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第35讲　机械振动
知识内容 考试要求 说明
简谐运动 b 1.不要求理解“相位”的概念． 2.不要求定量讨论速度和加速度的变化． 3.不要求根据简谐运动回复力的表达式证明物体做简谐运动． 4.不要求掌握证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动的方法． 5.不要求解决钟表快慢的调整问题.
简谐运动的描述 c
简谐运动的回复力和能量 b
单摆 c
外力作用下的振动 b
一、简谐运动的描述
描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移 由平衡位置指向质点所在位置的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量
周期 振动物体完成一次全振动所需时间 描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝
频率 振动物体单位时间内完成全振动的次数
二、简谐运动的回复力和能量
1．回复力
(1)方向：总是指向平衡位置．
(2)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力．
2．能量特点
弹簧振子运动的过程就是动能和势能相互转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒.
三、简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
简谐运动条件 (1)弹簧质量可忽略 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线 (2)无空气阻力 (3)最大摆角小于等于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿圆弧切线方向的分力
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
四、简谐运动的公式和图象
1．运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相．
2．图象
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图1甲所示．
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示．
五、自由振动、受迫振动和共振的关系比较
　振动　 项目　　 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 指向平衡位置的合力提供回复力　 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动物体的机械能 不变　　 由产生驱动力的物 体提供　 振动物体获得的能量最大
命题点一　简谐运动的规律
1．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，简谐运动为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反．
2．对称性特征：
(1)如图4所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等．
图4
(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tOP＝tOP′.
3．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒．
（2024 安徽模拟）一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向上下振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，其振动的频率约为3Hz。现在圆盘以4s的周期匀速转动带动小球上下振动。下列说法正确的是（　　）
A．圆盘上的小圆柱转到圆心等高处时，T形支架的瞬时速度为零
B．小球振动过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒
C．小球振动达到稳定时，它振动的频率是0.25Hz
D．若圆盘以2s的周期匀速转动，小球振动达到稳定时，振幅比原来小
【解答】解：A．小圆柱转到圆心等高处时，小圆柱的速度沿竖直方向的分速度不为零，则T形支架的瞬时速度也不为零，故A错误；
B．圆盘转动，通过小圆柱带动T形支架上下振动，T形支架又通过弹簧使小球做受迫振动，即小球振动过程中受到T形支架的驱动力的作用，所以小球和弹簧组成的系统机械能不守恒，故B错误；
C．经过一段时间后，小球振动达到稳定时，它振动的频率和驱动力频率相同，即，故C正确；
D．圆盘以2s的周期匀速运动时，驱动力频率为
驱动力频率接近小球的固有频率，所以振幅比原来大，故D错误。
故选：C。
（2024 重庆模拟）如图甲所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，上端连接一质量为m物块，物块在竖直向下的压力F的作用下保持静止。t＝0时，撤去压力F，物块在竖直方向做简谐振动，取竖直向上为正方向，弹簧振子的振动图像如图甲、乙所示。弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，F＝2mg。以下说法正确的是（　　）
