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第11讲　万有引力与航天
知识内容 考试要求 说明
行星的运动 a 1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节． 2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题． 3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法． 4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力． 5.不要求分析重力随纬度变化的原因． 6.不要求计算与引力势能有关的问题.
太阳与行星间的引力 a
万有引力定律 c
万有引力理论的成就 c
宇宙航行 c
经典力学的局限性 a
一、开普勒行星运动三定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝G.
3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．
4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、万有引力理论的成就
1．预言未知天体
2．计算天体质量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．
2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.
命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．该定律只能用在绕同一中心天体运行的星体之间．
（2024 徐州二模）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨道如图所示，哈雷彗星最近出现在地球附近是1986年，预计下次将在2061年飞近地球。则哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的（　　）
A．8倍 B．18倍 C．28倍 D．38倍
（2024 广东模拟）如图所示为太阳系主要天体的分布示意图，下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是（　　）
A．所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动
B．地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等
C．所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等
D．地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点
（2024 辽宁模拟）北京时间2023年9月21日15时48分，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课。已知中国空间站绕地球做匀速圆周运动的周期约为90分钟，则其公转轨道半径和地球同步卫星的公转轨道半径之比约为（　　）
A．8： B．：8 C．1：4 D．4：1
命题点二　万有引力定律的理解和应用
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度：
ρ＝＝＝.
（2024 合肥二模）2024年3月，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。鹊桥二号入轨后，通过轨道修正、近月制动等系列操作，最终进入近月点约200km、远月点约16000km、周期为24h的环月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约1800km，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。由上述数据可知月球的质量接近于（　　）
A．7.5×1018kg B．7.5×1020kg
C．7.5×1022kg D．7.5×1024kg
（2024 枣庄一模）地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，即月球永远以同一面朝向着地球。如图所示，太阳光平行照射到地球上，月球绕地球做匀速圆周运动的半径为r。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，设从月球上正对地球的P点看向地球的视角为α。在月球绕地球运动一周的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．地球的密度为 B．月球自转的角速度为
C．太阳光照射月球的时间为 D．月球上的P点被照亮的时间为
（2024 锦州一模）2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”。下列说法正确的是（　　）
A．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
C．给出万有引力常量和地球半径再结合题干信息，可以估算出地球的质量
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
命题点三　宇宙航行和卫星问题
1．第一宇宙速度
(1)推导方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
2．卫星运行参量的分析
卫星运行参量 相关方程 结论
线速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为天体表面处的重力加速度)
（2024春 苏州期中）一绕地球做匀速圆周运动的人造卫星经变轨后轨道半径增大到原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则（　　）
A．卫星所需的向心力将减小到原来的
B．卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
C．卫星所受的万有引力将减小到原来的
D．卫星运动的周期增大到原来的4倍
（2024春 苏州期中）如图所示，运载火箭运行至P点时分别将A、B两颗卫星送入预定椭圆轨道1和椭圆轨道2。P点为椭圆轨道的近地点，B卫星在远地点Q处变轨至椭圆轨道3运动，下列说法正确的是（　　）
A．两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P点时加速度大小相等
B．两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P点时速度大小相等
C．B卫星在椭圆轨道上经过P点时速度小于经过Q点速度
D．B卫星在P点的动能小于其在轨道3上Q点的动能
（2024 龙岗区校级三模）神舟十六号是中国“神舟”系列飞船的第十六次任务，也是中国空间站运营阶段的首次飞行任务。如图所示，神舟十六号载人飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ、空间站组合体处于半径为r3的圆轨道Ⅲ，两者都在其轨道上做匀速圆周运动。通过变轨操作后，飞船从A点沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与空间站组合体对接，已知地球的半径为R、地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度大于地球的第一宇宙速度
