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第14讲　机械能守恒定律
知识内容 考试要求 说明
重力势能 c 1.不要求掌握物体做曲线运动时重力做功表达式的推导方法． 2.不要求掌握弹簧弹性势能的表达式． 3.运用机械能守恒定律进行计算时，不涉及弹性势能的表达式． 4.不要求用机械能守恒定律求解两个及两个以上物体(包括需要确定重心的链条、绳子、流体等)的问题.
弹性势能 b
机械能守恒定律 d
一、重力势能和弹性势能
1．重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．
2．重力做功与重力势能变化的关系：
重力对物体做正功，重力势能减少；重力对物体做负功，重力势能增加；物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－ΔEp.
3．弹力做功与弹性势能的关系：
弹力对物体做正功，弹性势能减少，弹力对物体做负功，弹性势能增加，弹力对物体做的功等于弹性势能的减少量．
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
3．条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
命题点一　机械能守恒的理解和判断
1．利用机械能的定义判断：
若物体在水平面上匀速运动，则其动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体沿斜面匀速下滑，则其动能不变，重力势能减少，机械能减少．
2．做功判断法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒．
3．能量转化判断法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．
（2024 金华二模）如图所示是航天员在水下进行模拟失重训练的一种方式。航天员穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等。假设其总质量为m，训练空间的重力加速度为g且不变，航天员在某次出舱作业时，匀速上升距离为h的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．宇航员处于完全失重状态
B．机械能增加了mgh
C．合力不做功，机械能守恒
D．重力做负功，机械能减少
【解答】解：航天员匀速上浮，重力做负功，所受合力为零，处于平衡状态，合力做功为零，浮力竖直向上，对航天员做正功：W浮＝F浮h＝mgh
则航天员的机械能增加mgh，故ACD错误，B正确；
故选：B。
（2024 庐阳区校级四模）如图所示，用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为m，两段轻杆等长。现将C球置于距地面高h处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在小球C下落过程中（　　）
A．小球A、B、C组成的系统机械能不守恒
B．小球C的机械能一直减小
C．小球C落地前瞬间的速度大小为
D．当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg
【解答】解：A、对于小球A、B、C组成的系统，由于只有重力做功，所以系统的机械能守恒，故A错误；
B、小球B的初速度为零，小球C落地瞬间，小球B的速度也为零，故小球B的动能先增大后减小，而小球B的重力势能不变，则小球B的机械能先增大后减小，同理可得小球A的机械能先增大后减小，而系统机械能守恒，所以C的机械能先减小后增大，故B错误；
C、设小球C落地前瞬间的速度大小为v，根据系统机械能守恒有：，解得：，故C正确；
D、当小球C的机械能最小时，小球B的速度最大，此时小球B的加速度为零，水平方向所受的合力为零，则杆CB对小球B恰好没有力的作用，所以地面对小球B的支持力大小为mg，故D错误。
故选：C。
（2024 琼山区一模）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图所示。其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b时的加速度等于g
B．炮弹经过a点和经过c点的机械能不相同
C．炮弹经过a点和经过c点时的加速度相同
D．炮弹由a点运动到b点的时间大于由b点运动到c点的时间
【解答】解：A、在最高点b，炮弹具有水平向右的速度，所以炮弹在b点时，除了受重力外还受到向后的空气阻力，合力大于重力，所以加速度大于g，故A错误；
B、从a到c的过程中，空气阻力一直做负功，炮弹的机械能逐渐减少，则炮弹经过a点和经过c点的机械能不同，故B正确；
C、炮弹经过a点和经过c点时受空气阻力和重力作用，空气阻力方向不同，所受合力不同，则加速度不同，故C错误；
D、设炮弹从a点运动到b点的过程中所受阻力的平均竖直分量为f1，从b点运动到c点的过程中所受阻力的平均竖直分量为f2，则前、后两个过程炮弹的竖直平均加速度大小分别为a1，a2a1
根据运动学规律可知炮弹由a点运动到b点的时间小于由b点运动到c点的时间，故D错误。
故选：B。
（2024 凉山州模拟）如图所示，用长为L的轻细线把质量为m的小球悬挂在天花板上，拉直细线让小球从与悬点等高的A点静止释放，若空气阻力不能忽略，则小球运动到最低点B的过程中（　　）
A．机械能守恒 B．重力的功率一直增大
C．速度先增大后减小 D．机械能先增大后减小
【解答】解：AD．A点到B点，空气阻力不能忽略，做负功，机械能会损耗，机械能减小，故AD错误；
B．A点到B点，小球竖直方向的速度先从0增大后再减小到0，故重力的功率先增大后减小，故B错误；
C．小球运动到最低点B时，阻力不能忽略，受力分析可知小球受到的合外力与速度方向为钝角，小球做减速运动，故小球速度的大小先增大后减小，故C正确。
故选：C。
（2024 太原一模）运动员某次发球，将球从离台面高h0处发出，球落在A点反弹后又落在B点，两次擦边。AB间距离为L，球经过最高点时离台面的高度为h（h＞h0），重力加速度为g。若忽略阻力、球的旋转、球与台面碰撞时能量的损失，乒乓球离开球拍的速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：乒乓球从最高点到B点做平抛运动，设乒乓球在最高点的速度为v，从最高点到B的时间为t，则h
