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第15讲　功能关系　能量守恒定律
知识内容 考试要求 说明
能量守恒定律与能源 d 不要求用能量守恒定律进行较复杂的计算.
一、功能关系
1．功是能量转化的量度，功和能的关系一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．做功对应变化的能量形式
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力(除重力、弹力外)做正功 机械能增加
二、能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE减＝ΔE增 .
3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
命题点一　功能关系的理解和应用
1．牢记三条功能关系
(1)重力做的功等于重力势能的减少量，弹力做的功等于弹性势能的减少量；
(2)合外力做的功等于动能的变化；
(3)除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化．
2．功能关系的选用原则
在应用功能关系解决具体问题的过程中
(1)若只涉及动能的变化则用动能定理分析．
(2)若只涉及重力势能的变化则用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3)若只涉及机械能变化则用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
（2024 湖州模拟）如图所示，轻弹簧一端悬挂在横杆上，另一端连接质量为m的重物，弹簧和重物组成的系统处于静止状态。某时刻在重物上施加一方向竖直向上，大小为的恒力，重物上升的最大高度为h，已知弹簧的弹性势能表达式为，则（　　）
A．上升过程中系统机械能守恒
B．开始时弹簧的弹性势能为
C．上升过程中重物的最大动能为
D．上升到最高点过程中重物的重力势能增加
【解答】解：A、在重物上施加一方向竖直向上，大小为的恒力，重物上升的过程中，恒力F对重物做正功，所以系统的机械能增加，故A错误；
B、开始时重物处于静止状态，弹簧的弹力与重力平衡，则弹簧的弹力大小为：kx＝mg；
某时刻在重物上施加一方向竖直向上，大小为的恒力，重物上升的最大高度为h，在此过程中，根据动能定理可得：Fh﹣mgh＝0
联立解得：x＝h
开始时弹簧的弹性势能为Ep0，故B正确；
C、物体受力平衡时速度最大，根据对称性可知重物上升的高度为h，此过程中根据动能定理可得：Fhmgh＝Ekm﹣0
解得：Ekmmgh，故C错误；
D、上升到最高点过程中重物的重力势能增加量为ΔEp＝mgh，故D错误。
故选：B。
（2024 海淀区一模）如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，使轻绳拉紧，A球静止于地面。不计空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦，重力加速度为g。由静止释放B球，到B球落地前的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．A球的加速度大小为2g
B．拉力对A球做的功等于A球机械能的增加量
C．重力对B球做的功等于B球动能的增加量
D．B球机械能的减少量大于A球机械能的增加量
【解答】解：A、对整体应用牛顿第二定律，3mg﹣mg＝4ma，解得ag，即A、B的加速度大小均为g，故A错误；
B、对A球，绳子的拉力为A球除了重力之外的力，即拉力做的功等于A球机械能的增加量，故B正确；
C、根据动能定理可知，合外力的功等于物体动能的变化量，对B球，B球重力的功与绳子拉力的功的代数和等于B球动能的增加量，故C错误；
D、根据A、B以及轻绳组成的系统机械能守恒可知，B球机械能的减少量等于A球机械能的增加量，故D错误；
故选：B。
（2024 和平区一模）2023年5月23日，中国空军八一飞行表演队时隔14年换装新机型，歼10C飞出国门，在大马航展上腾空而起，特技表演惊艳全场。如图所示，飞机在竖直平面内经一段圆弧向上爬升，忽略阻力，飞机沿圆弧运动过程（　　）
A．若飞机沿圆弧向上匀速爬升，则所受合力为零
B．若飞机沿圆弧向上匀速爬升，则重力的功率不变
C．若飞机沿圆弧向上匀速爬升，则发动机的推力大小不变
D．若飞机沿圆弧向上加速爬升，则发动机推力做的功大于重力势能增加量
【解答】解：A、飞机沿圆弧向上匀速爬升，做匀速圆周运动，则所受合力等于圆周运动所需的向心力，故飞机所受合力不为零，故A错误；
B、飞机沿圆弧向上匀速爬升，速度方向不断变化，而重力为恒力，因此重力与速度方向的夹角不断变化，故重力的功率不断变化，故B错误；
C、飞机沿圆弧向上匀速爬升，做匀速圆周运动，发动机的推力与飞机的重力的合力等于大小不变，而方向不对变化的向心力，即推力与重力的合力大小不变，方向变化，而重力为恒力，根据平行四边形定则，可知发动机的推力大小一定变化，故C错误；
D、飞机沿圆弧向上加速爬升，速率、动能均增加，根据动能定理，发动机推力做的功大于克服重力做的功，根据功能关系势能增加量等于克服重力做的功，则发动机推力做的功大于重力势能增加量，故D正确。
故选：D。
命题点二　摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路径长度．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
（2024 凉山州模拟）如图所示，一轻质弹性绳原长为OA，上端固定在O点，下端连接一小物体竖直拉伸弹性绳后置于粗糙水平地面上的B处。在A位置紧挨弹性绳右侧固定一光滑挡杆，在弹性绳弹性限度内，让物体在水平向右的恒力F作用下从B点经C运动到D点，AC＝2AB，AD＝3AB，点O、A、B、C、D在同一竖直平面内，弹性绳的势能正比于形变量的平方。则以下说法正确的是（　　）