B．飞船沿轨道Ⅱ运行的周期大于空间站组合体沿轨道Ⅲ运行的周期
C．飞船在轨道Ⅰ上A点的加速度小于在轨道Ⅱ上A点的加速度
D．空间站组合体在轨道Ⅲ运行的周期
拓展点　地球同步卫星
同步卫星的六个“一定”
（2024 深圳校级模拟）2023年10月26日11时14分，“神舟十七号”载人飞船发射成功，10月26日17时46分，“神舟十七号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，我国空间站在离地球表面高约400km的轨道上运行，已知同步卫星距离地球表面的高度约为36000km。下列说法正确的是（　　）
A．我国空间站的运行周期为24h
B．我国空间站运行的角速度小于地球自转的角速度
C．我国空间站运行的线速度比地球同步卫星的线速度大
D．我国空间站的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度
（2024 雨花区校级模拟）据统计，我国发射的卫星已近600颗，位居世界第二位，这些卫星以导航、遥感、通信为主要类别，尤其是北斗导航卫星的发射使我国具备了全球精确导航定位、授时和短报文通信等能力。如图，A、B、C为我国发射的3颗卫星，其轨道皆为圆形，其中卫星A、B的轨道在赤道平面内，卫星C的轨道为极地轨道，轨道半径rC＜rA＜rB，下列说法正确的是（　　）
A．卫星B一定与地球自转同步
B．卫星A的动能比卫星B的动能大
C．卫星C的线速度大小可能为8.0km/s
D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大
（2023秋 江岸区期末）我国将一颗失效的北斗二号G2，从地球同步圆轨道经椭圆轨道运行到“基地轨道”上，该过程的简化示意图如图所示，已知同步卫星轨道半径为R1，“基地轨道”半径为R2，转移轨道与同步轨道和“基地轨道”分别相切于P、Q两点，卫星在转移轨道上从P点运动到Q点所需的最短时间为t，已知万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．在转移轨道上Q点的加速度小于在“基地轨道”上Q点的加速度
B．在转移轨道上P点的速度与Q点速度之比为
C．地球的自转周期T为
D．地球质量等于
（2024春 长宁区校级期中）“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室交会对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道（可视为圆周）运行。与“天宫二号”单独运行时相比，组合体运行的（　　）
A．周期变大 B．角速度变小
C．速率不变 D．向心加速度变大
（2024春 南京期中）中国计划于2020年登陆火星。已知火星质量为地球的0.1，火星半径为地球半径的0.5，火星公转半径约为地球公转半径的1.5倍，地球表面的重力加速度约为10m/s2，则火星（　　）
A．公转周期约为3.8年
B．公转周期约为1.1年
C．表面的重力加速度约为4m/s2
D．第一宇宙速度约为12km/s
（2024春 南京期中）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱及天舟二号组合体成功交会对接，三名宇航员顺利进入天和核心舱开展工作。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（　　）
A．核心舱在轨道上飞行的周期大于24h
B．核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s
C．神舟十二号载人飞船与组合体成功对接后，空间站由于质量增大，轨道半径将明显变小
D．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的（）2倍
（2024 西城区一模）2023年，我国首颗超低轨道实验卫星“乾坤一号”发射成功。“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星。关于它的运动，下列说法正确的是（　　）
A．角速度大于地球自转的角速度
B．线速度大于地球的第一宇宙速度
C．线速度小于地球表面物体随地球自转的线速度
D．向心加速度小于地球表面的物体随地球自转的向心加速度
（2024春 渝中区校级月考）下列说法中正确的是（　　）
A．火星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
B．牛顿发现万有引力定律，被誉为“第一个称出地球质量的人”
C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在椭圆轨道的中心
D．开普勒第三定律指出，所有行星运动的周期和半长轴成正比
（2024春 武汉期中）2023年华为隆重推出搭载我国自主研发的麒麟9000s芯片的Mate60手机，该手机可以与地球同步轨道的“天通一号01”实现卫星通信。已知地球半径为R，“天通一号01”离地高度约为6R，以下关于该卫星的说法正确的是（　　）
A．卫星在地球同步轨道上处于平衡状态
B．卫星的发射速度小于近地卫星的环绕速度
C．卫星的加速度约为静止在赤道上物体加速度的36倍
D．若地球自转加快，卫星为保持与地面同步，轨道高度应降低
（2024春 渝中区校级月考）最新观测到一颗与地球相似的M星球，观测发现M星球有一颗近地卫星，当地球的近地卫星转了5圈时，M星球的近地卫星只转了1圈，M星球的半径约为地球半径的，设地球和M星球的密度、表面的重力加速度分别用，ρ1、ρ2、g1、g2表示。则下列说法正确的是（　　）
A．地球与M星球的第一宇宙速度之比为5：1
B．地球和M星球的密度之比ρ1：ρ2＝1：25
C．M星球的自转角速度增加到（R1为地球半径）时，会发生解体
D．地球和M星球表面的重力加速度之比g1：g2＝50：1
（2024 鹿城区校级模拟）研究发现，银河系中有一种看不见但很重的物体，促使这些恒星在其周围转圈。其中一颗恒星S2完整轨道如图所示，它绕银河系中心的周期约16年。椭圆的半短轴约400AU（太阳到地球的距离为1AU），根据离心率可以判断轨道的长轴约为短轴的2.5倍，研究中可忽略其他星体对S2的引力，则银河系中心质量与太阳质量之比约为（　　）
A．3×107 B．6×107 C．4×106 D．6×109
（2024 开福区校级模拟）地球北极上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的重力加速度为g0，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的（　　）
A． B． C． D．
（2024 盐城一模）如图是神舟十七号载人飞船与天和核心舱对接过程示意图，神舟十七号飞船先在轨道Ⅰ上做周期为T1的圆周运动，在A点变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ运动，在B点再次变轨与天和核心舱对接，此后共同在圆轨道Ⅲ上运行，下列说法正确的是（　　）
A．飞船沿轨道Ⅱ的运行周期小于飞船沿轨道Ⅰ的运行周期
B．飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度大于在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度
