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第25讲　磁场对运动电荷的作用
知识内容 考试要求 说明
运动电荷在磁场中受到的力 c 1.不要求计算电荷运动方向与磁场方向不垂直情况下的洛伦兹力． 2.不要求推导洛伦兹力公式.
带电粒子在匀强磁场中的运动 d
一、运动电荷在磁场中受到的力
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线从掌心进入；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质：
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：
(1)由qvB＝m，得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
命题点一　对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
（2023 广西模拟）带正电的粒子在外力F作用下沿虚线做逆时针匀速圆周运动，圆心为O，a、b、c、d是圆上的4个等分点。通有电流大小为I的长直导线垂直圆平面放置，电流方向如图所示，导线位于a、O连线上，垂直于圆面。不考虑粒子运动产生的电场，不计粒子重力，则（　　）
A．粒子在a点受到的外力F垂直于纸面向外
B．粒子在b点受到的外力F垂直于纸面向里
C．粒子从a运动到c，洛伦兹力一直变小
D．粒子从a出发运动一周，洛伦兹力不做功
（2023 重庆模拟）如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘管道在水平外力F（图中未画出）的作用下以速度u向右匀速运动。管道内有一带正电小球，初始位于管道M端且相对管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电量为q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M端运动到N端过程有（　　）
A．时间为
B．小球所受洛伦兹力做功为quBl
C．外力F的平均功率为
D．外力F的冲量为qBl
（2023 滁州一模）粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线，两根导线中通有相同的电流，电流方向竖直向上。水平面上一带正电滑块静止于两导线连线的中垂线上，俯视图如图所示，某时刻给滑块一初速度，滑块沿中垂线向连线中点运动，滑块始终未脱离水平面。则在运动过程中（　　）
A．滑块一定做曲线运动
B．滑块可能做匀速直线运动
C．滑块的加速度一直增大
D．滑块的速度一直减小
命题点二　带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路
模型1　直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中t＝＝
图b中t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中t＝T＝
（多选）（2024 镜湖区校级二模）如图所示，在x轴及其上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v＝1×106m/s，质量为m＝1×10﹣15kg，带电量为q＝1×10﹣9C的同种带电正离子。在x轴上距离原点1m处垂直于x轴放置一个长度为1m，厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P（粒子一旦打在金属板P上立即被接收）。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。取π＝3，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为（　　）
A．1.1×10﹣6s B．1.4×10﹣6s C．2.5×10﹣6s D．4.6×10﹣6s
（2024 浉河区校级模拟）如图所示，空间存在垂直纸面向里的两磁场，以直线AB为界，直线上方存在磁感应强度大小为B1＝B的匀强磁场，直线下方存在磁感应强度大小为B2的磁场。与AB间距离为L处有一粒子源O，该粒子源可沿垂直AB方向发射质量为m、电荷量为q的带电粒子。不计粒子的重力。
（1）若B2＝B，粒子轨迹在AB下方距离AB最大值为L，求粒子的速度v1及粒子在AB下方的运动时间t；
（2）若B2＝2B，粒子轨迹在AB下方距离AB最大值为，求粒子的速度v2。
模型2　平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图所示)
图a中t1＝，t2＝＝
图b中t＝
图c中t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中t＝T＝
（多选）（2023 青羊区校级二模）如图为一除尘装置的截面图，平板M、N的长度及其间距均为d，两板间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。工作时，大量质量为m、带电量为q的带电尘埃，以平行极板的相同速度进入两板间，在磁场作用下就会被平板吸附。当带电尘埃以速度v0进入磁场时，贴近N板入射的尘埃恰好打在M板右边缘，尘埃全部被平板吸附，即除尘效率为100%，不计尘埃的重力，求（　　）
A．带电尘埃带正电
B．带电尘埃进入磁场速度
C．若尘埃速度变为了，该装置的除尘效率是66.7%
D．若尘埃速度变为了，该装置的除尘效率是33.3%
（多选）（2023 湖南模拟）如图所示，长方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，区域内的点O处有一粒子源，O点离ab边距离为0.25L，离bc边距离为L，粒子源以垂直ab边指向dc边的速度向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab边长为2L、bc边长为L，粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同
B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为
C．粒子有可能从c点离开磁场
D．粒子要想离开长方形区域，速率至少要大于
（2024 云南一模）如图所示，矩形区域abcd平面内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为4L，bc边长为L。在矩形中心O处有一粒子源，在平面内向各方向均匀发射出速度大小相等的带电粒子，粒子带电量均为+q，质量均为m。若初速度平行于ab边的粒子离开磁场时速度方向偏转了60°角，不计粒子之间的相互作用及粒子重力，取sin14.5°＝0.25。求
（1）粒子在磁场中运动的速度大小；
（2）粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间的比值；
（3）某时刻发射出的粒子中，当初速度方向平行于ab边的粒子离开磁场时，这些粒子中未离开磁场的粒子数与已经离开磁场的粒子数之比。
模型3　圆形边界磁场
沿径向射入圆形边界匀强磁场必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
r＝
t＝T＝
θ＋α＝90°
（多选）（2024 广东一模）如图为晶圆掺杂机的简图，O是晶圆面（设其半径足够大）的圆心，上、下竖直放置的圆柱形电磁线圈可在中间圆柱形区域形成匀强磁场；圆柱形磁场区域的横截面半径为L、圆心为O1，OO1水平且垂直于晶圆面；若线圈中通入如图所示的电流，比荷为k的正离子以速度v、沿O1O射入，且全部掺杂在晶圆上，则（　　）
A．离子掺杂在x轴的负半轴上
B．离子掺杂在x轴的正半轴上
C．圆柱形磁场的磁感应强度必须小于
D．圆柱形磁场的磁感应强度必须小于
（2024 重庆模拟）如图，在直角坐标xOy平面内，存在半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，磁场边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为圆形边界的直径。质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子从b点以某一初速度v0沿平行于x轴方向射入磁场，粒子从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。
（1）求初速度v0；
（2）若粒子以某一初速率v1在xOy平面内从b点沿各个方向射入磁场，粒子从a点射出磁场时离b点最远，求粒子初速率v1的大小；
（3）若粒子以大小v2v0的速率在xOy平面内从b点沿各个方向射入磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间tm。
模型4　三角形边界磁场
（2023 兰州模拟）如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（　　）
A．粒子带正电 B．r1：r2＝2：1
C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
（多选）（2023 重庆模拟）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（　　）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