A．物体从B到D做匀加速直线运动
B．物体从B到C与从C到D弹性绳势能的增量相等
C．物体运动过程中所受的摩擦力不变
D．物体从B到C与从C到D摩擦生热相等
【解答】解：根据题意，设AB间距离为x，弹性绳的劲度系数为k，弹性绳的势能正比于形变量的平方，比例系数为k′，物体与地面的动摩擦因数为μ，弹性绳与水平面间的角度为θ，则
AC．物体向右运动的任一时刻，弹性绳的弹力为
对物体进行受力分析，如图所示
则水平方向根据牛顿第二定律有
F﹣F弹cosθ﹣f＝ma
竖直方向上根据平衡条件有
mg＝FN+F弹sinθ
又
f＝μFN
联立解得摩擦力和加速度分别为
根据表达式可知，摩擦力大小不变，加速度随着物体向右运动，θ逐渐减小，tanθ逐渐减小，加速度a减小。物体从B到D做不是匀加速直线运动，故A错误、C正确；
B．根据题意可知物体在B、C、D三处时弹性绳的弹性势能分别为
则物体从B到C弹性绳势能的增量为
从C到D弹性绳势能的增量为
可知物体从B到C与从C到D弹性绳势能的增量不相等，故B错误；
D．根据几何关系，可知BC和CD距离分别为
根据恒力功公式可知，物体从B到C与从C到D摩擦生热为
Q＝fs
因为摩擦力大小不变，BC长度与CD不等，则摩擦生热不相等，故D错误。
故选：C。
（2024 重庆模拟）如图甲所示，倾角为37°的斜面固定在水平地面上，一木块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确是（　　）
A．木块的重力大小为
B．木块受到的摩擦力大小为
C．木块与斜面间的动摩擦因数为
D．木块上滑过程中，重力势能增加了4E0
【解答】解：D、由图乙可知，木块位移为x0时，动能为0，机械能为3E0，重力势能增加了3E0，故D错误；
B、由图乙可知，克服摩擦做功损失的机械能为
ΔE＝4E0﹣3E0＝E0
木块受到的摩擦力大小为
f＝μmgcosθ，故B错误；
AC、由动能定理得
﹣（mgsinθ+μmgcosθ） x0＝0﹣4E0
解得：mg，μ＝0.25，故C错误，A正确。
故选：A。
（2024 西城区校级模拟）如图所示，质量为2000kg的电梯的缆绳发生断裂后向下坠落，电梯刚接触井底缓冲弹簧时的速度为4m/s，缓冲弹簧被压缩2m时电梯停止了运动，下落过程中安全钳总共提供给电梯17000N的滑动摩擦力。已知弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），安全钳提供的滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为3000N/m
B．整个过程中电梯的加速度一直在减小
C．电梯停止在井底时受到的摩擦力大小为17000N
D．从电梯接触弹簧到速度最大的过程中电梯和弹簧组成的系统损失的机械能约为4636J
【解答】解：A.电梯刚接触井底缓冲弹簧时的速度为4m/s，缓冲弹簧被压缩2m时电梯停止了运动，根据能量守恒定律有
代入数据解得
k＝11000N/m，故A错误；
B.与弹簧接触前，电梯做匀加速直线运动，接触弹簧后，先做加速度逐渐减小的加速运动后做加速度逐渐增加的减速运动，故B错误；
C.电梯停止在井底时，由受力平衡得kΔx＝mg+f静
代入数据解得f静＝kΔx﹣mg＝11000×2N﹣2000×10N＝2000N，故C错误；
D.当电梯速度最大时，此时加速度为零，则kΔx'+f动＝mg
代入数据解得
电梯接触弹簧到速度最大的过程中，电梯和弹簧组成的系统损失的机械能等于摩擦力做的负功，则，故D正确。
故选：D。
（2024 二模拟）如图所示，质量为m的足够长的木板放在光滑的水平地面上，与木板右端距离为x的地面上立有一柔性挡板，木板与挡板发生连续碰撞时速度都会连续发生衰减，当木板与挡板发生第n次碰撞时，碰后瞬间的速度大小v′n与第一次碰前瞬间的速度大小v1满足关系式。现有一质量为2m的物块以速度从左端冲上木板，造成了木板与柔性挡板的连续碰撞（碰撞时间均忽略不计），物块与木板间的动摩擦因数为μ。已知重力加速度为g，在木板停止运动前，物块都不会和木板共速。
（1）物块刚滑上木板时，求物块和木板的加速度大小；
（2）从物块滑上木板到木板与柔性挡板第一次碰撞时，求物块与木板因摩擦产生的热量；
（3）从物块滑上木板到木板与柔性挡板第n次碰撞时，求物块运动的位移大小。
【解答】解：（1）物块刚滑上木板时，对物块由牛顿第二定律得：
μ 2mg＝2ma1
解得：a1＝μg
物块刚滑上木板时，对木板由牛顿第二定律得：
μ 2mg＝ma2
解得：a2＝2μg
（2）设从木板开始运动到发生第一次碰撞的时间为t1，则对木板有：
解得：
此时间内物块的位移为：
解得：
根据功能关系可得摩擦产生的热量为：
Q＝μ 2mg（x1﹣x）
解得：Q＝5μmgx
（3）第一次碰撞前瞬间木板的速度大小为：v1＝a2t1
第一次碰撞后瞬间木板的速度大小为：
每相邻两次碰撞之间木板均做对称的匀加速、匀减速直线运动，则
第二次碰前瞬间木板的速度大小为：v2＝v′1
第一次碰撞到第二次碰撞的时间间隔为：
从木板开始运动到第二次碰撞时的时间间隔为
第二次碰撞后瞬间木板的速度大小为：
第三次碰前瞬间木板的速度大小为：v3＝v′2
第二次碰撞到第三次碰撞的时间间隔为：
从木板开始运动到第三次碰撞时的时间间隔为：
如此重复，归纳可得：
从木板开始运动到第n次碰撞时的时间间隔为：
全过程物块始终做匀减速运动，设从开始第n次碰撞时物块运动的位移大小为x2，则有：
解得：x2
命题点三　能量守恒定律的理解和应用
1．当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量转化和守恒定律．
2．解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解．
（2024 下城区校级模拟）近几年，中国的动力电池技术快速发展，电动汽车产品选代升级，可供消费者选择的车型和品牌也会越来越丰富，如图为蔚来的ES8车型，下列表中数据为ES8的动力系统部分数据：
蔚来ES8部分数据