C．飞船在轨道Ⅱ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度
D．相等时间内，在轨道Ⅰ上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道Ⅲ上扫过的面积
（2024 湖南模拟）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船与天和核心舱进行了对接，“太空之家”迎来汤洪波、唐胜杰、江新林3名中国航天史上最年轻的乘组入驻。如图为飞船运行与交会对接过程示意图，椭圆轨道1为飞船对接前的运行轨道，Q点是轨道1的近地点，离地高度可忽略不计。圆形轨道2距地面高度为H，是天和核心舱的运行轨道，P点是1、2轨道的切点，也是交会点。地球半径为R，表面重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．飞船从轨道1变轨到轨道2需要在交会点P点点火减速
B．天和核心舱在轨道2上的速度一定大于
C．交会对接前天和核心舱的向心加速度为
D．飞船在轨道1上与在轨道2上运动的周期之比为
（2024 下城区校级模拟）继在文昌发射站发射了首颗火星探测器“天问一号”后，“天问二号”即将在2025年发射。已知火星公转半径是地球公转半径的1.5倍，天问二号发射后沿霍曼转移轨道运动，可认为地球和火星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示。则下列说法正确的是（　　）
A．地球绕太阳运动的加速度小于火星绕太阳运动的加速度
B．探测器沿霍曼轨道飞往火星过程中做减速运动
C．火星探测器“天问一号”的发射速度v应满足7.9km/s＜v＜11.2km/s
D．探测器沿霍曼转移轨道运动的周期为个月
（2024 海淀区一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆运动在某方向上的投影。
如图所示，是伽利略推测的卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。
（1）若认为木星位于坐标原点O，根据伽利略的观察和推测结果：
①写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。
②求木星的质量M。
③物体做简谐运动时，回复力应该满足F＝﹣kx。请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。
（2）若将木星与卫星P视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为M'。请分析比较（1）②中得出的质量M与M'的大小关系。第11讲　万有引力与航天
知识内容 考试要求 说明
行星的运动 a 1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节． 2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题． 3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法． 4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力． 5.不要求分析重力随纬度变化的原因． 6.不要求计算与引力势能有关的问题.
太阳与行星间的引力 a
万有引力定律 c
万有引力理论的成就 c
宇宙航行 c
经典力学的局限性 a
一、开普勒行星运动三定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝G.
3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．
4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、万有引力理论的成就
1．预言未知天体
2．计算天体质量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．
2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.
命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．该定律只能用在绕同一中心天体运行的星体之间．
（2024 徐州二模）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨道如图所示，哈雷彗星最近出现在地球附近是1986年，预计下次将在2061年飞近地球。则哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的（　　）
A．8倍 B．18倍 C．28倍 D．38倍
【解答】解：地球公转周期为T＝1年，哈雷彗星的周期为T’＝（2061﹣1986）年＝75年，
根据开普勒第三定律有：，解得518，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024 广东模拟）如图所示为太阳系主要天体的分布示意图，下列关于太阳系行星运动规律的描述正确的是（　　）
A．所有行星均以太阳为中心做匀速圆周运动
B．地球与太阳的连线、火星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等
C．所有行星运行轨道半长轴的二次方与其公转周期的三次方之比都相等
D．地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点
【解答】解：A.根据开普勒第一定律可知：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，故A错误；
B..根据开普勒第二定律可知：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，相同时间内，不同行星与太阳连线扫过的面积不等，故B错误；
C.根据开普勒第三定律可知：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，故C错误；
D.根据开普勒第一定律可知：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，故地球和火星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，且这两个椭圆必定有公共的焦点，故D正确。
故选：D。
（2024 辽宁模拟）北京时间2023年9月21日15时48分，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课。已知中国空间站绕地球做匀速圆周运动的周期约为90分钟，则其公转轨道半径和地球同步卫星的公转轨道半径之比约为（　　）
A．8： B．：8 C．1：4 D．4：1
【解答】解：空间站的周期：T1＝90min＝1.5h，地球同步卫星的周期T2＝24h，根据开普勒第三定律可得：
解得空间站的公转轨道半径和地球同步卫星的公转轨道半径之比约为：r1：r2：8，故ACD错误，故B正确。
故选：B。
命题点二　万有引力定律的理解和应用
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度：
ρ＝＝＝.