（2023 沙河口区校级模拟）如图所示，M、N为两平行金属板，其间电压为U。质量为m、电荷量为+q的粒子，从M板由静止开始经电场加速后，从N板上的小孔射出，并沿与ab垂直的方向由d点进入△abc区域，不计粒子重力，已知bc＝l，∠c＝60°，∠b＝90°，adl。
（1）求粒子从N板射出时的速度v0；
（2）若△abc区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，要使粒子不从ac边界射出，则磁感应强度最小为多大？
（3）若△abc区域内存在平行纸面且垂直bc方向向下的匀强电场，要使粒子不从ac边界射出，电场强度最小为多大？
命题点三　带电粒子在磁场中运动的多解和临界极值问题
1．多解的几种情况
(1)带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．
(2)磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．
(3)运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．
(4)临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．
2．临界极值问题
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则该带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动的时间越长．
(3)一带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动，当其速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
（2024 揭阳二模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些带电粒子受到的重力也可以忽略不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（　　）
A．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
B．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
C．粒子速度的最大值为
D．粒子速度的最大值为
（2024 海淀区一模）如图所示，真空区域内有宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计重力），沿着与MN夹角θ为30°的方向以某一速度射入磁场中，粒子恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法不正确的是（　　）
A．可求出粒子在磁场中运动的半径
B．可求出粒子在磁场中运动的加速度大小
C．若仅减小射入速度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短
D．若仅增大磁感应强度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短
（2024 西城区一模）如图所示，匀强电场和匀强磁场的方向均水平向右。一个正离子在某时刻速度的大小为v，方向与电场磁场方向夹角为θ。当速度方向与磁场不垂直时，可以将速度分解为平行于磁场方向的分量v1和垂直于磁场方向的分量v2来进行研究。不计离子重力，此后一段时间内，下列说法正确的是（　　）
A．离子受到的洛伦兹力变大
B．离子加速度的大小不变
C．电场力的瞬时功率不变
D．速度与电场方向的夹角θ变大
（2024 深圳校级模拟）2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R1。假设氘核H沿内环切线向左进入磁场，氚核H沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则H和H的速度之比为（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
（2024 苏州模拟）一重力不计的带电粒子以初速度v0先后穿过宽度相同且紧邻在一起的有明显边界的匀强电场E和匀强磁场B，如图甲所示，电场和磁场对粒子总共做功W1；若把电场和磁场正交叠加，如图乙所示，粒子仍以的初速度穿过叠加场区对粒子总共做功W2，比较W1、W2的绝对值大小（　　）
A．W1＝W2
B．W1＞W2
C．W1＜W2
D．可能W1＞W2也可能W1＜W2
（2024 包头一模）如图，一直角三角形边界匀强磁场磁感应强度为B，其中ac＝2d，bc＝d，c点有一发射带正电粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，粒子比荷为k，不计粒子重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．ab边有粒子出射的区域长度为0.5d
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．若粒子从ac边出射，入射速度v＞kBd
D．若某粒子，则粒子可以恰好从a点飞出
（2024 贵州模拟）如图，半径为R的圆形区域内有一方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN、PQ是相互垂直的两条直径。两质量相等且带等量异种电荷的粒子从M点先后以相同速率v射入磁场，其中粒子甲沿MN射入，从Q点射出磁场，粒子乙沿纸面与MN方向成30°角射入，两粒子同时射出磁场。不计粒子重力及两粒子间的相互作用，则两粒子射入磁场的时间间隔为（　　）
A． B． C． D．
（2024 景德镇二模）如图所示，水平虚线MN上方有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。大量带正电的相同粒子，以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向，由小孔O射入磁场区域，做半径为R的圆周运动。不计粒子重力和粒子间相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 西城区一模）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的P点沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子的重力，下列判断正确的是（　　）
A．粒子带负电
B．速度v1大于速度v2
C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长
D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大
（2024 天津模拟）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（l a）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出。单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用。下列说法不正确的是（　　）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为nqπa2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
（2024 南宁二模）如图所示，xOy平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方充满竖直向下的匀强电场（图中未画出），其他部分无电场。从P点水平向右向电场内发射一个比荷为的带电粒子，粒子的速度大小为v0，仅在电场中运动时间t，从x轴上的N点与x轴正方向成α角（未知）斜向下进入磁场，之后从原点O第一次回到电场。已知P、N两点间的电势差UPN，忽略边界效应，不计粒子受到的重力。求：
（1）粒子第一次通过N点的速度大小v及角度α；
（2）匀强电场的电场强度大小E及匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）粒子从P点发射到第2024次从x轴上方进入磁场的时间t2024。
（2024 天津模拟）如图所示，L1、L2为两平行的直线，间距为d，两直线之间为真空区域，L1下方和L2上方的无限大空间有垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度均为B，现有一质量为m、电荷量为+q的粒子，以速度v0从L1上的M点入射两直线之间的真空区域，速度方向与L1成θ＝30°角，不计粒子所受的重力，试求：
（1）粒子从M点出发后，经过多长时间第一次回到直线L1上；
（2）若在直线L1、L2之间的平面内，存在与v0方向垂直斜向下，场强为E的匀强电场，则粒子无法进入L2上方区域，粒子经过多长时间第一次回到直线L1；
（3）若直线L1、L2之间无电场，v0满足什么条件时，粒子恰好能回到M点。第25讲　磁场对运动电荷的作用
知识内容 考试要求 说明
运动电荷在磁场中受到的力 c 1.不要求计算电荷运动方向与磁场方向不垂直情况下的洛伦兹力． 2.不要求推导洛伦兹力公式.