A．弹簧振子的振幅为
B．弹簧振子的频率为2.5Hz
C．t＝0.2s时，物块的加速度最大
D．t＝0.4s到t＝0.6s的时间内，物块加速度和速度方向相同
【解答】解：A、物体在振动的过程中，平衡位置为回复力为零的位置，由题知，在平衡位置弹簧弹力等于物块重力mg，则弹簧回复力为F＝2mg，弹簧振子的振幅为x，F＝kx，代入得，故A错误；
B、由弹簧振子的振动图像知周期为T＝0.8s，弹簧振子的频率为，故B错误；
C、t＝0.2s时，物块处于平衡位置，物块的回复力最小，速度最大，故物块的加速度最小，故C错误；
D、t＝0.4s到t＝0.6s的时间内，物块由最远位置到平衡位置，速度由0变化到最大，速度方向指向平位置，回复力指向平衡位置，故物块加速度和速度方向相同，故D正确。
故选：D。
（2021 蔡甸区校级模拟）在平静的介质中，从波源O发出的一列简谐横波沿x轴正方向传播，t1秒时刻的波形用实线表示，t2秒（t2＞t1）时刻的波形用虚线表示。介质中的质点Q位于x＝18m处，则下列说法正确的是（　　）
A．该简谐横波的波长可能为6m
B．该波的波速大小一定为m/s
C．在t1秒时刻至t2秒时刻这段时间内，介质中的质点M的运动过程是由先加速、后减速两段过程组成
D．根据图像无法判断质点Q的起振方向
【解答】解：A、由波形图可知波长为8m，故A错误；
B、由波的周期性可知，t1秒时刻至t2秒时刻这段时间内波传播的距离可能为4+8n（m）（n＝0，1，2，3…），由v，则波速为vm/s（n＝0，1，2，3…），故B错误；
C、由波的周期性可知，t1秒时刻至t2秒时刻这段时间可能大于一个周期，所以介质中的质点M的运动过程有可能是由周期性的加速、减速等多个过程组成，故C错误；
D、因为图示时刻已经不是波源的起振时刻，所以根据图像无法判断质点Q的起振方向。
故选：D。
命题点二　简谐运动的图象
1．振动图象提供的信息
(1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期．
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．
(3)可以确定各时刻质点的振动方向．
(4)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向．
(5)能够比较不同时刻质点的速度、加速度的大小．
2．振动图象的分析方法
(1)首先，要理解位移—时间图象的意义，明确切线斜率的大小等于速度的大小，切线斜率的正负表示速度的方向．
(2)其次，要把位移—时间图象与质点的实际振动过程联系起来，图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段对应振动的一个过程．
（2024 天津一模）如图1所示，弹簧振子在竖直方向做简谐振动。以其平衡位置为坐标原点，竖直方向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是（　　）
A．振子的振幅为4cm
B．振子的振动周期为1s
C．t＝1s时，振子的速度为正的最大值
D．t＝1s时，振子的加速度为正的最大值
【解答】解：AB、由振动的图象可知：振子的振幅为2cm而不是4cm，周期为2s而不是1s，故AB错误；
CD、t＝1s时，振子处于平衡位置，加速度为0，速度为正的最大值，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 郑州模拟）一质点做简谐运动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，由图可知（　　）
A．该简谐运动的周期是2.5×10﹣2s，振幅是7cm
B．该简谐运动的表达式可能为
C．t＝0.5×10﹣2s时振子的速度最大，且方向向下
D．t＝0.25×10﹣2s时振子的位移为﹣5cm
【解答】解：A、由题图可知：周期T＝2×10﹣2s，振幅A＝7cm，故A错误；
B、振子的圆频率，且t＝0时位移为x＝﹣7cm，所以表达式为x＝7sin（100）cm，故B正确；
CD、当t＝0.5×10﹣2s时，振子在平衡位置，其速度最大，速度正向且为最大值；当t＝0.25×10﹣2s时，其位移为xcm，故CD错误。
故选：B。
（2024 二模拟）如图所示，一个质量为m的物块，左端与轻弹簧栓接，轻弹簧的另一端固定在墙上的O点，物块和地面间的动摩擦因数为μ。现用手按住物块静止于A点，让弹簧处于压缩状态。某时刻释放物块，物块向右运动，在M点（图中未画出）获得最大速度v1，到最右端B点（图中未画出）后，再向左运动，在M′点（图中未画出）获得向左运动的最大速度v2，C点（图中未画出）时速度减为0并保持静止状态。物块向右运动的时间为t1，向左运动的时间为t2，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，则关于两个过程下列说法正确的是（　　）
A．M点和M′点在同一位置
B．两个阶段的时间满足t1＝t2
C．两个阶段最大速度满足v1＜v2
D．C点在M点左侧
【解答】解：A、M点和M′点都处于各个阶段速度最大的位置，说明在这两个位置受力平衡，受力分析如图所示
因此这两个点一个在弹簧压缩位置，一个在弹簧拉伸位置，则这两个点不可能在同一位置，故A错误；
C、在从M点到M'点的过程中，弹性势能没有发生变化，但由于摩擦消耗了机械能，根据能量守恒可知动能减小，故速度v1＞v2，故C错误；
D、物块运动到C点后，保持静止，说明C位置向右的弹力小于最大静摩擦力，则C位置应该在M点的右侧，故D错误；
