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7.4.1 二项分布
一、重伯努利试验(次独立重复试验)
问题1 抛掷一枚硬币1次，则写出所有试验结果 .
在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果．例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等．我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials）．
问题2 抛掷同一枚硬币3次，则：每一次试验的结果是否相互独立？
我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验，也叫做 ，显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：
（1）每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变；
（2）各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响；
（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的
思考：下面3个随机试验是否为重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？
（1）抛掷一枚质地均匀的硬币10次．
（2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次．
（3）一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．
二、重伯努利试验的概率公式与二项分布
探究1 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？
思考 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X=2的结果有哪些？写出中靶次数X的概率分布列.
1. 重伯努利试验的概率公式
一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是，事件在次试验中发生次，共有 种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是 ，则在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为 ( ) .
2. 二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
关于二项分布的这几点你必须知道：
(1) 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗？
(2) 明确二项分布中的各量表示的意义
：
：
：
分布列：
结论：随机变量服从参数为,的二项分布
记法：
(3) 二项分布的均值与方差
若随机变量服从参数为，的二项分布，即，则, .
【即学即练1】已知随机变量X服从二项分布，若，，求的值.
题型1 重伯努利试验的概率问题
【典例1】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷5次，求：
（1）恰好出现3次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在内的概率．
【练习1】若某一试验中事件A发生的概率为，则在重伯努利试验中，发生次的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【练习2】若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率是 .
【练习3】在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为 ．
【典例2】甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
【典例3】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次. 求下列事件的概率：
(1) 质点回到原点；
(2) 质点位于4的位置.
【练习1】位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动5次后位于点(1，0)的概率为 .
【练习2】位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都为，则质点P移动5次后位于点(2，3)的概率为 .
【典例4】口袋中放有大小相同的2个红球和1个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列：，如果为数列的前项和，那么的概率为 .
题型2 二项分布及其应用
【典例1】有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
【练习1】若随机变量服从二项分布，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．
【练习1】为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.
(1) 根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数；
(2) 若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列.
题型3二项分布的均值与方差
【典例1】（多选题）若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【练习1】设随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【练习2】已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【练习3】（多选题）已知，且，，则下列说法正确的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
【典例2】将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.
(1) 求X的分布列； (2) ， .
【练习1】抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次实验成功，求：
(1) 在30次实验中成功次数X的分布列； (2) ， .
【练习2】已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
【典例3】某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1) 请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2) 以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.
【练习1】为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(1) 求的值以及这批产品的优质率；
(2) 以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
题型4服从二项分布的概率最值问题
【典例1】某人在19次射击中击中目标的次数为X，若，若最大，则（ ）
A．14或15 B．15 C．15或16 D．16
【典例2】如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考

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