带电粒子在匀强磁场中的运动 d
一、运动电荷在磁场中受到的力
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线从掌心进入；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质：
(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式：
(1)由qvB＝m，得r＝.
(2)由v＝，得T＝.
命题点一　对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
（2023 广西模拟）带正电的粒子在外力F作用下沿虚线做逆时针匀速圆周运动，圆心为O，a、b、c、d是圆上的4个等分点。通有电流大小为I的长直导线垂直圆平面放置，电流方向如图所示，导线位于a、O连线上，垂直于圆面。不考虑粒子运动产生的电场，不计粒子重力，则（　　）
A．粒子在a点受到的外力F垂直于纸面向外
B．粒子在b点受到的外力F垂直于纸面向里
C．粒子从a运动到c，洛伦兹力一直变小
D．粒子从a出发运动一周，洛伦兹力不做功
【解答】解：A、粒子在外力F作用下沿虚线做逆时针匀速圆周运动，合力为向心力，大小不变，方向始终指向圆心，由安培定则可知，a点时速度方向与磁感应强度方向平行，粒子受到的洛伦兹力大小为0，所以外力F指向圆心，故A错误；
B、粒子做匀速圆周运动，合力为向心力，大小不变，方向始终指向圆心，b点时速度方向与磁感应强度方向夹θ且在同一平面，由安培定则可知，粒子受到的洛伦兹力垂直于纸面向外，外力垂直于纸面向里错误，故B错误；
C、粒子在a点时速度方向与磁感应强度方向平行，粒子受到的洛伦兹力大小为0，同理粒子在c点受到的洛伦兹力也为0，而粒子在d点时，由于磁感应强度与速度之间不平行，所以安培力不为0，由此定性分析可知，从a到c粒子所受的洛伦兹力先变大再变小，故C错误；
D、因为洛伦兹力总是与速度方向垂直，所以洛伦兹力永不做功，故D正确。
故选：D。
（2023 重庆模拟）如图所示，光滑水平桌面上有一轻质光滑绝缘管道，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘管道在水平外力F（图中未画出）的作用下以速度u向右匀速运动。管道内有一带正电小球，初始位于管道M端且相对管道速度为0，一段时间后，小球运动到管道N端，小球质量为m，电量为q，管道长度为l，小球直径略小于管道内径，则小球从M端运动到N端过程有（　　）
A．时间为
B．小球所受洛伦兹力做功为quBl
C．外力F的平均功率为
D．外力F的冲量为qBl
【解答】解：A．小球在水平外力F的作用下以速度u向右匀速运动，由F＝qvB可知，小球受到的洛伦兹力沿管道方向，且大小保持不变，根据牛顿第二定律得quB＝ma，由初速度为零的位移公式，解得，故A错误；
B．小球所受洛伦兹力始终和运动方向相互垂直，故洛伦兹力不做功，故B错误；
C．小球所受洛伦兹力不做功，故在沿管道方向分力做正功的大小等于垂直于管道向左的分力做负功的大小，外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，则有WF＝Wy＝Wx＝quBl，外力F的平均功率为，故C错误；
D．外力始终与洛伦兹力的垂直管道的分力平衡，外力F的冲量大小等于，故D正确。
故选：D。
（2023 滁州一模）粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线，两根导线中通有相同的电流，电流方向竖直向上。水平面上一带正电滑块静止于两导线连线的中垂线上，俯视图如图所示，某时刻给滑块一初速度，滑块沿中垂线向连线中点运动，滑块始终未脱离水平面。则在运动过程中（　　）
A．滑块一定做曲线运动
B．滑块可能做匀速直线运动
C．滑块的加速度一直增大
D．滑块的速度一直减小
【解答】解：根据右手螺旋定则，知两导线连线上的垂直平分线上，上方的磁场方向水平向左，而下方的磁场方向水平向右，
根据左手定则，可知，在上半部分的运动过程中，滑块受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向里，在下半部分的运动过程中，滑块受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向外，滑块所受的支持力减小或增大，则滑块所受的摩擦力也随之变小或变大，
根据牛顿第二定律可知滑块的加速度也会变大或者变小，滑块所受的滑动摩擦力与速度反向，滑块一定做减速直线运动，故ABC错误，D正确。
故选：D。
命题点二　带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的分析思路
模型1　直线边界磁场
直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中t＝＝
图b中t＝(1－)T＝(1－)＝
图c中t＝T＝
（多选）（2024 镜湖区校级二模）如图所示，在x轴及其上方存在垂直xOy平面向外的匀强磁场，坐标原点O处有一粒子源，可向x轴和x轴上方的各个方向不断地发射速度大小均为v＝1×106m/s，质量为m＝1×10﹣15kg，带电量为q＝1×10﹣9C的同种带电正离子。在x轴上距离原点1m处垂直于x轴放置一个长度为1m，厚度不计且能接收带电粒子的薄金属板P（粒子一旦打在金属板P上立即被接收）。现观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端。不计带电粒子的重力和粒子间相互作用力。取π＝3，则被薄金属板接收的粒子运动的时间可能为（　　）
A．1.1×10﹣6s B．1.4×10﹣6s C．2.5×10﹣6s D．4.6×10﹣6s
【解答】解：由观察到沿x轴负方向射出的粒子恰好打在薄金属板的上端，可知粒子做圆周运动的半径为1m
qvB
解得B＝1T
打在P左侧下端的粒子在磁场中偏转的角度是60°，此时运动时间最短，如图1所示
1×10﹣6s
被P左侧接收到的粒子在磁场中运动最长时间粒子轨迹对应的圆心角为90°，此时粒子运动时间
t2
解得t2＝1.5×10﹣6s
