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第27讲　微专题四 带电粒子在叠加场和组合场中的运动
命题点一　带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，可由此求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
（2024 泰州模拟）如图所示，在竖直xOy平面内，足够长的平行边界MN与PQ间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该区域宽度为d。一质量为m、带电量为q的带正电粒子从O点沿与+y轴成θ角（θ可在0°～90°范围内任意取值）以一定的初速度射入磁场，不计粒子的重力。
（1）若θ＝30°，为使粒子不穿出边界PQ，求粒子初速度的取值范围；
（2）若在匀强磁场区域同时存在一方向竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场，粒子从O点以θ＝30°角方向入射，初速度，且运动过程中不穿出边界PQ。求粒子在场区内偏离x轴的最大距离。
（3）若粒子在运动过程中还受到阻力，阻力f与速度v在大小上满足f＝kv（k为已知常数），求粒子能穿出PQ边界的最小入射速度。
【解答】解：（1）粒子刚好与边界PQ相切时速度最大，由几何关系可得：r+rsin30°＝d
求得：
由牛顿第二定律得：
联立变形可得：
粒子初速度的取值范围：；
（2）粒子在y轴方向上只受洛伦兹力的分量，从开始到离x轴最远，设经过Δt时间，此时速度沿y轴负方向，大小为v
在x方向上由动量定理可得：﹣∑BqvyΔt＝﹣mv﹣mv0sin30°
即：
该过程由动能定理可得：
代入数据联立求得：
（3）设某瞬时的速度为v，加速度为a，根据牛顿第二定律可得：
取微小时间Δt，速度变化量为：
整理为：
粒子能发生的位移大小为：
求得：
（2024 江苏模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于xOy平面向外。质量为m、电荷量为+q的粒子从坐标原点O垂直磁感线入射到磁场中，初速度大小为v0，方向与x轴正方向成30°角，粒子能经过x轴上的P点。不计粒子重力。
（1）求点P的坐标；
（2）若仅将磁场替换为在坐标平面内且沿y轴负方向的匀强电场，粒子仍能经过P点，题干中的B为已知量，其他条件不变。求电场强度的大小E；
（3）若仅在坐标平面内增加沿y轴正方向的匀强电场，电场强度，求粒子离x轴的最远距离ym。
【解答】解：（1）洛伦兹力提供向心力：
由几何关系有：xp
代入解得点P的坐标为。
（2）带电粒子在x轴方向做匀速直线运动：
y轴方向做竖直上抛运动：2v0sin30°＝at
而加速度：
解得：
（3）将粒子水平方向的初速度分解为两个速度：v0cos30°＝v1+v2
其中：qE′＝qv1B
代入E′值的大小解得：
所以带电粒子的运动为速率为v1、向右的匀速直线运动和速率为的匀速圆周运动的合运动，
洛伦兹力提供向心力：，圆周分运动轨迹如图所示，
几何关系：ym＝R′（1+sin45°）
联立解得：
命题点二　带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
←←←→→→
第3步：用规律
→→→→
→
2．解题步骤
(1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
模型1　磁场与磁场组合
（2024春 庐江县期中）如图所示，有一对平行金属板，两板相距d，电压为U，两板之间匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向与金属板面平行并垂直于纸面向里。平行金属板右侧圆形区域内也存在匀强磁场，圆心为O，半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。一正离子沿平行于金属板面，从A点垂直于磁场的方向射入平行金属板间，沿直线射出平行金属板之间的区域，并沿直径CD方向射入圆形磁场区域，最后从圆形区域边界上的F点射出。已知OF与OD夹角θ＝60°，不计离子重力。求：
（1）离子速度v的大小；
（2）离子的比荷；
（3）离子在圆形磁场区域中运动时间t。
【解答】解：（1）根据题意可知，离子在平行金属板间做匀速直线运动，则由平衡条件有
解得：
（2）离子进入圆形磁场区域中做匀速圆周运动，画出其运动轨迹如图所示。
由几何关系可得
解得离子的轨迹半径为：
由洛伦兹力提供向心力可得
解得：
（3）离子在圆形磁场区域中运动时间为
解得：