B、两个阶段均受到大小恒定的滑动摩擦力的作用，可类比竖直方向上的弹簧振子，将滑动摩擦力看作重力，因此向右和向左的运动可分别看作简谐运动，简谐运动的周期没有发生变化，因此t1＝t2，故B正确。
故选：B。
（2024 岳麓区校级模拟）一个有固定转动轴的竖直圆盘如图甲所示，圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统，小球做受迫振动。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（　　）
A．乙图中，t＝1s到t＝2s小球所受的回复力增加，且方向为x轴正向
B．乙图中，t＝2s到t＝3s弹簧弹性势能一定减小
C．若圆盘以0.5r/s的转速匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为4s
D．若圆盘以0.5r/s的转速匀速转动，欲使小球振幅增加，可使圆盘转速适当减小
【解答】解：A．以竖直向上为正方向，由图可知t＝1s到t＝2s小球从最低点向平衡位置振动，则所受的回复力减小，方向为x轴正向，故A错误；
B．由图可知t＝2s到t＝3s小球从平衡位置向最高点振动，小球可能会经过弹簧的原长，则弹簧弹性势能可能一直减小，也可能先减小后增大，故B错误；
C．若圆盘以0.5r/s的转速匀速转动，驱动力的周期为T驱
则小球振动达到稳定时其振动的周期等于驱动力的周期，为2s，故C错误；
D．若圆盘以0.5r/s的转速匀速转动，则T驱＝2s＜T固＝4s
欲使小球振幅增加，可使圆盘周期增大，即转速适当减小，故D正确。
故选：D。
命题点三　外力作用下的振动
1．共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大．
2．受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换．
（2024 兰州模拟）在地震中，建筑物共振会放大地震的影响。设钢混结构建筑物的固有频率与其高度的平方成正比，比例系数为0.5。若某次地震波到达地面的频率为12Hz，下列哪种高度的钢混建筑物因共振所受的影响最大（　　）
A．5m B．10m C．15m D．20m
【解答】解：由题意可知，建筑物固有频率与其高度的平方成正比，即
f＝0.5h2，
当f＝12Hz时，
解得：h≈4.9m，所以高度越接近4.9m，建筑物因共振所受的影响越大，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）（2024 淄博一模）2024年我国将加速稳步推进载人登月，未来中国航天员将登上月球。试想航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线，共振频率为f1、f2。将月球视为密度均匀、半径为r的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（　　）
A．该单摆在月球上的共振频率为f2 B．月球表面的重力加速度
C．月球的质量 D．月球的密度
【解答】解：AB．根据单摆周期公式得：
联立解得：
由于月球的重力加速度小于地球的重力加速度，所以该单摆在月球上的共振频率为f1；
设月球表面的重力加速度为g月，则有
，
联立解得：，故A错误，B正确；
CD．物体在月球表面上，设月球质量为M月，则
解得：
根据
可得月球的密度为：
故C错误，D正确。
故选：BD。
（2023 大庆模拟）如图所示，学校门口水平路面上两减速带的间距为2m，若某汽车匀速通过该减速带，其车身悬挂系统（由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成）的固有频率为2Hz，则下列说法正确的是（　　）
A．汽车行驶的速度越大，颠簸得越厉害
B．汽车行驶的速度越小，颠簸得越厉害
C．当汽车以3m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害
D．当汽车以4m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害
【解答】解：根据f，所以T＝0.5s，vm/s＝4m/s，因此当汽车以4m/s的速度行驶时，通过减速带的频率与汽车的固有频率相同，发生共振，汽车颠簸得最厉害。故ABC错误，D正确；
故选：D。
（2024 广州二模）如图甲，由细线和装有墨水的容器组成单摆，容器底端墨水均匀流出。当单摆在竖直面内摆动时，长木板以速度v垂直于摆动平面匀速移动距离L，形成了如图乙的墨痕图案，重力加速度为g，则该单摆的摆长为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：图乙中沙摆摆动2个周期，则周期为2T，由单摆周期公式T＝2π
解得沙摆对应的摆长l，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2024 佛山二模）将重物静止悬挂在轻质弹簧下端，往左右方向轻微扰动重物，将会形成一个单摆；往上下方向轻微扰动重物，将会形成一个弹簧振子。若此单摆及弹簧振子的周期满足2：1时，无论给予哪种扰动，该装置都会周期性地在单摆和弹簧振子状态间切换，这种现象称为“内共振”。已知弹簧振子的周期（m为重物质量，k为弹簧劲度系数），单摆摆长为L，重力加速度为g，若要产生“内共振”现象，则该弹簧劲度系数应该满足（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意结合单摆的周期公式有（2）：（2）＝2：1
解得k