（2024 合肥二模）2024年3月，我国探月工程四期鹊桥二号中继星成功发射升空。鹊桥二号入轨后，通过轨道修正、近月制动等系列操作，最终进入近月点约200km、远月点约16000km、周期为24h的环月大椭圆冻结轨道。已知月球半径约1800km，万有引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2。由上述数据可知月球的质量接近于（　　）
A．7.5×1018kg B．7.5×1020kg
C．7.5×1022kg D．7.5×1024kg
【解答】解：环月大椭圆冻结轨道的周期与半长轴分别为T1＝24h
R1km＝9900km
令近月圆轨道卫星的周期为T2，则有Gm
解得M≈7.67×1022kg
可知月球的质量接近于7.67×1022kg，故C正确，ABD错误；
故选：C。
（2024 枣庄一模）地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，即月球永远以同一面朝向着地球。如图所示，太阳光平行照射到地球上，月球绕地球做匀速圆周运动的半径为r。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，设从月球上正对地球的P点看向地球的视角为α。在月球绕地球运动一周的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．地球的密度为 B．月球自转的角速度为
C．太阳光照射月球的时间为 D．月球上的P点被照亮的时间为
【解答】解：A、根据万有引力提供重力可得：
根据密度计算公式可得：
联立得地球的密度：，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力可得：
联立解得月球绕地球公转的角速度为：，地球与月球之间有一种有趣的“潮汐锁定”现象，可知月球的公转和自转的角速度相同，故月球自转的角速度为，故B错误；
C、根据几何关系可知，太阳光照射月球的时间为：，代入可得：，故C错误；
D、因为月球永远以同一面朝向着地球，则月球上的P点被照亮的时间为：，代入数据可得：，故D正确。
故选：D。
（2024 锦州一模）2022年10月9日，我国综合性太阳探测卫星“夸父一号”成功发射，实现了对太阳探测的跨越式突破。“夸父一号”卫星绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为720km，运行一圈所用时间约为100分钟。如图所示，为了随时跟踪和观测太阳的活动，“夸父一号”在随地球绕太阳公转的过程中，需要其轨道平面始终与太阳保持固定的取向，使太阳光能照射到“夸父一号”。下列说法正确的是（　　）
A．“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度大于7.9km/s
B．“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度大于地球表面的重力加速度
C．给出万有引力常量和地球半径再结合题干信息，可以估算出地球的质量
D．由题干信息，根据开普勒第三定律，可求出日地间平均距离
【解答】解：A．7.9km/s是第一宇宙速度，也是最大的环绕速度，所以“夸父一号”绕地球做圆周运动的速度一定小于7.9km/s，故A错误；
B．根据万有引力与向心力和重力的关系有
，
解得向心加速度以及重力加速度为
，
可知“夸父一号”绕地球做圆周运动的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故B错误；
C．由万有引力提供向心力，结合向心力公式可得
解得地球的质量满足
所以给出万有引力常量和地球半径再结合题干信息，可以估算出地球的质量，故C正确；
D．“夸父一号”绕地球公转，根据开普勒第三定律，并不知道跟太阳的轨道情况，故无法求出日地间平均距离，故D错误。
故选：C。
命题点三　宇宙航行和卫星问题
1．第一宇宙速度
(1)推导方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
2．卫星运行参量的分析
卫星运行参量 相关方程 结论
线速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为天体表面处的重力加速度)
（2024春 苏州期中）一绕地球做匀速圆周运动的人造卫星经变轨后轨道半径增大到原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则（　　）
A．卫星所需的向心力将减小到原来的
B．卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
C．卫星所受的万有引力将减小到原来的
D．卫星运动的周期增大到原来的4倍
【解答】解：根据万有引力提供向心力可知，Fn＝F万＝Gmmr，解得v，T，卫星需要的向心力和卫星所收到的万有引力均减为原来的，线速度v减为原来的倍，周期增大为原来的2倍，故C正确，ABD错误；
故选：C。
（2024春 苏州期中）如图所示，运载火箭运行至P点时分别将A、B两颗卫星送入预定椭圆轨道1和椭圆轨道2。P点为椭圆轨道的近地点，B卫星在远地点Q处变轨至椭圆轨道3运动，下列说法正确的是（　　）
A．两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P点时加速度大小相等
B．两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P点时速度大小相等
C．B卫星在椭圆轨道上经过P点时速度小于经过Q点速度
D．B卫星在P点的动能小于其在轨道3上Q点的动能
【解答】解：A．由万有引力充当向心力ma
解得a，由此可知，两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P点时加速度大小相等，故A正确；