前后轮输 出功率 前160kW 标准电池的能量 75kW h
后240kW 标准电池电荷量 200Ah
最大扭矩 725N m 匀速行驶最大里程 450km
0﹣100km/h 加速时间 4.9s 交流充电口 220V/32A，效率80%
最高车速 200km/h 直流充电口 420V/250A，效率90%
则下列说法正确的是（　　）
A．若0～100km/h加速是匀加速直线运动，则汽车的加速度约为20m/s2
B．按照匀速行驶最大里程，汽车行驶过程受到平均阻力为6000N
C．用交流电充电，如果能保持充电电流为32A，则充满标准电池需要约7.8h
D．用直流电充电，如果能保持充电电流为250A，则充满标准电池需要约0.8h
【解答】解：A．由加速度定义式得：
其中Δv＝100km/h＝27.8m/s，Δt＝4.9s
代入数据得：a≈5.67m/s2，故A错误；
B．汽车匀速行驶时，牵引力等于阻力，由功能关系得：
E＝fs
其中E＝75kW h＝2.7×108J，s＝450km＝4.5×105m
代入数据得：f＝600N，故B错误；
CD．根据功能关系得：
ηUIt＝E
若用用交流电充电，充电电流I为32A时，充电电压U为220V，效率η为80%，则充满标准电池需要用时：
t1≈13.3h
用直流电充电，充电电流为250A时，充电电压U为420V，效率η为90%，则充满标准电池需时：
t2≈0.8h，故C错误，D正确。
故选：D。
（2024 下城区校级模拟）如图所示为某景观喷泉的喷射装置结构示意图。它由竖直进水管和均匀分布在同一水平面上的多个喷嘴组成，喷嘴与进水管中心的距离均为r＝0.6m，离水面的高度h＝3.2m。水泵位于进水管口处，启动后，水泵从水池吸水，并将水压到喷嘴处向水平方向喷出，水在水池面上的落点与进水管中心的水平距离为R＝2.2m。水泵的效率为η＝80%，水泵出水口在1s内通过的水的质量为m0＝10kg，重力加速度g取10m/s2，忽略水在管道和空中运动时的机械能损失。则下列错误的是（　　）
A．水从喷嘴喷出时速度的大小2m/s
B．在水从喷嘴喷出到落至水面的时间内，水泵对水做的功是320J
C．水泵输出的功率340W
D．水泵在1h内消耗的电能1.53×106J
【解答】解：A.水从喷嘴水平喷出，做平抛运动，根据平抛运动规律有
R﹣r＝vt
hgt2
代入数据解得v＝2m/s，故A正确；
B.水泵对外做功，转化为水的机械能，每秒内水泵对水做的功为
W＝m0ghm0v2
代入数据解得W＝340J，故B错误；
C.由B可知水泵输出的功率
PW＝340W，故C正确；
D.根据P＝ηP电，则水泵的电功率为
P电W＝425W；
水泵在1h内消耗的电能为
E＝P电t＝425×3600J＝1.53×106J，故D正确；
本题选错误的，故选：B。
（2024 贵州模拟）“神舟15号”载人飞船安全着陆需经过分离、制动、再入和减速四个阶段。如图，在减速阶段，巨型的大伞为返回舱提供足够的减速阻力，设返回舱做直线运动，则在减速阶段（　　）
A．伞绳对返回舱的拉力大于返回舱对伞绳的拉力
B．伞绳对返回舱的拉力小于返回舱对伞绳的拉力
C．合外力对返回舱做的功等于返回舱机械能的变化
D．除重力外其他力的合力对返回舱做的功等于返回舱机械能的变化
【解答】解：AB．由牛顿第三定律可知，伞绳对返回舱的拉力等于返回舱对伞绳的拉力，故AB错误；
CD．由动能定理可知，合外力对返回舱做的功等于返回舱的动能变化量；由功能关系可知除重力外其他力的合力对返回舱做的功等于返回舱机械能的变化，故C错误，D正确。
故选：D。
（2024 开福区校级模拟）车辆前进的阻力主要有三个：滚动阻力、空气阻力和上坡阻力，高铁的铁轨非常平缓，大部分时候都可以忽略上坡阻力，所以主要的阻力来源就是滚动阻力和空气阻力，滚动阻力与总重力成正比，空气阻力跟高铁运动的速度的二次方成正比，研究表明，当高铁以200km/h速度运行时，空气阻力占总阻力的约60%，人均百公里能耗约为2.0度电，当高铁以300km/h速度运行时，人均百公里能耗约为多少度电（　　）
A．3.0 B．3.5 C．4.0 D．4.5
【解答】解：设当高铁以200km/h速度运行时，总阻力为f，滚动阻力为f滚，空气阻力为f空
由题意可得：f＝f滚+f空，60%，
可得：ff空，f滚f空
当高铁以300km/h速度运行时，由题意知此时的空气阻力为：f空′＝（）2f空f空
此时的总阻力为：f′＝f滚+f空′f空f空f空
人均百公里能耗电之比等于总阻力之比，则当高铁以300km/h速度运行时，人均百公里能耗点约为：
E度度＝3.5度，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2024 南充模拟）蹦极是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节等处，从几十米高处跳下的一种极限运动、如图为蹦极运动的示意图。弹性绳的一端固定在O点，另一端和质量为60kg的跳跃者相连，跳跃者从距离地面45m的高台站立着从O点自由下落，到B点弹性绳自然伸直，C点加速度为零，D为最低点，然后弹起。运动员可视为质点，不计弹性绳的质量，整个过程中忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　）
A．跳跃者从O到B的运动为变加速直线运动
B．跳跃者从B运动到C的过程，始终处于失重状态
C．跳跃者从B运动到C的过程，减少的重力势能等于弹性绳增加的弹性势能
D．假设弹性绳索长20m，劲度系数为1000N/m，可以得到C点与O点的距离是26m
【解答】解：A、从O点到B点的运动过程，跳跃者只受重力，所以跳跃者做匀加速直线运动，故A错误；
BC、跳跃者在C点加速度为零，重力与弹性绳的弹力大小相等，从B运动到C的过程重力大于弹性绳的弹力，合力竖直向下，加速度竖直向下，且逐渐减小，所以跳跃者做变加速直线运动，处于失重状态；减少的重力势能等于弹性绳增加的弹性势能与跳跃者增加的动能之和，故B正确，C错误；
D、在C点时，根据共点力平衡条件可知：mg＝kx，解得：x＝0.6m，所以C点与O点的距离是s＝L0+x＝20m+0.6m＝20.6m，故D错误。