故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2024 鹿城区校级模拟）如图所示，房顶上固定一根长2.5m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球（可视为质点），打开窗子，让小球在直于窗子的竖直平面内小幅摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6m，不计空气阻力，g取10m/s2，则小球完成一次全振动的时间为（　　）
A．0.2πs B．0.4πs C．0.6πs D．0.8πs
【解答】解：小球做小幅摆动，可认为是做简谐运动，根据单摆周期公式可知，小球在墙体右侧摆动一次所用时间为
小球在墙体左侧摆动一次所用的时间为
所以小球完成一次全振动的时间为t＝t1+t2＝0.5πs+0.3πs＝0.8πs，故D正确，ABC错误；
故选：D。
（2024 黑龙江模拟）如图所示，光滑水平面上放有质量为M＝2kg的足够长的木板B，通过水平轻弹簧与竖直墙壁相连的物块A叠放在B上，A的质量为m＝1kg，弹簧的劲度系数k＝100N/m。初始时刻，系统静止，弹簧处于原长。现用一水平向右的拉力F＝10N作用在B上，已知A、B间动摩擦因数μ＝0.2，弹簧振子的周期为，取g＝10m/s2，π2≈10。则（　　）
A．A受到的摩擦力逐渐变大
B．A向右运动的最大距离为4cm
C．当A的位移为2cm时，B的位移为5cm
D．当A的位移为4cm时，弹簧对A的冲量大小为0.2π（N s）
【解答】解：A．A的最大加速度为
若拉力F作用的瞬间A、B整体一起向右加速，加速度为：
则a共＞aAmax，则一开始二者就发生相对运动，A一直受滑动摩擦力保持不变，故A错误；
B．AB间的滑动静摩擦力为f＝μmg＝0.2×1×10N＝2N
当弹簧弹力等于滑动摩擦力时，A向右运动的距离为
则A做简谐运动的振幅A＝2cm，则A向右运动的最大距离为2A＝4cm，故B正确；
C．设初始位置为0位置，A以处为平衡位置做简谐振动，当A的位移为2cm时，即A处于平衡位置时，A运动的时间可能是，（n＝0，1，2，3…）
或者，（n＝0，1，2，3…）
由题可。
对木板B，加速度为
则当A的位移为2cm时，即A处于平衡位置时，B运动的位移为
或者
但是A的位移为2cm时，B的位移不一定为5cm，故C错误；
D．当A的位移为4cm时，结合选项BC分析可知，A的速度变为0，由动量定理可知，A的动量变化量为零，故弹簧对A的冲量大小等于摩擦力对A的冲量大小，即I＝I′＝fΔt；
当A的位移为4cm时，A运动的时间为
，（n＝0，1，2，3…）
则当A的位移为4cm时，弹簧对A的冲量大小为
I＝μmgΔt＝（1+2n）T≈0.2π（1+2n）（N s），（n＝0，1，2，3…）
则当A的位移为4cm时，弹簧对A的冲量大小不一定为0.2π（N s），故D错误。
故选：B。
（2024 全国一模）用单摆可以测量某一行星的自转周期，若测得在相同时间t内，摆长为L的单摆在该行星两极处完成了N1次全振动，在该行星赤道处完成了N2次全振动，设该行星为质量分布均匀的球体，半径为R，则该行星自转周期是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设在两极处重力加速度为g1，则单摆的周期
同理：设在赤道处的重力加速度为g2，则单摆的周期
设地球的自转周期为T，则有
联立解得：T，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024 广州一模）某质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系如图，则该质点（　　）
A．振动频率为4Hz
B．在A点速度最大
C．在B点加速度最大
D．在0～3s内通过路程为12.0cm
【解答】解：A、由图读出周期 T＝4s，则频率 f，故A错误；
BC、在A点时质点的位移最大，则由F＝﹣kx知合外力最大，加速度最大，速度最小，在B点时，质点的位移为零，则由F＝﹣kx知合外力为零，加速度为零，速度最大，故BC错误；
D、由图读出振幅为A＝2cm，在0～3s内通过路程为s＝3A＝3×4cm＝12.0cm，故D正确。
故选：D。
（多选）（2024 新郑市校级三模）某同学用单摆测量学校的重力加速度大小，他通过改变摆长L，测出几组对应的周期T，并作出T2﹣L图像如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．应选用质量小、体积也小的小球做实验
B．应从摆球经过最低点时开始计时
C．图像不过坐标原点的原因可能是摆长测量值偏大
D．通过作出T2﹣L图像处理数据来求得重力加速度，可消除因摆球质量分布不均匀而导致的系统误差
【解答】解：A．为了减小空气阻力的影响，摆球应选用质量大、体积小的小球做实验，故A错误；
B．摆球经过平衡位置的速度最大，摆球停留时间短，为了减小误差，应从摆球经过最低点开始计时，故B正确；
C．设摆线长度为L，小球半径为r，根据单摆公式
化简可得
可知，图像不过坐标原点的原因可能是测量摆长时，忘记加上小球的半径，故C错误；
D．根据上述分析，T2﹣L图像的斜率为
通过作出T2﹣L图像处理数据来求得重力加速度，可消除因摆球质量分布不均匀而导致的系统误差，故D正确。
故选：BD。
（多选）（2024 雨花区校级模拟）如图a所示，下端附有重物的粗细均匀木棒浮在水中，已知水的密度为ρ，木棒的横截面积为S，重力加速度大小为g，将木棒向下按压一段距离后释放，木棒所受的浮力F随时间周期性变化，如图b所示，下列说法正确的是（　　）
A．木棒做简谐运动，重力充当回复力
B．0～0.25s 内木棒的加速度逐渐减小
