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R·九年级数学上册
第二十四章 圆
第3课时 切线长定理
1.知道切线长的概念，三角形的内切圆、内心的概念.
2.探索切线长定理，并会利用切线长定理解决问题.
3.会画出三角形的内切圆，会利用三角形内心的性质解决问题.
学习目标
知识回顾
1.圆的切线的性质是什么？
2.圆的切线的判定方法有几种？
（1）定义法
（2）数量关系法
（3）切线的判定定理
过半径的外端点
垂直于半径
新课导入
如图，圆外一点P，如何过点P画出⊙O的切线，这样的切线你能画出几条？
O
P
A
B
两条
O
P
A
B
切线长的概念：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
线段PA，PB的长则为点P到⊙O的切线长.
思考：切线和切线长这两个概念有何区别？
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B.在半透明纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
O
P
A
B
新知探究
知识点1
切线长定理
发现：①PA=PB
②PO平分∠APB
O
P
A
B
证明：如图，连接OA和OB.
∵PA和PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又OA=OB，OP=OP.
∴Rt△AOP≌Rt△BOP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
请证明你所发现的结论.
PA，PB分别切⊙O于A，B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法.
切线长定理
O
P
A
B
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
O
B
A
P
E
C
D
切线长定理运用的基本模型：
（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
O
B
A
P
切线的性质：
1.圆的切线和圆只有一个公共点.
2.圆心到切线的距离等于半径.
3.圆的切线垂直于过切点的半径.
4.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.
5.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
思考：如图，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢
知识点2
三角形的内切圆
A
B
C
如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
⊙O就是所求的圆.
O
D
．
o
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
A
B
C
内切圆
内心
外切三角形
→三角形角平分线的交点
到三角形三边的距离相等
↓
名称 外心 内心
图形
性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定在三角形内部
角度关系 ∠BOC=2∠A ∠BOC=90°+ ∠A
三角形外心、内心的区别：
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB 分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14， CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
A
E
C
D
B
F
解：设AF=x,则AE=x,
CD=CE=AC-AE=13-x,
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，
CA=13cm，则AF的长为( )
A.3cm B.4cm
C.5cm D.9cm
C
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=( )
A.172° B.130°
C.133° D.100°
C
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为切点，若VP=3cm，则VQ= cm.若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝ cm.
3
4. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点
O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。
【选自教材P100 练习 第1题】
A
B
C
O
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= ∠ABC= ×50°=25°，
∴∠OCB= ∠ACB = ×75°=37.5° ，
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5°
解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，则S△ABC= ar + ab + cr= (a+b+c)r = lr
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)
【选自教材P100 练习 第2题】
6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.
解：由切线长定理可知PA=PB.
∵PA是⊙O的切线.
∴∠OAP=90°.
∵∠BAC=25°, ∴∠BAP=65°.
又∵PA＝PB, ∴∠BAP=∠ABP=65°.
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.
A
O
B
C
P
【选自教材P101 习题24.2 第26题】
7.如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得WY =0.65m， 并且XY⊥WY，这个油桶底面半径是多少 为什么？
【选自教材P102 习题24.2 第10题】
解：设圆心为O，连接OW，OX.
∵YW，YX均是⊙O的切线，
∴OW⊥WY，OX⊥XY，
又∵XY⊥WY,
∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°，
∴四边形OWYX是矩形，又∵OW=OX.
∴四边形OWYX是正方形.
∴OW=WY=0.65m.
即这个油桶底面半径是0.65m.
课堂小结
切线长
切线长定理
三角形内切圆
原理
作用
辅助线
→图形的轴对称性
→提供了证线段和角相等的新方法
①分别连接圆心和切线；
②连接两切点；
③连接圆心和圆外一点.
→
有关概念
应用
→内心概念及性质
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
→
1.从教材习题中选取.
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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