又
得v
乒乓球从抛出点到乒乓球离台面最高点过程中机械能守恒，可得
联立解得：故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024 盐城一模）如图所示，两根不可伸长的轻绳连接质量为m小球P，右侧绳一端固定于A，绳长为L，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向夹角分别为37°和53°，现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，且两绳均拉直，由静止释放，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，求：
（1）物体Q的质量M；
（2）小球P运动到图示位置时的速度v大小；
（3）小球P运动到图示位置时AP绳中的张力大小。
【解答】解：（1）物体P静止，受力分析如图1所示
图1
根据平衡条件可得
TB＝mgsin53°
物体Q静止，则
TB＝Mg
解得M＝0.8m
（2）物体P由水平位置由静止释放，沿圆弧运动到图2位置。根据机械能守恒定律，可得
图2mgh1﹣Mgh2
根据几何关系易得h1＝Lsin37°＝0.6L
h2＝Ltan37°﹣（L）＝0.5L
物体P运动到图2位置时，速度与AP垂直，即沿着BP方向，所以
v＝v1
解得
v
（3）因为物体运动到图示位置做圆周运动，物体P的受力沿绳方向和垂直于绳分解，物体P沿AP绳方向合外力提供圆周运动向心力TA﹣mgsin37°＝m
解得TAmg
命题点二　机械能守恒的应用
1．机械能守恒定律的表达式
2．选用技巧：在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
拓展点　含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
（2023 仓山区校级模拟）甲、乙、丙三个物体用不可伸长的轻线通过轻滑轮连接，甲与地面用轻弹簧连接，如图所示。物体乙与物块丙之间的距离和物体丙到地面的距离相等。已知物体乙与物块丙的质量均为m，物体甲的质量大于m，但是小于2m；弹簧的劲度系数为k。物体在运动过程中不会与滑轮相碰，且不计一切阻力，物体碰地后不反弹，当地的重力加速度为g。
（1）若已知物体甲的质量为1.5m，将乙与丙间的线剪断，求剪断瞬间乙物体加速度的大小？此时甲、乙之间轻绳拉力多大？
（2）若将乙与丙间的线剪断，甲下降多大距离时它的速度最大？
（3）若突然弹簧与甲物体脱离接触，要保证物块乙在运动过程中不会着地，求这种情形之下甲物体的质量的取值范围？
【解答】解：（1）由mg＝（1.5m+m）a
解得a＝0.4g
对乙进行受力分析有
T﹣mg＝ma
解得T＝1.4mg
（2）设甲物体质量为M，开始时弹簧处于伸长状态，其伸长量为x1
有 kx1＝（2m﹣M）g
解得：x1g
剪断轻线，甲的加速度为零时，速度达最大，设此时弹簧压缩量为x2
有kx＝（M﹣m）g
解得：x2g
所以，甲速度最大时，下降的距离 x＝x1+x2
（3）设丙距离地面为L，丙刚好落地时，甲、乙的速度为v，对于甲、乙丙三物体组成系统，机械能守恒
2mgL﹣MgL（M+2m）y2
若乙恰能着地，此时甲、乙物体速度为零，对甲、乙两物体组成系统，其机械能守恒有：
MgL﹣mgL（M+m）v2
联立解得：Mm
故当 2m＞Mm 时，乙物体将不会着地。
（2023 西城区校级三模）如图，半径R＝0.50m的光滑圆环固定在竖直平面内．轻质弹簧的一端固定在环的最高点A处，另一端系一个质量m＝0.20kg的小球．小球套在圆环上．已知弹簧的原长为L0＝0.50m，劲度系数K＝4.8N/m．将小球从如图所示的位置由静止开始释放．小球将沿圆环滑动并通过最低点C，在C点时弹簧的弹性势能EPC＝0.6J．g＝10m/s求：
（1）小球经过C点时的速度vC的大小．
（2）小球经过C点时对环的作用力的大小和方向．
【解答】解：（1）小球从B到C，系统机械能守恒，有：
mg（R+Rcos60°）EPc
得：vc3m/s．
（2）在C点，由牛顿第二定律可得：F+FN﹣mg
其中：F＝kR＝4.8×0.5＝2.4N
代入得：FN＝3.2N
由牛顿第三定律得：小球对环的压力的大小为3.2N，方向竖直向下．
答：（1）小球经过C点时的速度大小为3m/s．
（2）小球经过C点时对环的作用力的大小为3.2N，方向竖直向下．
（2021 海南模拟）如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌面距水平地面的高度也为R，在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态．同时释放两个小球，小球a、b与弹簧在桌面上分离后，a球从B点滑上光滑半圆环轨道最高点A时速度为vA，已知小球a质量为m，小球b质量为2m，重力加速度为g，求：
（1）小球a在圆环轨道最高点对轨道的压力？
（2）释放后小球b离开弹簧时的速度vb的大小？
（3）小球b落地点距桌子右侧的水平距离？
【解答】解：（1）设a球通过最高点时受轨道的弹力为N，由牛顿第二定律
得 N＝mg
由牛顿第三定律，a球对轨道的压力为mg，方向竖直向上．
（2）设小球a与弹簧分离时的速度大小为va，取桌面为零势面，由机械能守恒定律
得
小球a、b从释放到与弹簧分离过程中，总动量守恒mva＝2mvb
（3）b球从桌面飞出做平抛运动，设水平飞出的距离为x
x＝vbt
得
答：（1）小球a在圆环轨道最高点对轨道的压力大小为mg，方向竖直向上；
（2）释放后小球b离开弹簧时的速度vb的大小为；
（3）小球b落地点距桌子右侧的水平距离是
（2024 如皋市二模）小明绘制了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，羽毛球到达P点时速度大小为v，则（　　）
A．羽毛球在A点的机械能等于在B点的机械能
B．整个飞行过程中，羽毛球在P点时的速度最小
C．整个飞行过程中，羽毛球速度最小的位置在P点左侧