（2024 南开区校级模拟）某学习小组设计了图甲所示的“粒子回旋变速装置”。两块相距为d的平行金属极板M、N，板M位于x轴上，板N在它的正下方。两板间加上图乙所示的交变电压，其电压值为U0，周期，板M上方和板N下方有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场。粒子探测器位于y轴处，仅能探测到垂直于y轴射入的带电粒子。有一沿Ox轴可移动的粒子发射器，可垂直于x轴向上射出质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，且粒子动能可调节t＝0时刻，发射器在（x，0）位置发射一带电粒子。忽略粒子的重力和其他阻力，粒子在电场中运动的时间不计。
（1）若粒子只经磁场偏转并在y＝y0处被探测到，求发射器的位置和粒子的初动能；
（2）若粒子两次进出电场区域后被探测到，且有Ek0＞qU0。求粒子发射器的位置坐标x与被探测到的位置坐标y之间的关系。
【解答】解：（1）若粒子只经磁场偏转并在y＝y0处被探测到，则粒子在磁场中运动圆周，发射器位置：x＝y0
又有：r＝y0
粒子做圆周运动，根据牛顿第二定律有：
动能：
解得：
（2）若Ek0＞2qU0，轨迹如图甲，
各圆周运动分别有：，，
由几何关系得：x＝2R+2R1+y
电场中运动时，根据动能定理有：
又有：
解得：
若qU0＜Ek0＜2qU0，轨迹如图乙，
各圆周运动，根据牛顿第二定律分别有：，
由几何关系得：x＝2R+3（﹣y﹣d）
电场中运动有：
联立整理解得：
模型2　电场与磁场组合
（2024 龙岗区校级三模）如图所示，在xOy平面直角坐标系第一象限内存在+y方向的匀强电场，第四象限﹣（2n+1）y≤﹣nL（n＝0，1，2，3，4，5）范围内存在垂直xOy平面向里，大小为B的匀强磁场。一带电量为﹣q质量为m的粒子，以初速度v0从P（0，2L）点沿+x方向垂直射入电场，粒子做匀变速曲线运动至Q（4L，0）点进入第四象限，粒子运动过程中不计重力。求：
（1）第一象限内匀强电场电场强度大小；
（2）粒子在第一象限运动过程中与PQ连线的最大距离；
（3）粒子进入第四象限后与x轴的最大距离。
【解答】解：（1）粒子从P到Q的过程中，做类平抛运动，
在x轴方向有：4L＝v0t
在y轴方向有：
根据牛顿第二定律有：qE＝ma
解得：，，
所以匀强电场电场强度大小为。
（2）粒子在第一象限运动时，分解为平行于PQ连线方向和垂直于PQ连线方向的两个分运动，粒子与PQ连线的距离最大时，速度方向平行于PQ连线。设PQ与x轴的夹角为θ，则有：，
在垂直PQ连线方向上有：
解得粒子在第一象限运动过程中与PQ连线的最大距离：
（3）粒子到Q点时，x轴方向的分速为v0，y轴方向的分速度为：vy＝at＝v0
则粒子进入第四象限时的速度大小为：
v的方向与x轴正方向的夹角为45°。粒子进入第四象限后，在有磁场的区域做匀速圆周运动，在无磁场区域做匀速直线运动，当粒子速度方向平行于x轴时，设粒子运动到M点，则粒子在M点时距离x轴最远。粒子做圆周运动时，有：
解得：
粒子做圆周运动的圆弧在y轴方向的投影长度为：d1＝r+rsin45°
由于d1≈2.41L，可知在Q到M之间有5个磁场区域和4个无磁场区域
所以粒子进入第四象限后与x轴的最大距离为：
（2024春 镇海区校级期中）如图所示，在xOy平面的第一象限内有半径为R的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为O′，其边界与x轴、y轴分别相切于P、Q点。位于P处的质子源均匀地向纸面内以大小为v的相同速率发射质量为m、电荷量为e的质子，且质子初速度的方向被限定在PO′两侧与PO′的夹角均为30°的范围内。第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在x轴（x＜0）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿PO′方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）求y轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN接收，求接收装置MN的最短长度x。
【解答】解：（1）沿PO′方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入电场，在磁场中由几何关系可知：该质子运动半径为R，
根据牛顿第二定律有：
变形解得：
（2）如图所示，设在PO′左右两侧30°角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的A、B两点射出，对应圆周运动的圆心分别为O1、O2，则四边形AO1PO′和BO2PO′均为菱形，则粒子由A、B两点水平飞出，且O1与B点重合。