被P右侧接收到的粒子在磁场中运动最短时间粒子轨迹对应的圆心角为270°，此时粒子运动时间
t3
解得t3＝4.5×10﹣6s
打在P右侧下端的粒子在磁场中运动的时间最长，此时粒子轨迹对应的圆心角为300°，如图2所示，最长时间
tmax
解得tmax＝5×10﹣6s
粒子能被P接收时的运动时间应满足
tmin≤t≤t2，或t3≤t≤tmax
故选：ABD。
（2024 浉河区校级模拟）如图所示，空间存在垂直纸面向里的两磁场，以直线AB为界，直线上方存在磁感应强度大小为B1＝B的匀强磁场，直线下方存在磁感应强度大小为B2的磁场。与AB间距离为L处有一粒子源O，该粒子源可沿垂直AB方向发射质量为m、电荷量为q的带电粒子。不计粒子的重力。
（1）若B2＝B，粒子轨迹在AB下方距离AB最大值为L，求粒子的速度v1及粒子在AB下方的运动时间t；
（2）若B2＝2B，粒子轨迹在AB下方距离AB最大值为，求粒子的速度v2。
【解答】解：（1）设粒子在磁场中运动半径为r1，当粒子距AB的最大距离为L，由几何关系可知：r1＝2L
根据圆周运动力学关系可得：
解得：
由几何关系：
可得：θ＝60°
则带电粒子在AB下方运动的时间t为：
代入数据解得：
（2）若B2＝2B，设粒子在直线下方磁场中运动半径为r2，根据带电粒子在磁场中运动规律：
可知：r1＝2r2
粒子在磁场中运动轨迹如图，
设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系：r1sinα＝L
联立解得：r2＝L，
根据洛伦兹力提供向心力有：
解得：v2
答：（1）粒子的速度v1为，粒子在AB下方的运动时间t为；
（2）粒子的速度v2为。
模型2　平行边界磁场
平行边界存在临界条件(如图所示)
图a中t1＝，t2＝＝
图b中t＝
图c中t＝(1－)T＝(1－)＝
图d中t＝T＝
（多选）（2023 青羊区校级二模）如图为一除尘装置的截面图，平板M、N的长度及其间距均为d，两板间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。工作时，大量质量为m、带电量为q的带电尘埃，以平行极板的相同速度进入两板间，在磁场作用下就会被平板吸附。当带电尘埃以速度v0进入磁场时，贴近N板入射的尘埃恰好打在M板右边缘，尘埃全部被平板吸附，即除尘效率为100%，不计尘埃的重力，求（　　）
A．带电尘埃带正电
B．带电尘埃进入磁场速度
C．若尘埃速度变为了，该装置的除尘效率是66.7%
D．若尘埃速度变为了，该装置的除尘效率是33.3%
【解答】解：AB、贴近N板入射的尘埃恰好打在M板右边缘，可知带电尘埃向上偏转，此尘埃在入射点的洛伦兹力竖直向上，由左手定则可知，带电尘埃带负电，贴近N板入射的尘埃运动轨迹如下图所示：
由图可知，尘埃运动半径r＝d，尘埃洛伦兹力提供向心力，则有，可得，故A错误，B正确；
CD、若尘埃速度变为，则尘埃运动的半径，运动轨迹如下图所示
设打在M板右边缘的尘埃入射点到M板的距离为L，由勾股定理有：（r′﹣L）2+d2＝r′2，代入数据，解得，则在此点上方的带电尘埃打在M板上，此点下方的带电尘埃射出磁场，所以当带电尘埃的速度变为，该装置的除尘效率为，故C错误，D正确。
故选：BD。
（多选）（2023 湖南模拟）如图所示，长方形abcd区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，区域内的点O处有一粒子源，O点离ab边距离为0.25L，离bc边距离为L，粒子源以垂直ab边指向dc边的速度向磁场内发射不同速率带正电的粒子，已知ab边长为2L、bc边长为L，粒子质量均为m、电荷量均为q，不计粒子重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．从ab边射出的粒子的运动时间均相同
B．从bc边射出的粒子在磁场中的运动时间最长为
C．粒子有可能从c点离开磁场
D．粒子要想离开长方形区域，速率至少要大于
【解答】解：A．粒子在磁场做圆周运动的可能运动轨迹如图所示
从ab边射出的粒子做匀速圆周运动的半径不同，由T可知，粒子运动周期相同，但粒子对应的圆心角不相同，则运动时间也不同，故A错误；
B．从bc边射出的粒子，最大圆心角即与bc边相切的轨迹2，切点处对应圆心角为180°，时间为
，其余粒子圆心角均小于此值，故B正确；
C．粒子与cd边相切的轨迹如4，由几何关系知其轨迹半径为0.75L，切点在c点左侧，故粒子不可能过c点，故C错误；
D．粒子要想离开长方形区域的临界轨迹如1，由几何关系得其轨迹半径为0.25L，设此时速率为v，则有
解得
粒子要离开长方形区域，速率至少为，故D正确。
故选：BD。
（2024 云南一模）如图所示，矩形区域abcd平面内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，ab边长为4L，bc边长为L。在矩形中心O处有一粒子源，在平面内向各方向均匀发射出速度大小相等的带电粒子，粒子带电量均为+q，质量均为m。若初速度平行于ab边的粒子离开磁场时速度方向偏转了60°角，不计粒子之间的相互作用及粒子重力，取sin14.5°＝0.25。求
（1）粒子在磁场中运动的速度大小；
（2）粒子在磁场中运动的最短时间和最长时间的比值；
（3）某时刻发射出的粒子中，当初速度方向平行于ab边的粒子离开磁场时，这些粒子中未离开磁场的粒子数与已经离开磁场的粒子数之比。
【解答】解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据左手定则，画出粒子的运动轨迹如图所示。
由几何关系得
解得粒子运动半径为：r＝L
根据洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律得
解得粒子在磁场中运动的速度大小为：
（2）如图所示。
当粒子与ab交于O点正上方时，弦长最短，轨迹对应的圆心角最小，粒子运动时间最短，由几何关系有
说明圆心角为29°，则最短时间为
当粒子运动轨迹与cd边相切时，圆心角最大，运动时间最长。由几何关系可知，粒子垂直ab边射出磁场，圆心角为150°，则最长时间为
（3）同一时刻在磁场中的粒子与O的距离相等，以O为圆心，以O到（1）问中射出点的距离为半径作圆，如图