故选：B。
（2024 南昌一模）如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a处由静止开始向右运动。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球从a处开始运动到其落至水平轨道cd上时，水平外力所做的功为（　　）
A．5mgR B．7mgR C．9mgR D．11mgR
【解答】解：水平外力为F＝mg，设小球到c点时的速度大小为vc，对小球从a到c的过程，根据动能定理得：
﹣mgR+F（2R+R）
解得：vc＝2
小球到c点时的速度方向竖直向上，将之后落至水平轨道cd的运动按水平与竖直方向正分解，水平方向做匀加速直线运动，加速度为axg，竖直方向做竖直上抛运动，设水平方向的位移为x，则有：
t
xaxt2
解得：x＝8R
小球从a处开始运动到其落至水平轨道cd上时，水平外力所做的功为：
WF＝F（2R+R+x）＝11mgR，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 贵州模拟）如图，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置释放，将弹簧压缩至最低点B（弹簧在弹性限度内），则物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能的（　　）
A．增加量等于物块动能的减少量
B．增加量等于物块重力势能的减少量
C．增加量等于物块机械能的减少量
D．最大值等于物块动能的最大值
【解答】解：ABC、设物块在A点时的动能为Ek，斜面的倾角为θ，物块由A点运动至B点的过程中，对物块和弹簧组成的系统由机械能守恒有
Ek+mgLABsinθ＝Ep
可知物块的机械能转化成了弹簧的弹性势能，所以弹簧弹性势能增加量大于物块动能的减少量，同样大于物块重力势能的减少量，而等于物块机械能的减少量，故AB错误，C正确；
D、物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能最大时即弹簧被压缩至最短时，而物块动能最大时，弹簧的弹力等于物块重力沿斜面向下的分力，即此时弹簧已被压缩，具有了一定的弹性势能，而此后物块还要继续向下运动，直至速度减为零，弹簧被压缩至最短，因此弹簧弹性势能的最大值大于物块动能的最大值，而等于物块机械能的减少量，故D错误。
故选：C。
（2024 天河区一模）弹弓是孩子们喜爱的弹射类玩具，其构造原理如图所示，橡皮筋两端点A、B固定在把手上，橡皮筋处于ACB时恰好为原长状态，在C处（AB连线的中垂线上）放一固体弹丸，一手执把，另一手将弹丸拉至D点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下发射出去，打击目标。现将弹丸竖直向上发射，已知E是CD中点，则（　　）
A．从D到C过程中，弹丸的机械能守恒
B．从D到C过程中，弹丸的动能一直在增大
C．从D到C过程中，橡皮筋的弹性势能先增大后减小
D．从D到E过程橡皮筋对弹丸做功大于从E到C过程
【解答】解：A、从D到C，橡皮筋的弹力对弹丸做功，所以弹丸的机械能增大，故A错误。
B、橡皮筋ACB恰好处于原长状态，在C处橡皮筋的拉力为0，在CD连线中的某一处，弹丸受力平衡，所以从D到C，弹丸的合力先向上后向下，速度先增大后减小，弹丸的动能先增大后减小，故B错误。
C、从D到C，橡皮筋对弹丸一直做正功，橡皮筋的弹性势能一直减小，故C错误。
D、从D到E橡皮筋作用在弹丸上的合力大于从E到C橡皮筋作用在弹丸上的合力，两段位移相等，所以DE段橡皮筋对弹丸做功较多，机械能增加也多，故D正确；
故选：D。
（2023 慈溪市校级模拟）一个带正电的质量为m的小球A，被一根绝缘轻线悬起，另一个带正电的小球B从很远的地方在某外力的作用下缓慢移动，直到它到达第一个小球的初始位置。此时，第一个小球相对于原来的位置升高了h，如图所示，整个过程足够缓慢，如果把两小球视为一个系统，则在此过程中（　　）
A．绳长越长，则此过程中该外力做的功越多
B．小球A电荷量越大，则此过程中该外力做的功越少
C．小球B电荷量越大，则此过程中该外力做的功越少
D．该外力做的功与绳长或电荷量无关
【解答】解：小球A受到重力mg、静电力F、绳子拉力T。
由平衡条件，对于小球A，由三角形相似有
其中：
三角形ABD和三角形CAE相似，则有
则二者之间的电势能为
根据能量守恒有可知外力所做的功为
W＝2mgh+mgh＝3mgh，可知该外力做的功与绳长或电荷量无关，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 温州模拟）如图所示，A、B两小球在距水平地面同一高度处，以相同初速度v0同时竖直向上抛出，运动过程中的机械能分别为EA和EB，加速度大小分别为aA和aB。已知mA＞mB，下列说法正确的是（　　）
A．若不计空气阻力，以抛出所在的水平面为零势能面，EA＝EB
B．若不计空气阻力，以A球的最高点所在水平面为零势能面，EA＞EB
C．若两球受到大小不变且相等的空气阻力，则两球上升的过程中，aA＞aB
D．若两球受到大小不变且相等的空气阻力，则两球下落的过程中，aA＞aB
【解答】解：A、若不计空气阻力，小球运动过程中机械能守恒，若以抛出所在的水平面为零势能面，则小球的机械能为，，由于mA＞mB，所以EA＞EB，故A错误；
B、若不计空气阻力，小球运动过程中机械能守恒，小球只受重力作用，两小球加速度相同，均为重力加速度g，则小球上升的最大高度为：，以A球的最大高度所在的平面为零势能面，则：，，由于小球各自的机械能守恒，所以EA＝EB＝0，故B错误；
C、若两球受到相等的空气阻力，上升过程，根据牛顿第二定律，对A小球有：mAg+f＝mAaA，对B小球有：mBg+f＝mBaB，解得加速度为：，，由于mA＞mB，所以aA＜aB，故C错误；