B．根据卫星变轨的知识可知两卫星在椭圆轨道上运动过程中经过P点时，2轨道的线速度较大，故B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，B卫星在椭圆轨道上经过P点时速度大于经过Q点速度，故C错误；
D．由万有引力充当向心力m
可得v
可知轨道半径越大，线速度越小，由此可知vP2＞vQ3＞vQ2，则B卫星在P点的动能大于其在轨道3上Q点的动能，故D错误。
故选：A。
（2024 龙岗区校级三模）神舟十六号是中国“神舟”系列飞船的第十六次任务，也是中国空间站运营阶段的首次飞行任务。如图所示，神舟十六号载人飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ、空间站组合体处于半径为r3的圆轨道Ⅲ，两者都在其轨道上做匀速圆周运动。通过变轨操作后，飞船从A点沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与空间站组合体对接，已知地球的半径为R、地球表面重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度大于地球的第一宇宙速度
B．飞船沿轨道Ⅱ运行的周期大于空间站组合体沿轨道Ⅲ运行的周期
C．飞船在轨道Ⅰ上A点的加速度小于在轨道Ⅱ上A点的加速度
D．空间站组合体在轨道Ⅲ运行的周期
【解答】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，有
解得：，可知卫星的轨道半径越大，速度越小。因为r1＞R，所以飞船在轨道Ⅰ上的运行速度小于近地卫星的速度，即小于地球的第一宇宙速度，故A错误；
B、飞船在轨道Ⅱ上运动的半长轴小于在轨道Ⅲ上运动的轨道半径，根据开普勒第三定律k可知，卫星在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期，故B错误；
C、根据万有引力提供向心力，有，解得：，可知飞船在轨道Ⅰ上A点的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上A点的加速度，故C错误；
D、空间站组合体在轨道Ⅲ时，根据万有引力提供向心力，有
且在地球表面上，有
联立解得：，故D正确。
故选：D。
拓展点　地球同步卫星
同步卫星的六个“一定”
（2024 深圳校级模拟）2023年10月26日11时14分，“神舟十七号”载人飞船发射成功，10月26日17时46分，“神舟十七号”载人飞船与空间站组合体完成自主快速交会对接，我国空间站在离地球表面高约400km的轨道上运行，已知同步卫星距离地球表面的高度约为36000km。下列说法正确的是（　　）
A．我国空间站的运行周期为24h
B．我国空间站运行的角速度小于地球自转的角速度
C．我国空间站运行的线速度比地球同步卫星的线速度大
D．我国空间站的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度
【解答】解：ABC、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得：
分别变形可知：，，
由于空间站的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，根据，可知空间站的运行周期小于24小时；
根据，可知空间站的角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转角速度；
根据，可知空间站的线速度大于地球同步卫星的线速度，故AB错误，C正确；
D、空间站的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故D错误。
故选：C。
（2024 雨花区校级模拟）据统计，我国发射的卫星已近600颗，位居世界第二位，这些卫星以导航、遥感、通信为主要类别，尤其是北斗导航卫星的发射使我国具备了全球精确导航定位、授时和短报文通信等能力。如图，A、B、C为我国发射的3颗卫星，其轨道皆为圆形，其中卫星A、B的轨道在赤道平面内，卫星C的轨道为极地轨道，轨道半径rC＜rA＜rB，下列说法正确的是（　　）
A．卫星B一定与地球自转同步
B．卫星A的动能比卫星B的动能大
C．卫星C的线速度大小可能为8.0km/s
D．卫星A的加速度比卫星B的加速度大
【解答】解：A、地球同步卫星的其中一种情况是轨道与赤道成零度角，距离地面的高度、线速度和角速度的大小等参数都是固定的，而B不一定是同步卫星，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力有：，可得卫星的动能为：
三颗卫星的质量大小关系不知道，无法比较动能的大小，故B错误；
C、第一宇宙速度为7.9km/s，是卫星的最大轨道速度，卫星C的线速度大小一定小于7.9km/s，故C错误；
D．三颗卫星的轨道半径rC＜rA＜rB，根据万有引力产生加速度：，所以加速度：
则由半径关系可知加速度关系为：aC＞aA＞aB，故D正确。
故选：D。
（2023秋 江岸区期末）我国将一颗失效的北斗二号G2，从地球同步圆轨道经椭圆轨道运行到“基地轨道”上，该过程的简化示意图如图所示，已知同步卫星轨道半径为R1，“基地轨道”半径为R2，转移轨道与同步轨道和“基地轨道”分别相切于P、Q两点，卫星在转移轨道上从P点运动到Q点所需的最短时间为t，已知万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．在转移轨道上Q点的加速度小于在“基地轨道”上Q点的加速度
B．在转移轨道上P点的速度与Q点速度之比为
C．地球的自转周期T为
D．地球质量等于
【解答】解：A.由牛顿第二定律有：Gma，在转移轨道上Q点的加速度等于在“基地轨道”上Q点的加速度，故A错误；
