(3)合速度：v＝，方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝.
(4)合位移：s＝，方向与水平方向的夹角为α，tan α＝＝.
(5)角度关系：tan θ＝2tan α.
命题点一　平抛运动的基本规律
1．飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关．
3．落地速度：v＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4．重要推论：做平抛运动的物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线必通过此时水平位移的中点．
（2024 白银二模）如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经过A点时的速度大小为13m/s，从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球做平抛运动的初速度大小为10m/s
B．O、A两点间的距离为5m
C．A、B两点间的距离为10m
D．O、B两点间的距离为13m
【解答】解：A。由题意知下落到A点竖直方向的速度为vyA＝gt＝10×0.5m/s＝5m/s
小球做平抛运动的初速度大小为m/s＝12m/s，故A错误；
B、O、A两点间的竖直高度为m＝1.25m
水平位移为xA＝v0t＝12×0.5m/s＝6m
所以O、A两点间的距离为m＝6.13m，故B错误；
C、O、B两点间的竖直高度为m＝5m
水平位移为xB＝v0 2t＝12×2×0.5m＝12m
A、B两点间的竖直高度为h1＝yB﹣yA＝5m﹣1.25m＝3.75m
A、B两点间的水平位移为x1＝xB﹣xA＝12m﹣6m＝6m
A、B两点间的距离为m＝6.32m，故C错误；
D、O、B两点间的距离为M＝13m，故D正确。
故选：D。
（2024 重庆模拟）如图所示，在飞镖比赛中，某运动员先后两次将飞镖（可视为质点）从同一位置正对竖直固定靶上的O点水平抛出，第一次抛出的飞镖击中O点正下方的P点，第二次抛出的飞镖击中O点正下方的Q点。已知飞镖击中P点和Q点时速度大小相等，且OP＝L，PQ＝3L，不计空气阻力，则抛出点到O点的水平距离为（　　）
A．3L B．4L C．5L D．6L
【解答】解：飞镖第一次抛出过程，满足
x＝v1t1，
又
飞镖第二次抛出过程，满足
x＝v2t2，
又
联立解得：
x＝4L
故ACD错误；B正确。
故选：B。
（2024 重庆模拟）充气弹跳飞人娱乐装置如图1所示，开始时娱乐者静止躺在气包上，工作人员从站台上蹦到气包上，娱乐者即被弹起并落入厚厚的海洋球。若娱乐者弹起后做抛体运动，其重心运动轨迹如图2虚线POB所示。开始娱乐者所处的面可视为斜面AC，与水平方向夹角θ＝37°。已知娱乐者从P点抛起的初速度方向与AC垂直，B点到轨迹最高点O的竖直高度h＝3.2m，水平距离l＝2.4m，AB在同一水平面上，忽略空气阻力，sin37＝0.6，重力加速度g＝10m/s2，则（　　）
A．P点到B点的位移为3.6m
B．AB之间的距离为0.4m
C．娱乐者从P点到B点过程中的时间为1s
D．娱乐者从P点到B点过程中的最大速度9m/s
【解答】解：由抛体运动的规律可知，从P到B的过程中水平方向的分速度不变，等于在最高点O点的速度，设为v0
由平抛运动的规律可得
水平方向l＝v0t1
竖直方向hgt12
由已知代入数据解得
t1＝0.8s，v0＝3m/s
已知在P点速度垂直AC可分解为水平速度v0和竖直向上的分速度vpy
由几何知识可得
代入数据解得
从P到O竖直方向做竖直上抛运动，时间t2满足
vpy＝gt2，代入数据记得
则PO的竖直分位移为
水平分位移为xpo＝v0t2＝3×0.4m＝1.2m
A.PB的水平分位移为xPB＝l+xpo＝2.4m+1.2m＝3.6m
