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2024年上海市中考数学二模复习与检测试卷
（试卷满分：150分考试，时间：100分钟 ）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）
1 .下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C．3 D．
2. 关于一元二次方程根的情况，正确的是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根
3. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
我们知道，4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校九年级20名同学近2个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 4 5 6 5
课外书数量（本） 5 6 7 8
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．7，8 B．6，7 C．，7 D．7，7
5. ．将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6 .如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，
则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 分解因式：3a2﹣12= ．
8．函数的定义域是 ．
9 .方程的解为 ．
10. 如果方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是 ．
某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，
则最多可打_______折．
某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：
畅谈交流心得；外出郊游骑行；开展运动比赛；互赠书签贺卡．
根据问卷数据绘制统计图如下，扇形统计图中表示的扇形圆心角的度数为 ．
14 .将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，
所得到的新抛物线的表达式为 ．
15. 分式方程的解是 ．
16. 如图，正方形中，点在对角线上，点在边上（点不与点重合），且，那么的值为___________．
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为_______．
定义：四边形中，点E在边上，连接、，
如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，
我们称点E是四边形的边上的一个面积黄金分割点．
已知：如图，四边形是梯形，且，，
如果点E是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是 ．
解答题（本大题共7题，满分78分）
19 .计算：．
解方程组：
21. 如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，
与相交于点E．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
22. 某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件？
(2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
23. 某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，
已知信号塔与斜坡的坡顶B在同一水平面上，
兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为，
然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为．
（参考数据：，，）

(1)求坡顶B到地面的距离；
(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到1米）．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E．
①当时，求的长；
②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标．
25.已知在中，，点O为边上一点，
以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）．
（1）当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；
（2）过点C作，交延长线于点E．
以点E为圆心，为半径作，延长，交于点．
① 如图1，如果与公共弦恰好经过线段的中点，求的长；
② 连接、，如果与的一条边平行，求的半径长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024年上海市中考数学二模复习与检测试卷解析
（试卷满分：150分考试，时间：100分钟 ）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分）
1 .下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查同类二次根式，先将各个选项中的二次根式进行化简，化简的结果中被开方数为3的式子才能与合并，然后再进行判断即可．
【详解】解：，
∴四个式子中，只有D选项中的式子能与合并，
故选；D．
2. 关于一元二次方程根的情况，正确的是（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式．先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
3. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数和二次函数的性质，熟练掌握各类函数的性质是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数、二次函数的性质进行逐项分析即可．
【详解】A． ，二次项系数为，故函数开口向上，且对称轴为，当时，函数值y随自变量x的值增大而减小；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意；
B．，比例系数为，当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当时，函数值y随自变量x的值增大而增大；而不是函数值y随自变量x的值增大而增大，故不符合题意；
C． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增减小，故不符合题意；
D． ，一次项系数为，函数值y随自变量x的值增大而增大，故符合题意；
故选：D
我们知道，4月23日是世界读书日，某学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．
小明随机调查了本校九年级20名同学近2个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数 4 5 6 5
课外书数量（本） 5 6 7 8
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．7，8 B．6，7 C．，7 D．7，7
【答案】D
【分析】本题主要考查了求中位数和求众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可．
【详解】解：∵阅读量为7本的人数最多，
∴众数为7；
把阅读量按照从低到高排列，处在第10名和第11名的阅读量分别为7本，7本，
∴中位数为，
故选：D．
5. ．将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后令，通过解解方程求解．
【详解】解：把抛物线的图象向下平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为，
令，则．
所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为．
故选B．
6 .如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，
则BM+MD长度的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 分解因式：3a2﹣12= ．
【答案】3（a+2）（a﹣2）
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】3a2﹣12
=3（a2﹣4）
=3（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3（a+2）（a﹣2）．
8．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式即可．
【详解】解：根据题意可得，＞0，
解得，，
故答案为：．
9 .方程的解为 ．
【答案】3
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x的值，然后验根，解答即可．
【详解】解：两边平方得：2x+3＝x2
∴x2﹣2x﹣3＝0，
解方程得：x1＝3，x2＝﹣1，
检验：当x1＝3时，方程的左边＝右边，所以x1＝3为原方程的解，
当x2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
10. 如果方程没有实数根，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用判别式的意义得到△=（-6）2-4m＜0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得△=（-6）2-4m＜0，
解得m＞9；
故答案为：.
围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是 ．
【答案】
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：，
∴盒子中棋子的总个数是．
故答案为：．
某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，
则最多可打_______折．
【答案】8.8
【解析】
【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得，
解得：；
故答案为8.8．
某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：
畅谈交流心得；外出郊游骑行；开展运动比赛；互赠书签贺卡．
根据问卷数据绘制统计图如下，扇形统计图中表示的扇形圆心角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图等知识，确定参与调查的学生总人数以及组人数是解题关键．首先根据扇形统计图和条形统计图确定参与调查的学生总人数，进而可得组人数，然后利用“组学生占比”求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，
参与调查的学生总人数为人，
则组人数为人，
所以，扇形统计图中表示的扇形圆心角的度数为．
故答案为：．
14 .将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，
所得到的新抛物线的表达式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．
【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
15. 分式方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是求解后必须检验是否为增根．
等号两边同时乘以，求解并检验即可．
【详解】解：，
等号两边同时乘以，
可得，
解得，
当时，，
所以，是该分式方程的增根，
当时，，
所以，是该分式方程的解，
所以，分式方程的解是．
故答案为：．
16. 如图，正方形中，点在对角线上，点在边上（点不与点重合），且，那么的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．根据正方形的性质及勾股定理得，再证明，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为15．
定义：四边形中，点E在边上，连接、，
如果的面积是四边形面积的一半，且的面积是及面积的比例中项，
我们称点E是四边形的边上的一个面积黄金分割点．
已知：如图，四边形是梯形，且，，
如果点E是它的边上的一个面积黄金分割点，那么的值是 ．
【答案】
【分析】设，，，结合题意可得：，，可得，如图，过作交于，过作于，交于，证明是的中位线，同理可得：，证明是梯形中位线，可得，从而可得答案．
【详解】解：设，，，
∴结合题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
如图，过作交于，过作于，交于，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
过作交于，
∴四边形，，是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
同理可得：，
∴是梯形中位线，
∴，
∴；
故答案为：
三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】
19 .计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值以及二次根式的分母有理话，计算零次幂，最后再算加减法．
【详解】解：
20. 解方程组：
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答．
因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再代入①即可解方程组．
【详解】解：由②得：，
即或，
把代入①得，；
把代入①得，；
∴方程组的解为：，．
21. 如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切于点D，
与相交于点E．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）根据切线的性质得，再由，得，由平行线的性质得，又因为等腰三角形得，等量代换即可得证；
（2）在中，由勾股定理即可求半径．
【详解】（1）证明：连接OD；
∵与BC相切于点D
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是的平分线；
（2）解：∵
∴在中；
∵，
，
设圆的半径为r，
∴
解得，
∴圆的半径为3
∴．
22. 某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
(1)学校购进红、蓝文化衫各几件？
(2)若学校再次购进红、蓝两种颜色的文化衫300件，其中红色文化衫的数量不多于蓝色文化衫数量的2倍，请设计一个方案：学校购进红色文化衫多少件时获得最大利润，最大利润是多少？
解：（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得：，
解得，，
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件．
（2）解：设学校再次购进红文化衫件，蓝文化衫件， 则利润为 ，
∴，
由题意得，
解得，
∵ ， ，
∴随的增大而增大，
∴当时，最大利润元，
∴学校购进红色文化衫200件时获得最大利润，最大利润是5500元．
23. 某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，
已知信号塔与斜坡的坡顶B在同一水平面上，
兴趣小组的同学在斜坡底A处测得塔顶C的仰角为，
然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了26米，在坡顶B处又测得该塔塔顶C的仰角为．
（参考数据：，，）

