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2024年春学期九年级第一次学情调查
数学试题
（考试时间：120分钟 满分150分）
注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分；
2．所有试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效；
3．作图题必须用2B铅笔，且加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2024的倒数是（ ）
A． B． C．2024 D．-2024
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示的物体的俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列事件是必然事件的是（ ）
A．没有水分，种子发芽
B．3个人分成两组，有2个人分在一组
C．购买一张彩票，中奖
D．某篮球运动员投篮一次就命中
5．将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ）
A．四边形的面积 B．四边形的面积
C．的面积 D．的面积
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
8．常泰长江大桥为目前在建世界最大跨度公路和铁路两用斜拉桥，大桥全长100300米，将数据100300用科学记数法表示为 ．
9．分解因式： ．
10．命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”）．
11．关于x的一元二次方程的两根之积为 ．
12．如图是甲、乙两组数据的统计图，则较为稳定的数据是 组（填“甲”或“乙”）．
13．如图，是的切线，切点为B，连接交于点C，是的直径，连接，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
14．如图，在中，，，，D是上一点，连接，将沿翻折至处，若恰好经过点C，则的值为 ．
15．一次函数的图像经过点和点，若，则n的取值范围为 ．
16．如图，在矩形中，，，E是线段上一动点，以E为直角顶点在的右侧作等腰三角形，连接，设，当t为整数时，点F位置有 个．
三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
(1)；
(2)解不等式组：．
18．为了解某市九年级学生完成家庭作业时间的情况，随机抽取了部分九年级学生某一天完成家庭作业所用的大致时间（时间记为整数，单位：分钟），并把调查得到的所有数据（时间）进行整理分成五个时间段（A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），绘制成如图所示的统计图．
根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)C组的学生人数为______人，B组在扇形统计图的圆心角为______；
(2)某市九年级学生大约有8500名，请估计全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过90分钟的约有多少人？
(3)根据统计图，下面关于该市抽取的九年级学生完成家庭作业时间的三个推断，正确的是______（填序号）
①中位数一定在C组；②众数一定在C组；③平均数不超过75分钟．
19．清明前夕，某学校举行了扫墓活动，小聪同学收集了A、B、C、D四种纪念卡片（A：杨根思烈士陵园纪念馆；B：泰兴市革命烈士纪念馆；C：新四军黄桥战役纪念馆；D：中安轮遇难烈士纪念馆），这些卡片的背面完全相同．
(1)把这四张卡片背面朝上洗匀后，小聪从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率为______；
(2)把这四张卡片背面朝上洗匀后，小聪从中随机抽取一张，记录后放回洗匀，小明再随机抽取一张．求两人抽到同一张卡片的概率．
20．小颖同学在用描点法画二次函数图象时，列出了下面表格：
x … 0 1 2 3 4 5 …
… 7 4 3 4 7 ■ …
(1)表格中的“■”数据被污染了，求被污染的数据；
(2)张老师针对上面的二次函数提出了这样一个问题：
当时，求函数值y的取值范围．
如下是小颖同学的解答过程：

小颖的解答正确吗？如果正确，请说明理由；如果错误，请直接写出正确的结果．
21．如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时向终点站C出发，甲、乙两车的速度之和为，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．
(1)若甲车的速度为，分别求、与x之间的函数表达式；
(2)若甲车的速度为，甲、乙两车同时到达终点站C，求a的值．
22．如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，，，两个反光镜，直线之间的距离为，．与平行的一束光线经两个反光镜反射后沿射出，其中．（参考值：，，，，，）
(1)当G、A、I三点共线时，求反光镜的长度；（结果保留一位小数）
(2)已知米，求点A到直线的距离．
23．如图，内接于，，，垂足为D．
(1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由；
(2)若，，求的长．
24．如图1，是一张等腰三角形纸片，，小明用该等腰三角形纸片进行折纸探究活动．将过点B所在直线折叠，使得翻折至处，折痕为交于点F．
操作发现：经过若干次操作尝试，小明发现折叠后的可以与平行，如图2；
质疑探究：是否存在一种等腰三角形纸片使得与既平行又相等，小明运用所学过的数学知识通过探究发现这样的等腰三角形是存在的，如图3．
(1)请在操作发现的情形下，证明：；
(2)请在质疑探究的情形下，求的值．