竖直分位移为yPB＝h﹣ypo＝3.2m﹣0.8m＝2.4m
由勾股定理可得P到B的位移为
故A错误；
B.PA的水平分位移为
则AB之间的距离为xAB＝xPB﹣xPA＝3.6m﹣3.2m＝0.4m
故B正确；
C.P到B的时间为t＝t1+t2＝0.8s+0.4s＝1.2s
故C错误；
D.由抛体运动的规律可知，速度最大的位置为B点，竖直分速度为vBy＝gt1＝10×0.8m/s＝8m/s
水平分速度为v0＝3m/s
B点速度为，故D错误。
故选：B。
命题点二　有约束条件的平抛运动模型
模型1　对着竖直墙壁平抛
如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
（2024 宿迁一模）如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则（　　）
A．两次击中墙时的速度相等
B．沿1轨迹打出时的初速度大
C．沿1轨迹打出时速度方向与水平方向夹角大
D．从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动时间长
【解答】解：球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，则此时小球在竖直方向上的速度分量为0，两次运动可以逆向看成平抛运动，则有
因为球1与球2竖直方向上的位移h相等，所以运动时间相等，vy也相等。根据，则
vx1＞vx2
所以
v1＞v2
A.两次击中墙时的速度就等于初速度在水平方向上的分量，因为vx1＞vx2，所以两次击中墙时的速度不相等，故A错误；
B.因为两球竖直方向上的速度分量相等，球1水平方向上的速度分量大于球2水平方向上的速度分量，则球1的初速度大于球2的初速度，故B正确；
C.设球打出时速度方向与水平方向夹角为θ，则根据平抛运动的推论有
所以
tanθ1＜tanθ2
则
θ1＜θ2
故C错误；
D.从打出到撞墙，两球在空中运动时间相等，故D错误；
故选：B。
（2023 合川区模拟）在水平地面上O点正上方不同高度的A、B两点分别水平抛出一小球，不计空气阻力，如果两小球均落在同一点C上，则两小球（　　）
A．抛出时的速度大小可能相等
B．落地时的速度大小可能相等
C．落地时的速度方向可能相同
D．在空中运动的时间可能相同
【解答】解：AD、根据h得：t，由于hB＞hA，则tA＜tB，平抛运动的初速度，因为水平位移相等，则v0A＞v0B，故A、D错误；
B、根据平行四边形定则知，落地速度：，高度小的初速度大，高度大的初速度小，可知落地时速度大小可能相等，故B正确；
C、设速度方向与水平方向的夹角为θ，则有：，高度小的初速度大，可知从A点抛出的小球落地时速度方向与水平方向的夹角较小，故C错误。
故选：B。
（2023 西城区三模）如图所示，将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直墙上，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A．篮球两次撞墙的速度可能相等
B．从抛出到撞墙，第二次球在空中运动的时间较短
C．篮球两次抛出时速度的竖直分量可能相等
D．抛出时的动能，第一次一定比第二次大
【解答】解：AB、将篮球的运动反向处理，即为平抛运动，第二次下落的高度较小，根据t知，第二次球在空中运动的时间较短，由于水平位移相等，可知第二次撞墙的速度较大，故A错误，B正确。
CD、根据vy＝gt知，第二次抛出时速度的竖直分量较小，根据速度的合成可知，不能确定抛出时的速度大小，动能大小不能确定，故CD错误。
故选：B。
模型2　斜面上的平抛问题
1．顺着斜面平抛(如图)
方法：分解位移．
x＝v0t，
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
2．对着斜面平抛(如图10)
方法：分解速度．
vx＝v0，
vy＝gt，
tan θ＝＝，
可求得t＝.