D．若在P点将羽毛球以大小为v的速度水平向左抛出，羽毛球将掉落在原出发点的右侧
【解答】解：A、羽毛球在运动过程中受到空气阻力作用，其机械能减小，所以A点的机械能大于B点的机械能，故A错误；
BC、当羽毛球所受重力与阻力的合力方向与速度方向垂直时，羽毛球的速度最小，而在最高点P时，合力方向与速度夹角为钝角，说明羽毛球速度最小应该在P点之前，故BC错误；
D、若在P点将羽毛球以大小为v的速度水平向左抛出，羽毛球受重力和与速度方向反向、斜向右上方的空气阻力，羽毛球将掉落在原出发点的右侧，故D正确。
故选：D。
（2024 西安校级模拟）如图甲所示，风洞是人工产生和控制的气流，用以模拟飞行器或物体周围气体的流动。在某次风洞飞行上升表演中，表演者的质量；m＝50kg，为提高表演的观赏性、控制风速v的平方与表演者上升的高度h间的关系图像如图乙所示，在风力作用的正对面积不变时，风力大小F＝0.05v2（采用国际单位制），取重力加速度大小g＝10m/s2。表演者开始静卧于h＝0处，打开气流，在表演者从最低点到最高点的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．表演者开始静卧于h＝0处，打开气流时，风力大小为600N
B．表演者先做加速度逐渐增大的加速运动，再做加速度逐渐减小的减速运动
C．表演者的加速度为0时所处的高度为10m
D．表演者在上升过程中机械能守恒
【解答】解：A、表演者开始静卧于h＝0处，打开气流时，由图乙知v2＝1.2×104m2/s2，风力大小为F＝0.05v2＝0.05×1.2×104N＝600N，故A正确；
B、当F＝0.05v2＞mg时，合力向上，表演者向上加速，由牛顿第二定律有：0.05v2﹣mg＝ma
可知随着风速的减小，加速度减小，表演者先做加速度减小的加速运动；
当F＝0.05v2＝mg时，加速度为零，速度最大；
当F＝0.05v2＜mg时，合力向下，表演者向上减速，由牛顿第二定律
mg﹣0.05v2＝ma
故随着风速的减小，加速度增大，所以表演者先做加速度逐渐减小的加速运动，再做加速度逐渐增大的减速运动，故B错误；
C、由乙图可知：v2＝1.2×104﹣400h
表演者的加速度为0时，有F＝mg，结合F＝0.05v2，代入数据解得：h＝5m，故C错误；
D、表演者在上升过程中受风力作用，风力对人要做功，其机械能不守恒，故D错误。
故选：A。
（2024 杭州二模）有一质量为m的小球，用细线挂在天花板上，线长为l，将其拉至水平位置由静止释放。忽略空气阻力，小球可看成质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．在小球摆动过程中重力总是做正功
B．重力功率最大值为
C．小球动能变化周期是π
D．在小球下摆过程中，动能随时间的变化率先变大后变小
【解答】解：A、小球向上摆动过程中，重力做负功，故A错误；
B、根据机械能守恒定律可知
mgl
解得小球在最低点的速度为
v
但小球在最低点速度与重力垂直，则重力功率最大值不是，故B错误；
C、根据单摆的周期公式有T＝2，则可知小球动能变化周期是π，但该模型并非单摆运动，则动能变化周期不是π，故C错误；
D、在小球下摆过程中，动能随时间的变化率代表重力功率的变化，可知动能随时间的变化率先变大后变小，故D正确；
故选：D。
（2024 天津模拟）如图甲所示，2024年1月9日，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将爱因斯坦探针卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设爱因斯坦探针卫星发射简化过程如图乙所示，先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在a点发动机点火加速，由轨道Ⅰ变为椭圆轨道Ⅱ上，飞船在轨道Ⅱ上经过c点再变轨到圆轨道Ⅲ，则下列说法正确的是（　　）
A．探针卫星在轨道Ⅰ上经过a点的速度大于在轨道Ⅱ上经过a点的速度
B．探针卫星在轨道Ⅱ上由a点运动到c点机械能减少
C．探针卫星在轨道Ⅱ上经过c点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过c点的加速度
D．探针卫星在轨道Ⅰ上运行的角速度小于在轨道Ⅲ上运行的角速度
【解答】解：A、探针卫星在轨道Ⅰ上经过a点做加速运动，离心后变轨到Ⅱ轨道，所以探针卫星在轨道Ⅰ上经过a点的速度小于在轨道Ⅱ上经过a点的速度，故A错误；
B、探针卫星在轨道Ⅱ上由a点运动到c点过程中，只有万有引力做功，机械能不变，故B错误；
C、根据牛顿第二定律可得ma，解得a，所以探针卫星在轨道Ⅱ上经过c点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过c点的加速度，故C正确；
D、卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：mrω2，解得：ω，探针卫星在轨道Ⅰ上运行的轨道半径大于在轨道Ⅲ上运行的轨道半径，探针卫星在轨道Ⅰ上运行的角速度大于在轨道Ⅲ上运行的角速度，故D错误。
故选：C。
（2024 河南一模）如图，倾角为30°的足够长的光滑斜面体ABC固定放置在水平地面上，在A点的上方再固定一光滑的细杆，细杆与竖直方向的夹角为30°。质量均为m的小球甲、乙（均视为质点）用长为L的轻质杆通过铰链连接（铰链的质量忽略不计），小球甲套在细杆上，小球乙放置在斜面上A点，重力加速度大小为g。现让小球甲、小球乙由静止释放，小球乙一直沿着斜面向下运动，当小球甲刚要到达A点还未与斜面接触时，小球甲的动能为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当小球甲下降到A点时，由几何关系可得小球甲、乙下降的高度分别为
h甲＝Lcos30°
h乙＝Lsin30°
当小球甲刚要到达A点还未与斜面接触时，轻质杆与斜面平行，小球甲的速度沿着细杆，小球乙的速度沿着斜面向下，所以小球甲与小球乙的速度关系为：v乙＝v甲cos30°
由机械能守恒定律可得
小球乙的动能为
代入数据联立解得
