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2024济南市中考数学高频考点训练 之 填空题部分(共30小题)
一、济南市中考数学填空题高频考点列表 :
济南市中考数学填空题高频考点一览表
考点一、因式分解
考点二、简单概率问题
考点三、分式方程
考点四、一元一次方程、一元二次方程的根的情况
考点五、正多边形与扇形
考点六、一次函数图像的应用
考点七、反比例函数图像与性质
考点八、几何图形综合压轴
考点九、新定义与新概念、规律性题目
二、济南市中考数学填空题高频考点训练
考点一、因式分解
(2023·山东济南·中考真题)
因式分解: =__________.
2 .(2022·山东济南·中考真题)
因式分解: .
3 .(2021·山东济南·中考真题)
因式分解:
考点二、简单概率问题
1.(2023·山东济南·中考真题)
围棋起源于中国,棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子,
每个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,摸到黑色棋子的概率是,
则盒子中棋子的总个数是_________.
2 .(2022·山东济南·中考真题)
如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机的停留在某块方砖上,
那么它最终停留在阴影区域的概率是 .
3.(2021·山东济南·中考真题)
如图,在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面投掷飞镖,
则飞镖落在黑色区域的概率是 .
考点三、分式方程
1.(2022·山东济南·中考真题)
代数式与代数式的值相等,则x= .
2 .(2020·山东济南·中考真题)
代数式与代数式的值相等,则x= .
3.(2024·山东济南·中考一模)
若代数式和的值相等,则x= .
考点四、一元一次方程、一元二次方程的根的情况
1.(2023·山东济南·中考真题)
关于的一元二次方程有实数根,则的值可以是_________(写出一个即可).
2 .(2022·山东济南·中考真题)
利用图形的分、和、移、补探索图形关系,是我国传统数学的一种重要方法.
如图1,BD是矩形ABCD的对角线,将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形,
然后按图2重新摆放,观察两图,若a=4,b=2,则矩形ABCD的面积是 .
3 .(2021·山东济南·中考真题)
关于的一元二次方程的一个根是2,则另一个根是 .
4 .(2020·山东济南·中考真题)
如图,在一块长15m、宽10m的矩形空地上,修建两条同样宽的相互垂直的道路,
剩余分栽种花草,要使绿化面积为126m2,则修建的路宽应为 米.
5.(2019·山东济南·中考真题)
代数式与代数式的和为4,则 .
考点五、正多边形与扇形
1.(2023·山东济南·中考真题)
如图,正五边形的边长为,以为圆心,以为半径作弧,
则阴影部分的面积为_________(结果保留).
2 .(2021·山东济南·中考真题)
如图,正方形的边在正五边形的边上,则 .
3.(2020·山东济南·中考真题)
如图,在正六边形ABCDEF中,分别以C,F为圆心,以边长为半径作弧,
图中阴影部分的面积为24π,则正六边形的边长为 .
4.(2024·山东济南·中考一模)
一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是 .
考点六、一次函数图像的应用
1.(2023·山东济南·中考真题)
学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,
两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.
如图所示,和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系,
则出发__________h后两人相遇.
2 .(2021·山东济南·中考真题)
漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载,西周时期就已经出现了漏刻,
这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.
小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型,
研究中发现水位是时间的一次函数,下表是小明记录的部分数据,
其中有一个的值记录错误,请排除后利用正确的数据确定当为时,
对应的时间为 .
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …
3.(2019·山东济南·中考真题)
某市为提倡居民节约用水,自今年1月1日起调整居民用水价格.
图中、分别表示去年、今年水费(元)与用水量()之间的关系.
小雨家去年用水量为150,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多 元.
考点七、反比例函数图像与性质
1.(2024·山东济南·中考一模)
如图,与位于平面直角坐标系中,,,,若,反比例函数恰好经过点C,则______.
2.(2024·山东济南·中考一模)
如图,在矩形和正方形中,点A在y轴正半轴上,点C,F均在x轴正半轴上,
点D在边上,,.若点B,E在同一个反比例函数的图象上,
则这个反比例函数的表达式是 .
3.(2018·山东济南·中考真题)
如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,
反比例函数y=在第一象限的图象经过点B.若OA2﹣AB2=12,则k的值为 .
