资源简介

2.2 基本不等式(精讲)
考点一 基本不等式求最值
【例1-1】(1)(2021·湖南邵阳市)若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为( )
A． B． C． D．
(2)(2021·六安市裕安区新安中学)已知，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【例1-2】(1)(2021·北京高一其他模拟)若，则函数的最小值为______．
(2)(2021·云南文山壮族苗族自治州)已知，函数的最小值为( )
A．4 B．7 C．2 D．8
【例1-3】(1)(2021·上海市大同中学)设、为正数，且，则的最小值为_______.
(2)(2021·河北石家庄市)已知，且，则的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．9
【例1-4】(2021·永丰县永丰中学高一期末)函数()的最小值为( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy( )
A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为
2．(2021·山西晋中市·高一期末)已知，，且，则ab的最大值为( )
A． B．4 C． D．2
3.(2021·苏州市苏州高新区第一中学高一月考)若，则( )
A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为
4．(2021·北京师范大学万宁附属中学)当时，取得最小值时x的值为( )
A．0 B． C．3 D．2
5．(2021·安徽省泗县第一中学)函数的最小值为( )
A． B． C． D．
6．(2021·北京师范大学万宁附属中学)已知，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
7．(2021·苏州市第五中学校高一月考)正实数，满足：，则当取最小值时，____.
8．(2021·浙江高一期末)若正数x，y满足，则的最小值是__________．
9．(2021·全国高一课时练习)函数的最小值是___________.
10．(2020·河北联邦国际学校高一月考)已知，则 的最大值是
11．(2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)函数的最小值是
考点二 利用基本不等式求参数
【例2】(1)(2021·北京东直门中学)若对任意的都有，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·浙江高一期末)，，且，不等式恒成立，则的范围为_______.
【一隅三反】
1．(2021·广东深圳市)已知，若不等式恒成立，则的最大值为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
2．(2021·江苏苏州市)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．(2021·临澧县第一中学)已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
4．(2021·浙江)当时，不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A． B． C． D．
考点三 利用基本不等式比较大小
【例3】2021·全国高一课时练习)已知都是正数，且.
求证：(1)；(2).
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)设，求证：.
2．(2021·全国高一课时练习)已知：、是正实数，求证：.
3.(2021·长沙市南雅中学)已知，，，求证：
(1)；(2).
4．(2021·湖南)已知，.
(1)求证：；
(2)若，，，求证：.
考点四 基本不等式的概念理解
【例4】(1)(2021·广东深圳市)(多选)下列结论不正确的是( )
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是
D．设，，且，则的最小值是
(2)(2021·江苏南通市)(多选)当，时，下列不等式中恒成立的有( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·淮安市阳光学校)(多选)下列判断正确的有( )
A． B．
C． D．
2．(2021·江苏常州市)(多选)设正实数、满足，则( )
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最大值
3．(2021·全国高一课时练习)(多选)已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
4．(2020·江苏镇江市·高一月考)(多选)已知、、．若，则( )
A． B． C． D．
5．(2021·辽宁大连市)(多选)已知正数，，则下列不等式中恒成立的是( )
A． B．
C． D．
6．(2021·山东高一期中)(多选)若，则下列不等式中正确的是( )
A． B．
C． D．
考点五 实际生活中的基本不等式
【例5】(2021·广东东莞市·高一期末)2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为( )
A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元
【一隅三反】
1．(2021·南京市秦淮中学)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为( )
A．60万元 B．160万元 C．200万元 D．240万元
2．(2021·吉林延边朝鲜族自治州·高一期末)某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为( )
A． B． C． D．
3．(2021·安徽淮南市·高一期末)建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为 ( )
A．1120元 B．1280元 C．1760元 D．1960元
(2021·安徽宿州市·高一期末)某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年次进货，每次购买件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费+库存费)最低，则每年进货次数为________________.
答案与解析
2.2 基本不等式(精讲)
考点一 基本不等式求最值
【例1-1】(1)(2021·湖南邵阳市)若正实数x，y满足2x+y=1.则xy的最大值为( )
A． B． C． D．
(2)(2021·六安市裕安区新安中学)已知，则的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】(1)B(2)D
【解析】(1)当且仅当时取等号，
即xy的最大值为故选：B
(2)因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
所以，整理得，即.
所以的最大值为.故选：D.
【例1-2】(1)(2021·北京高一其他模拟)若，则函数的最小值为______．
(2)(2021·云南文山壮族苗族自治州)已知，函数的最小值为( )
A．4 B．7 C．2 D．8
【答案】(1)5(2)B
【解析】(1)因为，则函数，当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值5．故答案为：5.