故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2024 延边州一模）在足球场上罚任意球时，防守运动员会在球门与罚球点之间站成一堵“人墙”，以增加防守面积，防守运动员会在足球踢出瞬间高高跃起，以增加防守高度。如图所示，虚线是某次射门时足球的运动轨迹，足球恰好擦着横梁下沿进入球门，忽略空气阻力和足球的旋转，下列说法正确的是（　　）
A．足球上升到最高点时的速度为0
B．足球下降过程中重力的功率一直在增大
C．足球在飞行过程中机械能先减小后增大
D．只要防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，就一定能“拦截”到足球
【解答】解：A．足球做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，故足球在最高点时的速度等于水平分速度，且不为零，故A错误；
B．足球在下降过程中竖直方向的分速度vy不断增大，重力的瞬时功率为P＝mgvy，一直在增大，故B正确；
C．由于忽略空气阻力，只有重力做功，故飞行过程中足球的机械能守恒，故C错误；
D．防守运动员跳起是否能“拦截”到足球，除了跳起的最大高度超过足球的轨迹（不一定是轨迹的最高点），还和时间因素有关。即使防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，若起跳时机不对，仍然无法拦截到足球，故D错误。
故选：B。
（2024 岳麓区校级模拟）如图所示，光滑水平面左侧连接一传送带，传送带长L＝4m，水平面右侧连接一光滑圆周轨道，小物块（可视为质点）的质量m＝0.1kg，与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2，当传送带速度v0＝2m/s时，小物块由静止开始放到传送带的最左端时，小物块刚好滑到圆周的最高点，则（　　）
A．小物块在传送带上一直做加速运动
B．小物块在传送带上的运动时间为2s
C．半圆周的半径为0.08m
D．小物块在半圆周最高点的速度为1m/s
【解答】解：AB、小物块放到传送带上时，开始阶段做匀加速运动，由牛顿第二定律有：μmg＝ma，可得a＝2m/s2
小物块和传送带共速前运动的时间为
t1s＝1s
此过程运动的位移为
1m＝1m＜L＝4m
则小物块接下来在传送带上做匀速运动，所用时间为
t2s＝1.5s
则小物块在传送带上运动的总时间为
t＝t1+t2＝1s+1.5s＝2.5s，故AB错误；
CD、设半圆周的半径为R，小物块刚好滑到圆周的最高点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律有
小物块从最低点到最高点，根据机械能守恒定律有
联立解得：vm/s，R＝0.08m，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 嘉兴一模）羽毛球运动是一项深受大众喜爱的体育运动。某同学为研究羽毛球飞行规律，找到了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则该羽毛球（　　）
A．在A、B两点的速度大小相等
B．整个飞行过程中经P点的速度最小
C．AP段的飞行时间大于PB段的飞行时间
D．在A点的机械能大于B点的机械能
【解答】解：AD．羽毛球在运动过程中受到空气阻力作用，机械能减小，A点的机械能大于B点的机械能，A点速度大于B点的速度，故A错误，D正确；
B．当羽毛球所受重力与阻力的合力方向与速度方向垂直时，羽毛球的速度最小，而在最高点P时，合力方向与速度夹角为钝角，说明羽毛球速度最小应该在P点之前，故B错误；
C．AP段羽毛球处于上升阶段，由于存在空气阻力作用，其竖直向下的加速度大于重力加速度，而PB段羽毛球处于下降阶段，加速度小于重力加速度，由于位移大小相等，所以AP段的飞行时间小于PB段的飞行时间，故C错误。
故选：D。
（2024 甘孜州模拟）2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船入轨后，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，形成了三舱三船组合体，此次任务将带去航天员驻留和消耗物资、维修备件、推进剂和应用任务载荷样品，并带回在轨废弃物。飞船发射后会在停泊轨道（Ⅰ）上进行数据确认，后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如下图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，则（　　）
A．飞船在停泊轨道（Ⅰ）上的速度大于7.9km/s
B．飞船在停泊轨道（Ⅰ）与组合体在空间站轨道（Ⅲ）上的速率之比为（R+h）：R
C．飞船在转移轨道（Ⅰ）上正常运行的周期为T＝T1
D．飞船在转移轨道（Ⅱ）上正常运行时，在Q点的机械能和在空间站轨道（Ⅲ）上在Q点的机械能相同
【解答】解：A．因为停泊轨道半径近似为地球半径R，所以飞船在停泊轨道上的速度近似等于第一宇宙速度7.9km/s，不可能大于7.9km/s，故A错误；
B．由万有引力提供向心力有
得
所以飞船在停泊轨道（I）与组合体在空间站轨道（Ⅲ）上的速率之比为
故B错误；
C．由开普勒第三定律有，飞船在停泊轨道和在转移轨道有
得：
选项C正确；
D．飞船在转移轨道（Ⅱ）上Q点经点火加速能进入空间站轨道（Ⅲ）上运行，所以飞船在转移轨道（Ⅱ）上正常运行时，在Q点的机械能小于在空间站轨道（Ⅲ）上在Q点的机械能，故D错误；
故选：C。
（2024 吉林一模）如图所示，甲球从O点以水平速度v1抛出，落在水平地面上的A点；乙球从O点以水平速度v2抛出，落在水平地面上的B点，乙球与地面碰撞前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变，反弹后恰好也落在A点。已知两球质量均为m，乙球落在B点时速度与水平方向夹角为60°，不计碰撞时间和空气阻力，以水平地面为重力势能零势能面，则下列说法正确的是（　　）
A．甲球落在A点时速度与水平方向夹角为45°
B．甲、乙抛出时速度之比v1：v2：1
C．甲、乙落地时速度之比为v甲：v乙＝3：1
D．甲、乙抛出时机械能之比为E甲：E乙＝3：1
【解答】解：AB、设OA间的竖直高度为h。由O点到A点，甲球运动时间为
乙球运动时间是甲球的3倍。设乙球由O点到B点水平位移为x，时间为t。对甲球有
3x＝v1t