考点八、几何图形综合压轴
1.(2023·山东济南·中考真题)
如图,将菱形纸片沿过点的直线折叠,使点落在射线上的点处,
折痕交于点.若,,则的长等于__________.
2 .(2021·山东济南·中考真题)
如图,一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内,
模板四周的直角顶点,,,,都在矩形的边上,
若8个小正方形的面积均为1,则边的长为 .
(2020·山东济南·中考真题)
如图,在矩形纸片ABCD中,AD=10,AB=8,将AB沿AE翻折,使点B落在处,AE为折痕;
再将EC沿EF翻折,使点C恰好落在线段EB'上的点处,EF为折痕,连接.
若CF=3,则tan= .
4.(2019·山东济南·中考真题)
如图,在矩形纸片中,将沿翻折,使点落在上的点处,为折痕,
连接;再将沿翻折,使点恰好落在上的点处,为折痕,
连接并延长交于点,若,,则线段的长等于 .
考点九、新定义与新概念、规律性题目
(2022·山东济南·中考真题)
规定:在平面直角坐标系中,一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位,
一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°,
由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.
例如:如图,点按序列“011…”作变换,
表示点O先向右平移一个单位得到,
再将绕原点顺时针旋转90°得到,
再将绕原点顺时针旋转90°得到…
依次类推.点经过“011011011”变换后得到点的坐标为 .
2.(2021·山东济南·中考真题)
新定义:在平面直角坐标系中,对于点P(m,n)和点P′(m,n′),
若满足m≥0时,n′=n﹣4;m<0时,n′=﹣n,
则称点P′(m,n′)是点P(m,n)的限变点.
例如:点P1(2,5)的限变点是P1′(2,1),点P2(﹣2,3)的限变点是P2′(﹣2,﹣3).
若点P(m,n)在二次函数y=﹣x2+4x+2的图象上,
则当﹣1≤m≤3时,其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是__________
3 .(2024·山东济南·中考一模)
我们定义一种新函数:形如(,)的函数叫做“鹊桥”函数.
小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象(如图所示),并写出下列结论:
①图象与坐标轴的交点为(,0),(3,0)和(0,3);
②图象具有对称性,对称轴是直线;
③当或时,函数值y随x值的增大而增大;
④当或时,函数的最小值是0;
⑤当时,函数的最大值是4,
⑥若点P(a,b)在该图像上,则当b=2时,可以找到4个不同的点P.
其中正确结论的个数是___________
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2024济南市中考数学高频考点训练 之 填空题部分(共30小题)解析
一、济南市中考数学填空题高频考点列表 :
济南市中考数学填空题高频考点一览表
考点一、因式分解
考点二、简单概率问题
考点三、分式方程
考点四、一元一次方程、一元二次方程的根的情况
考点五、正多边形与扇形
考点六、一次函数图像的应用
考点七、反比例函数图像与性质
考点八、几何图形综合压轴
考点九、新定义与新概念、规律性题目
二、济南市中考数学填空题高频考点训练
考点一、因式分解
(2023·山东济南·中考真题)
因式分解: =__________.
【答案】(x+4)(x-4)
【解析】
【分析】
【详解】x2-16=(x+4)(x-4),
故答案为:(x+4)(x-4)
2 .(2022·山东济南·中考真题)
因式分解: .
【答案】
【分析】原式利用完全平方公式分解即可.
【详解】解:.
故答案为:.
3 .(2021·山东济南·中考真题)
因式分解:
【答案】
【分析】a2-9可以写成a2-32,符合平方差公式的特点,利用平方差公式分解即可.
【详解】解:a2-9=(a+3)(a-3),
故答案为:(a+3)(a-3).
考点二、简单概率问题
1.(2023·山东济南·中考真题)
围棋起源于中国,棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子,
每个棋子除颜色外都相同,任意摸出一个棋子,摸到黑色棋子的概率是,
则盒子中棋子的总个数是_________.
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式,得出黑色棋子的数量除以对应概率,即可算出棋子的总数.
【详解】解:,
∴盒子中棋子的总个数是.
故答案为:.
2 .(2022·山东济南·中考真题)
如果小球在如图所示的地板上自由地滚动,并随机的停留在某块方砖上,
那么它最终停留在阴影区域的概率是 .