根据几何关系可知：∠O′PB＝∠O2PB＝60°
AB＝BO2＝R
而B点到x轴的距离为，所以y轴正方向上有质子射出的区域范围为：
（3）若质子由处飞入电场时打在M点，由处飞入电场时打在N点，根据类平抛运动的规律
由牛顿第二定律有：eE＝ma
沿电场线方向：，
垂直于电场方向：xM＝vt1，xN＝vt2
代入解得：，
所以MN的最短长度为：
（2024春 鼓楼区校级期中）如图，xOy平面内有区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在以原点O为圆心的圆形匀强磁场，区域Ⅱ存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场：电场强度大小为E，方向沿y轴负方向；两区域磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直坐标系中面向里。某带电粒子以速度v0从M点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，从N点离开区域Ⅰ并立即进入区域Ⅱ，之后沿x轴运动。已知B＝0.05T，M点坐标为（0，0.1），粒子的比荷，不计粒子的重力。
（1）求粒子的速度v0；
（2）求电场强度E；
（3）某时刻开始电场强度大小突然变为2E（不考虑电场变化产生的影响），其他条件保持不变，一段时间后，粒子经过P点，P点的纵坐标y＝﹣0.2m，求粒子经过P点的速度大小vP。
【解答】解：（1）带电粒子在区域Ⅰ中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有：
又有：r＝0.1m
且根据题意有：
联立解得：
（2）带电粒子在区域Ⅱ中做匀速直线运动，由平衡条件有：qBv0＝qE
将比荷值代入解得：E＝1×103N/C
（3）电场强度突然变为2E，粒子运动到P点过程，由动能定理有：
代入数据解得：
（2023秋 太原期末）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy第一象限内，存在水平向右的电场、垂直纸面向里的磁场。质量m＝1kg、电荷量q＝+0.1C的小球由O到A恰好做直线运动，当小球运动到A（0.1m，0.1m）点时，电场方向瞬间变为竖直向上，小球继续运动一段时间后，垂直于y轴射出第一象限。不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）电场强度E的大小，磁感应强度B的大小；
（2）小球在第一象限内运动的时间。
【解答】解：（1）微粒在到达A点之前做匀速直线运动，受力分析如图所示：
根据平衡条件，有：qEcos45°＝mgsin45°
所以有：qE＝mg
解得：E＝100V/m
电场强度变化后，小球受到的电场力和重力大小相等、方向相反，小球做匀速圆周运动，如图所示：
根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m
根据几何关系可得：rl
解得：B＝100T；
（2）根据几何关系可得粒子轨迹对应的圆心角为：θ
微粒做匀速直线运动的时间为：t1
做圆周运动的时间为：t2
解得：t2
在复合场中运动时间为：t＝t1+t2
代入数据解得：ts。
（2024 海门区校级二模）如图所示，在竖直平面内建立xOy坐标系，P、A、Q1、Q2四点的坐标分别为（﹣2L，0）、（﹣L，0）、（0，L）、（0，﹣L）。y轴右侧存在范围足够大的匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里。在界面PAQ1的上方存在竖直向下的匀强电场（未画出），界面PAQ2的下方存在竖直向上的匀强电场（未画出），且上下电场强度大小相等。在（L，0）处的C点固定一平行于y轴且长为的绝缘弹性挡板MN，C为挡板中点，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y方向分速度不变。沿x方向分速度反向，大小不变。质量为m、电量为q的带负电粒子（不计重力）从x轴上方非常靠近P点的位置以初速度v0沿x轴正方向射入电场且刚好可以过Q1点。求：
（1）电场强度的大小、到达Q1点速度的大小和方向；
（2）磁场取合适的磁感应强度，带电粒子没有与挡板发生碰撞且能回到P点，求从P点射出到回到P点经历的时间；
（3）改变磁感应强度的大小，要使粒子最终能回到P点，则带电粒子最多能与挡板碰撞多少次？
【解答】解：（1）从P到Q1，水平方向做匀速直线运动：v0t1＝2L
竖直方向做匀加速直线运动：L
联立以上两式可得：
该过程根据动能定理：
代入数据可得：，由几何关系可得，方向与y轴正方向成45°角。