对乙球有
x＝v2t
则得
v1：v2＝3：1
在B点，对乙球
甲球落在A点时
故甲球落在A点时速度与水平方向夹角为30°，故AB错误；
C、甲、乙落地时速度
，
故甲、乙落地时速度之比为
v甲：v乙：1
故C错误；
D、设OA间的竖直高度为h，以水平地面为重力势能零势面，因为是抛体运动只受重力，小球机械能守恒，则抛出时刻的机械能和落地时刻的机械能是相等的，所以小球机械能为：Emv2，把v甲和v乙代入得甲、乙抛出时机械能之比为：E甲：E乙＝3：1，故D正确；
故选D。
（2023 浙江二模）图为某资料上一幅反映课外活动的场景，描绘了小明荡秋千荡到最高点时的情形，关于该图与实际情况是否相符的判断及其原因，下列正确的是（　　）
A．符合实际情况，图片没有科学性错误
B．不符合实际情况，因为没有人推他不可能荡到这么高处
C．不符合实际情况，最高点时手以上部分绳子可以弯曲但以下部分应拉直
D．不符合实际情况，最高点时手以上部分和以下部分的绳子均应该是拉直的
【解答】解：小明在最高点时重力沿绳子方向有分力，绳子拉力不为零，不会松弛；速度为零时，即将加速向下摆动，加速度不为零，所以该图不符合实际情况，最高点时手以上部分和以下部分的绳子均应该是拉直的，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 盐山县校级模拟）如图所示，小滑块Q的质量为m，P的质量为2m，P、Q通过轻质定滑轮O（体积可忽略）用细线连接，Q套在光滑水平杆上。用力拉动Q，使OQ间的细线与水平方向的夹角θ＝60°，此时OQ长度为L，P、Q处于静止状态。不计一切摩擦，P不会与杆碰撞，重力加速度大小为g，则释放Q后Q运动的最大速度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当Q运动到滑轮正下方时，P下降的高度最大，此时P速度为零，Q速度最大，根据几何关系可知此过程中P下降的高度为
对P、Q整体，根据机械能守恒定律得
计算得则释放Q后Q运动的最大速度为
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 石景山区一模）一兴趣小组的同学为探究物体作圆周运动的特点制作了如图所示的装置：弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。该小组的同学让质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高5R的A点由静止释放，先后经过B点和C点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，重力加速度为g。
（1）求小球通过B点时的速度大小vB。
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）该小组的同学认为，只要小球能够经过C点，则轨道B和C两点对小球的压力大小之差是不变的。你是否同意这一观点？请说明理由。
【解答】解：（1）小球从A到B的过程中，由机械能守恒定律得：，解得：；
（2）由机械能守恒定律和牛顿第二定律可得：，，解得：F＝5mg，方向竖直向下；
（3）同意。从B到C的过程，由机械能守恒定律可得：
在C点和在B点，由牛顿第二定律可得：，
解得轨道B和C两点对小球压力大小之差FB﹣FC＝6mg为定值。
答：（1）求小球通过B点时的速度大小vB为；
（2）小球通过C点时轨道对小球作用力的大小F为5mg，方向竖直向下；
（3）同意。从B到C的过程，由机械能守恒定律可得：
在C点和在B点，由牛顿第二定律可得：，
解得轨道B和C两点对小球压力大小之差FB﹣FC＝6mg为定值。
（2023 青羊区校级模拟）如图所示，足够长的光滑倾斜轨道与半径为R、内壁光滑的圆形管道之间平滑连接，相切于B点，C、D分别为圆形管道的最低点和最高点，整个装置固定在竖直平面内。一小球质量为m，小球直径略小于圆形管道内径，圆形管道内径远小于R，重力加速度为g。
（1）从倾斜轨道上距离C点多高的位置A由静止释放小球，小球滑下后，在圆形管道内运动通过D点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0？
（2）若将圆形管道的上面三分之一部分PDQ段取下来，并保证剩余圆弧管道的P、Q两端等高，将小球仍然从第（1）问中的位置A由静止释放，通过计算说明小球还能否从Q处进入管道继续在管道内运动？
【解答】解：（1）小球从A点到D点，设在D点的速度大小为vD，根据机械能守恒定律，有
mg（h﹣2R）
小球运动到D点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0，根据牛顿第二定律，有
mg＝m
联立解得h＝2.5R
（2）若将圆形管道的PDQ段取下来，设小球从P点开始以大小为vP的速度做斜.上抛运动，则vP与水平方向的夹角为60°，小球从A点运动的过程中，根据机械能守恒定律，有
mg（h﹣R﹣Rcos60°）
设小球从P点抛出后经过时间t，落回P点所在的水平面，根据抛体运动规律，在水平方向的位移设为s，有s＝vPcos60°t
在竖直方向上，有t
联立解得sR
根据几何关系可知PQ＝2Rsin60°
解得PQR＝s
即小球能从Q处进入管道继续在管道内运动。
答：（1）从倾斜轨道上距离C点2.5R的位置A由静止释放小球，小球滑下后，在圆形管道内运动通过D点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0。
（2）小球能从Q处进入管道继续在管道内运动。
（2023 淮南二模）如图所示，有一个光滑圆环MDN固定在竖直平面内，半径为R＝0.2m，圆心在O点，N、O、D为竖直直径上的三点，O、M、B、C四点在同一个水平面上，在N点正下方接近N点处固定一个非常小的光滑水平支架，支架上放置一个可视为质点的小物块b，另一个可视为质点的小球a在M点的正上方。传送带顺时针匀速转动，速度大小为v'＝8m/s，左端点B距圆心O的水平距离为L0，BC长为，已知球a的质量m1＝0.2kg，物块b的质量m2＝0.4kg，g＝10m/s2，不计空气阻力。
（1）若将物块b拿走，球a从M点正上方的某处由静止释放后，恰好能从圆轨道最高点N水平飞出，且击中传送带上的B点，求OB的距离L0；