25．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点A、C在反比例函数的图像上，点B、D在反比例函数的图像上，顺次连接这四个点得到四边形．
(1)若对角线、交于点，直线的表达式为，直线的表达式为．
①求证：四边形为平行四边形；
②求的面积；
(2)如图2，四边形为平行四边形，平行于x轴，求、的交点坐标；
(3)如图3，四边形为平行四边形，求证：、相交于点O．
26．【定义呈现】有两个内角分别是它们对角的两倍的四边形叫做倍对角四边形，其中，这两个内角称为倍角．例如：如图1，在四边形中，，，那么我们就叫这个四边形是倍对角四边形，其中，称为倍角．
【定义理解】如图1，四边形是倍对角四边形，且，是倍角．求的度数；
【拓展提升】如图2，四边形是倍对角四边形，且，是倍角，延长、交于点A．在下方作等边三角形，延长、交于点G．若，，，四边形的周长记为．
（1）用的代数式表示；
（2）如图3，把题中的“”条件舍去，其它条件不变．
①求证：；
②探究是否为定值．如果是定值，求这个定值，如果不是，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积等于1的两个数互为倒数即可得到答案．
【详解】解：∵
∴的倒数是，
故选：D．
2．C
【分析】本题主要考查合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键．依据合并同类项法则、单项式乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：A、原式错误，不符合题意；
B、 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
C、该选项正确，符合题意；
D、原式错误，不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上向下看得到的视图，结合选项即可做出判断．
【详解】解：从上向下看，是一个矩形．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查必然事件、随机事件的意义和判定方法，掌握必然事件、随机事件的意义是关键．根据必然事件的意义进行判断即可．
【详解】解：没有水分，种子发芽是不可能的，因此选项A不正确；
3个人分成两组，有2个人分在一组，这是必然事件，因此选项B正确；
购买一张彩票，可能中奖，也可能不中奖，因此选项C不正确；
某篮球运动员投篮一次就命中，这是随机事件，因此选项D不正确；
故选：B．
5．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，正多边形的内角和定理．过点C作与直尺平行，可得，再由正六边形的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作与直尺平行，
∴，
∵多边形为正六边形，
∴，
∴．
故选：C
6．D
【分析】本题考查图形的面积．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n，分别求出组成阴影部分的两个三角形的面积，进而表示出阴影部分的面积，即可判断出与阴影部分面积相同的图形在哪个选项中．
【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n，
∴，
∴
∵，
∴．
故选：D．
7．
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
8．
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，根据科学记数法的书写规则即可．
【详解】解：．
故答案为：．
9．
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
10．假
【分析】举个反例，得出它是错误的即可．
【详解】解：假设，则满足，
但，
因此，这个命题是假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题考查判断命题的真假，掌握举反例得出一个命题为假命题是解题的关键．判断一个命题为真需要经过证明，但判断一个命题为假，只需要找到一个反例即可．
11．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：根据根与系数的关系得方程的两根之积为．
故答案为：．
12．乙
【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可得出答案．
【详解】解：根据统计图可得：乙的成绩波动范围是，甲的成绩波动范围是，乙的成绩波动小，数据更稳定，则两人成绩较为稳定的是乙．
故答案是：乙．
13．##
【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质和扇形面积的计算，由条件可求得的度数，根据切线性质得出，则可求得长，再利用可求得答案．
【详解】解：，
，
是的切线，
，
在中，，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了勾股定理、正切、折叠的性质，熟练掌握正切的定义是解题关键．先根据勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，然后设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据正切的定义求解即可得．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
则，
故答案为：．
15．##
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，将代入得，根据，得出，将代入得，，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：将代入得，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