当初速度方向平行于ab边的粒子离开磁场时，仍在磁场中的粒子在磁场内部的圆弧上，圆弧所对应的圆心角总和为120°，则未离开磁场的粒子数与已经离开磁场的粒子数之比为
n1：n2＝120°：（360°﹣120°）＝1：2
模型3　圆形边界磁场
沿径向射入圆形边界匀强磁场必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
r＝
t＝T＝
θ＋α＝90°
（多选）（2024 广东一模）如图为晶圆掺杂机的简图，O是晶圆面（设其半径足够大）的圆心，上、下竖直放置的圆柱形电磁线圈可在中间圆柱形区域形成匀强磁场；圆柱形磁场区域的横截面半径为L、圆心为O1，OO1水平且垂直于晶圆面；若线圈中通入如图所示的电流，比荷为k的正离子以速度v、沿O1O射入，且全部掺杂在晶圆上，则（　　）
A．离子掺杂在x轴的负半轴上
B．离子掺杂在x轴的正半轴上
C．圆柱形磁场的磁感应强度必须小于
D．圆柱形磁场的磁感应强度必须小于
【解答】解：AB．由安培定则可得，两圆柱形电磁线圈中间的匀强磁场方向竖直向上，正离子刚开始运动时，根据左手定则，正离子受到的洛伦兹力方向沿x轴正方向，所以离子掺杂在x轴的正半轴上，故A错误，B正确；
CD．若所有的离子都在晶圆上
则离子在磁场中做圆周运动的最小半径为
r＝L
根据牛顿第二定律
解得，故C正确，D错误。
故选：BC。
（2024 重庆模拟）如图，在直角坐标xOy平面内，存在半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，磁场边界与x、y轴分别相切于a、b两点，ac为圆形边界的直径。质量为m、电荷量为﹣q的带电粒子从b点以某一初速度v0沿平行于x轴方向射入磁场，粒子从a点垂直于x轴离开磁场，不计粒子重力。
（1）求初速度v0；
（2）若粒子以某一初速率v1在xOy平面内从b点沿各个方向射入磁场，粒子从a点射出磁场时离b点最远，求粒子初速率v1的大小；
（3）若粒子以大小v2v0的速率在xOy平面内从b点沿各个方向射入磁场，求粒子在磁场中运动的最长时间tm。
【解答】解：（1）粒子从b点以某一初速度v0沿平行于x轴正方向进入磁场区域，从a点垂直于x轴离开磁场，粒子运动轨迹如图所示：
由洛伦兹力提供向心力可得：qv0B＝m
由几何关系可得轨迹半径：r＝R
联立解得进入磁场的速度大小为：v0；
C．若粒子以某一初速率v1在xOy平面内从b点沿各个方向射入磁场，粒子从a点射出磁场时离b点最远，则ab之间的距离为粒子轨迹的直径，如图所示：
根据几何关系可得轨迹半径：r1
根据洛伦兹力提供向心力可得：qv1B＝m
联立解得：v1
解得：v1；
（3）以从b点沿各个方向垂直进入磁场，粒子在磁场中的半径为：r2
当该粒子在磁场中运动轨迹对应的弦长最大时，轨迹对应的圆心角最大，粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示：
由几何关系可知，最大圆心角为90°，则粒子运动的最长时间为：tm。
模型4　三角形边界磁场
（2023 兰州模拟）如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，∠B＝90°，∠C＝30°。某种带电粒子（重力不计）以不同速率从BC边上D点垂直BC边射入磁场，速率为v1时粒子垂直AC边射出磁场，速率为v2时粒子从BC边射出磁场，且运动轨迹恰好与AC边相切，粒子在磁场中运动轨迹半径为r1、r2，运动时间为t1、t2。下列说法正确的是（　　）
A．粒子带正电 B．r1：r2＝2：1
C．v1：v2＝3：1 D．t1：t2＝1：4
【解答】解：A、由题意可知粒子在磁场中顺时针偏转，由左手定则判断可知粒子带负电，故A错误；
B、根据题意做出粒子在磁场中运动的轨迹如下图所示：
由图中几何关系可得：r1＝r2
解得粒子在磁场中运动得半径之比：r1：r2＝3：1，故B错误；
C、根据洛伦兹力充当向心力有：，解得粒子在磁场中运动时的速度：
由此可知粒子在磁场中运动的速度之比等于轨迹半径之比，即v1：v2＝r1：r2＝3：1，故C正确；
D、根据粒子在磁场中运动得轨迹可知，速率为v1时粒子在场中偏转了30°，速率为v2时粒子在磁场中偏转了180°，而同一种粒子在相同磁场中运动得周期相同均为：，则可知粒子在磁场中运动的时间之比等于偏转角度之比，即t1：t2＝30°：180°＝1：6，故D错误。
故选：C。
（多选）（2023 重庆模拟）如题图，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），AC边长为l，∠B为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直AC边射入，射入的粒子恰好不从AB边射出，已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为2t0，则（　　）
A．磁感应强度大小为
B．粒子运动的轨道半径为
C．粒子射入磁场的速度大小为
D．粒子在磁场中扫过的面积为
【解答】解：A、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直BC边射出的粒子在磁场中运动轨迹为圆周，运动时间是周期。
由洛伦兹力提供向心力得：qvB，周期T
可得：，解得：，故A正确；
B、设运动时间最长的粒子在磁场中的运动轨迹所对的圆心角为θ，则有：
，解得150°
画出该粒子的运动轨迹如下图所示，其轨迹与AB边相切。
设轨道半径为R，由几何知识得：
可得，故B错误；
C、粒子射入磁场的速度大小为：，故C正确；
D、射入的粒子恰好不从AB边射出，粒子在磁场中扫过的面积为（图中阴影部分），故D正确。
故选：ACD。
（2023 沙河口区校级模拟）如图所示，M、N为两平行金属板，其间电压为U。质量为m、电荷量为+q的粒子，从M板由静止开始经电场加速后，从N板上的小孔射出，并沿与ab垂直的方向由d点进入△abc区域，不计粒子重力，已知bc＝l，∠c＝60°，∠b＝90°，adl。
（1）求粒子从N板射出时的速度v0；