（2）将物块b放在支架上，球a从M点正上方距离M点高度为h1＝0.18m处由静止释放，则球a能不能与物块b相碰？若能，求碰后两者的速度大小；若不能，求球a与圆轨道脱离的位置与圆心O的高度差；
（3）调整球a从M点正上方释放点的高度，使a、b两物体发生弹性碰撞后，球a能原轨道返回，物块b做平抛运动后落在传送带上，且物块b落在传送带上时竖直分速度全部损失，只保留水平方向分速度。当物块b落在传送带上距离B点最近时，物块b在传送带上会一直向右加速运动，到C点时恰好与传送带速度相等，求物块b与传送带间的动摩擦因数μ。
【解答】解：（1）a球恰好从最高点飞出，重力恰好提供向心力，由牛顿第二定律得：
平抛运动击中B点有
竖直方向：
水平方向：L0＝vNt
联立解得：
（2）a球释放高度小于R，故不能到达圆弧最高点；a球不能与物块b相碰，设在圆弧上K点脱离，K点与圆心在水平方向的夹角为θ，对a球由动能定理得：
在K点由牛顿第二定律得：
代入数据得：
故脱离轨道时距O高度为：
h'＝Rsinθ
代入数据得：h'＝0.12m
（3）a球释放点距M点的距离h处自由释放，运动到N点由动能定理得：
两物体碰撞时动量守恒，以水平向右为正方向，由动量守恒定律得：
m1v0＝m1v1+m2v2
由机械能守恒定律得：
联立解得：
，方向向左
，方向向右
a球原路返回要求有
得到h≥1.1m
此时b物块对应水平位移
解得：
故能落在传送带上距B点为m，且为最近点。
在h＝1.1m时，由上式可得b物块从N点射出时速度为
因竖直分速度损失，故落在传送带时水平速度也为
水平位移为：
解得：
与C点距离为：
x＝L+L0﹣s
代入数据得：x＝4m
一直加速故有
由牛顿第二定律得：
μm2g＝m2a
联立解得：μ＝0.7
答：（1）OB的距离L0为；
（2）球a与圆轨道脱离的位置与圆心O的高度差为0.12m；
（3）物块b与传送带间的动摩擦因数μ为0.7第14讲　机械能守恒定律
知识内容 考试要求 说明
重力势能 c 1.不要求掌握物体做曲线运动时重力做功表达式的推导方法． 2.不要求掌握弹簧弹性势能的表达式． 3.运用机械能守恒定律进行计算时，不涉及弹性势能的表达式． 4.不要求用机械能守恒定律求解两个及两个以上物体(包括需要确定重心的链条、绳子、流体等)的问题.
弹性势能 b
机械能守恒定律 d
一、重力势能和弹性势能
1．重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．
2．重力做功与重力势能变化的关系：
重力对物体做正功，重力势能减少；重力对物体做负功，重力势能增加；物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－ΔEp.
3．弹力做功与弹性势能的关系：
弹力对物体做正功，弹性势能减少，弹力对物体做负功，弹性势能增加，弹力对物体做的功等于弹性势能的减少量．
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
3．条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
命题点一　机械能守恒的理解和判断
1．利用机械能的定义判断：
若物体在水平面上匀速运动，则其动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体沿斜面匀速下滑，则其动能不变，重力势能减少，机械能减少．
2．做功判断法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒．
3．能量转化判断法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．
（2024 金华二模）如图所示是航天员在水下进行模拟失重训练的一种方式。航天员穿水槽训练航天服浸没在水中，通过配重使其在水中受到的浮力和重力大小相等。假设其总质量为m，训练空间的重力加速度为g且不变，航天员在某次出舱作业时，匀速上升距离为h的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．宇航员处于完全失重状态
B．机械能增加了mgh
C．合力不做功，机械能守恒
D．重力做负功，机械能减少
（2024 庐阳区校级四模）如图所示，用轻杆通过铰链相连的小球A、B、C处于竖直平面内，质量均为m，两段轻杆等长。现将C球置于距地面高h处，由静止释放，假设三个小球只在同一竖直面内运动，不计一切摩擦，重力加速度为g，则在小球C下落过程中（　　）
A．小球A、B、C组成的系统机械能不守恒
B．小球C的机械能一直减小
C．小球C落地前瞬间的速度大小为
D．当小球C的机械能最小时，地面对小球B的支持力大于mg
（2024 琼山区一模）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图所示。其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b时的加速度等于g
B．炮弹经过a点和经过c点的机械能不相同
C．炮弹经过a点和经过c点时的加速度相同
D．炮弹由a点运动到b点的时间大于由b点运动到c点的时间
（2024 凉山州模拟）如图所示，用长为L的轻细线把质量为m的小球悬挂在天花板上，拉直细线让小球从与悬点等高的A点静止释放，若空气阻力不能忽略，则小球运动到最低点B的过程中（　　）
A．机械能守恒 B．重力的功率一直增大
C．速度先增大后减小 D．机械能先增大后减小
（2024 太原一模）运动员某次发球，将球从离台面高h0处发出，球落在A点反弹后又落在B点，两次擦边。AB间距离为L，球经过最高点时离台面的高度为h（h＞h0），重力加速度为g。若忽略阻力、球的旋转、球与台面碰撞时能量的损失，乒乓球离开球拍的速度大小为（　　）
A． B．
C． D．
（2024 盐城一模）如图所示，两根不可伸长的轻绳连接质量为m小球P，右侧绳一端固定于A，绳长为L，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向夹角分别为37°和53°，现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，且两绳均拉直，由静止释放，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，求：