（2023 大庆模拟）如图所示，光滑斜面AB固定，倾角为37°，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为L，D点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物块与小球均视为质点，不计空气阻力。A、B两点间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：（1）小球从D点运动到P点的过程做平抛运动，如图所示：
有Lcosθ＝v0t；tanθ
解得：
t
设物块沿斜面下滑的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得：mgsinθ＝ma
根据运动学公式可得：d
s＝d+L
解得：s
故ABD错误，C正确；
故选：C。
（2023 浙江模拟）跳台滑雪是一项勇敢者的运动，某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜面AB上的B处着陆，斜面AB与水平方向夹角为30°且足够长，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．运动员在空中相同时间内的速度变化相同
B．运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度成正比
C．运动员落在B处的速度与水平方向夹角60°
D．运动员的质量越大，落点离A越远
【解答】解：A．运动员在空中只受重力，加速度恒定，由v＝gt可知，单位时间内速度变化相同，故A正确；
B．落点到A的距离利用平抛规律可知，水平方向上有：x＝v0t，竖直方向上有：；根据运动的合成和分解规律可知，，解得水平位移，联立解得，
所以运动员在斜面上的落点到A点的距离与初速度的平方成正比，故B错误；
C．根据平抛运动的结论速度夹角的正切值是位移夹角正切值的2倍可知，速度与水平方向夹角的正切值是2tan30°，故C错误；
D．根据平抛运动的规律可知，平抛运动与质量无关，所以落点与质量无关，故D错误。
故选：A。
（2023 张家口二模）如图所示，一个倾角为45°的斜面与一个圆弧对接，斜面的底端在圆心O的正下方。从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是（　　）
A．小球初速度不同，则运动时间一定不同
B．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同
C．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直
D．小球落到圆弧面上时位置越高，末速度越大
【解答】解：A、平抛运动的时间由下落的高度决定。若小球落到斜面与圆弧面上时的下落高度相同，则小球平抛运动的时间相同，故A错误；
B、设斜面倾角为θ，小球落到斜面上时速度与水平方向夹角为α，则，；故tanα＝2tanθ，只要是小球落在斜面上时，其速度方向一定相同，故B正确；
C、小球落到圆弧面上时，若落点速度方向与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线通过圆心，但由平抛运动规律知，速度的反向延长线应通过水平位移的中点，又因为水平位移的中点不可能是圆心，所以小球落到圆弧面上时，其速度方向不可能与该处圆的切线垂直，故C错误；
D．设小球的初速度为v0运动时间为t，则小球落到圆弧面上时速度大小为，当v0越大时落点位置越高，但t越小，v不一定大，故D错误。
故选：B。
（2023 雨花区校级一模）如图示，半圆轨道固定在水平面上，一小球（小球可视为质点）从半圆轨道上B点沿切线斜向左上方抛出，到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球在A点正上方的水平速度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：小球做斜抛运动，由于到达半圆轨道左端A点正上方某处小球的速度刚好水平，根据逆向思维，可知小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则：，因为，则竖直位移：，而：，所以：，解得小球在A点正上方的水平速度为：，故A正确，BCD错误。
故选：A。
命题点三　平抛运动的临界问题
1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到临界的条件．
2．确立临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图，画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，还可以使一些隐藏于问题深处的条件暴露出来
（2023 青羊区校级模拟）如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3m的高处将排球以30m/s的速度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为9m。球网的高度为2m，对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3m的排球，起跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2。已知球员A、B的连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（　　）