B.根据开普勒第二定律有：R1vPΔtR2vQΔt，解得 vP：vQ＝R2：R1，故B错误；
C.设地球自转周期为T，由开普勒第三定律得：，解得地球的自转周期T＝2t，故C错误；
D.由万有引力提供向心力，对同步卫星有：GmR1，解得地球质量M，故D正确。
故选：D。
（2024春 长宁区校级期中）“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室交会对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道（可视为圆周）运行。与“天宫二号”单独运行时相比，组合体运行的（　　）
A．周期变大 B．角速度变小
C．速率不变 D．向心加速度变大
【解答】解：“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室交会对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道（可视为圆周）运行，与“天宫二号”单独运行时相比，组合体运行的轨道半径不变。
A、根据开普勒第三定律可得k，则组合体运行的周期不变，故A错误；
B、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，组合体运行的角速度不变，故B错误；
C、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v，则组合体运行的速率不变，故C正确；
D、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，则组合体运行的向心加速度不变，故D错误。
故选：C。
（2024春 南京期中）中国计划于2020年登陆火星。已知火星质量为地球的0.1，火星半径为地球半径的0.5，火星公转半径约为地球公转半径的1.5倍，地球表面的重力加速度约为10m/s2，则火星（　　）
A．公转周期约为3.8年
B．公转周期约为1.1年
C．表面的重力加速度约为4m/s2
D．第一宇宙速度约为12km/s
【解答】解：AB，由开普勒第三定律可得，r′＝1.5r，T＝1年，解得年，故AB错误；
C.地球表面：
火星表面：
根据题意可知
故，
故C正确；
D.地球的第一宇宙速度：，得
火星的第一宇宙速度：，的
根据题意可知，g＝10m/s2，
解得，故D错误。
故选：C。
（2024春 南京期中）2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，准确进入预定轨道。6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱及天舟二号组合体成功交会对接，三名宇航员顺利进入天和核心舱开展工作。核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，轨道离地面的高度约为地球半径的。下列说法正确的是（　　）
A．核心舱在轨道上飞行的周期大于24h
B．核心舱在轨道上飞行的速度小于7.9km/s
C．神舟十二号载人飞船与组合体成功对接后，空间站由于质量增大，轨道半径将明显变小
D．核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的（）2倍
【解答】解：A、核心舱绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得：Gmr，可得T＝2π，由于核心舱的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，而地球同步卫星的周期为24h，所以核心舱在轨道上飞行的周期小于24h，故A错误；
B、由万有引力提供向心力有：Gm，解得：v，所以核心舱在轨道上飞行的速度小于近地卫星的速度，即小于地球的第一宇宙速度7.9km/s，故B正确；
C、由上述分析可知，根据万有引力提供向心力列方程进行计算时，核心舱的质量m约去，即核心舱做匀速圆周运动的轨道半径与其质量无关，同理可知，空间站的轨道半径与其质量无关，所以神舟十二号载人飞船与组合体成功对接后，空间站轨道半径不变，故C错误；
D、设地球的半径为R，质量为M，核心舱的质量为m，轨道半径为r＝RRR，根据万有引力定律可得F＝G，核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小与在地面的万有引力大小之比为：，即核心舱进入轨道后所受地球的万有引力大小约为它在地面时的倍，故D错误。
故选：B。
（2024 西城区一模）2023年，我国首颗超低轨道实验卫星“乾坤一号”发射成功。“乾坤一号”是一颗绕地球做圆周运动的近地卫星。关于它的运动，下列说法正确的是（　　）
A．角速度大于地球自转的角速度
B．线速度大于地球的第一宇宙速度
C．线速度小于地球表面物体随地球自转的线速度
D．向心加速度小于地球表面的物体随地球自转的向心加速度
【解答】解：A、根据万有引力提供向心力，得，近地卫星的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径，可知近地卫星的角速度大于地球同步卫星的角速度，又因地球同步卫星的角速度等于地球自转的角速度；因此“乾坤一号”角速度大于地球自转的角速度，故A正确；
B、根据万有引力提供向心力m得，v，即为地球的第一宇宙速度，故B错误；
C、根据v＝ωr，又因为“乾坤一号”角速度大于地球自转的角速度，可知“乾坤一号”的线速度大于地球表面物体随地球自转的线速度，故C错误；
D、根据a＝ω2r，又因为“乾坤一号”角速度大于地球自转的角速度，可知“乾坤一号”的向心加速度大于地球表面的物体随地球自转的向心加速度，故D错误；
故选：A。
（2024春 渝中区校级月考）下列说法中正确的是（　　）