（2）若△abc区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，要使粒子不从ac边界射出，则磁感应强度最小为多大？
（3）若△abc区域内存在平行纸面且垂直bc方向向下的匀强电场，要使粒子不从ac边界射出，电场强度最小为多大？
【解答】解：（1）带电粒子在MN间加速，由动能定理可得：
0
可得粒子从N射出时的速度v0
（2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，磁感应强度越大，粒子做圆周运动的半径越小，当磁感应强度最小时，恰不从ac边界射出粒子到达ac边界时，速度方向沿ac方向，此时粒子不从ac边界射出做圆周运动的最大半径为rm
据洛伦兹力提供圆周运动向心力有：
由几何关系可得，粒子圆周运动的最大半径
代入解得Bmin
（3）带电粒子在电场中做类平抛运动，电场强度最小为E0时，粒子运动到ac界面的速度方向沿ac方向，设ab和bc方向的位移大小分别为y和x，
到达界面时沿ab方向分速度大小为vy，则
x＝v0t
vy＝v0tan60°
解得：
粒子到达ac边界时的速度大小为v
v
据动能定理有：
解得：E0
命题点三　带电粒子在磁场中运动的多解和临界极值问题
1．多解的几种情况
(1)带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．
(2)磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．
(3)运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．
(4)临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．
2．临界极值问题
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则该带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动的时间越长．
(3)一带电粒子(不计重力)在有界磁场中运动，当其速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．
（2024 揭阳二模）如图所示，垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心。在圆心O处有一粒子源（图中未画出），在纸面内沿各个方向发射出比荷为的带负电的粒子，速度连续分布且粒子间的相互作用力可忽略不计，这些带电粒子受到的重力也可以忽略不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。若所有的粒子都不能射出磁场，则下列说法正确的是（　　）
A．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
B．某粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其在磁场中运动的时间为（不考虑粒子再次进入磁场的情况）
C．粒子速度的最大值为
D．粒子速度的最大值为
【解答】解：AB、粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子恰好不从大圆边界射出磁场，其运动轨迹与大圆相切，画出轨迹如图所示。
设轨迹半径为r，由几何关系可知
R2+r2＝（2R﹣r）2
解得：
则tan∠OCA，得∠OCA＝53°，∠ACD＝2∠OCA＝2×53°＝106°
该粒子在磁场中运动的时间
，故A错误，B正确；
CD、由洛伦兹力提供向心力，有，解得最大速度为：，故CD错误。
故选：B。
（2024 海淀区一模）如图所示，真空区域内有宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向里，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的带正电的粒子（不计重力），沿着与MN夹角θ为30°的方向以某一速度射入磁场中，粒子恰好未能从PQ边界射出磁场。下列说法不正确的是（　　）
A．可求出粒子在磁场中运动的半径
B．可求出粒子在磁场中运动的加速度大小
C．若仅减小射入速度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短
D．若仅增大磁感应强度，则粒子在磁场中运动的时间一定变短
【解答】解：A、粒子恰好未能从PQ边界射出磁场，其在磁场中的匀速圆周运动轨迹与PQ边界相切，如下图所示。
由几何关系可得圆周运动半径r满足：r+rcosθ＝d，据此关系式可求出粒子在磁场中运动的半径，故A正确；
B、粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有：qvB，据此关系式可求出线速度v，根据牛顿第二定律得：qvB＝ma，据此可求出粒子在磁场中运动的加速度大小，故B正确；
C、由qvB，可得：r，若仅减小射入速度，粒子运动半径变小，如上图所示，粒子从MN边界离开磁场，轨迹圆心角不变（设为α）。
粒子运动周期为T，在磁场中运动时间t，因周期T与圆心角α均不变，故粒子在磁场中运动的时间不变，故C错误；
D、根据C的分析，若仅增大磁感应强度，粒子运动半径变小，轨迹圆心角不变，运动周期变小，则粒子在磁场中运动的时间一定变短，故D正确。
本题选择错误的选项，故选：C。
（2024 西城区一模）如图所示，匀强电场和匀强磁场的方向均水平向右。一个正离子在某时刻速度的大小为v，方向与电场磁场方向夹角为θ。当速度方向与磁场不垂直时，可以将速度分解为平行于磁场方向的分量v1和垂直于磁场方向的分量v2来进行研究。不计离子重力，此后一段时间内，下列说法正确的是（　　）
A．离子受到的洛伦兹力变大
B．离子加速度的大小不变
C．电场力的瞬时功率不变
D．速度与电场方向的夹角θ变大
【解答】解：A.粒子在磁场中所受的洛伦兹力大小为f＝qv2B，洛伦兹力不做功，分速度v2大小不变，电场力做正功只会使分速度v1变大，故洛伦兹力大小不变，故A错误；
B.粒子所受的洛伦兹力不变，电场力也不变，二者方向互相垂直，故合外力大小不变，根据牛顿第二定律，则加速度大小也不变，故B正确；