A．排球运动到球网正上方的时间为0.3s
B．球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球
C．若球员B未拦到排球则排球不会出界
D．若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为2.6m
【解答】解：A、排球做平抛运动，水平方向为匀速直线运动，则排球运动到球员B位置的时间
故A正确；
B、排球竖直方向做自由落体运动，该段时间排球下落的高度
此时排球离地高度h3＝H﹣h＝3m﹣0.45m＝2.55m＞h1＝2.3m
故球员B在球网前直立伸直手臂拦不到排球，故B错误；
CD、竖直方向，由位移—时间公式得：
代入数据解得，排球从被击出到落地的时间
排球运动的水平距离x＝vt2＝30m＝6m＞18m
排球将出界，故CD错误。
故选：A。
（2023 陈仓区一模）如图所示，棱长为1m的正方体空间图形ABCD﹣A1B1C1D1，其下表面在水平地面上，将可视为质点的小球从顶点A在∠BAD所在范围内（包括边界）分别沿不同的水平方向抛出，落点都在A1B1C1D1平面范围内（包括边界）。不计空气阻力，g取10m/s2，则（　　）
A．小球落在B1点时，初速度为，是抛出速度的最小值
B．小球落在C1点时，初速度为，是抛出速度的最大值
C．落在B1D1线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是1：2
D．落在B1D1线段上的小球，平抛时初速度的最小值与最大值之比是
【解答】解：AB.小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，
有：Lgt2得出：t因为下落高度相同，所以平抛运动的时间相等，由几何关系可知，小球的落地点离A1越近，则小球在水平方向的位移越小，所以小球在 B1时，不是抛出的最小值，落在C1时水平位移最大，最大位移为正方形的对角线的长度，即为，v0t得为抛出速度的最大值，故AB错误；
CD.由几何关系可得B1D1的中点离A1最近，B1或D1离A1最远，故初速度的最小值与最大值的比为1：，故D正确，C错误。
故选：D。
（2023 东城区模拟）如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，墙的厚度d＝0.4m，某人在离墙壁距离L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10m/s2。则v的取值范围是（　　）
A．v＞7 m/s B．v＜2.3 m/s
C．3 m/s＜v＜7 m/s D．2.3 m/s＜v＜3 m/s
【解答】解：小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，
此时有L＝vmaxt
代入数据解得vmax＝7m/s
恰好擦着窗口下沿左侧时速度v最小，
则有L+d＝vmint'
代入数据解得vmin＝3m/s
故v的取值范围是3m/s＜v＜7m/s。
故选：C。
（2024 成都三模）如图，在篮球比赛中，运动员跳起将篮球投入篮筐，投球点和篮筐正好在同一水平面上，不计空气阻力和转动的影响，该篮球在斜抛运动过程中（　　）
A．在最高点时的速度为零
B．在最高点时的加速度为零
C．进筐时的速度与抛出点的速度相同
D．做匀变速曲线运动
【解答】解：AB、篮球在最高点时，竖直方向速度为0，但是水平方向还有速度，且整个运动过程篮球受重力的影响，始终有竖直向下的重力加速度，故AB错误；
C、根据斜抛运动的对称性，由于投球点和篮筐正好在同一水平面上，所以抛出速度大小和进筐时的速度大小相同，但是速度的方向不同，故C错误；
D、由于篮球全程只受重力影响，所以只有重力加速度对篮球有影响，且斜抛运动为曲线运动，所以篮球做匀变速曲线运动，故D正确。
故选：D。
（2024 通州区模拟）某弹射管在沿足够高的光滑竖直轨道自由下落的过程中，每隔相同时间以某一速度水平弹出一小球，且弹射管保持水平。若先后弹出a、b、c三只小球，忽略空气阻力，则（　　）
A．c球先落地
B．落地时三球速度方向不同
C．三球在空中始终在竖直线上
D．b球落地时在a、c两球连线的中点
【解答】解：A、设弹出a球时，轨道的速度为v0，弹出小球的间隔为Δt，所以当刚弹出b球时，a球竖直方向的位移为x＝v0Δtg（Δt）2，轨道的位移也为x＝v0Δtg（Δt）2，所以b球和a球处在同一高度，且b球竖直方向的速度即为轨道竖直方向的速度，为v＝v0+gΔt，a球竖直方向的速度也为v＝v0+gΔt，说明竖直速度相同，同理也可分析出刚弹出c球时，c球、b球和a球的高度和竖直速度时相同的，所以三球同时落地，故A错误；
B、根据A选项可知，a、b、c三球最终落地的竖直方向速度相同，同时由于弹出的水平初速度相同，所以最终落地时三球速度方向相同，故B错误；