A．火星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
B．牛顿发现万有引力定律，被誉为“第一个称出地球质量的人”
C．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在椭圆轨道的中心
D．开普勒第三定律指出，所有行星运动的周期和半长轴成正比
【解答】解：A、根据开普勒第二定律可知，火星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故A正确；
B、牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什测出了万有引力常量G的值，被誉为“第一个称出地球质量的人”，故B错误；
C、根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故C错误；
D、开普勒第三定律指出，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，故D错误。
故选：A。
（2024春 武汉期中）2023年华为隆重推出搭载我国自主研发的麒麟9000s芯片的Mate60手机，该手机可以与地球同步轨道的“天通一号01”实现卫星通信。已知地球半径为R，“天通一号01”离地高度约为6R，以下关于该卫星的说法正确的是（　　）
A．卫星在地球同步轨道上处于平衡状态
B．卫星的发射速度小于近地卫星的环绕速度
C．卫星的加速度约为静止在赤道上物体加速度的36倍
D．若地球自转加快，卫星为保持与地面同步，轨道高度应降低
【解答】解：A．卫星在地球同步轨道上做匀速圆周运动，所受合力不为零，不是处于平衡状态，故A错误；
B．同步卫星轨道高于近地轨道卫星，故发射速度大于最小发射速度，即最大环绕速度，故B错误；
C．同步轨道上卫星与赤道上物体运动的角速度相同，由，卫星在同步轨道上的向心加速度约是赤道上物体向心加速度的7倍，故C错误；
D．若地球自转加快，卫星为保持与地面同步，应当具有更大的角速度，更小的周期，根据万有引力提供向心力有，可知轨道高度应降低，故D正确。
故选：D。
（2024春 渝中区校级月考）最新观测到一颗与地球相似的M星球，观测发现M星球有一颗近地卫星，当地球的近地卫星转了5圈时，M星球的近地卫星只转了1圈，M星球的半径约为地球半径的，设地球和M星球的密度、表面的重力加速度分别用，ρ1、ρ2、g1、g2表示。则下列说法正确的是（　　）
A．地球与M星球的第一宇宙速度之比为5：1
B．地球和M星球的密度之比ρ1：ρ2＝1：25
C．M星球的自转角速度增加到（R1为地球半径）时，会发生解体
D．地球和M星球表面的重力加速度之比g1：g2＝50：1
【解答】解：B、由题意可知：5T1＝T2，
对于近地卫星，在星球表面万有引力提供向心力：
星球的体积为：
星球的密度为：
故地球和M星球的密度之比：，故B错误；
D、对于近地卫星，在星球表面有：
根据质量与密度关系式可知：M∝ρR3
可得：g∝ρR
地球和M星球表面的重力加速度之比：，故D正确；
A、对贴近地面的卫星，根据万有引力提供向心力：
第一宇宙速度之比为：，故A错误；
C、设M星球最外端的一物体质量为m0，当角速度为ω时，若物体将要离开M星球：
解得此时M星球角速度的大小：，故C错误。
故选：D。
（2024 鹿城区校级模拟）研究发现，银河系中有一种看不见但很重的物体，促使这些恒星在其周围转圈。其中一颗恒星S2完整轨道如图所示，它绕银河系中心的周期约16年。椭圆的半短轴约400AU（太阳到地球的距离为1AU），根据离心率可以判断轨道的长轴约为短轴的2.5倍，研究中可忽略其他星体对S2的引力，则银河系中心质量与太阳质量之比约为（　　）
A．3×107 B．6×107 C．4×106 D．6×109
【解答】解：根据万有引力提供向心力有：，即：
所以M与成正比，设太阳质量为M1，银河系中心质量为M2，
则有
将R1＝1AU，R2＝1000AU，T1＝1，T2＝16代入可得：M1：M2＝1：4000000
所以银河系中心质量与太阳质量之比约为4×106，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024 开福区校级模拟）地球北极上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的重力加速度为g0，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设地球原来自转的角速度为ω1，地球半径为R，根据在极地和赤道上的重力加速度可得：，当赤道上的物体刚刚“飘起来”时，由万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为ω2，则有，联立可得，故BCD错误，A正确。
故选：A。
（2024 盐城一模）如图是神舟十七号载人飞船与天和核心舱对接过程示意图，神舟十七号飞船先在轨道Ⅰ上做周期为T1的圆周运动，在A点变轨后，沿椭圆轨道Ⅱ运动，在B点再次变轨与天和核心舱对接，此后共同在圆轨道Ⅲ上运行，下列说法正确的是（　　）
A．飞船沿轨道Ⅱ的运行周期小于飞船沿轨道Ⅰ的运行周期
B．飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度大于在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度
C．飞船在轨道Ⅱ上经过B点时的速度大于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度
D．相等时间内，在轨道Ⅰ上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道Ⅲ上扫过的面积
