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2024年初中毕业、升学模拟考试试卷
数学
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．的绝对值等于（）
A．2B．C．D．
2．如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（）
A．B．C．D．
3．据《2023年南通市国民经济和社会发展统计公报》可知：2023年末全市常住人口774.9万人，比上年末增加0.5万人．数据“774.9万”用科学记数法表示为（）
A．B．C．D．
4．实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（）
A．B．C．D．
5．如图，,若，则的度数等于（）
A．B．C．D．
6．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（）
A．B．
C．D．
7．某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图，无人机在P处测得正前方河流的点B处的俯角,点C处的俯角，点A,B,C在同一条水平直线上．若,则河流的宽度为（）
A．B．C．D．
8．如图，是的直径，点C,D将分成相等的三段弧，点P在上，点Q在上，且，则点Q所在的弧是（）
A．B．C．D．
9．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若,则正方形的边长为（）
A．B．C．D．
10．定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M, N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
12．分解因式__________．
13．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，,若,则__________．
14．已知以的速度将小球沿与水平地面成角的方向击出时，小球的飞行线路将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球从飞出到落地用了__________s．
15．如图，在矩形中，．动点E,F分别从点D,B同时出发，以相同的速度分别沿向终点A,C移动．当四边形为菱形时，的长为__________．
16．图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于__________．
图1图2图3
17．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________．
18．如图，在四边形中，,点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P,则面积的最大值等于__________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分12分）
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（本小题满分8分）
如图，．
（1）求证：;
（2）若，，求的度数．
21．（本小题满分8分）
小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A,B,C,D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小李购买门票在A区观赛的概率为__________；
（2）请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率．
22．（本小题满分10分）
快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7,6,9,6,7,10,8,8,9,9；乙：8,8,6,7,9,7,9,8,8,9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7.9 m n 7
乙 7.9 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：__________,__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）;
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
23．（本小题满分12分）
如图，是的直径，点C,D是上位于直径异侧的两点，,交的延长线于点E,且平分．
（1）求证：为的切线；
（2）若，,求图中阴影部分的面积．
24．（本小题满分12分）
已知A,B两地相距．甲8：00由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙9：30由A地出发以的速度驾车前往B地．
（1）求甲的速度；
（2）请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象；
（3）当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值．
25．（本小题满分14分）
在中，，,点D为边上的一个动点（不与点A,C重合），作点C关于直线的对称点E．
（1）小明给出了下面框图中的作法：
小明的作法 如图1，分别以B,D为圆心，以的长为半径画孤，两弧交于点E． 所以，点E就是所求作的点． 图1
请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由；
（2）当点E在边上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D,E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签
字笔描深痕迹），连接,并求出的长；
（3）连接,当为直角三角形时，求的正切值．
图2备用图
26．（本小题满分14分）
在二次函数的图象上分别取三个点P,A,B,其中，点在第二象限内，A,B两点横坐标分别为a,b,且满足．
（1）求p的值；
（2）记时二次函数的最大值为,最小值为．若,求的取值范围；
（3）连接．当时，作,垂足为点是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由．