CD、三球在空中的竖直速度是相同的，水平速度也是相同的，但是由于a先于b，b先于c弹出，当c刚弹出时，此时a已经运动了2Δt，b运动了Δt，所以a在水平方向上a的位移为xa＝2vΔt，b的水平位移为xb＝vΔt，且由于竖直速度相同，所以三球在空中始终在水平线上，且b始终在a和c的中点，故C错误，D正确；
故选：D。
（2024 开福区校级模拟）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。要使石子从水面跳起产生“水漂”效果，石子接触水面时的速度方向与水面的夹角不能大于θ。为了观察到“水漂”，某同学将一石子从距水面高度为h处以v0水平抛出，观察到在水面跳了n次，第n+1次已不能从水面跳起。石子每次与水面接触后水平方向的速度方向不变大小减为接触前的一半、竖直方向的速度方向反向大小减为接触前的四分之三。不计石子在空中飞行时的空气阻力，重力加速度大小为g，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意水平方速度在跳了第n次之后vxnv0
根据2gh可知，竖直方向第一次与水面接触时的速度为，vy
竖直方向速度在跳了n次之后vyn
由题可知tanθ
同理可知，vx（n+1），
根据题意可知tanθ
联立解得，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2024 辽宁二模）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则v1：v2等于（　　）
A．4：3 B．5：4 C．8：7 D．9：8
【解答】解：A、B竖直方向做自由落体运动，位移为
落点相同即hA＝hB，tA＝tB＝t，vA1＝vB1
，xA＝v1t
联立上式代入数据解得
垂直打在该点则
所以v1：v2＝9：8，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2024 宝鸡一模）如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度同时水平抛出一小球，不计空气阻力，三个小球均落在斜面上的D点，测得AB：BC：CD＝5：3：1，由此可判断（　　）
A．三个小球做平抛运动的时间之比为1：2：3
B．三个小球落在斜面上时速度方向相同
C．三个小球的初速度大小之比为1：2：3
D．三个小球的运动轨迹可能在空中相交
【解答】解：A．小球做平抛运动，竖直方向有
根据几何关系有
AD：BD：CD＝9：4：1
三个小球做平抛运动的时间之比为
tA：tB：tC＝3：2：1
故A错误；
B．小球在水平方向做匀速直线运动，则
x＝v0t
三个小球均落在斜面上的D点，根据位移间的关系有
设三个小球速度偏转角为α，则
可知三个小球速度偏转角相同，三个小球落在斜面上时速度方向相同，故B正确；
C．三个小球均落在斜面上的D点，根据竖直位移与水平位移的关系有
三个小球的初速度大小之比为
vA：vB：vC＝3：2：1
故C错误；
D．三个小球做平抛运动，三个小球的运动轨迹为抛物线，且交于D点，故三个小球的运动轨迹不可能在空中相交，故D错误。
故选：B。
（2024 白云区校级模拟）如图所示，一小球从O点水平抛出后的轨迹途经A、B两点，已知小球经从O到A的时间和从A到B的时间都等于0.5s，水平距离都是7.5m，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球做平抛运动的初速度大小为10m/s
B．O、A两点间的竖直高度为1.25m
C．小球在A点的速度大小为15m/s
D．小球在B点的速度大小为35m/s
【解答】解：A、根据小球在水平方向上做匀速的直线运动可知，m/s＝15m/s，故A错误；
B、根据小球在竖直方向上做自由落体运动，可知hm＝1.25m，故B正确；
C、小球在A点的竖直速度vy＝gt＝10×0.5m/s＝5m/s，根据运动的合成可知小球在A点的速度v，解得v＝5m/s，故C错误；
D、小球在B点的竖直速度vy'＝gt'＝10×1m/s＝10m/s，根据运动的合成可知小球在B点的速度v'，解得v'＝5m/s，故D错误；
故选：B。
（2024 济南模拟）如图所示，某次足球比赛中，运动员用头将足球从离地面高度为2h处的O点斜向下顶出，足球从地面P点弹起后水平经过距离地面高度为2h的Q点。已知P点到O点和Q点的水平距离分别为s和2s，足球触地弹起前后水平速度不变。重力加速度为g，忽略空气阻力，则足球从O点顶出时的速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设足球从O点顶出时的速度大小为v，与水平方向的夹角为θ，足球触地弹起后的速度大小为v′，足球从O点顶出到落地的时间为t1，足球从地面弹起到经过Q点的时间为t2，足球落地时竖直方向的速度大小为vy，则有
落地竖直速度：vy＝vsinθ+gt1
落地过程中水平方向通过距离：s＝vcosθt1
反弹速度为：
上升过程中水平距离为：2s＝vcosθt2
下落高度为：
反弹后上升高度为：
联立解得
，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024 宁波模拟）图为西湖音乐喷泉某时刻的照片，水从喷口倾斜射出，空中呈现不同的抛物线，取其中4条抛物线，分别记作①②③④，空气阻力不计，下列说法正确的是（　　）
A．4条水柱中，①中的水上升较高，其出射速度最快