(2)因为，所以，
当且仅当即时取等号，所以的最小值为7.故选：B
【例1-3】(1)(2021·上海市大同中学)设、为正数，且，则的最小值为_______.
(2)(2021·河北石家庄市)已知，且，则的最小值是( )
A．4 B．5 C．6 D．9
【答案】(1)4(2)B
【解析】(1)因为、为正数，且，
所以,
当且仅当a=b=1时取等号即的最小值为4.故答案为：4
(2)由，得，
所以，
当且仅当，取等号.故选：B.
【例1-4】(2021·永丰县永丰中学高一期末)函数()的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数()的最小值为，故选：B
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy( )
A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为
【答案】C
【解析】，，且，(1)，
当且仅当，即，时，取等号，故的最大值是：，故选：．
2．(2021·山西晋中市·高一期末)已知，，且，则ab的最大值为( )
A． B．4 C． D．2
【答案】D
【解析】， (当且仅当时取等号)
，解得：，即的最大值为故选
3.(2021·苏州市苏州高新区第一中学高一月考)若，则( )
A．有最小值，且最小值为 B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为
【答案】D
【解析】,当且仅当取“=”所以故选：D
4．(2021·北京师范大学万宁附属中学)当时，取得最小值时x的值为( )
A．0 B． C．3 D．2
【答案】D
【解析】因为，所以，
当且仅当 即时等号成立，所以取得最小值时x的值为2.故选：D.
5．(2021·安徽省泗县第一中学)函数的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：A．
6．(2021·北京师范大学万宁附属中学)已知，，则的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当即，时，有最小值.故选：B.
7．(2021·苏州市第五中学校高一月考)正实数，满足：，则当取最小值时，____.
【答案】
【解析】，
，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：．
8．(2021·浙江高一期末)若正数x，y满足，则的最小值是__________．
【答案】5
【解析】由条件，两边同时除以，得到，
那么
等号成立的条件是，即，即.
所以的最小值是5，
故答案为： 5 ．
9．(2021·全国高一课时练习)函数的最小值是___________.
【答案】4
【解析】令，则，当且仅当，即时，.
所以函数的最小值是4.故答案为：4
10．(2020·河北联邦国际学校高一月考)已知，则 的最大值是
【答案】-1
【解析】
，，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最大值为
11．(2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)函数的最小值是
【答案】
【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.选：D.
考点二 利用基本不等式求参数
【例2】(1)(2021·北京东直门中学)若对任意的都有，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·浙江高一期末)，，且，不等式恒成立，则的范围为_______.
【答案】(1)A(2)
【解析】因为，则，当且仅当，即x=1时等号成立，所以，
故选：A
(2)解：因为，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
因为不等式恒成立，所以小于等于最小值，所以，
故答案为：
【一隅三反】
1．(2021·广东深圳市)已知，若不等式恒成立，则的最大值为( )
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以恒成立，只需
因为，
所以，
当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D
2．(2021·江苏苏州市)当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
，
当且仅当，即时等号成立，.故选：D.
3．(2021·临澧县第一中学)已知，且，若恒成立，则正实数的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】因为，恒成立，即
所以，即，
又，所以
所以，所以，
所以正实数的最小值为2．故选：A．
4．(2021·浙江)当时，不等式恒成立，则实数的最大值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不等式恒成立化为恒成立，
因为，所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立.
所以，所以的最大值为.
故选：C
考点三 利用基本不等式比较大小
【例3】2021·全国高一课时练习)已知都是正数，且.
求证：(1)；(2).
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)，，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
(2)，，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)设，求证：.
【答案】证明见解析；
【解析】证明：因为，所以，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
故不等式得证.
2．(2021·全国高一课时练习)已知：、是正实数，求证：.
【答案】见解析.
【解析】由基本不等式得出，，
上述两个不等式当且仅当时，等号成立，
由同向不等式的可加性得，即.
3.(2021·长沙市南雅中学)已知，，，求证：
(1)；(2).
【答案】证明见解析.
【解析】证明：(1)因为且，(当且仅当时取等号)，即，所以，
又，
所以；
(2)因为，
所以
，
当且仅当时，等号成立， 所以.
4．(2021·湖南)已知，.