C．木棒和重物的重力之和等于 F1﹣F2
D．木棒所受合外力与偏离初始位置的距离成正比
【解答】解：A．木棒在竖直方向受到重力和水的浮力，木棒做简谐运动的回复力是水的浮力与木棒重力的合力，故A错误；
B．由图乙可知在0～0.25s内木棒的浮力从最大开始减小，则木棒从最低点向平衡位置运动，其所受合外力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知其加速度逐渐减小，故B正确；
C．根据简谐运动的特点可知，木棒和重物在最高点和最低点的位置加速度大小相等，故在最低点有：F1﹣G＝ma
在最高点有：G﹣F2＝ma
联立可得：
故C错误；
D．设向下为正，则在初始位置时，由平衡条件可得：mg＝ρgx0S
在偏离平衡位置x位置时，木棒所受合外力为：F合＝﹣[ρg（x0+x）S﹣mg]＝﹣ρgxS
则木棒所受合外力大小与偏离初始位置的距离成正比，且比值为ρgS，故D正确。
故选：BD。
（2023 海淀区二模）摆，是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。
（1）图2所示为绳中拉力F随时间t变化的图线，求：
a．摆的振动周期T。
b．摆的最大摆角θm。
（2）摆角θ很小时，摆球的运动可看作简谐运动。某同学发现他家中摆长为0.993m的单摆在小角度摆动时，周期为2s。他又查阅资料发现，早期的国际计量单位都是基于实物或物质的特性来定义的，称为实物基准，例如质量是以一块1kg的铂铱合金圆柱体为实物基准。于是他想到可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。请判断该同学的想法是否合理，并说明理由。
（3）小摆角单摆是较为精确的机械计时装置，常用来制作摆钟。摆钟在工作过程中由于与空气摩擦而带上一定的负电荷，而地表附近又存在着竖直向下的大气电场（可视为匀强电场），导致摆钟走时不准。某同学由此想到可以利用小摆角单摆估测大气电场强度：他用质量为m的金属小球和长为L（远大于小球半径）的轻质绝缘细线制成一个单摆。他设法使小球带电荷量为﹣q并做小角度振动，再用手机秒表计时功能测量其振动周期T，已知重力加速度g，不考虑地磁场的影响。
a．推导大气电场强度的大小E的表达式。
b．实际上，摆球所带电荷量为10﹣7C量级，大气电场强度为102N/C量级，摆球质量为10﹣1kg量级，手机秒表计时的精度为10﹣2s量级。分析判断该同学上述测量方案是否可行。（提示：当|x| 1时，有（1+x）n＝1+nx）
【解答】解：（1）a、小球在A点与C点细绳的拉力最小且大小相等，小球从A到C再回到A时一个周期，故周期为T＝3.24s﹣1.08s＝2.16s；
b、小球在A点与C点时，细绳的拉力最小FA＝FC＝1.225N
小球在A点与C点时，重力沿绳方向的分力大小等于细绳的拉力，则FA＝mgcosθm
小球在最低点B，细绳的拉力最大，由图可知FB＝4.900N
由牛顿第二定律可得
小球从A点到B点，由动能定理得
解得：θm＝60°
（2）不合理，因为单摆周期公式，不同地区的纬度，海拔高度不同，g值不同，所以不可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。
（3）a、重力场与电场叠加为等效重力场，则mg′＝mg﹣Eq
单摆的周期公式为
解得大气电场强度的大小E的表达式为E
b、不可行，因为实际上达到的数量级是107N/C，与大气电场强度102N/C量级相差太大，也就是摆球所带电荷量太小，达不到实验要求。
（2024 开福区校级模拟）简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在受到形如F＝﹣kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x＝Asinωt变化规律的运动，其中角频率ω（k为常数，A为振幅，T为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。
如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O，另一质量也为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为Epkx2，已知H，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离。
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。
【解答】解：（1）小球B自由下落H的速度为vB
根据动能定理可得：
解得：
小球B与小球A碰撞过程动量守恒，取向下为正，则有：
mvB+0＝（m+m）v1
解得：；
（2）小球A在O位置，弹簧被压缩x0，则
小球A与小球B共同体继续向下运动离O点的最大距离为xm，根据机械能守恒定律可得：
由mg＝kx0
整理得：
解得：xm＝3x0，xm＝﹣x0（舍去）
即：；
（3）由题意振动周期：，又振幅
所以平衡位置在弹簧压缩2x0处，从碰撞后开始到再次回到O点的振动图象如图：
从O点开始到平衡位置经过的时间t1T
所求时间t＝2t1
解得：t。第35讲　机械振动
知识内容 考试要求 说明
简谐运动 b 1.不要求理解“相位”的概念． 2.不要求定量讨论速度和加速度的变化． 3.不要求根据简谐运动回复力的表达式证明物体做简谐运动． 4.不要求掌握证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动的方法． 5.不要求解决钟表快慢的调整问题.