【答案】
【分析】根据题意可得一共有9块方砖,其中阴影区域的有4块,再根据概率公式计算,即可求解.
【详解】解:根据题意得:一共有9块方砖,其中阴影区域的有4块,
∴它最终停留在阴影区域的概率是.
故答案为:
3.(2021·山东济南·中考真题)
如图,在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份,若往圆面投掷飞镖,
则飞镖落在黑色区域的概率是 .
【答案】/
【详解】解:∵两个同心圆被等分成八等份,飞镖落在每一个区域的机会是均等的,其中白色区域的面积占了其中的四等份,
∴P(飞镖落在白色区域)=
故答案为:.
考点三、分式方程
1.(2022·山东济南·中考真题)
代数式与代数式的值相等,则x= .
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程,求出方程的解,得到x的值即可.
【详解】解:∵代数式与代数式的值相等,
∴,
去分母
,
去括号号
,
解得,
检验:当时,,
∴分式方程的解为.
故答案为:7.
2 .(2020·山东济南·中考真题)
代数式与代数式的值相等,则x= .
【答案】7
【分析】根据题意列出分式方程,去分母,解整式方程,再检验即可得到答案.
【详解】解:根据题意得:,
去分母得:3x﹣9=2x﹣2,
解得:x=7,
经检验x=7是分式方程的解.
故答案为:7.
3.(2024·山东济南·中考一模)
若代数式和的值相等,则x= .
【答案】7
【分析】根据题意列出方程=,求出方程的解即可得到x的值.由于列出的方程是分式方程,所以求出x的值后要检验.
【详解】解:根据题意得:
=,
去分母得:2x+1=3x-6,
解得:x=7,
经检验x=7是分式方程的解,
故答案为7
考点四、一元一次方程、一元二次方程的根的情况
1.(2023·山东济南·中考真题)
关于的一元二次方程有实数根,则的值可以是_________(写出一个即可).
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】由于方程有实数根,则其根的判别式,由此可以得到关于的不等式,解不等式就可以求出的取值范围,进而得出答案.
【详解】解:∵关于的一元二次方程有实数根,
∴,
即,
解得:,
∴的值可以是.
故答案为:(答案不唯一).
2 .(2022·山东济南·中考真题)
利用图形的分、和、移、补探索图形关系,是我国传统数学的一种重要方法.
如图1,BD是矩形ABCD的对角线,将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形,
然后按图2重新摆放,观察两图,若a=4,b=2,则矩形ABCD的面积是 .
【答案】16
【分析】设小正方形的边长为,利用、、表示矩形的面积,再用、、表示三角形以及正方形的面积,根据面积列出关于、、的关系式,解出,即可求出矩形面积.
【详解】解:设小正方形的边长为,
矩形的长为 ,宽为 ,
由图1可得:,
整理得:,
,,
,
,
矩形的面积为 .
故答案为:16.
3 .(2021·山东济南·中考真题)
关于的一元二次方程的一个根是2,则另一个根是 .
【答案】-3
【分析】由题意可把x=2代入一元二次方程进行求解a的值,然后再进行求解方程的另一个根.
【详解】解:由题意把x=2代入一元二次方程得:
,解得:,
∴原方程为,
解方程得:,
∴方程的另一个根为-3;
故答案为-3.
4 .(2020·山东济南·中考真题)
如图,在一块长15m、宽10m的矩形空地上,修建两条同样宽的相互垂直的道路,
剩余分栽种花草,要使绿化面积为126m2,则修建的路宽应为 米.
【答案】1
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程求解即可.
【详解】解:设道路的宽为x m,根据题意得:
(10﹣x)(15﹣x)=126,
解得:x1=1,x2=24(不合题意,舍去),
则道路的宽应为1米;
故答案为:1.
5.(2019·山东济南·中考真题)
代数式与代数式的和为4,则 .
【答案】﹣1.
【分析】根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值.
【详解】根据题意得:,
去分母得:,
移项合并得:,
解得:,
故答案为﹣1.
考点五、正多边形与扇形
1.(2023·山东济南·中考真题)
如图,正五边形的边长为,以为圆心,以为半径作弧,
则阴影部分的面积为_________(结果保留).