16．11
【分析】如图，以B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设，过F作，证明，可得，则点F在线段上，再进一步解答可得答案．
【详解】解：如图，以B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系
设，
过F作，
∵矩形，
∴，而，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点F在线段上，
当时，，当时，，
过D作，
此时为等腰直角三角形，
∴，
∴当F在与H之间时，，DF为整数有5、6；
∵矩形，，，
∴；
当F在与H之间时，，
为整数有5、6、7、8、9、10、11、12、13，
∴满足条件的点F共有11个．
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的性质，一次函数的应用，勾股定理的应用，无理数的大小比较，选择合适的方法解题是关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及一元一次不等式组：
（1）先化简再计算即可；
（2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：不等式①的解集为：，
不等式②的解集为：，
不等式组的解集为：．
18．(1)105，108
(2)全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过90分钟的约有7225人．
(3)③
【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数、众数的求法：给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
（1）根据组学生数占被调查人数的，可求出抽查的学生人数，再用样本容量乘可得组的学生人数；用乘组所占比例可得组在扇形统计图的圆心角度数；
（2）用九年级总人数乘样本中一天做家庭作业所用时间不超过90分钟所占百分比可得答案；
（3）根据中位数、众数和平均数的定义可得答案．
【详解】（1）解：由题意可知，样本容量为：，
组的学生人数为：（人；
组在扇形统计图的圆心角为：，
故答案为：105，108；
（2）样本中一天做家庭作业所用时间不超过90分钟所占比例为：，
（人，
答：全市九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过90分钟的约有7225人；
（3）由题意可知，中位数在组用时最多的一个学生和组用时最小的一个学生的平均数，故①说法错误；
众数是出现次数最多的数，因此不能确定众数所在的组是哪一组，故②说法错误；
因为大多数人一天做家庭作业所用时间不超过75分钟，可推断平均数不超过75分钟，故③说法正确．
故答案为：③．
19．(1)
(2)
【分析】此题考查了概率公式和用树状图或列表法求概率，读懂题意，准确计算是解题的关键．
（1）利用概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，用满足题意的情况数除以所有等可能情况数即可．
【详解】（1）解：把这四张卡片背面朝上洗匀后，小聪从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率为；
故答案为：
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能结果，其中两人抽到同一张卡片的情况共4种，
∴两人抽到同一张卡片的概率．
20．(1)12．
(2)不正确；
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求函数值，二次函数的性质；
（1）由待定系数法求出函数解析式，求出当时的函数值，即是被污染的数据；
（2）解答不正确；考虑对称轴，当时，函数值随自变量的增大而减小，当时，函数值随自变量的增大而增大，从而最后可确定函数值y的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得： ，
即函数解析式为：，
当时，；
故被污染的数据为12；
（2）解：小颖的解答不正确；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，函数取得最小值3；
当时，函数值随自变量的增大而减小，
当时，，此时；
当时，函数值随自变量的增大而增大，
当时，，此时；
综上，当时，．
21．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了列函数关系式，分式方程的应用：
（1）根据题意可得甲车的速度为，乙车的速度为，再由路程等于速度乘以时间，即可求解；
（2）根据两车到达终点站C所用时间相同，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵甲、乙两车的速度之和为，甲车的速度为，
∴乙车的速度为，
∴，
，
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴a的值为．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
（1）过K作，垂足为S，求出，由得，解可求出；
（2）由平行线的性质，解可求出
【详解】（1）解：过K作，垂足为S，
∵，，
∴，，
由题意：，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴．
答：反光镜的长度约为．
（2）解：过A作，垂足为T，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴．
答：点A到直线的距离为．