D、若两球受到相等的空气阻力，下落过程，根据牛顿第二定律，对小球A有：mAg﹣f＝mAaA，对B小球有：mBg﹣f＝mBaB，解得加速度为：，，由于mA＞mB，所以aA＞aB，故D正确。
故选：D。
（2023 浑南区校级三模）2022年2月8日，谷爱凌夺得北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌。现有一质量为m的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。如果运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜面倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．运动员下滑过程中只有重力做功
B．运动员下滑过程中受到的阻力为240N
C．运动员下滑时加速度的大小为4m/s2
D．不能求出运动员质量m的数值
【解答】解：A、由图示图象可知，运动员下滑过程机械能减小，运动员的机械能不守恒，除重力外还有其它力做功，故A错误；
B、由功能关系可知，运动员下滑过程阻力做的功等于机械能的减小量，即ΔE＝fs，运动员受到的阻力大小fN＝60N，故B错误；
CD、由图可知运动员下滑到底端时的动能Ek＝240J，设运动员的加速度大小为a，根据动能定理可得：mas＝Ek
由牛顿第二定律得：mgsin30°﹣f＝ma
代入数据解得运动员下滑时的加速度大小：a＝4m/s2，运动员的质量m＝60kg，故C正确、D错误。
故选：C。
（2023 淮南二模）如图甲所示，有一粗糙斜面，下端固定一轻质弹簧，初始时弹簧处于自然伸长。一小物块在由斜面顶点静止释放后的一段时间内，物块的动能Ek随位移x变化的图像如图乙所示。弹簧始终在弹性限度之内。则以下说法中正确的是（　　）
A．小物块最大动能为0.2J，最大位移为0.4m
B．小物块最大动能为0.2J，最大位移为0.45m
C．小物块最大动能为0.25J，最大位移为0.4m
D．小物块最大动能为0.25J，最大位移为0.45m
【解答】解：小物块匀加速的下滑过程，由动能定理F合x1sinθ＝Ek1
动能达到最大时F＝kx2＝F合
与弹簧接触到动能最大的过程中，由动能定理可得：
联立解得：Ek2＝0.2J
小物块减速下滑过程，根据动能定理可得：
联立得x3＝0.2m
最大位移为x＝x1+x2+x3
代入数据解得：
x＝0.45m，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2023 湖南模拟）水平面有一粗糙段AB长为s，其动摩擦因数与离A点距离x满足μ＝kx（k为恒量）。一物块（可看作质点）第一次从A点以速度v0向右运动，到达B点时速率为v，第二次也以相同速度v0从B点向左运动，则（　　）
A．第二次也能运动到A点，但速率不一定为v
B．第二次也能运动到A点，但第一次的时间比第二次时间长
C．两次运动因摩擦产生的热量不相同
D．两次速率相同的位置只有一个，且距离A为
【解答】解：AC、物体在两次运动过程中，在相同位置受到的摩擦力大小相等，两次运动的距离相等，滑动摩擦力做功相同，由动能定理可知，第二次到达A点的速率一定为v。由功能关系可知，两次运动因摩擦产生的热量相同，故AC错误；
B、根据题意可知，第一次向右运动时，摩擦力越来越大，加速度越来越大。第二次向左运动时，摩擦力越来越小，加速度越来越小，两次运动的位移大小相等，结合AC分析和v﹣t图像中，图像的斜率表示加速度和图像与时间轴所围的面积表示位移，画出两次运动的v﹣t图像，如图所示。
由图可知，第一次的时间比第二次时间短，故B错误；
D、设两次速率相同的位置距离A点的距离为x，相同的速率设为v1，根据动能定理，第一次有：
第二次有：
联立解得：
所以两次速率相同的位置只有一个，且距离A为，故D正确。
故选：D。
（2023 辽宁一模）如图所示，用轻绳将足够长的木板B与小物体C连接，B由静止开始运动的同时，小物体A从B的右端开始向左运动。已知A的质量为M＝2kg，初速度为v0＝3m/s。A、B间动摩擦因数为μ＝0.3，B的质量为m＝1kg，刚开始运动时B距滑轮L＝10m，B碰滑轮后静止。C的质量为m＝1kg，刚开始运动时，C距地面H＝9m，C撞地面后静止。忽略A、B以外的一切摩擦，g取10m/s2，求：
（1）A滑上B后，A、B加速度的大小aA和aB；
（2）A从滑上到离开木板B的时间t；
（3）A在B上滑行因摩擦而产生的热量Q。
【解答】解：（1）小物体A从B的右端开始向左运动，所受重力Mg和支持力N平衡，所受B对它的摩擦力就等于合力，
根据牛顿第二定律得aA0.3×10m/s2＝3m/s2
对B分析，竖直方向平衡，水平受到轻绳的拉力T，以及A对它的摩擦力，根据牛顿第二定律得T﹣μMg＝maB
对C分析，受到重力mg和轻绳拉力，也为T，另外C下落过程的加速度大小等于B的加速度大小aB，
根据牛顿第二定律得mg﹣T＝maB，联立解得aB＝2m/s2
（2）设A开始向左减速运动了t1速度减为0，则
设这1s内A向左运动的距离为x1，1.5m
设这1s内B向右加速运动的距离为x2，
设A相对B向左滑动的距离为l1，l1＝x1+x2＝1.5m+1m＝2.5m
设B这1s末的速度为v1，v1＝aBt1＝2×1m＝2m/s
1s后A向右加速直到和B的速度相等，设A从速度为0加速到和B速度相等所用时间为t2，相等的速度为v2，
v2＝aAt2＝v1+aBt2，代入数据解得，t2＝2s，v2＝6m/s
设t2时间内A向右加速运动的位移为x3，
设t2时间内B向右加速运动的位移为x4，
A相对B在t2内向左滑动的距离为l2，l2＝x4﹣x3＝8m﹣6m＝2m
在t1和t2时间内B向右运动的距离为x2+x4＝1m+8m＝9m
正好等于H，C刚好落地，设之后AB一起向右匀速运动了x5，x5＝L﹣H＝10m﹣9m＝1m，
设匀速运动所用时间为t3，
t3末B碰滑轮后静止，A在B上以加速度aA减速运动，设运动了t4时间离开B，有：
代入数据解得t4＝1s或t4＝3s（不符合实际与题意舍去）。