【答案】
【解析】
【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和,再求出的度数,
利用扇形面积公式计算即可.
【详解】解:正五边形的内角和,
,
,
故答案为:.
2 .(2021·山东济南·中考真题)
如图,正方形的边在正五边形的边上,则 .
【答案】18
【分析】由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解.
【详解】解:∵四边形是正方形,五边形是正五边形,
∴,
∴;
故答案为18.
3.(2020·山东济南·中考真题)
如图,在正六边形ABCDEF中,分别以C,F为圆心,以边长为半径作弧,
图中阴影部分的面积为24π,则正六边形的边长为 .
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角,然后按扇形面积公式列方程求解计算即可.
【详解】解:∵正六边形的内角是120度,阴影部分的面积为24π,
设正六边形的边长为r,
∴,
解得r=6.(负根舍去)
则正六边形的边长为6.
故答案为:
4.(2024·山东济南·中考一模)
一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是 .
【答案】6
【分析】由多边形内角和定理:,可求多边形的边数.
【详解】解:设这个多边形的边数是n,
由题意得:,
∴,
故答案为:6.
考点六、一次函数图像的应用
1.(2023·山东济南·中考真题)
学校提倡“低碳环保,绿色出行”,小明和小亮分别选择步行和骑自行车上学,
两人各自从家同时同向出发,沿同一条路匀速前进.
如图所示,和分别表示两人到小亮家的距离和时间的关系,
则出发__________h后两人相遇.
【答案】0.35
【解析】
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出小明和小亮的速度,从而可以解答本题.
【详解】解:由题意和图象可得,小明0.5小时行驶了,
∴小明的速度为:,
小亮0.4小时行驶了,
∴小明的速度为:,
设两人出发后两人相遇,
∴
解得,
∴两人出发0.35后两人相遇,
故答案为:0.35
2 .(2021·山东济南·中考真题)
漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载,西周时期就已经出现了漏刻,
这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.
小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型,
研究中发现水位是时间的一次函数,下表是小明记录的部分数据,
其中有一个的值记录错误,请排除后利用正确的数据确定当为时,
对应的时间为 .
… 1 2 3 5 …
… 2.4 2.8 3.4 4 …
【答案】15
【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时,h=3.4,然后设水位与时间的函数解析式为,进而把t=2,h=2.8和t=5,h=4代入求解即可.
【详解】解:由表格可得:当t=1,h=2.4时,当t=2,h=2.8时,当t=5,h=4时,时间每增加一分钟,水位就上升0.4cm,由此可知错误的数据为当t=3时,h=3.4,
设水位与时间的函数解析式为,把t=2,h=2.8和t=5,h=4代入得:
,解得:,
∴水位与时间的函数解析式为,
∴当=8时,则有,解得:,
故答案为15.
3.(2019·山东济南·中考真题)
某市为提倡居民节约用水,自今年1月1日起调整居民用水价格.
图中、分别表示去年、今年水费(元)与用水量()之间的关系.
小雨家去年用水量为150,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多 元.
【答案】210.
【分析】根据函数图象中的数据可以求得时,对应的函数解析式,从而可以求得时对应的函数值,由的的图象可以求得时对应的函数值,从而可以计算出题目中所求问题的答案,本题得以解决.
【详解】设当时,对应的函数解析式为,
,得,
即当时,对应的函数解析式为,
当时,,
由图象可知,去年的水价是(元/),故小雨家去年用水量为150,需要缴费:(元),
(元),
即小雨家去年用水量为150,若今年用水量与去年相同,水费将比去年多210元,
故答案为210.
考点七、反比例函数图像与性质
1.(2024·山东济南·中考一模)
如图,与位于平面直角坐标系中,,,,若,反比例函数恰好经过点C,则______.
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D,由题意易得,然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解.
【详解】解:过点C作轴于点D,如图所示:
∵,,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
在中,,
∴,,
∵,,
∴,
∴,
∴点,
∴,
故答案为:.
2.(2024·山东济南·中考一模)
如图,在矩形和正方形中,点A在y轴正半轴上,点C,F均在x轴正半轴上,
点D在边上,,.若点B,E在同一个反比例函数的图象上,
则这个反比例函数的表达式是 .