（1）物体Q的质量M；
（2）小球P运动到图示位置时的速度v大小；
（3）小球P运动到图示位置时AP绳中的张力大小。
命题点二　机械能守恒的应用
1．机械能守恒定律的表达式
2．选用技巧：在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
拓展点　含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
（2023 仓山区校级模拟）甲、乙、丙三个物体用不可伸长的轻线通过轻滑轮连接，甲与地面用轻弹簧连接，如图所示。物体乙与物块丙之间的距离和物体丙到地面的距离相等。已知物体乙与物块丙的质量均为m，物体甲的质量大于m，但是小于2m；弹簧的劲度系数为k。物体在运动过程中不会与滑轮相碰，且不计一切阻力，物体碰地后不反弹，当地的重力加速度为g。
（1）若已知物体甲的质量为1.5m，将乙与丙间的线剪断，求剪断瞬间乙物体加速度的大小？此时甲、乙之间轻绳拉力多大？
（2）若将乙与丙间的线剪断，甲下降多大距离时它的速度最大？
（3）若突然弹簧与甲物体脱离接触，要保证物块乙在运动过程中不会着地，求这种情形之下甲物体的质量的取值范围？
（2023 西城区校级三模）如图，半径R＝0.50m的光滑圆环固定在竖直平面内．轻质弹簧的一端固定在环的最高点A处，另一端系一个质量m＝0.20kg的小球．小球套在圆环上．已知弹簧的原长为L0＝0.50m，劲度系数K＝4.8N/m．将小球从如图所示的位置由静止开始释放．小球将沿圆环滑动并通过最低点C，在C点时弹簧的弹性势能EPC＝0.6J．g＝10m/s求：
（1）小球经过C点时的速度vC的大小．
（2）小球经过C点时对环的作用力的大小和方向．
（2021 海南模拟）如图所示，半径为R的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌面距水平地面的高度也为R，在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态．同时释放两个小球，小球a、b与弹簧在桌面上分离后，a球从B点滑上光滑半圆环轨道最高点A时速度为vA，已知小球a质量为m，小球b质量为2m，重力加速度为g，求：
（1）小球a在圆环轨道最高点对轨道的压力？
（2）释放后小球b离开弹簧时的速度vb的大小？
（3）小球b落地点距桌子右侧的水平距离？
（2024 如皋市二模）小明绘制了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，羽毛球到达P点时速度大小为v，则（　　）
A．羽毛球在A点的机械能等于在B点的机械能
B．整个飞行过程中，羽毛球在P点时的速度最小
C．整个飞行过程中，羽毛球速度最小的位置在P点左侧
D．若在P点将羽毛球以大小为v的速度水平向左抛出，羽毛球将掉落在原出发点的右侧
（2024 西安校级模拟）如图甲所示，风洞是人工产生和控制的气流，用以模拟飞行器或物体周围气体的流动。在某次风洞飞行上升表演中，表演者的质量；m＝50kg，为提高表演的观赏性、控制风速v的平方与表演者上升的高度h间的关系图像如图乙所示，在风力作用的正对面积不变时，风力大小F＝0.05v2（采用国际单位制），取重力加速度大小g＝10m/s2。表演者开始静卧于h＝0处，打开气流，在表演者从最低点到最高点的运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．表演者开始静卧于h＝0处，打开气流时，风力大小为600N
B．表演者先做加速度逐渐增大的加速运动，再做加速度逐渐减小的减速运动
C．表演者的加速度为0时所处的高度为10m
D．表演者在上升过程中机械能守恒
（2024 杭州二模）有一质量为m的小球，用细线挂在天花板上，线长为l，将其拉至水平位置由静止释放。忽略空气阻力，小球可看成质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．在小球摆动过程中重力总是做正功
B．重力功率最大值为
C．小球动能变化周期是π
D．在小球下摆过程中，动能随时间的变化率先变大后变小
（2024 天津模拟）如图甲所示，2024年1月9日，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将爱因斯坦探针卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设爱因斯坦探针卫星发射简化过程如图乙所示，先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在a点发动机点火加速，由轨道Ⅰ变为椭圆轨道Ⅱ上，飞船在轨道Ⅱ上经过c点再变轨到圆轨道Ⅲ，则下列说法正确的是（　　）
A．探针卫星在轨道Ⅰ上经过a点的速度大于在轨道Ⅱ上经过a点的速度
B．探针卫星在轨道Ⅱ上由a点运动到c点机械能减少
C．探针卫星在轨道Ⅱ上经过c点的加速度等于在轨道Ⅲ上经过c点的加速度
D．探针卫星在轨道Ⅰ上运行的角速度小于在轨道Ⅲ上运行的角速度
（2024 河南一模）如图，倾角为30°的足够长的光滑斜面体ABC固定放置在水平地面上，在A点的上方再固定一光滑的细杆，细杆与竖直方向的夹角为30°。质量均为m的小球甲、乙（均视为质点）用长为L的轻质杆通过铰链连接（铰链的质量忽略不计），小球甲套在细杆上，小球乙放置在斜面上A点，重力加速度大小为g。现让小球甲、小球乙由静止释放，小球乙一直沿着斜面向下运动，当小球甲刚要到达A点还未与斜面接触时，小球甲的动能为（　　）
A． B．
C． D．
（2024 延边州一模）在足球场上罚任意球时，防守运动员会在球门与罚球点之间站成一堵“人墙”，以增加防守面积，防守运动员会在足球踢出瞬间高高跃起，以增加防守高度。如图所示，虚线是某次射门时足球的运动轨迹，足球恰好擦着横梁下沿进入球门，忽略空气阻力和足球的旋转，下列说法正确的是（　　）
A．足球上升到最高点时的速度为0
B．足球下降过程中重力的功率一直在增大
C．足球在飞行过程中机械能先减小后增大
D．只要防守运动员跳起的最大高度超过轨迹最高点，就一定能“拦截”到足球