B．②中的水比③中的水在空中运动的时间长
C．在最高点，②中的水比③中的水速度大
D．喷口水平倾角越小，水射程越远
【解答】解：A、4条水柱中，①中的水上升较高，水在空中的运动时间最大，出射时的竖直速度最大，而其水平位移最小，所以水平速度最小，则出射速度不一定最大，故A错误；
B、②中的水的高度大于③中的水的高度，所以②中的水在空中运动的时间长，故B正确；
C、在最高点，水的速度为水平方向速度，而②中的水比③中的水水平速度小，故C错误；
D、水的射程为
当喷口水平倾角为45°时，水射程越远，故D错误。
故选：B。
（2024 莲湖区校级模拟）2022年冬奥会即将在北京召开。如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道AB上由静止开始滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，E是运动轨迹上的某一点，在该点运动员的速度方向与轨道CD平行，设运动员从C到E与从E到D的运动时间分别为t1、t2，EF垂直CD，则有关离开C点后的飞行过程（　　）
A．一定有t1＝t2，且CF：FD＝1：3
B．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向夹角变大
C．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的速度方向不变
D．若运动员离开C点的速度加倍，则落在斜面上的距离增加相同的倍数
【解答】解：A．依题意，以C点为原点，以CD为x轴，以CD垂直向上方向为y轴，建立坐标系如图所示：
对运动员的运动进行分解，y轴方向做类竖直上抛运动，x轴方向做匀加速直线运动，当运动员到E点速度方向与轨道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据竖直上抛运动的对称性可知：
t1＝t2
而x轴方向运动员做匀加速运动，初速度不为零，可得
CF：FD≠1：3
故A错误；
BC．设运动员落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角为α，斜面的倾角为θ，根据平抛运动推论则有
联立解得
tanα＝2tanθ
由此可知当θ一定时，α也一定，所以运动员落在斜面上的速度方向与从C点飞出时的速度大小无关，落在斜面上的速度方向不变。故B错误；C正确；
D．依题意，运动员离开C点的速度如果变为原来的2倍，则运动员在空中的运动时间将变为原来的2倍，可知其水平位移、竖直位移均变为原来的4倍，落在斜面上的距离也将变为原来的4倍。故D错误。
故选：C。
（2024 南昌一模）一住宅阳台失火，消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，如图所示甲水柱射向水平阳台近处着火点A，乙水柱射向水平阳台远处清火点B，两水柱最高点在同一水平线上，不计空气阻力，甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱在空中运动的时间分别为t1、t2。以下判断正确的是（　　）
A．v1＞v2，t1＝t2 B．v1＜v2，t1＝t2
C．v1＞v2，ι1＜t2 D．v1＜v2，t1＜t2
【解答】解：从最高点到失火处水做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由h，解得：t，因为从最高点到失火处两水枪喷出的水下落高度相等，所以从最高点到失火处两水枪喷出的水运动时间相等。从喷出到最高点的逆过程也是平抛运动，上升高度相等，运动时间相等，所以甲、乙水枪喷出的水在空中运动的时间相同。
从最高点到失火处的过程，甲水枪喷出的水水平射程较小，运动时间相等，由x＝vxt知甲水枪喷出的水速度在水平方向的分量vx较小，而其竖直方向的分速度vy与乙的相同，根据v可知甲的初速度v1小于乙的初速度v2，故A正确，BCD错误。
故选：B。
（2024 道里区校级一模）“刀削面”是我国传统面食制作手法之一。操作手法是一手托面，一手拿刀，将面削到开水锅里，如图甲所示。某次削面的过程可简化为图乙，面片（可视为质点）以初速度v0＝2m/s水平飞出，正好沿锅边缘的切线方向掉入锅中，锅的截面可视为圆心在O点的圆弧，锅边缘与圆心的连线与竖直方向的夹角为45°，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．面片在空中运动的水平位移为0.2m
B．面片运动到锅边缘时的速度大小为4m/s
C．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则面片处于超重状态
D．若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，则所受摩擦力大小保持不变
【解答】解：B、面片运到锅边的速度大小为：
，故B错误；
A、面片在竖直方向上的速度为：
vy＝v0＝gt
水平方向上，x＝v0t
联立解得：x＝0.4m，故A错误；
C、若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，面片有指向圆心的加速度，指向圆心的加速度有竖直向上的分量，则面片处于超重状态，故C正确；