(1)求证：；
(2)若，，，求证：.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)，
当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立；
(2)由条件有，且，，
又
，
当且仅当，即时等号成立，
此时由得，，即证．
考点四 基本不等式的概念理解
【例4】(1)(2021·广东深圳市)(多选)下列结论不正确的是( )
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是
D．设，，且，则的最小值是
(2)(2021·江苏南通市)(多选)当，时，下列不等式中恒成立的有( )
A． B． C． D．
【答案】(1)BC(2)ABD
【解析】(1)A. 当时，，当且仅当，即时等号成立，A正确；
B. 当时，，当且仅当时等号成立，但无实解，故最小值2取不到，B错；
C. 当时，，最小值显然不是正值，C错；
D. 设，，且，则，当且仅当，即时等号成立，D正确． 故选：BC
(2)对于A，当且仅当时取等号，正确.
对于B，，当且仅当时取等号，正确.
对于C，，当且仅当时取等号，错误.
对于D，，当且仅当时取等号，正确.
故选：ABD
【一隅三反】
1．(2021·淮安市阳光学校)(多选)下列判断正确的有( )
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】选项A中，时，，时，，故错误；
选项B中，时，，故，故正确；
选项C中，时，则，当且仅当时，即时取等号，故错误；
选项D中，时，则，当且仅当时取等号，故知等号取不到，但是正确的.
故选：BD.
2．(2021·江苏常州市)(多选)设正实数、满足，则( )
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最大值
【答案】ACD
【解析】设正实数、满足.
对于A选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，由基本不等式可得
，
当且仅当时，等号成立，B选项错误；
对于C选项，，
当且仅当时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，，则，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：ACD.
3．(2021·全国高一课时练习)(多选)已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；
对于C，，当且仅当时取等号；
对于D，当，时，，，，
所以.
故选AD.
4．(2020·江苏镇江市·高一月考)(多选)已知、、．若，则( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】对于A选项，，，，A选项正确；
对于B选项，，，，即，B选项错误；
对于C选项，因为，由基本不等式可得，，C选项正确；
对于D选项，，，可得，D选项错误.
故选：AC.
5．(2021·辽宁大连市)(多选)已知正数，，则下列不等式中恒成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】对A，，，当且仅当时等号成立，故A正确；
对B，，，当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，，即，故C错误；
对D，，，，即，当且仅当时等号成立，故D错误.故选：AB.
6．(2021·山东高一期中)(多选)若，则下列不等式中正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，选项A成立；
取，则，此时，选项B错误；
由基本不等式可知：，当且仅当时等号成立，选项C成立；
，当且仅当时等号成立，选项D成立；
故选：ACD.
考点五 实际生活中的基本不等式
【例5】(2021·广东东莞市·高一期末)2020年7月，东莞市松山湖科学城获得国家发改委、科技部批复，成为粤港澳大湾区综合性国家科学中心.已知科学城某企业计划建造一间长方体实验室，其体积为1200，高为3m.如果地面每平方米的造价为150元，墙壁每平方米的造价为200元，房顶每平方米的造价为300元，则实验室总造价的最小值为( )
A．204000元 B．228000元 C．234500元 D．297000元
【答案】B
【解析】设实验室总造价为元，实验室地面的长为，则宽为，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立.
故当实验室地面的长为，宽为时，实验室总造价取得最小值228000元.故选：B.
【一隅三反】
1．(2021·南京市秦淮中学)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为( )
A．60万元 B．160万元 C．200万元 D．240万元
【答案】D
【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用和为：
(万元)，
当且仅当“”即“”时取等号.故选：D .
2．(2021·吉林延边朝鲜族自治州·高一期末)某人决定自驾汽车匀速自驾游，全段路程，速度不能超过，而汽车每小时的运输成本为元，则当全程运输成本最小时，汽车的行驶速度为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，汽车全程运输成本
，当且仅当时，即时等号成立，
又因为，所以当汽车的行驶速度为时，全程运输成本最小.
故选：C.
3．(2021·安徽淮南市·高一期末)建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，若池底的造价为每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，则这个水池的最低造价为 ( )
A．1120元 B．1280元 C．1760元 D．1960元
【答案】C
【解析】容积是，深，
底面积为，
设长，则宽，无盖长方体水池有一个底面和四个侧面
侧面面积为
造价，
当且仅当：，即时取等号．
故选：C
4．(2021·安徽宿州市·高一期末)某电商自营店，其主打商品每年需要6000件，每年次进货，每次购买件，每次购买商品需手续费300元，已购进未卖出的商品要付库存费，可认为平均库存量为，每件商品库存费是每年10元，则要使总费用(手续费+库存费)最低，则每年进货次数为________________.
【答案】10
【解析】由题可得，每年的手续费为元，库存费为元，
则总费用为，
，，
当且仅当，即时，总费用最低为6000元.
故答案为：10.

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