（2024 岳麓区校级模拟）如图所示，光滑水平面左侧连接一传送带，传送带长L＝4m，水平面右侧连接一光滑圆周轨道，小物块（可视为质点）的质量m＝0.1kg，与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2，当传送带速度v0＝2m/s时，小物块由静止开始放到传送带的最左端时，小物块刚好滑到圆周的最高点，则（　　）
A．小物块在传送带上一直做加速运动
B．小物块在传送带上的运动时间为2s
C．半圆周的半径为0.08m
D．小物块在半圆周最高点的速度为1m/s
（2024 嘉兴一模）羽毛球运动是一项深受大众喜爱的体育运动。某同学为研究羽毛球飞行规律，找到了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则该羽毛球（　　）
A．在A、B两点的速度大小相等
B．整个飞行过程中经P点的速度最小
C．AP段的飞行时间大于PB段的飞行时间
D．在A点的机械能大于B点的机械能
（2024 甘孜州模拟）2023年5月30日16时29分，神舟十六号载人飞船入轨后，成功对接于空间站天和核心舱径向端口，形成了三舱三船组合体，此次任务将带去航天员驻留和消耗物资、维修备件、推进剂和应用任务载荷样品，并带回在轨废弃物。飞船发射后会在停泊轨道（Ⅰ）上进行数据确认，后择机经转移轨道（Ⅱ）完成与中国空间站的交会对接，其变轨过程可简化如下图所示，已知停泊轨道半径近似为地球半径R，中国空间站轨道距地面的平均高度为h，飞船在停泊轨道上的周期为T1，则（　　）
A．飞船在停泊轨道（Ⅰ）上的速度大于7.9km/s
B．飞船在停泊轨道（Ⅰ）与组合体在空间站轨道（Ⅲ）上的速率之比为（R+h）：R
C．飞船在转移轨道（Ⅰ）上正常运行的周期为T＝T1
D．飞船在转移轨道（Ⅱ）上正常运行时，在Q点的机械能和在空间站轨道（Ⅲ）上在Q点的机械能相同
（2024 吉林一模）如图所示，甲球从O点以水平速度v1抛出，落在水平地面上的A点；乙球从O点以水平速度v2抛出，落在水平地面上的B点，乙球与地面碰撞前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变，反弹后恰好也落在A点。已知两球质量均为m，乙球落在B点时速度与水平方向夹角为60°，不计碰撞时间和空气阻力，以水平地面为重力势能零势能面，则下列说法正确的是（　　）
A．甲球落在A点时速度与水平方向夹角为45°
B．甲、乙抛出时速度之比v1：v2：1
C．甲、乙落地时速度之比为v甲：v乙＝3：1
D．甲、乙抛出时机械能之比为E甲：E乙＝3：1
（2023 浙江二模）图为某资料上一幅反映课外活动的场景，描绘了小明荡秋千荡到最高点时的情形，关于该图与实际情况是否相符的判断及其原因，下列正确的是（　　）
A．符合实际情况，图片没有科学性错误
B．不符合实际情况，因为没有人推他不可能荡到这么高处
C．不符合实际情况，最高点时手以上部分绳子可以弯曲但以下部分应拉直
D．不符合实际情况，最高点时手以上部分和以下部分的绳子均应该是拉直的
（2023 盐山县校级模拟）如图所示，小滑块Q的质量为m，P的质量为2m，P、Q通过轻质定滑轮O（体积可忽略）用细线连接，Q套在光滑水平杆上。用力拉动Q，使OQ间的细线与水平方向的夹角θ＝60°，此时OQ长度为L，P、Q处于静止状态。不计一切摩擦，P不会与杆碰撞，重力加速度大小为g，则释放Q后Q运动的最大速度为（　　）
A． B． C． D．
（2024 石景山区一模）一兴趣小组的同学为探究物体作圆周运动的特点制作了如图所示的装置：弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。该小组的同学让质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高5R的A点由静止释放，先后经过B点和C点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，重力加速度为g。
（1）求小球通过B点时的速度大小vB。
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）该小组的同学认为，只要小球能够经过C点，则轨道B和C两点对小球的压力大小之差是不变的。你是否同意这一观点？请说明理由。
（2023 青羊区校级模拟）如图所示，足够长的光滑倾斜轨道与半径为R、内壁光滑的圆形管道之间平滑连接，相切于B点，C、D分别为圆形管道的最低点和最高点，整个装置固定在竖直平面内。一小球质量为m，小球直径略小于圆形管道内径，圆形管道内径远小于R，重力加速度为g。
（1）从倾斜轨道上距离C点多高的位置A由静止释放小球，小球滑下后，在圆形管道内运动通过D点时，管道内壁对小球的作用力恰好为0？
（2）若将圆形管道的上面三分之一部分PDQ段取下来，并保证剩余圆弧管道的P、Q两端等高，将小球仍然从第（1）问中的位置A由静止释放，通过计算说明小球还能否从Q处进入管道继续在管道内运动？
（2023 淮南二模）如图所示，有一个光滑圆环MDN固定在竖直平面内，半径为R＝0.2m，圆心在O点，N、O、D为竖直直径上的三点，O、M、B、C四点在同一个水平面上，在N点正下方接近N点处固定一个非常小的光滑水平支架，支架上放置一个可视为质点的小物块b，另一个可视为质点的小球a在M点的正上方。传送带顺时针匀速转动，速度大小为v'＝8m/s，左端点B距圆心O的水平距离为L0，BC长为，已知球a的质量m1＝0.2kg，物块b的质量m2＝0.4kg，g＝10m/s2，不计空气阻力。
（1）若将物块b拿走，球a从M点正上方的某处由静止释放后，恰好能从圆轨道最高点N水平飞出，且击中传送带上的B点，求OB的距离L0；
（2）将物块b放在支架上，球a从M点正上方距离M点高度为h1＝0.18m处由静止释放，则球a能不能与物块b相碰？若能，求碰后两者的速度大小；若不能，求球a与圆轨道脱离的位置与圆心O的高度差；
（3）调整球a从M点正上方释放点的高度，使a、b两物体发生弹性碰撞后，球a能原轨道返回，物块b做平抛运动后落在传送带上，且物块b落在传送带上时竖直分速度全部损失，只保留水平方向分速度。当物块b落在传送带上距离B点最近时，物块b在传送带上会一直向右加速运动，到C点时恰好与传送带速度相等，求物块b与传送带间的动摩擦因数μ。

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