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2023~2024学年第二学期七年级期中学业诊断
数学
（考试时间：上午8：00—9：30）
说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟．
一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1. 计算的结果是（ ）
A. 2024 B. 1 C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂的运算，根据进行计算，即可作答．
【详解】解：，
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘除法、积的乘方和幂的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．分别利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算法则计算即可．
【详解】解：A． ，故不符合题意；
B．，故不符合题意；
C．，故不符合题意；
D．，符合题意．
故选：D．
3. 在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．
【详解】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离的是A选项．
故选：A．
【点睛】本题考查了点到到直线的距离的定义，解题关键在于熟练掌握点到直线距离定义．
4. 杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，其中秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线，得出，结合两直线平行，内错角相等，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线，
∴，
∴，
故选：A．
5. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平方差公式．平方差公式：，根据平方差公式的特点逐一分析即可．
【详解】解：不具有平方差公式的特点，故A选项不符合题意；
不具有平方差公式的特点，故B选项不符合题意；
，故C选项符合题意；
不具有平方差公式的特点，故D选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，将一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，此时，得到此结论的依据是（ ）
A. 同角余角相等 B. 同角的补角相等
C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角板的运算，同角的余角相等，结合三角板的特征即，即可作答．
【详解】解：依题意，
则（同角的余角相等），
即，
故选：A．
7. 甲醇燃料是经严格科学工艺调配制成的一种新型清洁燃料，对缓解环境污染和气候变化问题具有积极作用．甲醇的质量约为，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：依题意，将用科学记数法表示为，
故选：C．
8. 通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积；一方面阴影部分是一个长为，宽为的长方形，另一方面，阴暗部分是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三三个长为a、宽为b的相同长方形组成，分别计算出面积即可求解．
【详解】解：阴影部分是一个长为，宽为的长方形，其面积为；
阴暗部分也是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三三个长为a、宽为b的相同长方形组成，其面积为：，
根据面积相等得：；
故选：D．
9. 在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的；
B、∵，，∴（同旁内角互补，两直线平行），说明，故该选项是正确的；
C、∵，，且与是内错角，但不相等，∴不能说明，故该选项是错误的；
D、∵，，且与是同旁内角，但不互补，∴不能说明，故该选项是错误的；
故选：B．
10. 在数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”中，前30米为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．小斌某次百米赛时其速度与路程之间的关系如图所示．根据图象，运用数学模型分析下列说法不正确的是( )
A. 第15米时小斌的速度是 B. 加速期结束时小斌的速度最大
C. 中途期小斌的速度先增大后减小 D. 冲刺期，小斌的速度增加至最大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，观察图象逐项分析判断即可．
【详解】解：第米时小斌的速度是,
∴A正确，不符合题意；
由图象可知，冲刺期结束时小斌的速度最大，
∴B不正确，符合题意；
中途期小斌的速度先增大后减小，
∴C正确，不符合题意；
冲刺期，小斌的速度增加至最大，
∴D正确，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题）将答案填写在答题卡的相应位置的横线上．
11. 计算3-2的结果是_________
【答案】
【解析】
【分析】直接运用负整数指数幂运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，熟练掌握计算公式务正整数）是解答本题的关键．
12. 如图，已知直线与相交于点O，若，则的度数为______．
【答案】145
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角、邻补角，掌握对顶角相等、邻补角之和为是解题的关键．根据对顶角相等求出，根据邻补角之和为计算即可．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：145．
13. 若，，则___________．
【答案】12
【解析】
【分析】此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得，又由，，即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：12．
14. 把一些相同规格的杯子按如图方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，一只杯子的高度为，这种杯子叠放在一起的总高度与杯子数量x（只）之间的关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求出函数解析式的方法和步骤．
设，将代入求出k和b的值，即可得出函数关系式．
【详解】解：设，
将代入得：
，
解得：，
∴杯子叠放在一起的总高度与杯子数量x（只）之间的关系式为，
故答案为∶．
15. 计算结果的个位数字为______．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．先把化为的形式，与式子构成平方差公式，再运用平方差公式对式子进行化简，得出原式，再研究出，得出的个位数呈现：循环，结合，即可作答．
【详解】解：
，
∵
∴可知的个位数呈现：循环，
∵，
∴的个位数是，
∴的个位数是0，
故答案为：0．
三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握整式除法、完全平方公式、平方差公式以及整式的运算法则是解题的关键．
（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式运算法则计算即可；
（2）根据多项式除以单项式运算法则计算即可；
（3）利用平方差公式及单项式乘多项式运算法则去掉括号，再合并即可；
（4）利用完全平方公式及多项式乘多项式运算法则去掉括号，再合并即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式
；
小问4详解】
解：原式
．
17. 太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日正式对外开放，这是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题：
　
（1）上述过程中，自变量是______，因变量是______；
（2）聪聪家与博物馆的距离是______千米，博物馆到姑妈家的距离是______千米；
（3）求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）．