故A从滑上到离开木板B的时间t＝t1+t2+t3+t4＝1s+2s+0.17s+1s＝4.17s
（3）因摩擦而产生的热量Q等于摩擦力乘以相对距离：Q＝μMg×2（l1+l2）＝0.3×2×10×2×（2.5+2）J＝54J
（2023 南京模拟）如图所示，在倾角为θ、足够长的光滑斜面上放置轻质木板，木板上静置两个质量均为m、可视为质点的弹性滑块A和B，初始间距为l0。A与木板间的动摩擦因数μA＞tanθ，B与木板间的动摩擦因数μB＝tanθ。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对A施加平行斜面向上的推力F＝4mgsinθ，使A由静止开始运动，求：
（1）A、B从运动到第一次碰撞的时间：
（2）A、B第一次碰撞后的最大距离
（3）B相对木板滑动的过程中系统产生的热量。
【解答】解：（1）由牛顿第二定律可知，对A在拉力作用下向上加速：F﹣mgsinθ﹣μBmgcosθ＝maA
代入已知条件得：aA＝2gsinθ
对于B：μBmgcosθ﹣mgsinθ＝0，即B静止
由运动学公式得：
解得：
（2）A、B第一次碰撞时，A、B的速度：，vB＝0
A、B弹性碰撞后交换速度，故有：，vA＝0
B相对木板向上运动，由牛顿第二定律可知
对于A：F+μBmgcosθ﹣mgsinθ＝maA1
解得：aA1＝4gsinθ
对于B：μBmgcosθ+mgsinθ＝maB1
解得：aB1＝2gsinθ
A、B速度相等时，相距最远，所用时间为t1，则有：vB1﹣2gt1sinθ＝4gt1sinθ＝v1
第一次达到共速的时间为：
A、B的间距（相对位移）：L1
代入数据后得：L1
（3）第一次达到共速后，A加速，B匀速向上运动，第二次碰撞前：
那么：
所以：
共速时有：vB1'＝v1
第二次碰撞后：
共速时有：vA2＝v1
即：vB1﹣2gt3sinθ＝4gt3sinθ＝v2
第二次达到共速的时间为：
相对位移：L2 t3
代入数据得：L2
…………次类推可得：
总的相对位移：x＝l0+2l0
代入数据得：x＝2l0
可得：Q＝μBmgxcosθ
代入数据得：Q＝2mgl0sinθ第15讲　功能关系　能量守恒定律
知识内容 考试要求 说明
能量守恒定律与能源 d 不要求用能量守恒定律进行较复杂的计算.
一、功能关系
1．功是能量转化的量度，功和能的关系一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等．
2．做功对应变化的能量形式
功 能量的变化
合外力做正功 动能增加
重力做正功 重力势能减少
弹簧弹力做正功 弹性势能减少
电场力做正功 电势能减少
其他力(除重力、弹力外)做正功 机械能增加
二、能量守恒定律
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE减＝ΔE增 .
3．基本思路
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
命题点一　功能关系的理解和应用
1．牢记三条功能关系
(1)重力做的功等于重力势能的减少量，弹力做的功等于弹性势能的减少量；
(2)合外力做的功等于动能的变化；
(3)除重力、弹力外，其他力做的功等于机械能的变化．
2．功能关系的选用原则
在应用功能关系解决具体问题的过程中
(1)若只涉及动能的变化则用动能定理分析．
(2)若只涉及重力势能的变化则用重力做功与重力势能变化的关系分析．
(3)若只涉及机械能变化则用除重力和弹力之外的力做功与机械能变化的关系分析．
（2024 湖州模拟）如图所示，轻弹簧一端悬挂在横杆上，另一端连接质量为m的重物，弹簧和重物组成的系统处于静止状态。某时刻在重物上施加一方向竖直向上，大小为的恒力，重物上升的最大高度为h，已知弹簧的弹性势能表达式为，则（　　）
A．上升过程中系统机械能守恒
B．开始时弹簧的弹性势能为
C．上升过程中重物的最大动能为
D．上升到最高点过程中重物的重力势能增加
（2024 海淀区一模）如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，B球的质量是A球的3倍。用手托住B球，使轻绳拉紧，A球静止于地面。不计空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦，重力加速度为g。由静止释放B球，到B球落地前的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．A球的加速度大小为2g
B．拉力对A球做的功等于A球机械能的增加量
C．重力对B球做的功等于B球动能的增加量
D．B球机械能的减少量大于A球机械能的增加量
（2024 和平区一模）2023年5月23日，中国空军八一飞行表演队时隔14年换装新机型，歼10C飞出国门，在大马航展上腾空而起，特技表演惊艳全场。如图所示，飞机在竖直平面内经一段圆弧向上爬升，忽略阻力，飞机沿圆弧运动过程（　　）
A．若飞机沿圆弧向上匀速爬升，则所受合力为零
B．若飞机沿圆弧向上匀速爬升，则重力的功率不变
C．若飞机沿圆弧向上匀速爬升，则发动机的推力大小不变
D．若飞机沿圆弧向上加速爬升，则发动机推力做的功大于重力势能增加量
命题点二　摩擦力做功与能量转化
1．静摩擦力做功
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能．
2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果：
①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能．
(3)摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对路径长度．
从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量．