简谐运动的描述 c
简谐运动的回复力和能量 b
单摆 c
外力作用下的振动 b
一、简谐运动的描述
描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移 由平衡位置指向质点所在位置的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量
周期 振动物体完成一次全振动所需时间 描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝
频率 振动物体单位时间内完成全振动的次数
二、简谐运动的回复力和能量
1．回复力
(1)方向：总是指向平衡位置．
(2)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力．
2．能量特点
弹簧振子运动的过程就是动能和势能相互转化的过程．
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒.
三、简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图
简谐运动条件 (1)弹簧质量可忽略 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线 (2)无空气阻力 (3)最大摆角小于等于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿圆弧切线方向的分力
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
四、简谐运动的公式和图象
1．运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，ωt＋φ0代表简谐运动的相位，φ0叫做初相．
2．图象
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图象如图1甲所示．
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图象如图乙所示．
五、自由振动、受迫振动和共振的关系比较
　振动　 项目　　 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 指向平衡位置的合力提供回复力　 受驱动力作用 受驱动力作用
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 振动物体的机械能 不变　　 由产生驱动力的物 体提供　 振动物体获得的能量最大
命题点一　简谐运动的规律
1．运动学特征：简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比，而方向相反，简谐运动为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，衡位置时则相反．
2．对称性特征：
(1)如图4所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等．
图4
(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tOP＝tOP′.
3．能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒．
（2024 安徽模拟）一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向上下振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中。当圆盘静止时，让小球在水中振动，其振动的频率约为3Hz。现在圆盘以4s的周期匀速转动带动小球上下振动。下列说法正确的是（　　）
A．圆盘上的小圆柱转到圆心等高处时，T形支架的瞬时速度为零
B．小球振动过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒
C．小球振动达到稳定时，它振动的频率是0.25Hz
D．若圆盘以2s的周期匀速转动，小球振动达到稳定时，振幅比原来小
（2024 重庆模拟）如图甲所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，上端连接一质量为m物块，物块在竖直向下的压力F的作用下保持静止。t＝0时，撤去压力F，物块在竖直方向做简谐振动，取竖直向上为正方向，弹簧振子的振动图像如图甲、乙所示。弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，F＝2mg。以下说法正确的是（　　）
A．弹簧振子的振幅为
B．弹簧振子的频率为2.5Hz
C．t＝0.2s时，物块的加速度最大
D．t＝0.4s到t＝0.6s的时间内，物块加速度和速度方向相同
（2021 蔡甸区校级模拟）在平静的介质中，从波源O发出的一列简谐横波沿x轴正方向传播，t1秒时刻的波形用实线表示，t2秒（t2＞t1）时刻的波形用虚线表示。介质中的质点Q位于x＝18m处，则下列说法正确的是（　　）
A．该简谐横波的波长可能为6m
B．该波的波速大小一定为m/s
C．在t1秒时刻至t2秒时刻这段时间内，介质中的质点M的运动过程是由先加速、后减速两段过程组成
D．根据图像无法判断质点Q的起振方向
命题点二　简谐运动的图象
1．振动图象提供的信息
(1)由图象可以看出质点振动的振幅、周期．
