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2024年初中毕业、升学模拟考试试卷
数学
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的绝对值是（　　）
A. 2 B. C. D.
2. 如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（ ）
A. B. C. D.
3. 据《2023年南通市国民经济和社会发展统计公报》可知：2023年末全市常住人口774.9万人，比上年末增加0.5万人．数据“774.9万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ）
A B.
C. D.
7. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图，无人机在处测得正前方河流的点处的俯角，点处的俯角，点，，在同一条水平直线上.若，，则河流的宽度为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（ ）
A. B. C. D.
10. 定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
12. 分解因式：___．
13. 如图，与是以点O为位似中心位似图形，，若，则__________．
14. 以的速度将小球沿与地面成度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位）与飞行时间（单位）之间具有函数关系：，那么球从飞出到落地要用的时间是________．
15. 如图，在矩形中，．动点E，F分别从点D，B同时出发，以相同的速度分别沿向终点A，C移动．当四边形为菱形时，的长为__________．
16. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于__________．
17. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________．
18. 如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20. 如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21. 小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小李购买门票在A区观赛概率为_________；
（2）请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率．
22. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7.9 m n 7
乙 7.9 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：__________，__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
23. 如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
24. 已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地．
（1）求甲的速度；
（2）请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象；
（3）当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值．
25. 在中，，，点D为边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线的对称点E．
（1）小明给出了下面框中的作法：
小明的作法 如图1，分别以B，D为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E．所以，点E就是所求作的点．
请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由；
（2）当点E在边上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接，并求出的长；
（3）连接，当为直角三角形时，求的正切值．
26. 在二次函数的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足．
（1）求p值；
（2）记时二次函数的最大值为，最小值为．若，求的取值范围；
（3）连接．当时，作，垂足为点是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由．2024年初中毕业、升学模拟考试试卷
数学
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共8页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 的绝对值是（　　）
A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．据此即可解答．
【详解】解：的绝对值是2，
故选：A．
2. 如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的主视图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．主视图即从正面看几何体，据此解题即可．
【详解】解：从正面看榫的主视图为：
故选：B．
3. 据《2023年南通市国民经济和社会发展统计公报》可知：2023年末全市常住人口774.9万人，比上年末增加0.5万人．数据“774.9万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“774.9万”用科学记数法表示为，
故选：C．
4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．根据图示，可得，，判断出、的取值范围，把，，，按照从小到大的顺序排列即可．
【详解】解：根据图示，可得，，
，，
．
故选：D．
5. 如图，，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行的性质，根据邻补角的定义得到，再由平行的性质得到是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故选C．
6. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景．分别将图①和图②中阴影部分的面积表示出来，二者相等即可得到答案．
【详解】解：图①中阴影部分的面积为，
图②中阴影部分的面积为，
．
故选：D．
7. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度.如图，无人机在处测得正前方河流的点处的俯角，点处的俯角，点，，在同一条水平直线上.若，，则河流的宽度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟记俯角的含义是解本题的关键，在中，利用可得，然后在等腰直角三角形中，利用即可求解.