【答案】
【分析】设正方形的边长为m,根据,,得到,
根据矩形对边相等得到,推出,根据点B,E在同一个反比例函数的图象上,
得到,得到,推出.
【详解】解:∵四边形是矩形,
∴,
设正方形的边长为m,
∴,
∵,
∴,
∴,,
设反比例函数的表达式为,
∴,
解得或(不合题意,舍去),
∴,
∴,
∴这个反比例函数的表达式是,
故答案为:.
3.(2018·山东济南·中考真题)
如图,△OAC和△BAD都是等腰直角三角形,∠ACO=∠ADB=90°,
反比例函数y=在第一象限的图象经过点B.若OA2﹣AB2=12,则k的值为 .
【答案】6
【分析】设B点坐标为(a,b),根据等腰直角三角形的性质得OA=AC,AB=AD,OC=AC,AD=BD,将OA2-AB2=12变形为AC2-AD2=6,利用平方差公式得到(AC+AD)(AC-AD)=6,所以(OC+BD) CD=6,则有a b=6,根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k=6.
【详解】解:设B点坐标为(a,b)
∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形
∴OA=AC,AB=AD,OC=AC,AD=BD
∵OA2 AB2=12
∴2AC2 2AD2=12
即AC2 AD2=6
∴(AC+AD)(AC AD)=6
∴(OC+BD) CD=6
∴a b=6
∴k=6
故答案为6
考点八、几何图形综合压轴
1.(2023·山东济南·中考真题)
如图,将菱形纸片沿过点的直线折叠,使点落在射线上的点处,
折痕交于点.若,,则的长等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】过点A作于点Q,根据菱形性质可得
根据折叠所得,结合三角形的外角定理得出,
最后根据,即可求解.
【详解】解:过点A作于点Q,
∵四边形为菱形,,
∴,,
∴,
∵由沿折叠所得,
∴,
∴,
∵,,
∴,则,
∴,
∴,
故答案为:.
2 .(2021·山东济南·中考真题)
如图,一个由8个正方形组成的“”型模板恰好完全放入一个矩形框内,
模板四周的直角顶点,,,,都在矩形的边上,
若8个小正方形的面积均为1,则边的长为 .
【答案】
【分析】如图,延长交于点,连接,根据题意求得的长,设,先证明,再证明,,分别求出矩形的四边,根据矩形对边相等列方程组求得的值,进而求得的值.
【详解】小正方形的面积为1,则小正方形的边长为,
如图,延长交于点,连接,
,,
四边形是正方形,
,
,
设,
四边形是矩形,
,
,
,
,
,,
,
,,
,
即①
②
联立
解得
故答案为:
3.(2020·山东济南·中考真题)
如图,在矩形纸片ABCD中,AD=10,AB=8,将AB沿AE翻折,使点B落在处,AE为折痕;
再将EC沿EF翻折,使点C恰好落在线段EB'上的点处,EF为折痕,连接.
若CF=3,则tan= .
【答案】
【分析】连接AF,设CE=x,用x表示AE、EF,再证明∠AEF=90°,由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x,再进一步求出B′C′,便可求得结果.
【详解】解:连接AF,设CE=x,则C′E=CE=x,BE=B′E=10﹣x,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=8,AD=BC=10,∠B=∠C=∠D=90°,
∴AE2=AB2+BE2=82+(10﹣x)2=164﹣20x+x2,
EF2=CE2+CF2=x2+32=x2+9,
由折叠知,∠AEB=∠AEB′,∠CEF=∠C′EF,
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF=180°,
∴∠AEF=∠AEB′+∠C′EF=90°,
∴AF2=AE2+EF2=164﹣20x+x2+x2+9=2x2﹣20x+173,
∵AF2=AD2+DF2=102+(8﹣3)2=125,
∴2x2﹣20x+173=125,
解得,x=4或6,
当x=6时,EC=EC′=6,BE=B′E=8﹣6=2,EC′>B′E,不合题意,应舍去,
∴CE=C′E=4,
∴B′C′=B′E﹣C′E=(10﹣4)﹣4=2,
∵∠B′=∠B=90°,AB′=AB=8,
∴tan∠B'AC′==.
故答案为:.
