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三门峡市2024年中招第一次模拟考试
数学试题卷
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置．
2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，最大的是（　　）
A. B. 0 C. 2 D.
2. 庙底沟彩陶罐是用红陶泥烧制而成，表面做了抛光处理．它上身肥胖，下身纤细，整个彩陶罐体型较大，完整无缺，是仰韶文化庙底沟类型的典型遗物．如图所示，关于它的三视图下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
3. 下列运算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
4. 2023年10月26日11时14分，神舟十七号飞船成功发射，将汤洪波、江新林、唐胜杰三位宇航员送入了中国空间站．这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段第2次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第30次发射任务．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（）用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
8. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A B. 且 C. D. 且
9. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，…，，，，…的圆心依次为A，B，C，D循环，则的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货8件应记作______．
12. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是______（任意写一个符合条件的数即可）．
13. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为______．
14. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．
15. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，为了了解消费者对，两款设备的满意情况，工作人员组织消费者对，两款自动洗车设备的满意度进行分数评价（评分用表示，分为四个等级，不满意：；比较满意：；满意：；非常满意：）．然后，从，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．抽取的对款设备的评分数据：
67，69，77，78，79，84，85，86，87，87，89，94，96，96，96，96，97，98，99，100．
b．抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
81，84，85，86，87，87，87，89．
c．抽取对款设备的评分扇形统计图：
d．抽取的对，两款设备的评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 88
88 98
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
18. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）
19. 如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图象交于点，求点的坐标．
20. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
21. 如图，在中，，平分．
（1）请按下列要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作线段的垂直平分线，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画圆．
（2）在（1）中所作的图形中，求证：是的切线．
22. 实心球是2024年三门峡市初中生体育学业水平现场考试素质类选考项目之一．考试时，每人连续测试三次，取其中最远一次成绩为最终成绩．小明做了2次实心球测试．第一次测试中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求关于函数表达式；
（2）小明第二次测试实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，你能判断出小明哪一次的测试成绩较好吗？请说明理由．
23. 如图，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
（1）猜想模型
①和的数量关系是______；
②用等式写出线段，，数量关系为______．
（2）模型应用
如图，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
（3）模型迁移
在（2）的条件下，若，，请直接写出的值．三门峡市2024年中招第一次模拟考试
数学试题卷
注意事项：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答题前，同学们务必先将自己的学校、班级、姓名、考场号、座号，以及准考证号写在试题卷和答题卡第一页的指定位置．
2．答题时，同学们一定要按要求把答案写在答题卡上，答案写在试题卷上无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，最大的是（　　）
A. B. 0 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先化简绝对值，然后把选项中4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】∵，
∴，
∴最大的数是2．
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．
2. 庙底沟彩陶罐是用红陶泥烧制而成，表面做了抛光处理．它上身肥胖，下身纤细，整个彩陶罐体型较大，完整无缺，是仰韶文化庙底沟类型的典型遗物．如图所示，关于它的三视图下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，对庙底沟彩陶罐的三视图进行分析，再做比较，即可作答．
【详解】解：依题意，结合图形特征，
得出庙底沟彩陶罐的主视图与左视图相同，俯视图与主视图，左视图都不相同，
故选：B．
3. 下列运算结果是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的相除，同底数幂相乘，熟练掌握合并同类项、幂的乘方、同底数幂的相除、同底数幂相乘的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂相乘法则计算并判定A；根据幂的乘方运算法则计算并判定B；根据同底数幂的相除法则计算并判定C；根据合并同类项法则计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
4. 2023年10月26日11时14分，神舟十七号飞船成功发射，将汤洪波、江新林、唐胜杰三位宇航员送入了中国空间站．这是中国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第2次载人飞行任务，是工程立项实施以来的第30次发射任务．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（）用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据路程等于速度乘以时间，将结果用科学记数法表示即可．