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴为等腰直角三角形，
∴，
故选：A
8. 如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解．
【详解】解：如图，
∵AB为⊙O的直径，P在上，
∴∠APB=90°，
∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，
∴∠BPQ=25°，
∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，
∵点C、D将分成相等的三段弧，
∴，
∴∠BOD=，
∵∠BOQ<∠BOD，
∴Q在上，
故选D．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键．
9. 如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解，
本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边．
【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接，
设正方形边长为，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴平行于，
∴，，，，
在中，，即：，解得：，（舍），
故选：D．
10. 定义：在平面直角坐标系中，若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M，N两点（点M在点N的左侧），则把的值称为直线l和双曲线m的“适配比”．已知经过点的直线与双曲线的“适配比”不大于2，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．先求出直线解析式，与反比例函数解析式联立方程组确定、的横坐标，利用平行线得到、的代数式，根据条件进行判断即可．
【详解】解：在图象上，
，
，
令，
，
△，
与有两个交点，
，
，
，
，
点的横坐标为，点的横坐标为，
作于点，作轴于点，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，第11—12题每小题3分，第13—18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
12. 分解因式：___．
【答案】
【解析】
【详解】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
13. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，，若，则__________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
14. 以的速度将小球沿与地面成度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位）与飞行时间（单位）之间具有函数关系：，那么球从飞出到落地要用的时间是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数关系式，当h=0时，0=20t-5t2，解方程即可解答．
【详解】当h=0时，0=20t-5t2，
解得：t1=0，t2=4，
则小球从飞出到落地需要4s．
故答案为4s．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
15. 如图，在矩形中，．动点E，F分别从点D，B同时出发，以相同的速度分别沿向终点A，C移动．当四边形为菱形时，的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 设菱形的边长为x，则，在中，利用勾股定理可得x值，根据面积法可求长．
详解】解：如图，连接，
∵矩形，，
∴，，
∴，
设菱形的边长为x，则，，
在中，利用勾股定理可得
∴，
解得，
根据菱形的面积可得，
解得：．
故答案为．
16. 图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字的变化类，根据题意列出等式，即可求得答案，解答本题的关键是理解题意，准确进行计算．
【详解】解：由题可得：，
∴，
故答案为：．
17. 若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到结合不等式组的解集可得答案，
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是解题的关键．
【详解】解：，解得：，
∵不等式组无解，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在四边形中，，点M和点N分别是和的中点，和的延长线交于点P，则面积的最大值等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形面积问题，根据题意列二次函数求最值，先根据中位线问题得到三角形面积的关系，然后根据四边形面积列出二次函数，即可求得最值，准确找到三角形面积与四边形面积之间的关系是解题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
又点M是的中点，
∴，
∵点N是的中点，
∴，
∴
，
设，边长，
∵，
则，
∵，
∴，
则，
当时，取得最大值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题主要考查零次幂、负指数幂、实数的运算及分式的化简运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；
（1）根据零次幂、负指数幂及实数的运算可进行求解；
（2）根据分式的运算先化简，然后再代值求解即可
详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
当时，原式．
20. 如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，得，而，，即可根据“”证明，则；
（2）由全等三角形的性质得，而，则．
【小问1详解】
证明：，
，
，
在和中，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得，
，
，
，
的度数是．
21. 小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小李购买门票在A区观赛的概率为_________；
（2）请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率．
【答案】（1）
（2）图见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键；
（1）直接根据概率公式可进行求解；
（2）根据树状图可求解概率．
【小问1详解】
解：由题意得：小李购买门票在A区观赛的概率为；
故答案为；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，
其中小李和小张在同一区域观看比赛（记为事件A）的结果有4种，
∴小李和小张在同一区域观看比赛的概率为．
22. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7.9 m n 7
乙 7.9 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：__________，__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