【答案】（1）离开家的时间；离开家的距离
（2）15；25 （3）60千米/时
【解析】
【分析】本题考查函数图象，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．
（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据函数图象解答即可；
（3）根据“速度路程时间”可得答案．
【小问1详解】
解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的距离．
故答案为：离开家的时间，离开家的距离；
【小问2详解】
由图象可知，聪聪家与博物馆的距离是15千米，博物馆到姑妈家的距离是：（千米），
故答案为：15，25；
【小问3详解】
（千米时）．
答：聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60千米时．
18. 已知：射线，垂足为点O，点C射线上一点．
求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
结论：
【答案】见解析
【解析】
【分析】过C点作的垂线即可．此时，则∵，即．本题考查了作图 复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
【详解】解：如图，为所作．
19. 下面是两位同学进行整式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
化简：．
小颖的方法： 解：原式①　 ② ． 小明的方法 解：原式 …
任务一：仔细检查小颖同学解题的过程，回答下列问题．
（1）第①处用到的乘法公式是______；（用字母表示公式）
（2）第②处错误的原因是______；
任务二：
（3）小明逆用乘法对加法的分配律，简便了运算，但其过程不完整，请你补全小明的过程．
【答案】（1）；（2）运用完全平方公式时漏掉这一项；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算：
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）根据完全平方公式解答，即可；
（3）提出公因式解答，即可．
【详解】解：（1）第①处用到的乘法公式是：
故答案为：
（2）第②处错误的原因是：运用完全平方公式时漏掉“”这一项．
故答案为：运用完全平方公式时漏掉“”这一项
（3）原式
20. 如图，点E，D，F分别是三角形的边，，上的点，，，试判断和的位置关系，并说明理由（写出最后一步的推理依据）．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定和性质；
利用平行线的性质得，由于，通过等量代换得到，根据平行线判定定理即可得出结论．
【详解】解：．理由如下：
，
．
，
．
．（同位角相等，两直线平行）
21. 漏刻是我国古代的一种计时工具，图1是其示意图．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民智慧的结晶．七年一班同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻，如图2，发现水位与时间满足某种确定的关系．下表是记录的部分数据．
… 1 2 3 5 6 7 ______ …
… 3 9 …
根据表格数据解答问题：
（1）水位与时间的关系式为______，当时，______；
（2）根据表中的信息，分析水位与时间的变化规律（写出一个结论即可）．
【答案】（1）；20
（2）随着时间t的增大，水位h也增大；t每增加，h增加
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值是解题的关键．
（1）从表中数据可知水位与时间满足一次函数关系式，设水位与时间的一次函数关系式，再用待定系数法求解析式即可；利用的关系式令，求解t值即可．
（2）根据数据变化情况作答，合理即可．
【小问1详解】
解：设水位与时间的关系式为，
，
解得：，
，
水位与时间的关系式为：，
当时，
解得：，
故答案为：，20；
【小问2详解】
根据表中的信息可知：随着时间t的增大，水位h也增大；t每增加，h增加．
22. 阅读与思考
下面是小丽同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
两个连续整数平方的平均数与这两个数平均数的平方 两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间有什么关系呢？为了弄清这个问题，我选取两个连续整数7和8，进行探究，为表达方便，设它们平方的平均数为M，平均数的平方为N，则，，发现，且．我又取了几组连续整数进行验证，发现的差均为． 为探究结论的一般性，我设两个连续整数分别为n和，进行如下验证： ，
任务：
（1）请你按小丽的思路完成结论的验证；
（2）按小丽的思路进一步思考：两个连续偶数平方的平均数与这两个数平均数的平方，它们的差是否也是一个确定的值？若是，请直接写出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）两个连续偶数平方的平均数与这两个数平均数的平方之差是一个确定的值，这个确定的值为1
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的计算，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的式子的规律，写出相应的结论并进行验证．
（1）根据题意，进行计算验证即可；
（2）设两个连续偶数为，分别计算出两个连续偶数平方平均数与这两个数平均数的平方，再作差即可得出结论．
【小问1详解】
解：，，
；
【小问2详解】
解：设两个连续偶数为，
，，
；
两个连续偶数平方的平均数与这两个数平均数的平方之差是一个确定的值，
这个确定的值为1．
23. 综合与实践
问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1直线，直线l分别交，于点A，B，的平分线交于点C．试判断和的数量关系，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）点D是射线上不与A，C重合的一点，过点D作交于点E，连接．
①如图2，当点D在点C右侧时，为探究，与之间的数量关系，小文过点C作，请根据他的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由；
②当，的平分线交于点F，所在直线与直线交于点O，若，直接写出的度数．
【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；②或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的定义等知识，熟知两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是解题的关键．
（1）根据角平分线的性质得，依据得，等量代换即可得出结论；
（2）①过点C作，根据平行线的性质得，根据平行公理得，得出，利用等量代换即可得出结论；②分点D在点C左侧时和在右侧两种情况讨论，根据平行线的性质及三角形外角性质即可得出答案．
【详解】（1）的平分线交于点C
，
，
，
；
（2）①，理由如下：
过点C作，
，
，
，
，
，
，
②当点D在点C左侧时，如图所示：
平分，
，
，
，，
的平分线交于点F，
，
，
；
当点D在点C右侧时，如图所示：
平分，
，
，
，，
的平分线交于点F，
，
，
．2023~2024学年第二学期七年级期中学业诊断
数学
（考试时间：上午8：00—9：30）
说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟．
一、选择题（本大题共10个小题）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1. 计算的结果是（ ）
A. 2024 B. 1 C. D. 0
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，其中秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，将一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，此时，得到此结论的依据是（ ）
A. 同角余角相等 B. 同角的补角相等
C. 等角的余角相等 D. 等角的补角相等
7. 甲醇燃料是经严格科学工艺调配制成的一种新型清洁燃料，对缓解环境污染和气候变化问题具有积极作用．甲醇的质量约为，将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