【解答】解：A、根据图像可知，飞船沿轨道Ⅱ的运行轨道半长轴大于飞船沿轨道Ⅰ的运行半径，据开普勒第三定律可得k，所以飞船沿轨道Ⅱ的运行周期大于飞船沿轨道Ⅰ的运行周期，故A错误；
B、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，所以飞船在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度，故B错误；
C、飞船在轨道Ⅱ上经过B点加速做离心运动转移到轨道Ⅲ，所以飞船在轨道Ⅱ上经过B点时的速度小于在轨道Ⅲ上经过B点时的速度，故C错误；
D、设卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r，在很短时间Δt内与地心连线扫过的面积为：S
由万有引力提供向心力有：m，解得：v
联立解得：S
所以相等时间内，在轨道Ⅰ上飞船与地心连线扫过的面积小于在轨道Ⅲ上扫过的面积，故D正确。
故选：D。
（2024 湖南模拟）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船与天和核心舱进行了对接，“太空之家”迎来汤洪波、唐胜杰、江新林3名中国航天史上最年轻的乘组入驻。如图为飞船运行与交会对接过程示意图，椭圆轨道1为飞船对接前的运行轨道，Q点是轨道1的近地点，离地高度可忽略不计。圆形轨道2距地面高度为H，是天和核心舱的运行轨道，P点是1、2轨道的切点，也是交会点。地球半径为R，表面重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．飞船从轨道1变轨到轨道2需要在交会点P点点火减速
B．天和核心舱在轨道2上的速度一定大于
C．交会对接前天和核心舱的向心加速度为
D．飞船在轨道1上与在轨道2上运动的周期之比为
【解答】解：A．从低轨道变轨到高轨道需加速，故飞船从轨道1变轨到轨道2需要在交会点 P 点点火加速，故A错误；
B．天和核心舱在轨道2上运动时，根据万有引力提供向心力，结合在地球表面万有引力约等于重力，即，
可得运动速度
故B错误；
C．设对接前天和核心舱的向心加速度为a2，根据牛顿第二定律有，
解得向心加速度：
故C正确；
D．设飞船在轨道1、轨道2运动周期分别为T1、T2，由开普勒第三定律有
可得
故D错误。
故选：C。
（2024 下城区校级模拟）继在文昌发射站发射了首颗火星探测器“天问一号”后，“天问二号”即将在2025年发射。已知火星公转半径是地球公转半径的1.5倍，天问二号发射后沿霍曼转移轨道运动，可认为地球和火星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动，如图所示。则下列说法正确的是（　　）
A．地球绕太阳运动的加速度小于火星绕太阳运动的加速度
B．探测器沿霍曼轨道飞往火星过程中做减速运动
C．火星探测器“天问一号”的发射速度v应满足7.9km/s＜v＜11.2km/s
D．探测器沿霍曼转移轨道运动的周期为个月
【解答】解：A、根据得，因为火星半径大于地球半径，所以地球绕太阳运动的加速度大于火星绕太阳运动的加速度，故A错误；
B、探测器沿霍曼轨道飞往火星过程中，受到的太阳引力方向与速度方向的夹角大于90°，则引力做负功，所以探测器的速度减小，做减速运动，故B正确；
C、火星探测器“天问一号”的发射速度v应大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，所以应该满足11.2km/s＜v＜16.7km/s，故C错误；
D、设地球的轨道半径为R，则火星的轨道半径为1.5R，根据几何关系可知探测器的半长轴为R'＝1.25R，地球的周期T＝12个月，根据开普勒第三定律有，解得T'个月，故D错误。
故选：B。
（2024 海淀区一模）1610年，伽利略用他制作的望远镜发现了木星的四颗主要卫星。根据观察，他将其中一颗卫星P的运动视为一个振幅为A、周期为T的简谐运动，并据此推测，他观察到的卫星振动是卫星圆运动在某方向上的投影。
如图所示，是伽利略推测的卫星P运动的示意图，在xOy平面内，质量为m的卫星P绕坐标原点O做匀速圆周运动。已知引力常量为G，不考虑各卫星之间的相互作用。
（1）若认为木星位于坐标原点O，根据伽利略的观察和推测结果：
①写出卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式。
②求木星的质量M。
③物体做简谐运动时，回复力应该满足F＝﹣kx。请据此证明：卫星P绕木星做匀速圆周运动在x轴上的投影是简谐运动。
（2）若将木星与卫星P视为双星系统，彼此围绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，计算出的木星质量为M'。请分析比较（1）②中得出的质量M与M'的大小关系。
【解答】解：（1）①简谐运动是匀速圆周运动的投影，二者周期相同，简谐运动的振幅等于圆周运动的半径。依据牛顿第二定律有F＝mA
②木星与卫星间万有引力提供了卫星绕其做圆周运动的向心力，设卫星的质量为m，依据牛顿第二定律有mA
解得木星质量M
③设卫星P做匀速圆周运动如图中所示位置时，与x轴的夹角为θ。
则向心力向x轴的投影Fx＝﹣mAcosθ
位移在x轴方向上的投影为x＝Acosθ
满足F＝﹣kx，其比例系数k＝m，这说明星P绕木星做匀速圆周运动向x轴的投影是简谐运动。
（2）若木星与卫星为双星模型，设木星质量为M'，木星与卫星的距离为L，卫星绕连线某点做圆周运动的半径等于观测到的简谐运动的振幅A。
对卫星列牛顿第二定律，有mA
得木星质量M'
因为A＜L，所以M＜M'，即（2）问计算出的木星质量M偏小。
答：（1）①卫星P做圆周运动的向心力大小F的表达式为F＝mA。
②木星的质量为。
③见解析。
（2）质量M与M'的大小关系为M＜M'。

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