【详解】解： 中国空间站绕地球运行的速度约为，运行时间为，
走过的路程为：（）．
故选：C．
5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，利用对顶角相等求得，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵一束光线平行于主光轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，
，
故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
7. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变．
【详解】根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，，
此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变；
当铁块逐渐露出水面的过程中，，
此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大；
当铁块完全露出水面之后，，
此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变．
综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变．
观察四个选项可知，只有选项A符合题意．
故选：A
8. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵有两个实数根，
∴，
∴；
故选：C．
9. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接，
∵点I是的内心，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．
10. 如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，…，，，，…的圆心依次为A，B，C，D循环，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了图形类规律探索，弧长的计算，找到的圆心角所对的弧的半径变化规律是解本题的关键．
观察图形知曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径，得出半径规律，再计算弧长即可，
【详解】四边形是边长为的正方形
由已知可得；的半径为1；的半径为，的半径为2；的半径为，的半径为3，，
每一段弧的半径每次比前一段的圆心角所对的弧半径大， 半径增加2，
的半径为3；的半径为5， 的半径为7；
的半径为，
的长是．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作，那么出货8件应记作______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正数和负数的意义，熟练掌握这一知识点是正确解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【详解】解： 进货10件记作，
出货8件应记作．
故答案：．
12. 在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是______（任意写一个符合条件的数即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据随的增大而减小，得出，即可作答．
【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小，
∴，
解得，
则的值可以是（答案不唯一）
故答案为：．
13. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表或画树状图法求概率和概率公式．画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一部电影的结果有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：A表示《热辣滚烫》、B表示《飞驰人生2》、C表示《逆转时空》、D表示《第二十条》，
画树状图如下：
共由16种等可能的结果，其中，甲、乙两人选择同一部电影的结果有4种，
甲、乙两人选择观看相同影片的概率为：．
故答案为：．
14. 如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，底面半径为圆锥的底面周长为，扇形弧长为，
∴扇形中未组成圆锥底面的弧长，
∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，
∴圆锥上粘贴部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径．
15. 如图1，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，图2是与的函数关系的大致图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得，然后等面积法即可求解．
【详解】如图过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
∴，
在中，
∴
∵，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质，零指数幂运算法则进行计算即可；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，为了了解消费者对，两款设备的满意情况，工作人员组织消费者对，两款自动洗车设备的满意度进行分数评价（评分用表示，分为四个等级，不满意：；比较满意：；满意：；非常满意：）．然后，从，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．抽取的对款设备的评分数据：
67，69，77，78，79，84，85，86，87，87，89，94，96，96，96，96，97，98，99，100．
b．抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：
81，84，85，86，87，87，87，89．
c．抽取的对款设备的评分扇形统计图：
d．抽取的对，两款设备的评分统计表：
设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
88 88
88 98
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】（1）15，87，96；
（2）A款自动洗车设备更受欢迎．理由：评分数据中，A款的中位数比B款的中位数高．
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间关系是解题的关键．
（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，；
（2）根据中位数即可得出结论．
【小问1详解】
由题意可得，对款设备的评分数据中满意的百分比为，
非常满意所占百分比为，
不满意的百分比为，
∴，
抽取的对B款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，
“不满意”和“较满意”的评分有（份），
第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，87，