（2）要使带电粒子回到P点，其轨迹必须具有对称性且经过Q2，由几何关系可得，
轨迹半径：
在磁场中的偏转角度为：
在磁场中的运动时间为：
故从P点射出第一次回到P 点的时间：
（3）当r最小时带电粒子刚好过M 点碰撞次数最多
由几何关系可得
整理解得：
设最多可以碰n次，则：
解得：n＝17（次）
（2024 贵州模拟）如图所示，在xOy平面第一象限有沿y轴负方向的匀强电场、第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在坐标为（0，h）的A点有一带电粒子以某一初速度沿+x方向抛出，从坐标为（L，0）的C点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为q、质量为m，匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过x轴时的位置与坐标原点的距离。
【解答】解：（1）粒子从A点到C点，由牛顿第二定律qE＝ma
粒子做类平抛运动，有L＝v0t
解得
解得
解得
（2）粒子在磁场中的运动过程中，洛伦兹力提供向心力
粒子运动轨迹如图示
第一次和第二次经过x轴的两点间的距离为轨迹圆的弦，弦长为Δx＝2Rsinα
α为粒子第一次进入磁场时的速度与x轴正方向的夹角
解得
所以粒子第二次经过x轴时的位置与坐标原点的距离为x＝L+Δx
解得
（2024 雨花区校级模拟）某粒子实验装置的基本结构如图（a）所示。两块圆弧形金属板间存在方向指向圆心O1的辐射状电场，一质量为m，电荷量为+q的粒子从粒子源射出后沿纸面垂直该电场方向射入两金属板间，并恰好做半径为R1的匀速圆周运动，所经圆弧上的电场强度大小均为E1。在圆弧形金属板右侧有一三维坐标系O2﹣xyz，在0＜x＜d的空间中，存在着沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E2，在d＜x＜2d的空间中存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度为B，在x＞2d的区域存在着沿x轴负方向的磁场Bx和沿y轴正方向的磁场By，磁感应强度Bx和By的大小均随时间周期性变化（磁场Bx、By均未画出）。足够大的荧光屏垂直于x轴放置并可沿x轴水平移动。粒子从金属板间射出后从O2沿x轴正方向进入匀强电场，然后进入匀强磁场，刚进入匀强磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，刚射出匀强磁场时速度方向沿x轴正方向，不计粒子重力。
（1）求匀强电场的电场强度E2的大小；
（2）求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）从粒子射出匀强磁场开始计时，x＞2d的区域内Bx和By的大小随时间周期性变化的规律如图（b）所示，B0为已知量。若粒子到达荧光屏时的速度方向与荧光屏的夹角为30°，求荧光屏所在位置的x轴坐标的可能取值。
【解答】解：（1）粒子在圆弧形金属板间做匀速圆周运动，有
在0＜x＜d的空间中做类平抛运动，则有d＝v0t
解得
（2）粒子进入匀强磁场区域做匀速圆周运动，其轨迹如图1所示
图1
根据洛伦兹力提供向心力有
根据几何关系有
rsin60°＝d
vsin60°＝at
解得
（3）粒子在x＞2d的区域内做匀速圆周运动的周期为
轨迹半径为
a．若粒子射出时与z轴负方向的夹角为30°，则粒子在该区域内运动轨迹沿y轴负方向的俯视图如图2所示
图2
由图2可得（n＝1，2，3…）
b．若粒子射出时与z轴正方向的夹角为30°，则粒子在该区域内运动轨迹沿y轴负方向的俯视图如图3所示
图3
由图3可得（n＝1，2，3…）第27讲　微专题四 带电粒子在叠加场和组合场中的运动
命题点一　带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，可由此求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
（2024 泰州模拟）如图所示，在竖直xOy平面内，足够长的平行边界MN与PQ间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该区域宽度为d。一质量为m、带电量为q的带正电粒子从O点沿与+y轴成θ角（θ可在0°～90°范围内任意取值）以一定的初速度射入磁场，不计粒子的重力。
（1）若θ＝30°，为使粒子不穿出边界PQ，求粒子初速度的取值范围；
（2）若在匀强磁场区域同时存在一方向竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场，粒子从O点以θ＝30°角方向入射，初速度，且运动过程中不穿出边界PQ。求粒子在场区内偏离x轴的最大距离。