D、若面片落入锅中后可沿锅内表面匀速下滑，其向心加速度的大小不变，方向在时刻变化，则支持力的大小也跟着变化，因此摩擦力的大小发生变化，故D错误；
故选：C。
（2024 合肥一模）某同学在运动场内将足球踢出有一定厚度的围墙外，场外路人将足球从水平地面上某点正对围墙踢回场内，恰好人对其做功最少，球的初速度方向与地面成θ角，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．θ＞45°
B．θ＝45°
C．θ＜45°
D．θ可取小于90°的任意值
【解答】解：要使做功最少，当球恰好经过围墙上方时，竖直速度为0，设用时为t，球的质量为m，初始水平速度为vx，初始竖直速度为vy，围墙高度为H
则mgHm，水平距离x＝vxt，围墙高度Hvyt，tanθ
根据功能关系有mgH＝4（tanθ）2m，
人对球做功Wmvx2mmgH（1）
当tanθ取最大值时，做功最小，但θ不等于90度，所以θ大于45度，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 雨花区校级一模）如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球（视为质点），某次乒乓球与墙壁上的P点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的Q点，取重力加速度大小g＝10m/s2，不计空气阻力。若球拍与水平方向的夹角为45°，乒乓球落到球拍前瞬间的速度大小为4m/s，则P、Q两点的高度差为（　　）
A．0.1m B．0.2m C．0.4m D．0.8m
【解答】解：由于恰好垂直落在球拍上的Q点，根据几何关系得：vQcos45°＝gt，解得ts
根据乒乓球在竖直方向上的运动规律，由hgt2，
解得：hm＝0.4m，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023 市中区校级二模）军事训练中的火炮掩蔽所可简化为如图模型，火炮从掩蔽所下向外发射炮弹，掩蔽所的顶板与水平地面成α＝37°角，炮位O与掩蔽所顶点P相距l＝10m，火炮口离地高度可忽略，炮弹可视为质点，不计空气阻力，g取10m/s2，取2.45，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
（1）若从O处发出的炮弹运行轨道恰好与PA相切，且发射时速度方向为右偏上θ＝53°，求：发射速度v0的大小；
（2）若炮弹发射的初速度为（1）中所求v0，向右上方发射的速度方向可调，试求炮弹的最远射程x。
【解答】解：（1）以O点为坐标系原点，取平行于PA方向为x轴方向，垂直于掩蔽所顶板的方向为y轴方向。
在此坐标系中，炮弹运动在y方向的初速度为vy＝v0sin（θ﹣α），加速度为ay＝﹣gcosα，
若炮弹运动轨道恰好与PA相切，即相切点A的y坐标值为yA＝lsinα，则，解得，
故，即，
解得m/s＝35m/s，所以发射速度v0的大小为35m/s。
（2）设出射角为β，在竖直方向上有vy＝v0sinβ，
设炮弹在整个过程运动的时间为t，由对称性可得，解得，
在水平方向上有x＝v0cosβ t，即，当β＝45°时，β＜53°能取到最大值，
所以炮弹的最远射程为m＝122.5m。
答：（1）发射速度v0的大小为35m/s；
（2）炮弹最远射程为122.5m。
（2023 潍坊二模）“打水漂”是很多同学体验过的游戏，小石片被水平抛出，碰到水面时并不会直接沉入水中、而是擦着水面滑行一小段距离再次弹起飞行，跳跃数次后沉入水中，俗称“打水漂”。如图所示，某同学在岸边离水面高度h0＝0.8m处，将一质量m＝20g的小石片以初速度v0＝16m/s水平抛出。若小石片第1次在水面上滑行时受到水平阻力的大小为1.2N，接触水面0.1s后弹起，弹起时竖直方向的速度是刚接触水面时竖直速度的。取重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。求：
（1）小石片第1次离开水面后到再次碰到水面前，在空中运动的水平距离；
（2）第1次与水面接触过程中，水面对小石片的作用力大小。
【解答】（1）开始小石片做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，设第一次刚刚接触水面的速度为vy，有，则
第一次刚接触水面弹起时竖直方向的速度vy1
小石片第1次在水面上滑行时受到水平阻力的大小为1.2N，规定初速度方向为正方向，根据牛顿第二定律得，﹣f＝ma，则
设接触水面0.1s后弹起的水平速度为vx，根据运动学公式有vx＝v0+at＝16m/s+（﹣60）×0.1m/s＝10m/s
设第1次离开水面后到再次碰到水面前在空中运动时间为t1，t1
在空中运动的水平距离x＝vxt1＝10×0.6m＝6m；
（2）设水面对小石片竖直方向的作用力为F，设竖直向上为正方向，根据动量定理得（F﹣mg）t＝mvy1﹣mvy
解得1.6N
第1次与水面接触过程中，水面对小石片的作用力大小F′。
答：（1）小石片第1次离开水面后到再次碰到水面前，在空中运动的水平距离为6m；
（2）第1次与水面接触过程中，水面对小石片的作用力大小为2N。

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