23．(1)图见解析，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理：
（1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
（2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出
【详解】（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点．
理由：连接，
∵，
∴
又，
∴
∴
又∵，
∴垂直平分，
由垂径定理：点P是的中点，
∴平分．
（2）解：过点O作，垂足为H，
∵是等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∵
∴，
∴
又
∴
∴．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，解直角三角形的计算，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由折叠可得，由可得，从而得出，再证明，再由相似三角形的性质可得结果；
（2）过点A作，垂足为H，先证明四边形是平行四边形，可得，设，，则，再列出方程，即可求解．
【详解】（1）证明：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（2）解：过点A作，垂足为H，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，，则，
由（1）得：，
解得：（舍去），，
∴，，
∵，，
∴，
∴．
25．(1)①见解析；②
(2)
(3)见解析
【分析】（1）①将函数与联立方程组可求出，，同法求得：，；方法一：过点A作轴，过点作轴，垂足分别为M、N，由可判定，由全等三角形的性质得，同理可证：，即可求证；方法二：由勾股定理得，同理可求： ，，即可求证； ②过点作轴交于，由
可求，再由即可求解；
（2）由平行四边形的性质得，，设，，，；方法一：由平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征得，可求 ，由待定系数法求得的表达式为：，其函数图像经过原点，BD的表达式为：，其函数图像也经过原点，即可求解；方法二 ：待定系数法求得的表达式为：，的表达式为：，联立方程组解得：，同方法一求得：，即可求解；
（3）过作轴，过作轴，交于，过作轴，过作轴，交于，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，设，，，，由平行坐标轴直线上两点的距离得，，可求出，，再由待定系数法求出和的解析式即可求解．
【详解】（1）解：①将函数与联立方程组得
，
解得，，
，，
同法求得：，；
方法一：过点A作轴，过点作轴，垂足分别为M、N，
，
，
在和中，
，
()，
∴，
同理可证：，
∴四边形为平行四边形．
方法二：
，
同理可求： ，
，
四边形为平行四边形．
②如图，过点作轴交于，
，
．
（2）解：四边形为平行四边形，平行于x轴，
，，
可设，，，；
方法一： ，
，
，
，
，
，
，
，，，，
设直线的表达式为：，则有
，
解得，
直线的表达式为：，其函数图像经过原点，
同理：直线BD的表达式为：，其函数图像也经过原点．
、的交点坐标为．
方法二：设的表达式为：，则有
，
解得，
的表达式为：，
同理可求：的表达式为：，
联立方程组得：，
，，
，
同方法一求得：，
、的交点坐标为．
（3）解：如图，过作轴，过作轴，交于，过作轴，过作轴，交于，连接，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
()，
，
，
设，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，，，
同理可求的解析式为：，其函数图像经过原点，
的解析式为：，其函数图像经过原点，
、的交点坐标为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，待定系数法，全等三角形的判定及性质，正比例函数的性质；掌握相关的判定方法及性质，能巧用辅助未知数求解是解题的关键．
26．定义理解：；拓展提升：（1）；（2）①见解析；②是定值，
【分析】定义理解：由倍对角四边形的定义，结合四边形内角和可以推出的度数；
（1）方法一：根据倍对角四边形的定义，结合等腰三角形的性质，四边形内角和证明出是等边三角形，再证和是等边三角形，从而得到,
，从而表示出；
方法二：延长、交于点H，证、是等边三角形，再证也是等边三角形，从而变出从而表示出；
（2）①由定义理解，可知，，结合为等边三角形，可以知道，，再结合是的外角，可以得到
，得证；
②延长、交于点H，可证，结合，可以得到，从而证明出和相似，根据相似三角形对应边成比例，得到，从而算出定值．
【详解】定义理解：
解：，
又，，
，
，
．
（1）方法一：，
，
又四边形BDEC是倍对角四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，是倍角，
，
，
是等边三角形，
，
，
等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
方法二：延长、交于点H，易证、是等边三角形，
，，
也是等边三角形，
，
．
（2）①∵四边形BDEC是倍对角四边形，，
，
等边三角形，
，
，
，，
又，
，
．
②延长、交于点H，同①可证：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了倍对角四边形的定义，四边形的内角和公式，等边三角形的证明与性质，等角对等边，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键．

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