【答案】（1）8，9，＜
（2）小刘应选择甲公司，理由见解析
（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数和方差的概念即可解答；
（2）综合分析表中的统计量，即可解答；
（3）根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一．
本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键．
【小问1详解】
解：将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为，即，
其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即，
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，
从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，
即；
故答案为：8，9，．
【小问2详解】
解：小刘应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好，
服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．
【小问3详解】
解：∵根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势，
∴除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一）．
23. 如图，是的直径，点C，D是上异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据，得出．根据平分，得出，则．根据得出，进而得出，即可求证；
（3）连接，过点O作于点F，通过证明为等边三角形，得出，．求出．最后根据即可求解．
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：连接，过点O作于点F，
∵，
∴．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，求扇形面积，解题的关键是掌握经过半径外端切垂直于半径的直线是圆的切线；扇形面积公式．
24. 已知A，B两地相距．甲由A地出发骑自行车前往B地，其与B地的距离y（单位：）与出发后所用时间x（单位：h）之间的关系如图所示；乙由A地出发以的速度驾车前往B地．
（1）求甲的速度；
（2）请直接写出乙与B地的距离y（单位：）与甲出发后所用时间x（单位：h）之间的函数关系式，并在图中画出函数图象；
（3）当乙在行驶途中与甲相距时，请求出x的值．
【答案】（1）
（2），图见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的实际应用：
（1）根据图中数据，利用路程、时间、速度之间的关系可得答案；
（2）先计算出乙的行驶时间，分和两段，利用待定系数法求出解析式，再描点作图即可；
（3）同（2）求出甲与B地的距离与之间的关系式，分相遇前、相遇后两种情况，分别求解即可．
【小问1详解】
解：甲的速度为；
【小问2详解】
解：由题意知，乙的行驶时间为：，
，
当时，乙与B地的距离，
当时，设，
将，代入，得：，
解得，
当时，
综上可知，，
函数图象如下：
【小问3详解】
解：同（2）可得，甲与B地的距离与之间的关系式为：，
令，即时，乙追上了甲．
乙在行驶途中与甲相距时，分两种情况：
①相遇前：，令，解得，
②相遇后：，令，解得．
综上，x的值为或．
25. 在中，，，点D为边上的一个动点（不与点A，C重合），作点C关于直线的对称点E．
（1）小明给出了下面框中的作法：
小明的作法 如图1，分别以B，D为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E．所以，点E就是所求作的点．
请判断小明给出的作法是否符合题目要求，并说明理由；
（2）当点E在边上时，请用无刻度直尺和圆规在图2中作出点D，E（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹），连接，并求出的长；
（3）连接，当为直角三角形时，求的正切值．
【答案】（1）符合题目要求，理由见解析
（2）图见解析，
（3）或
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的判定，角平分线的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，根据题意作出图形是解决问题的关键．
（1）根据垂直平分线的判定即可求解；
（2）作的角平分线，交于点D；以点B为圆心，以为半径作弧，交于点E；再根据角平分线的性质及勾股定理解直角三角形即可求解；
（3）分三种情况：若，若，若，分别作出图形，解直角三角形即可求解．
【小问1详解】
解：符合题目要求．
理由：如图，连接，，．
由作法可知，．
∴点B，D均在的垂直平分线上．
∴垂直平分．
∴点C和点E关于直线对称．
【小问2详解】
如图，作的角平分线，交于点D；
以点B为圆心，以为半径作弧，交于点E；
∴点D，点E即为所求作的点．
∵，，，
∴．
∵点C和点E关于直线对称．
∴垂直平分，
∴，，
∴．
∴，即．
∴；
【小问3详解】
① 若，
如图，作于点H，得矩形．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
② 若，
如图，作于点H，
又∵，
∴．
∵，
∴，．
∴
∴．
又∵，
∴．
∴．
若，不符合题意，舍去．
综上，的正切值为或．
26. 在二次函数的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足．
（1）求p的值；
（2）记时二次函数最大值为，最小值为．若，求的取值范围；
（3）连接．当时，作，垂足为点是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在最大值，
【解析】
【分析】对于（1），将点P的坐标代入关系式，再根据点的位置得出答案；
对于（2），先设点A，B的坐标，进而求出a的取值范围，再结合二次函数图象的性质分段判断求出最值的差，即可得出答案；
对于（3），先设点A，B的坐标，并作出辅助线，再根据正切值相等得出关于a，b的等式，然后求出直线的关系式，可得直线恒过某一点，再根据三角形边角关系得出答案．
【小问1详解】
把点代入，
得，
解得或0.
又∵点P在第二象限，，
∴；
【小问2详解】
由题意得，点A和点B的坐标分别是和，
且，即．
①当时，，，，
∴．
②当时，，，，
∴．
③当时，，，，
∴．
综上，的取值范围为．
【小问3详解】
如图，设，，
过点P作直线轴，作直线l于点C，作直线l于点D，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
化简得．
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线解析式为．
∵当时，恒有，
∴直线过定点．
当点H和Q不重合时，，
∴当取得最大值时，点H和Q重合．
此时，．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求一次函数关系式，锐角三角函数，二次函数图象的性质，构造辅助线是解题的前提，注意多种情况讨论．

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