（2024 凉山州模拟）如图所示，一轻质弹性绳原长为OA，上端固定在O点，下端连接一小物体竖直拉伸弹性绳后置于粗糙水平地面上的B处。在A位置紧挨弹性绳右侧固定一光滑挡杆，在弹性绳弹性限度内，让物体在水平向右的恒力F作用下从B点经C运动到D点，AC＝2AB，AD＝3AB，点O、A、B、C、D在同一竖直平面内，弹性绳的势能正比于形变量的平方。则以下说法正确的是（　　）
A．物体从B到D做匀加速直线运动
B．物体从B到C与从C到D弹性绳势能的增量相等
C．物体运动过程中所受的摩擦力不变
D．物体从B到C与从C到D摩擦生热相等
（2024 重庆模拟）如图甲所示，倾角为37°的斜面固定在水平地面上，一木块以一定的初速度从斜面底端开始上滑。若斜面足够长，上滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确是（　　）
A．木块的重力大小为
B．木块受到的摩擦力大小为
C．木块与斜面间的动摩擦因数为
D．木块上滑过程中，重力势能增加了4E0
（2024 西城区校级模拟）如图所示，质量为2000kg的电梯的缆绳发生断裂后向下坠落，电梯刚接触井底缓冲弹簧时的速度为4m/s，缓冲弹簧被压缩2m时电梯停止了运动，下落过程中安全钳总共提供给电梯17000N的滑动摩擦力。已知弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），安全钳提供的滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为3000N/m
B．整个过程中电梯的加速度一直在减小
C．电梯停止在井底时受到的摩擦力大小为17000N
D．从电梯接触弹簧到速度最大的过程中电梯和弹簧组成的系统损失的机械能约为4636J
（2024 二模拟）如图所示，质量为m的足够长的木板放在光滑的水平地面上，与木板右端距离为x的地面上立有一柔性挡板，木板与挡板发生连续碰撞时速度都会连续发生衰减，当木板与挡板发生第n次碰撞时，碰后瞬间的速度大小v′n与第一次碰前瞬间的速度大小v1满足关系式。现有一质量为2m的物块以速度从左端冲上木板，造成了木板与柔性挡板的连续碰撞（碰撞时间均忽略不计），物块与木板间的动摩擦因数为μ。已知重力加速度为g，在木板停止运动前，物块都不会和木板共速。
（1）物块刚滑上木板时，求物块和木板的加速度大小；
（2）从物块滑上木板到木板与柔性挡板第一次碰撞时，求物块与木板因摩擦产生的热量；
（3）从物块滑上木板到木板与柔性挡板第n次碰撞时，求物块运动的位移大小。
命题点三　能量守恒定律的理解和应用
1．当涉及滑动摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能量转化和守恒定律．
2．解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解．
（2024 下城区校级模拟）近几年，中国的动力电池技术快速发展，电动汽车产品选代升级，可供消费者选择的车型和品牌也会越来越丰富，如图为蔚来的ES8车型，下列表中数据为ES8的动力系统部分数据：
蔚来ES8部分数据
前后轮输 出功率 前160kW 标准电池的能量 75kW h
后240kW 标准电池电荷量 200Ah
最大扭矩 725N m 匀速行驶最大里程 450km
0﹣100km/h 加速时间 4.9s 交流充电口 220V/32A，效率80%
最高车速 200km/h 直流充电口 420V/250A，效率90%
则下列说法正确的是（　　）
A．若0～100km/h加速是匀加速直线运动，则汽车的加速度约为20m/s2
B．按照匀速行驶最大里程，汽车行驶过程受到平均阻力为6000N
C．用交流电充电，如果能保持充电电流为32A，则充满标准电池需要约7.8h
D．用直流电充电，如果能保持充电电流为250A，则充满标准电池需要约0.8h
（2024 下城区校级模拟）如图所示为某景观喷泉的喷射装置结构示意图。它由竖直进水管和均匀分布在同一水平面上的多个喷嘴组成，喷嘴与进水管中心的距离均为r＝0.6m，离水面的高度h＝3.2m。水泵位于进水管口处，启动后，水泵从水池吸水，并将水压到喷嘴处向水平方向喷出，水在水池面上的落点与进水管中心的水平距离为R＝2.2m。水泵的效率为η＝80%，水泵出水口在1s内通过的水的质量为m0＝10kg，重力加速度g取10m/s2，忽略水在管道和空中运动时的机械能损失。则下列错误的是（　　）
A．水从喷嘴喷出时速度的大小2m/s
B．在水从喷嘴喷出到落至水面的时间内，水泵对水做的功是320J
C．水泵输出的功率340W
D．水泵在1h内消耗的电能1.53×106J
（2024 贵州模拟）“神舟15号”载人飞船安全着陆需经过分离、制动、再入和减速四个阶段。如图，在减速阶段，巨型的大伞为返回舱提供足够的减速阻力，设返回舱做直线运动，则在减速阶段（　　）
A．伞绳对返回舱的拉力大于返回舱对伞绳的拉力
B．伞绳对返回舱的拉力小于返回舱对伞绳的拉力
C．合外力对返回舱做的功等于返回舱机械能的变化
D．除重力外其他力的合力对返回舱做的功等于返回舱机械能的变化
（2024 开福区校级模拟）车辆前进的阻力主要有三个：滚动阻力、空气阻力和上坡阻力，高铁的铁轨非常平缓，大部分时候都可以忽略上坡阻力，所以主要的阻力来源就是滚动阻力和空气阻力，滚动阻力与总重力成正比，空气阻力跟高铁运动的速度的二次方成正比，研究表明，当高铁以200km/h速度运行时，空气阻力占总阻力的约60%，人均百公里能耗约为2.0度电，当高铁以300km/h速度运行时，人均百公里能耗约为多少度电（　　）
A．3.0 B．3.5 C．4.0 D．4.5
（2024 南充模拟）蹦极是跳跃者把一端固定的长弹性绳绑在踝关节等处，从几十米高处跳下的一种极限运动、如图为蹦极运动的示意图。弹性绳的一端固定在O点，另一端和质量为60kg的跳跃者相连，跳跃者从距离地面45m的高台站立着从O点自由下落，到B点弹性绳自然伸直，C点加速度为零，D为最低点，然后弹起。运动员可视为质点，不计弹性绳的质量，整个过程中忽略空气阻力。则下列说法正确的是（　　）
A．跳跃者从O到B的运动为变加速直线运动
B．跳跃者从B运动到C的过程，始终处于失重状态