8. 通过两种不同方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（ ）
A. B.
C. D.
9. 在后稷故里稷山县，有个流传三千多年的独特年俗，就是除夕日农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10. 在数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”中，前30米为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．小斌某次百米赛时其速度与路程之间的关系如图所示．根据图象，运用数学模型分析下列说法不正确的是( )
A. 第15米时小斌的速度是 B. 加速期结束时小斌的速度最大
C. 中途期小斌的速度先增大后减小 D. 冲刺期，小斌的速度增加至最大
二、填空题（本大题共5个小题）将答案填写在答题卡的相应位置的横线上．
11. 计算3-2的结果是_________
12. 如图，已知直线与相交于点O，若，则的度数为______．
13. 若，，则___________．
14. 把一些相同规格的杯子按如图方式整齐地叠放成一摞，6只杯子叠放的总高度为，一只杯子的高度为，这种杯子叠放在一起的总高度与杯子数量x（只）之间的关系式为______．
15. 计算结果的个位数字为______．
三、解答题（本大题共8个小题）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
17. 太原北齐壁画博物馆于2023年12月20日正式对外开放，这是全国首座原址建设的壁画专题博物馆．周末聪聪和家人一起驾车从家出发去北齐壁画博物馆，在馆内参观了1个小时，随后驾车去姑妈家．如图折线表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系．根据图象解答下列问题：
　
（1）上述过程中，自变量______，因变量是______；
（2）聪聪家与博物馆的距离是______千米，博物馆到姑妈家的距离是______千米；
（3）求聪聪一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）．
18. 已知：射线，垂足为点O，点C是射线上一点．
求作：直线，使．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
结论：
19. 下面是两位同学进行整式运算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
化简：．
小颖的方法： 解：原式①　 ② ． 小明的方法 解：原式 …
任务一：仔细检查小颖同学解题的过程，回答下列问题．
（1）第①处用到的乘法公式是______；（用字母表示公式）
（2）第②处错误的原因是______；
任务二：
（3）小明逆用乘法对加法的分配律，简便了运算，但其过程不完整，请你补全小明的过程．
20. 如图，点E，D，F分别是三角形边，，上的点，，，试判断和的位置关系，并说明理由（写出最后一步的推理依据）．
21. 漏刻是我国古代的一种计时工具，图1是其示意图．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民智慧的结晶．七年一班同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻，如图2，发现水位与时间满足某种确定的关系．下表是记录的部分数据．
… 1 2 3 5 6 7 ______ …
… 3 9 …
根据表格数据解答问题：
（1）水位与时间的关系式为______，当时，______；
（2）根据表中的信息，分析水位与时间的变化规律（写出一个结论即可）．
22. 阅读与思考
下面是小丽同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
两个连续整数平方的平均数与这两个数平均数的平方 两个连续整数平方的平均数与它们平均数的平方之间有什么关系呢？为了弄清这个问题，我选取两个连续整数7和8，进行探究，为表达方便，设它们平方的平均数为M，平均数的平方为N，则，，发现，且．我又取了几组连续整数进行验证，发现的差均为． 为探究结论一般性，我设两个连续整数分别为n和，进行如下验证： ，
任务：
（1）请你按小丽的思路完成结论的验证；
（2）按小丽的思路进一步思考：两个连续偶数平方的平均数与这两个数平均数的平方，它们的差是否也是一个确定的值？若是，请直接写出这个值；若不是，请说明理由．
23. 综合与实践
问题情境：综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1直线，直线l分别交，于点A，B，的平分线交于点C．试判断和的数量关系，并说明理由．
数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；
深入探究：（2）点D是射线上不与A，C重合的一点，过点D作交于点E，连接．
①如图2，当点D在点C右侧时，为探究，与之间的数量关系，小文过点C作，请根据他的思路，写出，与之间的数量关系，并说明理由；
②当，的平分线交于点F，所在直线与直线交于点O，若，直接写出的度数．

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