C.电场力的瞬时功率等于电场力和沿电场方向的分速度v1的乘积，即P＝qEv1，由于电场力做功，v1变大，所以电场力的瞬时功率变大，故C错误；
D.根据速度的分速度与合速度的关系
当v1变大时，可得θ逐渐变小，故D错误。
故选：B。
（2024 深圳校级模拟）2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R1。假设氘核H沿内环切线向左进入磁场，氚核H沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则H和H的速度之比为（　　）
A．1：2 B．2：1 C．1：3 D．3：1
【解答】解：由题意可知，根据左手定则，作图如图所示
由几何关系可知，氘核的半径为r1，根据几何关系有
2r1＝R2﹣R1＝R1
所以
由几何关系可知，氚核的半径为r2，有
2r2＝R2+R1＝3R1
所以
得到半径之比满足
根据洛伦兹力提供向心力
可得线速度的表达式为
根据题意可知，氘核和氚核的比荷之比为
所以和的速度之比为
，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 苏州模拟）一重力不计的带电粒子以初速度v0先后穿过宽度相同且紧邻在一起的有明显边界的匀强电场E和匀强磁场B，如图甲所示，电场和磁场对粒子总共做功W1；若把电场和磁场正交叠加，如图乙所示，粒子仍以的初速度穿过叠加场区对粒子总共做功W2，比较W1、W2的绝对值大小（　　）
A．W1＝W2
B．W1＞W2
C．W1＜W2
D．可能W1＞W2也可能W1＜W2
【解答】解：不论带电粒子带何种电荷，由于：
所以电场力qE大于洛伦兹力qBv0，根据左手定则判断可知：开始进入叠加场后，洛伦兹力存在与电场力方向相反的分力，所以带电粒子在纯电场中的偏转位移比重叠时的偏转位移大，所以不论粒子带何种电性，甲图带电粒子在电场中偏转位移一定大于乙图的偏转位移，且洛伦兹力对带电粒子不做功，只有电场力做功，所以一定是：W1＞W2。故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2024 包头一模）如图，一直角三角形边界匀强磁场磁感应强度为B，其中ac＝2d，bc＝d，c点有一发射带正电粒子的粒子源，粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，粒子比荷为k，不计粒子重力及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．ab边有粒子出射的区域长度为0.5d
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．若粒子从ac边出射，入射速度v＞kBd
D．若某粒子，则粒子可以恰好从a点飞出
【解答】解：A、粒子在磁场中做匀速直线运动，由洛伦兹力提供向心力可得：，可得粒子运动半径R，因粒子以不同速率沿不同方向进入磁场，故可以应用极限思维，若粒子速度极大（比如接近光速），那么粒子运动半径极大，在磁场中的运动轨迹趋于直线，那么在ab边有粒子出射的区域长度趋于ab边的长度，而ab的长等于d＞0.5d，故A错误；
B、粒子在磁场中运动周期T
若粒子轨迹的圆心角为α，则粒子在磁场中运动时间：t
可见粒子在磁场中运动时间与轨迹的圆心角成正比，根据粒子速度偏转角等于轨迹圆心角可知，粒子沿cd边入射从ac边射出时速度偏转角最大，轨迹图如下图所示
由几何关系可得最大圆心角为α，则粒子在磁场中运动的最长时间为，故B正确；
C、由R，可知粒子速率越小，运动半径越小，如上图所示，让粒子速率逐渐变小，则出射点会逐渐靠近c点，故半径可以小到趋近于零，即粒子速率可以小到趋近于零，仍可以从ac边出射，故C错误；
D、粒子恰好从a点飞出，则其轨迹恰好在a点与ab边相切，轨迹图如下图所示
根据几何关系可得△aOc为等边三角形，易得轨迹半径R＝2d，由R，可得粒子的速率为v＝2kBd，故D错误。
故选：B。
（2024 贵州模拟）如图，半径为R的圆形区域内有一方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN、PQ是相互垂直的两条直径。两质量相等且带等量异种电荷的粒子从M点先后以相同速率v射入磁场，其中粒子甲沿MN射入，从Q点射出磁场，粒子乙沿纸面与MN方向成30°角射入，两粒子同时射出磁场。不计粒子重力及两粒子间的相互作用，则两粒子射入磁场的时间间隔为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据粒子运动情况作出辅助线，如图所示
O1是粒子甲运动轨迹的圆心，由题意可知，四边形OQO1M是正方形，所以甲乙运动轨迹的半径均为R，甲的运动轨迹的圆心角为。而粒子乙往左偏转飞出磁场，它的圆心角为。
甲运动的时间为
乙运动的时间为
因为两粒子同时射出磁场，所以两粒子射入磁场的时间间隔为
，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024 景德镇二模）如图所示，水平虚线MN上方有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。大量带正电的相同粒子，以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向，由小孔O射入磁场区域，做半径为R的圆周运动。不计粒子重力和粒子间相互作用。下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：粒子在磁场中做匀速圆周运动，由左手定则可知，粒子垂直射入磁场后沿逆时针方向做匀速圆周运动，
粒子从O点垂直射出磁场，在磁场中做圆周运动然后再从磁场边界MN离开磁场，
粒子离开磁场时与MN的夹角大小等于粒子进入磁场时速度方向与MN的夹角大小，
由牛顿第二定律得：qvB＝m
解得粒子轨道半径：R，
水平向右射入磁场的粒子在磁场中运动轨迹为一个完整的圆，
竖直向上射入磁场的粒子在磁场中的运动轨迹为半个圆周，
粒子运动轨迹如图所示：