(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．
(3)可以确定各时刻质点的振动方向．
(4)可以确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向．
(5)能够比较不同时刻质点的速度、加速度的大小．
2．振动图象的分析方法
(1)首先，要理解位移—时间图象的意义，明确切线斜率的大小等于速度的大小，切线斜率的正负表示速度的方向．
(2)其次，要把位移—时间图象与质点的实际振动过程联系起来，图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段对应振动的一个过程．
（2024 天津一模）如图1所示，弹簧振子在竖直方向做简谐振动。以其平衡位置为坐标原点，竖直方向上为正方向建立坐标轴，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是（　　）
A．振子的振幅为4cm
B．振子的振动周期为1s
C．t＝1s时，振子的速度为正的最大值
D．t＝1s时，振子的加速度为正的最大值
（2024 郑州模拟）一质点做简谐运动，其相对于平衡位置的位移x与时间t的关系图线如图所示，由图可知（　　）
A．该简谐运动的周期是2.5×10﹣2s，振幅是7cm
B．该简谐运动的表达式可能为
C．t＝0.5×10﹣2s时振子的速度最大，且方向向下
D．t＝0.25×10﹣2s时振子的位移为﹣5cm
（2024 二模拟）如图所示，一个质量为m的物块，左端与轻弹簧栓接，轻弹簧的另一端固定在墙上的O点，物块和地面间的动摩擦因数为μ。现用手按住物块静止于A点，让弹簧处于压缩状态。某时刻释放物块，物块向右运动，在M点（图中未画出）获得最大速度v1，到最右端B点（图中未画出）后，再向左运动，在M′点（图中未画出）获得向左运动的最大速度v2，C点（图中未画出）时速度减为0并保持静止状态。物块向右运动的时间为t1，向左运动的时间为t2，设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，则关于两个过程下列说法正确的是（　　）
A．M点和M′点在同一位置
B．两个阶段的时间满足t1＝t2
C．两个阶段最大速度满足v1＜v2
D．C点在M点左侧
（2024 岳麓区校级模拟）一个有固定转动轴的竖直圆盘如图甲所示，圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统，小球做受迫振动。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动图像如图乙所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（　　）
A．乙图中，t＝1s到t＝2s小球所受的回复力增加，且方向为x轴正向
B．乙图中，t＝2s到t＝3s弹簧弹性势能一定减小
C．若圆盘以0.5r/s的转速匀速转动，小球振动达到稳定时其振动的周期为4s
D．若圆盘以0.5r/s的转速匀速转动，欲使小球振幅增加，可使圆盘转速适当减小
命题点三　外力作用下的振动
1．共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A，它直观地反映了驱动力频率对某固有频率为f0的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大．
2．受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换．
（2024 兰州模拟）在地震中，建筑物共振会放大地震的影响。设钢混结构建筑物的固有频率与其高度的平方成正比，比例系数为0.5。若某次地震波到达地面的频率为12Hz，下列哪种高度的钢混建筑物因共振所受的影响最大（　　）
A．5m B．10m C．15m D．20m
（多选）（2024 淄博一模）2024年我国将加速稳步推进载人登月，未来中国航天员将登上月球。试想航天员用同一装置对同一单摆分别在地球和月球上做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线，共振频率为f1、f2。将月球视为密度均匀、半径为r的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（　　）
A．该单摆在月球上的共振频率为f2 B．月球表面的重力加速度
C．月球的质量 D．月球的密度
（2023 大庆模拟）如图所示，学校门口水平路面上两减速带的间距为2m，若某汽车匀速通过该减速带，其车身悬挂系统（由车身与轮胎间的弹簧及避震器组成）的固有频率为2Hz，则下列说法正确的是（　　）
A．汽车行驶的速度越大，颠簸得越厉害
B．汽车行驶的速度越小，颠簸得越厉害
C．当汽车以3m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害
D．当汽车以4m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害
（2024 广州二模）如图甲，由细线和装有墨水的容器组成单摆，容器底端墨水均匀流出。当单摆在竖直面内摆动时，长木板以速度v垂直于摆动平面匀速移动距离L，形成了如图乙的墨痕图案，重力加速度为g，则该单摆的摆长为（　　）
A． B．
C． D．
（2024 佛山二模）将重物静止悬挂在轻质弹簧下端，往左右方向轻微扰动重物，将会形成一个单摆；往上下方向轻微扰动重物，将会形成一个弹簧振子。若此单摆及弹簧振子的周期满足2：1时，无论给予哪种扰动，该装置都会周期性地在单摆和弹簧振子状态间切换，这种现象称为“内共振”。已知弹簧振子的周期（m为重物质量，k为弹簧劲度系数），单摆摆长为L，重力加速度为g，若要产生“内共振”现象，则该弹簧劲度系数应该满足（　　）