4.(2019·山东济南·中考真题)
如图,在矩形纸片中,将沿翻折,使点落在上的点处,为折痕,
连接;再将沿翻折,使点恰好落在上的点处,为折痕,
连接并延长交于点,若,,则线段的长等于 .
【答案】.
【分析】根据折叠可得是正方形,,,,可求出三角形的三边为3,4,5,在中,由勾股定理可以求出三边的长,通过作辅助线,可证∽,三边占比为3:4:5,设未知数,通过,列方程求出待定系数,进而求出的长,然后求的长.
【详解】过点作,,垂足为、,
由折叠得:是正方形,,
,,,
∴,
在中,,
∴,
在中,设,则,由勾股定理得,
,
解得:,
∵,,
∴∽,
∴,
设,则,,
∴,,
解得:,
∴,
∴,
故答案为.
考点九、新定义与新概念、规律性题目
1.(2022·山东济南·中考真题)
规定:在平面直角坐标系中,一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位,
一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°,
由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换.
例如:如图,点按序列“011…”作变换,
表示点O先向右平移一个单位得到,
再将绕原点顺时针旋转90°得到,
再将绕原点顺时针旋转90°得到…
依次类推.点经过“011011011”变换后得到点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据题意得出点坐标变化规律,进而得出变换后的坐标位置,进而得出答案.
【详解】解:点按序列“011011011”作变换,表示点先向右平移一个单位得到,再将绕原点顺时针旋转90°得到,再将绕原点顺时针旋转90°得到,然后右平移一个单位得到,再将绕原点顺时针旋转90°得到,再将绕原点顺时针旋转90°得到,然后右平移一个单位得到,再将绕原点顺时针旋转90°得到,再将绕原点顺时针旋转90°得到.
故答案为:
2.(2021·山东济南·中考真题)
新定义:在平面直角坐标系中,对于点P(m,n)和点P′(m,n′),
若满足m≥0时,n′=n﹣4;m<0时,n′=﹣n,
则称点P′(m,n′)是点P(m,n)的限变点.
例如:点P1(2,5)的限变点是P1′(2,1),点P2(﹣2,3)的限变点是P2′(﹣2,﹣3).
若点P(m,n)在二次函数y=﹣x2+4x+2的图象上,
则当﹣1≤m≤3时,其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是__________
【答案】﹣2≤n′≤3,
解:由题意可知,
当m≥0时,n′=﹣m2+4m+2﹣4=﹣(m﹣2)2+2,
∴当0≤m≤3时,﹣2≤n′≤2,
当m<0时,n′=m2﹣4m﹣2=(m﹣2)2﹣6,
∴当﹣1≤m<0时,﹣2≤n′≤3,
综上,当﹣1≤m≤3时,其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3,
故答案为:﹣2≤n′≤3,
3 .(2024·山东济南·中考一模)
我们定义一种新函数:形如(,)的函数叫做“鹊桥”函数.
小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象(如图所示),并写出下列结论:
①图象与坐标轴的交点为(,0),(3,0)和(0,3);
②图象具有对称性,对称轴是直线;
③当或时,函数值y随x值的增大而增大;
④当或时,函数的最小值是0;
⑤当时,函数的最大值是4,
⑥若点P(a,b)在该图像上,则当b=2时,可以找到4个不同的点P.
其中正确结论的个数是___________
【答案】①②③④⑥
解:令|x2-2x-3|=0可得x2-2x-3=0,
∴(x+1)(x-3)=0,
∴x1=-1,x2=3,
∴(-1,0)和(3,0)是函数图象与x轴的交点坐标,
令x=0可得y=3,
∴与y轴的交点坐标为(0,3),,故①正确;
观察图象可知,图象具有对称性,对称轴是直线x=1,故②正确;
又对称轴是直线x=1,
∴当或时,,函数值y随x值的增大而增大,故②③正确;
由图象可知(-1,0)和(3,0)是函数图象的最低点,
则当x=-1或x=3时,函数最小值是0,故②③④正确;
由图象可知,函数图像向两边无限延伸,没有最大值,故⑤错误;
由图象可知,函数图像与直线y=2有四个交点,
即当b=2时,可以找到4个不同的点P.故②③④⑥正确;
故答案为:①②③④⑥正确
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