在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故B正确；
故选：B。
（2023 西城区一模）如图所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从圆周上的P点沿半径方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，运动轨迹为PN；若粒子射入磁场时的速度大小为v2，运动轨迹为PM。不计粒子的重力，下列判断正确的是（　　）
A．粒子带负电
B．速度v1大于速度v2
C．粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长
D．粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较大
【解答】解：A、根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；
B、根据牛顿第二定律有：，变形解得：，根据图中轨迹可知，R1＜R2，则有v1＜v2，故B错误；
D、粒子在磁场中受到的洛伦兹力大小为：F＝qvB，由于v1＜v2，可知F1＜F2，故粒子以速度v1射入时，在磁场中受到的洛伦兹力较小，故D错误。
C、粒子在磁场中的运动周期为：，粒子在磁场中的运动时间为：，画出两轨迹的圆心如下图，
由图可知运动轨迹为PN对应的圆心角大于运动轨迹为PM对应的圆心角，故粒子以速度v1射入时，在磁场中运动时间较长，故C正确；
故选：C。
（2024 天津模拟）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（l a）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出。单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为+q，不计粒子的重力、粒子间的相互作用。下列说法不正确的是（　　）
A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为a
B．粒子质量为
C．管道内的等效电流为nqπa2v
D．粒子束对管道的平均作用力大小为Bnql
【解答】解：A.带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为：r＝a，故A正确；
B.根据：qvB＝m，可得粒子的质量为：m，故B正确；
C.管道内的等效电流为：Inq，故C错误；
D.粒子束对管道的平均作用力大小等于等效电流受的安培力，为：F＝BIl＝Bnql，故D正确。
本题选错误的，故选：C。
（2024 南宁二模）如图所示，xOy平面内，x轴下方充满垂直于纸面向外的匀强磁场，x轴上方充满竖直向下的匀强电场（图中未画出），其他部分无电场。从P点水平向右向电场内发射一个比荷为的带电粒子，粒子的速度大小为v0，仅在电场中运动时间t，从x轴上的N点与x轴正方向成α角（未知）斜向下进入磁场，之后从原点O第一次回到电场。已知P、N两点间的电势差UPN，忽略边界效应，不计粒子受到的重力。求：
（1）粒子第一次通过N点的速度大小v及角度α；
（2）匀强电场的电场强度大小E及匀强磁场的磁感应强度大小B；
（3）粒子从P点发射到第2024次从x轴上方进入磁场的时间t2024。
【解答】解：（1）对粒子从P点到N点的运动过程，根据动能定理有
解得：v＝2v0
粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹如图所示，在电场中粒子沿水平方向做匀速直线运动，在N点有
解得：α＝60°
（2）粒子在电场中做类平抛运动，粒子沿水平方向的分位移大小s1＝v0t
粒子在N点沿竖直方向的分速度大小为
v1＝vsinα＝2v0sin60°v0
在电场中，粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，对应的分位移大小为
电场强度大小为
解得：
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有
由几何关系有
解得：
（3）粒子在磁场中运动的周期为
粒子每次在磁场中运动的时间为
结合周期性可得：t2024＝t+2023（2t+t′）
解得：
（2024 天津模拟）如图所示，L1、L2为两平行的直线，间距为d，两直线之间为真空区域，L1下方和L2上方的无限大空间有垂直于纸面向里的匀强磁场，且磁感应强度均为B，现有一质量为m、电荷量为+q的粒子，以速度v0从L1上的M点入射两直线之间的真空区域，速度方向与L1成θ＝30°角，不计粒子所受的重力，试求：
（1）粒子从M点出发后，经过多长时间第一次回到直线L1上；
（2）若在直线L1、L2之间的平面内，存在与v0方向垂直斜向下，场强为E的匀强电场，则粒子无法进入L2上方区域，粒子经过多长时间第一次回到直线L1；
（3）若直线L1、L2之间无电场，v0满足什么条件时，粒子恰好能回到M点。
【解答】解：（1）粒子的运动轨迹如图所示
粒子在真空区域做匀速直线运动，根据运动学公式，粒子在真空区域的运动时间为
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
根据几何知识可知，粒子在磁场中转过的圆心角α＝300°，粒子在磁场中运动的时间为
粒子从M点出发第一次回到直线L1上需要的时间；
（2）粒子在电场中做类平抛运动，其轨迹如图所示
根据牛顿第二定律，粒子在电场中运动的加速度大小为
设粒子经过多长t′时间第一次回到直线L1，沿电场方向的分速度为v1，根据几何关系有
根据运动学公式有v1＝at′
联立解得；
（3）粒子运动的轨迹如图所示
粒子在磁场里做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有
由几何关系可知，粒子在磁场中的轨道半径正好等于弦长，要使经过n次偏转能回到M 点，粒子在磁场中的轨道半径必须满足 （n＝1，2，3……）
联立解得 （n＝1，2，3……）。

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