A． B． C． D．
（2024 鹿城区校级模拟）如图所示，房顶上固定一根长2.5m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球（可视为质点），打开窗子，让小球在直于窗子的竖直平面内小幅摆动，窗上沿到房顶的高度为1.6m，不计空气阻力，g取10m/s2，则小球完成一次全振动的时间为（　　）
A．0.2πs B．0.4πs C．0.6πs D．0.8πs
（2024 黑龙江模拟）如图所示，光滑水平面上放有质量为M＝2kg的足够长的木板B，通过水平轻弹簧与竖直墙壁相连的物块A叠放在B上，A的质量为m＝1kg，弹簧的劲度系数k＝100N/m。初始时刻，系统静止，弹簧处于原长。现用一水平向右的拉力F＝10N作用在B上，已知A、B间动摩擦因数μ＝0.2，弹簧振子的周期为，取g＝10m/s2，π2≈10。则（　　）
A．A受到的摩擦力逐渐变大
B．A向右运动的最大距离为4cm
C．当A的位移为2cm时，B的位移为5cm
D．当A的位移为4cm时，弹簧对A的冲量大小为0.2π（N s）
（2024 全国一模）用单摆可以测量某一行星的自转周期，若测得在相同时间t内，摆长为L的单摆在该行星两极处完成了N1次全振动，在该行星赤道处完成了N2次全振动，设该行星为质量分布均匀的球体，半径为R，则该行星自转周期是（　　）
A． B．
C． D．
（2024 广州一模）某质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系如图，则该质点（　　）
A．振动频率为4Hz
B．在A点速度最大
C．在B点加速度最大
D．在0～3s内通过路程为12.0cm
（多选）（2024 新郑市校级三模）某同学用单摆测量学校的重力加速度大小，他通过改变摆长L，测出几组对应的周期T，并作出T2﹣L图像如图所示。下列说法正确的是（　　）
A．应选用质量小、体积也小的小球做实验
B．应从摆球经过最低点时开始计时
C．图像不过坐标原点的原因可能是摆长测量值偏大
D．通过作出T2﹣L图像处理数据来求得重力加速度，可消除因摆球质量分布不均匀而导致的系统误差
（多选）（2024 雨花区校级模拟）如图a所示，下端附有重物的粗细均匀木棒浮在水中，已知水的密度为ρ，木棒的横截面积为S，重力加速度大小为g，将木棒向下按压一段距离后释放，木棒所受的浮力F随时间周期性变化，如图b所示，下列说法正确的是（　　）
A．木棒做简谐运动，重力充当回复力
B．0～0.25s 内木棒的加速度逐渐减小
C．木棒和重物的重力之和等于 F1﹣F2
D．木棒所受合外力与偏离初始位置的距离成正比
（2023 海淀区二模）摆，是物理学中重要的模型之一。如图1所示，一根不可伸长的轻软细绳的上端固定在天花板上的O点，下端系一个摆球（可看作质点）。将其拉至A点后静止释放，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低点。忽略空气阻力。
（1）图2所示为绳中拉力F随时间t变化的图线，求：
a．摆的振动周期T。
b．摆的最大摆角θm。
（2）摆角θ很小时，摆球的运动可看作简谐运动。某同学发现他家中摆长为0.993m的单摆在小角度摆动时，周期为2s。他又查阅资料发现，早期的国际计量单位都是基于实物或物质的特性来定义的，称为实物基准，例如质量是以一块1kg的铂铱合金圆柱体为实物基准。于是他想到可以利用上述摆长为0.993m的单摆建立“1s”的实物基准。请判断该同学的想法是否合理，并说明理由。
（3）小摆角单摆是较为精确的机械计时装置，常用来制作摆钟。摆钟在工作过程中由于与空气摩擦而带上一定的负电荷，而地表附近又存在着竖直向下的大气电场（可视为匀强电场），导致摆钟走时不准。某同学由此想到可以利用小摆角单摆估测大气电场强度：他用质量为m的金属小球和长为L（远大于小球半径）的轻质绝缘细线制成一个单摆。他设法使小球带电荷量为﹣q并做小角度振动，再用手机秒表计时功能测量其振动周期T，已知重力加速度g，不考虑地磁场的影响。
a．推导大气电场强度的大小E的表达式。
b．实际上，摆球所带电荷量为10﹣7C量级，大气电场强度为102N/C量级，摆球质量为10﹣1kg量级，手机秒表计时的精度为10﹣2s量级。分析判断该同学上述测量方案是否可行。（提示：当|x| 1时，有（1+x）n＝1+nx）
（2024 开福区校级模拟）简谐运动是一种常见且重要的运动形式。它是质量为m的物体在受到形如F＝﹣kx的回复力作用下，物体的位移x与时间t遵循x＝Asinωt变化规律的运动，其中角频率ω（k为常数，A为振幅，T为周期）。弹簧振子的运动就是其典型代表。
如图所示，一竖直光滑的管内有一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端固定于地面，上端与一质量为m的小球A相连，小球A静止时所在位置为O，另一质量也为m的小球B从距A为H的P点由静止开始下落，与A发生瞬间碰撞后一起开始向下做简谐运动。两球均可视为质点，在运动过程中，弹簧的形变在弹性限度内，当其形变量为x时，弹性势能为Epkx2，已知H，重力加速度为g。求：
（1）B与A碰撞后瞬间一起向下运动的速度；
（2）小球A被碰后向下运动离O点的最大距离。
（3）小球A从O点开始向下运动到第一次返回O点所用的时间。

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