(1)求坡顶B到地面的距离；
(2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到1米）．
【答案】(1)坡顶到地面的距离为米；
(2)联通信号发射塔的高度约为米．
【分析】（1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，

斜坡的坡度为：，
，
设米，则米，
在中，（米），
米，
，
，
米，米，
坡顶到地面的距离为米；
（2）解：延长交于点，

由题意得：米，，
设米，则米，
在中，，
（米），
米，
在中，，
，
，
，
解得：，
（米），
联通信号发射塔的高度约为米．
24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E．
①当时，求的长；
②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标．
【答案】（1）
（2）①5；②
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解；
②证明，得到，则，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
【小问2详解】
解：对于，当时，，
解得，
∴点，
设点，
设直线的解析式为，
由点、F的坐标得，
解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，
∴点，
①当时，则点F在的中垂线上，
则，即，
解得：(舍去)或5，
则；
②过点D作轴，作，过点F作轴，则，，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的表达式为：，
联立上式和的表达式得：，
解得：，
由得，，
∵面积是面积的3倍，
则
则∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：(舍去)或4，
当时，
∴点．
已知在中，，点O为边上一点，
以点O为圆心，为半径作，交边于点D（点D不与点A、C重合）．
（1）当时，判断点B与的位置关系，并说明理由；
（2）过点C作，交延长线于点E．
以点E为圆心，为半径作，延长，交于点．
① 如图1，如果与公共弦恰好经过线段的中点，求的长；
② 连接、，如果与的一条边平行，求的半径长．
【答案】（1）点B在内，见详解
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）借助垂径定理，利用表示出和，
通过比较和的大小确定点与圆的位置关系；
需要紧扣，第①问中结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，
借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出、，从而求解；
第②问当时，过点作，证明出，在中，，得到解得则；
当，延长交延长线于点F，由，得到，解得或5（舍去），则．
【小问1详解】
解：过点O作，垂足为点H，
∵过圆心，，
∴ ，
∵，
，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点B在内．
【小问2详解】
解：过点C作，垂足为M，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
，
又∵
，
∵，
∴在中，，，
设，则，
∴，
①两圆的交点记为P、Q，连接，
∵与相交，是公共弦，
∴垂直平分，即，
∵经过的中点，
∴垂直平分，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
②由于点A在直线上，
∴不可能与平行，
则当时，过点作，
，
∵，
，
，
∵
，
∵
，
∵
，
在中，，
∴
；
当，延长交延长线于点F，
∵
，
∴
，
∵
，
解得或5（舍去），
∴，
综上：或．
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