（3）若粒子在运动过程中还受到阻力，阻力f与速度v在大小上满足f＝kv（k为已知常数），求粒子能穿出PQ边界的最小入射速度。
（2024 江苏模拟）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于xOy平面向外。质量为m、电荷量为+q的粒子从坐标原点O垂直磁感线入射到磁场中，初速度大小为v0，方向与x轴正方向成30°角，粒子能经过x轴上的P点。不计粒子重力。
（1）求点P的坐标；
（2）若仅将磁场替换为在坐标平面内且沿y轴负方向的匀强电场，粒子仍能经过P点，题干中的B为已知量，其他条件不变。求电场强度的大小E；
（3）若仅在坐标平面内增加沿y轴正方向的匀强电场，电场强度，求粒子离x轴的最远距离ym。
命题点二　带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
←←←→→→
第3步：用规律
→→→→
→
2．解题步骤
(1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
模型1　磁场与磁场组合
（2024春 庐江县期中）如图所示，有一对平行金属板，两板相距d，电压为U，两板之间匀强磁场的磁感应强度大小为B0，方向与金属板面平行并垂直于纸面向里。平行金属板右侧圆形区域内也存在匀强磁场，圆心为O，半径为R，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。一正离子沿平行于金属板面，从A点垂直于磁场的方向射入平行金属板间，沿直线射出平行金属板之间的区域，并沿直径CD方向射入圆形磁场区域，最后从圆形区域边界上的F点射出。已知OF与OD夹角θ＝60°，不计离子重力。求：
（1）离子速度v的大小；
（2）离子的比荷；
（3）离子在圆形磁场区域中运动时间t。
（2024 南开区校级模拟）某学习小组设计了图甲所示的“粒子回旋变速装置”。两块相距为d的平行金属极板M、N，板M位于x轴上，板N在它的正下方。两板间加上图乙所示的交变电压，其电压值为U0，周期，板M上方和板N下方有磁感应强度大小均为B、方向相反的匀强磁场。粒子探测器位于y轴处，仅能探测到垂直于y轴射入的带电粒子。有一沿Ox轴可移动的粒子发射器，可垂直于x轴向上射出质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，且粒子动能可调节t＝0时刻，发射器在（x，0）位置发射一带电粒子。忽略粒子的重力和其他阻力，粒子在电场中运动的时间不计。
（1）若粒子只经磁场偏转并在y＝y0处被探测到，求发射器的位置和粒子的初动能；
（2）若粒子两次进出电场区域后被探测到，且有Ek0＞qU0。求粒子发射器的位置坐标x与被探测到的位置坐标y之间的关系。
模型2　电场与磁场组合
（2024 龙岗区校级三模）如图所示，在xOy平面直角坐标系第一象限内存在+y方向的匀强电场，第四象限﹣（2n+1）y≤﹣nL（n＝0，1，2，3，4，5）范围内存在垂直xOy平面向里，大小为B的匀强磁场。一带电量为﹣q质量为m的粒子，以初速度v0从P（0，2L）点沿+x方向垂直射入电场，粒子做匀变速曲线运动至Q（4L，0）点进入第四象限，粒子运动过程中不计重力。求：
（1）第一象限内匀强电场电场强度大小；
（2）粒子在第一象限运动过程中与PQ连线的最大距离；
（3）粒子进入第四象限后与x轴的最大距离。
（2024春 镇海区校级期中）如图所示，在xOy平面的第一象限内有半径为R的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为O′，其边界与x轴、y轴分别相切于P、Q点。位于P处的质子源均匀地向纸面内以大小为v的相同速率发射质量为m、电荷量为e的质子，且质子初速度的方向被限定在PO′两侧与PO′的夹角均为30°的范围内。第二象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在x轴（x＜0）的某区间范围内放置质子接收装置MN。已知沿PO′方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。
（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；
（2）求y轴正方向上有质子射出的区域范围；
（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置MN接收，求接收装置MN的最短长度x。