2024年初中毕业、升学第一次模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C D A B D B
二、填空题（本大题共8小题，第11-12小题每题3分，第13-18小题每题4分，共30分）
11．x≥2 12．a(a＋2b)(a－2b) 13．8 14．4
15． 16．－3 17．a≤2 18．
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
19．（本小题满分12分）
解：（1）原式＝4－4＋1－9 4分
＝－8； 6分
（2）原式＝· 8分
＝m＋2 10分
当m＝－2时，原式＝． 12分
20．（本小题满分8分）
解：（1）∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＋∠ECA＝∠ACD＋∠ECA．
即∠BCA＝∠ECD． 2分
又∵CA＝CD，BC＝EC，
∴△BCA≌△ECD．
∴AB＝DE； 5分
（2）∵△BCA≌△ECD，
∴∠D＝∠A＝25°． 6分
又∵∠E＝35°，∠D＋∠E＋∠ECD＝180°，
∴∠ECD＝120°． 8分
21．（本小题满分8分）
解：（1）． 2分
（2）画树状图如下：
4分
共有16种等可能的结果， 5分
其中小李和小张在同一区域观看比赛（记为事件A）的结果有4种， 6分
∴小李和小张在同一区域观看比赛的概率为P（A）＝＝． 8分
22．（本小题满分10分）
解：（1）8，9，＜； 6分
（2）小刘应选择甲公司．理由如下：
配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，说明甲服务质量更稳定，因此小刘应选择甲公司； 8分
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）． 10分
23．（本小题满分12分）
（1）证明：如图，连接OD．
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE， 1分
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD， 2分
∴∠ODB＝∠DBE， 3分
∴OD∥BC， 4分
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE， 5分
∵点D在⊙O上，
∴DE为⊙O的切线； 6分
（2）解：连接OC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵∠ABC＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形， 7分
∴OB＝OC＝BC＝AB＝2，∠BOC＝60°， 8分
在Rt△OBF中，OF＝OB sin60°＝， 9分
∴扇形BOC的面积＝＝，△BOC的面积＝×2×＝． 11分
∴图中阴影部分的面积＝扇形BOC的面积－△BOC的面积＝－． 12分
24．（本小题满分12分）
解：（1）甲的速度为30÷3＝10km/h； 2分
（2）y＝30（0≤x≤1.5），y＝－40x＋90（1.5＜x≤2.25）； 6分
画图正确（画对一段得1分）； 8分
（3）甲与B地的距离y（km）与x（h）之间的关系为y＝－10x＋30（0≤x≤3），
当1.5＜x≤2.25时，乙与B地的距离y（km）与x（h）之间的关系为y＝－40x＋90，
令－10x＋30＝－40x＋90，即x＝2时，乙追上了甲．
①若1.5＜x≤2，令－40x＋90－(－10x＋30)＝5，解得x＝， 10分
②若2＜x≤2.25，令－10x＋30－(－40x＋90)＝5，解得x＝．
综上，x的值为或． 12分
25．（本小题满分14分）
解：（1）符合题目要求． 1分
理由：如图1，连接BE，CE，DE．
由作法可知DC＝DE，BC＝BE．
∴点B，D均在CE的垂直平分线上． 2分
∴BD垂直平分CE．
∴点C和点E关于直线BD对称． 3分
（2）解：如图2，作∠CBA的角平分线BD，交AC于点D；
以点B为圆心，以BC为半径作弧，交AB于点E；
∴点D，点E即为所求作的点．
（作法不唯一，结合作图痕迹判断，作对一个点得1分） 5分
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10．
∵点C和点E关于直线BD对称．
∴BD垂直平分CE，
∴BC＝BE＝8，DC＝DE，
∴∠DCB＝∠DEB＝90°．
∴tan∠A＝＝，即＝．
∴DE＝； 8分
（3）解：① 若∠CAE＝90°，
如图3，作EH⊥BC于点H，得矩形AEHC．
∴EH＝AC＝6．
又∵BC＝BE＝8，
∴HB＝2．
∴CH＝8－2．
∴tan∠BCE＝＝＝＝． 11分
② 若∠CEA＝90°，
如图4，作BH⊥CE于点H，
又∵BC＝BE＝8，
∴CH＝EH．
∵∠ACB＝∠BHC＝90°，
∴∠ACE＝∠CBH，∠CAE＝∠BCH．
∴△CAE∽△BCH
∴＝＝＝．
又∵CH＝EH，
∴tan∠CAE＝＝．
∴tan∠BCE＝tan∠CAE＝．
若∠ACE＝90°，不符合题意，舍去．
综上，∠BCE的正切值为或． 14分
26．（本小题满分14分）
解：（1）把点P（p，－p）代入y＝x2，
得p2＝－p． 1分
解得p＝－1或0． 2分
又∵p＜0
∴p＝－1． 3分
（2）由题意得，点A和点B的坐标分别是（a，a2）和（a＋3，a2＋6a＋9）， 4分
且a≤－1≤a＋3，即－4≤a≤－1． 5分
①当－4≤a≤－3时，y1＝a2，y2＝a2＋6a＋9，y1－y2＝－6a－9．
∴9≤y1－y2≤15． 6分
②当－3＜a≤－时，y1＝a2，y2＝0，y1－y2＝a2．
∴≤y1－y2＜9． 7分
③当－＜a≤－1时，y1＝a2＋6a＋9，y2＝0，y1－y2＝a2＋6a＋9．
∴＜y1－y2≤4． 8分
综上，y1－y2的取值范围为≤y1－y2≤15． 9分
（3）如图，设A（a，a2），B（b，b2），
过点P作直线l∥x轴，
作AC⊥直线l于点C，作BD⊥直线l于点D，
又∵PA⊥PB，
∴∠PAC＝∠BPD．
∴tan∠PAC＝tan∠BPD，即＝．
∴＝， 10分
化简得a＋b＝ab＋2． 11分
设直线AB解析式为y＝kx＋n，
则解得
∴直线AB解析式为y＝(a＋b)x－ab＝(ab＋2)x－ab． 12分
∵当x＝1时，恒有y＝2，
∴直线AB过定点Q（1，2）． 13分
当点H和Q不重合时，PH＜PQ，
∴当PH取得最大值时，点H和Q重合．
此时，PH＝． 14分

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