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(共12张PPT)
6.4.3 正弦定理
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
学习目标：
1、通过预习记住正弦定理的内容，并能用向量进行推导
2、通过探究一学会多种方式证明正弦定理，并推出三角形
面积公式和正弦定理比值的几何意义
3、通过探究二学会用正弦定理解三角形
探究一 正弦定理的证明
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？如何证明？
在直角三角形ABC中，三边、三角之间有和关系？如何证明？
A
B
C
a
b
c
探究一 正弦定理的证明
正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,
即
变式:
思考：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形，钝角三角形
两种情况分析.
提示：①初中学习三角形面积公式，能否用三角形的边与角的正弦表示
②在直角三角形中，正弦定理的比值是什么？有什么几何意义？能否推广到任意三角形
证明：
过A作单位向量
垂直于
∴ asinC=c sinA.
同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得
B
C
A
则
两边同乘以单位向量
当 是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图
过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为
与 的夹角为
同理可得
探究二 正弦定理的应用
例1.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝(　　)
例2.在△ABC中，已知a= ，b= ，A=45°，解三角形
变式：（1）若a= 呢
（2）若a= 呢
（3）若a= 呢
两组解
无解
一组解
一组解
大家观察解的情况，解释出现一解，两解，无解的原因是什么
1、正弦定理：
2、利用正弦定理可以解决的问题：
3、三角形面积公式： S = = =
①已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角；
②已知三角形的两边与其中一边的对角；
√如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角、三角形内角和”来决定取舍！
课堂小结
课后作业
1：完成导学案“达标检测”题目
2：作业本：课本P48 练习T2、T36.4.3正弦定理
学习目标
1.通过预习记住正弦定理的内容，并能用向量进行推导。
2.通过探究一学会多种方式证明正弦定理，并推出三角形面积公式和正弦定理比值的几何意义。
3.通过探究二学会用正弦定理解三角形。
学习重难点
1.教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及应用；
2.教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和一对角解三角形时三角形解的个数。
学习探究
探究一 正弦定理的证明
1.余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？在直角三角形中，能得到三边、三角之间的什么关系式？如何证明？
如果推广到任意三角形，该关系式是否成立？怎么证明？
提示：①初中学习三角形面积公式，能否用三角形的边与角的正弦表示
②在直角三角形中，正弦定理的比值是什么？有什么几何意义？能否推广到任意三角形
探究二 正弦定理的应用
例1.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝(　　)
A．4　　　　　B．4 C．4 D．
例2.在△ABC中，已知a=，b=，A=45°，解三角形
变式：（1）若a=呢
（2）若a=呢
（3）若a=呢
达标检测
1.在△ABC中，已知a＝，A＝60°，B＝45°，则b＝(　　)
A．4　　　　　　　B．1 C． D．2
2.在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135°　　 B．135° C．45°　 D．60°
3.在△ABC中，a=1，A=30°，b=，则B等于(　　)
A．30°或150°　　 B．120° C．60°　 D．60°或120°
4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则△ABC的面积为________．

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