（2024春 鼓楼区校级期中）如图，xOy平面内有区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在以原点O为圆心的圆形匀强磁场，区域Ⅱ存在范围足够大的匀强磁场和匀强电场：电场强度大小为E，方向沿y轴负方向；两区域磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直坐标系中面向里。某带电粒子以速度v0从M点沿y轴负方向射入区域Ⅰ，从N点离开区域Ⅰ并立即进入区域Ⅱ，之后沿x轴运动。已知B＝0.05T，M点坐标为（0，0.1），粒子的比荷，不计粒子的重力。
（1）求粒子的速度v0；
（2）求电场强度E；
（3）某时刻开始电场强度大小突然变为2E（不考虑电场变化产生的影响），其他条件保持不变，一段时间后，粒子经过P点，P点的纵坐标y＝﹣0.2m，求粒子经过P点的速度大小vP。
（2023秋 太原期末）如图所示，竖直平面直角坐标系xOy第一象限内，存在水平向右的电场、垂直纸面向里的磁场。质量m＝1kg、电荷量q＝+0.1C的小球由O到A恰好做直线运动，当小球运动到A（0.1m，0.1m）点时，电场方向瞬间变为竖直向上，小球继续运动一段时间后，垂直于y轴射出第一象限。不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）电场强度E的大小，磁感应强度B的大小；
（2）小球在第一象限内运动的时间。
（2024 海门区校级二模）如图所示，在竖直平面内建立xOy坐标系，P、A、Q1、Q2四点的坐标分别为（﹣2L，0）、（﹣L，0）、（0，L）、（0，﹣L）。y轴右侧存在范围足够大的匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里。在界面PAQ1的上方存在竖直向下的匀强电场（未画出），界面PAQ2的下方存在竖直向上的匀强电场（未画出），且上下电场强度大小相等。在（L，0）处的C点固定一平行于y轴且长为的绝缘弹性挡板MN，C为挡板中点，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y方向分速度不变。沿x方向分速度反向，大小不变。质量为m、电量为q的带负电粒子（不计重力）从x轴上方非常靠近P点的位置以初速度v0沿x轴正方向射入电场且刚好可以过Q1点。求：
（1）电场强度的大小、到达Q1点速度的大小和方向；
（2）磁场取合适的磁感应强度，带电粒子没有与挡板发生碰撞且能回到P点，求从P点射出到回到P点经历的时间；
（3）改变磁感应强度的大小，要使粒子最终能回到P点，则带电粒子最多能与挡板碰撞多少次？
（2024 贵州模拟）如图所示，在xOy平面第一象限有沿y轴负方向的匀强电场、第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，在坐标为（0，h）的A点有一带电粒子以某一初速度沿+x方向抛出，从坐标为（L，0）的C点进入第四象限的匀强磁场中。已知粒子电荷量为q、质量为m，匀强电场的电场强度为E，匀强磁场的磁感应强度为B，方向如图中所示。不计粒子所受重力。求：
（1）粒子进入磁场时的速度大小；
（2）粒子第二次经过x轴时的位置与坐标原点的距离。
（2024 雨花区校级模拟）某粒子实验装置的基本结构如图（a）所示。两块圆弧形金属板间存在方向指向圆心O1的辐射状电场，一质量为m，电荷量为+q的粒子从粒子源射出后沿纸面垂直该电场方向射入两金属板间，并恰好做半径为R1的匀速圆周运动，所经圆弧上的电场强度大小均为E1。在圆弧形金属板右侧有一三维坐标系O2﹣xyz，在0＜x＜d的空间中，存在着沿y轴正方向的匀强电场，电场强度为E2，在d＜x＜2d的空间中存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度为B，在x＞2d的区域存在着沿x轴负方向的磁场Bx和沿y轴正方向的磁场By，磁感应强度Bx和By的大小均随时间周期性变化（磁场Bx、By均未画出）。足够大的荧光屏垂直于x轴放置并可沿x轴水平移动。粒子从金属板间射出后从O2沿x轴正方向进入匀强电场，然后进入匀强磁场，刚进入匀强磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，刚射出匀强磁场时速度方向沿x轴正方向，不计粒子重力。
（1）求匀强电场的电场强度E2的大小；
（2）求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）从粒子射出匀强磁场开始计时，x＞2d的区域内Bx和By的大小随时间周期性变化的规律如图（b）所示，B0为已知量。若粒子到达荧光屏时的速度方向与荧光屏的夹角为30°，求荧光屏所在位置的x轴坐标的可能取值。

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