C．跳跃者从B运动到C的过程，减少的重力势能等于弹性绳增加的弹性势能
D．假设弹性绳索长20m，劲度系数为1000N/m，可以得到C点与O点的距离是26m
（2024 南昌一模）如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点。一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a处由静止开始向右运动。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。则小球从a处开始运动到其落至水平轨道cd上时，水平外力所做的功为（　　）
A．5mgR B．7mgR C．9mgR D．11mgR
（2024 贵州模拟）如图，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上，下端与固定在斜面底端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置释放，将弹簧压缩至最低点B（弹簧在弹性限度内），则物块由A点运动至B点的过程中，弹簧弹性势能的（　　）
A．增加量等于物块动能的减少量
B．增加量等于物块重力势能的减少量
C．增加量等于物块机械能的减少量
D．最大值等于物块动能的最大值
（2024 天河区一模）弹弓是孩子们喜爱的弹射类玩具，其构造原理如图所示，橡皮筋两端点A、B固定在把手上，橡皮筋处于ACB时恰好为原长状态，在C处（AB连线的中垂线上）放一固体弹丸，一手执把，另一手将弹丸拉至D点放手，弹丸就会在橡皮筋的作用下发射出去，打击目标。现将弹丸竖直向上发射，已知E是CD中点，则（　　）
A．从D到C过程中，弹丸的机械能守恒
B．从D到C过程中，弹丸的动能一直在增大
C．从D到C过程中，橡皮筋的弹性势能先增大后减小
D．从D到E过程橡皮筋对弹丸做功大于从E到C过程
（2023 慈溪市校级模拟）一个带正电的质量为m的小球A，被一根绝缘轻线悬起，另一个带正电的小球B从很远的地方在某外力的作用下缓慢移动，直到它到达第一个小球的初始位置。此时，第一个小球相对于原来的位置升高了h，如图所示，整个过程足够缓慢，如果把两小球视为一个系统，则在此过程中（　　）
A．绳长越长，则此过程中该外力做的功越多
B．小球A电荷量越大，则此过程中该外力做的功越少
C．小球B电荷量越大，则此过程中该外力做的功越少
D．该外力做的功与绳长或电荷量无关
（2023 温州模拟）如图所示，A、B两小球在距水平地面同一高度处，以相同初速度v0同时竖直向上抛出，运动过程中的机械能分别为EA和EB，加速度大小分别为aA和aB。已知mA＞mB，下列说法正确的是（　　）
A．若不计空气阻力，以抛出所在的水平面为零势能面，EA＝EB
B．若不计空气阻力，以A球的最高点所在水平面为零势能面，EA＞EB
C．若两球受到大小不变且相等的空气阻力，则两球上升的过程中，aA＞aB
D．若两球受到大小不变且相等的空气阻力，则两球下落的过程中，aA＞aB
（2023 浑南区校级三模）2022年2月8日，谷爱凌夺得北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台金牌。现有一质量为m的滑雪运动员从一定高度的斜坡自由下滑。如果运动员在下滑过程中受到的阻力恒定，斜面倾角为30°，运动员滑至坡底的过程中，其机械能和动能随下滑距离s变化的图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．运动员下滑过程中只有重力做功
B．运动员下滑过程中受到的阻力为240N
C．运动员下滑时加速度的大小为4m/s2
D．不能求出运动员质量m的数值
（2023 淮南二模）如图甲所示，有一粗糙斜面，下端固定一轻质弹簧，初始时弹簧处于自然伸长。一小物块在由斜面顶点静止释放后的一段时间内，物块的动能Ek随位移x变化的图像如图乙所示。弹簧始终在弹性限度之内。则以下说法中正确的是（　　）
A．小物块最大动能为0.2J，最大位移为0.4m
B．小物块最大动能为0.2J，最大位移为0.45m
C．小物块最大动能为0.25J，最大位移为0.4m
D．小物块最大动能为0.25J，最大位移为0.45m
（2023 湖南模拟）水平面有一粗糙段AB长为s，其动摩擦因数与离A点距离x满足μ＝kx（k为恒量）。一物块（可看作质点）第一次从A点以速度v0向右运动，到达B点时速率为v，第二次也以相同速度v0从B点向左运动，则（　　）
A．第二次也能运动到A点，但速率不一定为v
B．第二次也能运动到A点，但第一次的时间比第二次时间长
C．两次运动因摩擦产生的热量不相同
D．两次速率相同的位置只有一个，且距离A为
（2023 辽宁一模）如图所示，用轻绳将足够长的木板B与小物体C连接，B由静止开始运动的同时，小物体A从B的右端开始向左运动。已知A的质量为M＝2kg，初速度为v0＝3m/s。A、B间动摩擦因数为μ＝0.3，B的质量为m＝1kg，刚开始运动时B距滑轮L＝10m，B碰滑轮后静止。C的质量为m＝1kg，刚开始运动时，C距地面H＝9m，C撞地面后静止。忽略A、B以外的一切摩擦，g取10m/s2，求：
（1）A滑上B后，A、B加速度的大小aA和aB；
（2）A从滑上到离开木板B的时间t；
（3）A在B上滑行因摩擦而产生的热量Q。
（2023 南京模拟）如图所示，在倾角为θ、足够长的光滑斜面上放置轻质木板，木板上静置两个质量均为m、可视为质点的弹性滑块A和B，初始间距为l0。A与木板间的动摩擦因数μA＞tanθ，B与木板间的动摩擦因数μB＝tanθ。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现对A施加平行斜面向上的推力F＝4mgsinθ，使A由静止开始运动，求：
（1）A、B从运动到第一次碰撞的时间：
（2）A、B第一次碰撞后的最大距离
（3）B相对木板滑动的过程中系统产生的热量。

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