，
抽取的对A款设备的评分数据中出现次数最多的是96，
，
故答案为：15，87，96；
【小问2详解】
A款自动洗车设备更受欢迎．理由：评分数据中，A款的中位数比B款的中位数高．
18. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）
【答案】该风力发电机塔杆的高度为32米
【解析】
【分析】过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可．
【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E，
根据题意可得：、垂直于水平面，，，，
∴，
∵米，
∴（米），
设米，则米，
∵，，
∴米，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：该风力发电机塔杆的高度为32米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
19. 如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移3个单位后，与轴交于点，与的图象交于点，求点的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；
（2）点坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的图象和性质，图象的平移，以及求解方程组，熟悉待定系数法求解析式和图象平移后函数解析式的表示是解题的关键．
（1）根据点在正比例函数图象上，可求出点坐标，将点坐标代入即可求解；
（2）根据函数图象平移的特征，求出图象平移后的直线解析式，然后与联立方程组，求得两组解，根据点位于第一象限，从而确定点坐标．
【小问1详解】
解：点在正比例函数图象上，
把代入中，即，
解得．
点坐标为．
把代入中，，
解得．
反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
解：将直线向上平移3个单位后，其函数解析式为，
联立方程组，
解得，．
平移后的直线与图象的交点位于第一象限，
点坐标为．
20. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．
（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】（1）一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨
（2）6套
【解析】
【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；
（2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可．
【小问1详解】
解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．
根据题意，得，
解得．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨．
【小问2详解】
解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．
解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．
21. 如图，在中，，平分．
（1）请按下列要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
①作线段的垂直平分线，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画圆．
（2）在（1）中所作的图形中，求证：是的切线．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①分别以为圆心，以大于长度为半径作弧，分别交于两点，作直线并交于点；②以点为圆心，以长为半径画圆即可；
（2）首先证明，进而可得，即，可证明结论．
【小问1详解】
解：如图，即为所做的图形；
【小问2详解】
由（1）作图知，垂直平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线、作圆，切线的判定、垂直平分线的性质、平行线的性质等知识，根据题意正确作出图形是解题关键．
22. 实心球是2024年三门峡市初中生体育学业水平现场考试素质类选考项目之一．考试时，每人连续测试三次，取其中最远一次成绩为最终成绩．小明做了2次实心球测试．第一次测试中实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
（1）求关于的函数表达式；
（2）小明第二次测试实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，你能判断出小明哪一次的测试成绩较好吗？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）小明第一次的测试成绩较好，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，熟练的求解二次函数的解析式是解本题的关键；
（1）由题意设设，再将代入求解即可；
（2）分别计算抛物线在轴上的落点的位置，再比较即可得到结论；
【小问1详解】
解：设，将代入得，
．
解得．
．
【小问2详解】
小明第一次的测试成绩较好．
理由是：由得或．
小明第一次投掷实心球从起点到落地点的水平距离为9．
由得，或．
小明第二次投掷实心球从起点到落地点的水平距离为．
，
小明第一次的测试成绩较好．
23. 如图，和都是等边三角形，点关于的对称点在边上．
（1）猜想模型
①和的数量关系是______；
②用等式写出线段，，的数量关系为______．
（2）模型应用
如图，是直角三角形，，，垂足为，点关于的对称点在边上．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
（3）模型迁移
在（2）的条件下，若，，请直接写出的值．
【答案】（1）①，②；
（2），理由见解析．
（3）．
【解析】
【分析】（1）①利用等边三角形性质得到，，，再结合角的运算得到，证明，根据全等三角形性质即可解题；
②利用等边三角形性质得到，根据对称的性质得到，再利用线段的等量代换即可解题；
（2）过点作于，根据对称的性质得到，进而得到是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性质及解直角三角形得到，再证明，利用相似三角形性质推出，利用等腰直角三角形性质得到，再利用线段的等量代换即可解题；
（3）过点作于，得到是等腰直角三角形，推出、，利用勾股定理推出，再根据，即可解题．
【小问1详解】
解：①，
证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
；
故答案为：．
②．
理由如下：
都是等边三角形，
，
点关于的对称点在边上，
，
，
；
故答案为：；
【小问2详解】
解：．
理由如下：
如图，过点作于，
点与点关于对称，
，
又，
，
又，
是等腰直角三角形．
又是等腰直角三角形，
，，
，
，
．
，
．
是等腰直角三角形，
，
，
即：．
【小问3详解】
解：．
理由如下：如图，过点作于，
又，
是等腰直角三角形，
又，
，．
，，
．
又，
，
在中，由勾股定理得：，
．
【点睛】本题考查等边三角形性质，等腰直角三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，对称的性质，相似三角形性质，解直角三角形，求角的余弦值，解题的关键在于作辅助线构造等腰直角三角形．

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