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3.1 函数的概念及其表示(精讲)
考点一 区间的表示
【例1】(2021·广东湛江)用区间表示下列数集：
(1)； (2)；
(3)； (4)R；
(5)； (6)．
【一隅三反】
1．(2021·安徽)已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.
2．(2021·广东潮州)用区间表示下列集合：
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6).
考点二 函数的判断
【例2】(1)(2021·全国高一课时练习)下列图形中，不可能是函数图象的是( )
A． B． C． D．
(2)(2021·全国高一课时练习)设集合，，则下述对应法则中，不能构成A到B的函数的是( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．(2021·广西)下列各图中，不可能表示函数y=f(x)的图象的是( )
A． B． C． D．
2．(2021·广东中山市)(多选)设集合，，那么下面的4个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有( )
A． B． C． D．
3．(2021·全国高一课时练习)有对应法则f：
(1)A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；
(2)A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；
(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；
(4)A＝R，B＝R，x→2x＋1；
(5)A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.
其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．
考点三 函数的定义域
【例3-1】(1)(2021·浙江高一期末)函数的定义域( )
A． B． C． D．
(2)(2021·全国高一课时练习)函数定义域为( )
A．[2，+∞) B．(2，+∞)
C．(2，3)∪(3，+∞) D．[2，3)∪(3，+∞)
【例3-2】(2021·广东)(1)已知的定义域为，求函数的定义域；
(2)已知的定义域为，求的定义域；
(3)已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【一隅三反】
1．(2021·辽河油田第二高级中学高一开学考试)函数的定义域是( )
A． B． C． D．
2．(2021·云南文山壮族苗族自治州)函数的定义域是( )
A． B．
C． D．
3．(2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试(文))函数的定义域为( )
A． B． C． D．
4．(2021·江苏高一)函数的定义域为( )
A． B．，且
C． D．
5．(2021·安徽芜湖市)已知函数，则函数的定义域是( )
A．[-5，4] B．[-2，7] C．[-2，1] D．[1，4]
6．(2021·上海浦东新区)已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.
7．(2021·黑龙江大庆市)若函数的定义域为，则函数的定义域是__________．
8.(2021·云南)已知函数的定义域为，则函数的定义域为
9．(2020·江苏高一课时练习)(1)已知f(x)的定义域为[0，2]，求y=f(x+1)的定义域；
(2)已知y=f(x+1)的定义域为[0，2]，求f(x)的定义域；
(3)已知函数y=f(2x﹣1)的定义域为[﹣1，1]，求函数y=f(x﹣2)的定义域.
考点四 函数的表示方法
【例4-1】．(2021·陕西咸阳市)德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于的每一个值， 总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图像、表格还是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为( )
1 2 3 4 5
A．2 B．3 C．4 D．5
【例4-2】已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
【例4-3】(2021·上海高一专题练习)(1)已知求的解析式.
(2)已知函数，求函数，的解析式
(3)已知是二次函数，且，求的解析式
(4)已知函数满足，则=_____________.
【一隅三反】
1．(2021·湖北恩施土家族苗族自治州)若一次函数满足，则_________．
2．(2021·全国高一课时练习)已知，则的解析式为______________．
3.(2021年云南节选))根据下列条件，求函数的解析式；
(1)已知是一次函数，且满足；
(2)已知函数为二次函数，且，求的解析式；
(3)已知；
(4)已知等式对一切实数 都成立，且；
(5)知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立
(6)已知，求的解析式；
5.作出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
考点五 两个函数相等
【例5】(2021·浙江)下列函数中，与函数是相等函数的是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)下列函数中，表示同一个函数的是( )
A．y=x2与y=()4 B．y=x2与y=t2
C．y=与y= D．y=·与y=
2．(2021·东莞市光明中学高一开学考试)判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
(1)，()；(2)，；
(3)，；(4)，．
A．(1)，(4) B．(2)，(3) C．(1) D．(3)
3．(2021·福建三明市·高一期末)下列各组函数中表示同一函数的是( )
A．， B．，
C．， D．，
考点六 函数值
【例6】(1)(2021·吉林延边朝鲜族自治州·高一期末)已知，则的值为( )
A． B． C． D．
(2)(2021·全国高一课时练习)函数f(x)对于任意实数x均满足f(x+2)=，若f(1)=-5，则f(f(5))=( )
A．2 B．5 C．-5 D．-
(3)(2021·四川省)已知，且，则( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)已知函数，且，则实数＝________.
2．(2021·福建福州市)已知函数，若，则实数的值为____________．
3．(2021·江苏南通市·高一期末)已知函数满足：，且对任意的实数x，都有成立，则______.
4．(2021·全国高一课时练习)已知，，则________.
考点七 分段函数
【例7-1】(1)(2021·浙江高一期末)已知则( )
A．7 B．2 C．10 D．12
(2)(2021·浙江高一期末)设，则( )
A． B． C． D．
(3)(2021·新疆乌苏市第一中学高一开学考试)已知函数，若，则a的值是( )
A．3或 B．或4 C． D．3或或4
【例7-2】(2021·全国高一课时练习)已知函数f(x)=
求：(1)画出函数f(x)的简图(不必列表)；
(2)求f(f(3))的值；
(3)当-4≤x<3时，求f(x)取值的集合．
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)设，则的值为( )
A．16 B．18 C．21 D．24
2．(2021·全国高一课时练习)已知f(x)= ，，则f(g(2))=( )
A．-3 B．-2 C．3 D．-1
3．(2021·保定市徐水区第一中学高一期末)设函数则(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．4
4．(2021·广东清远市·高一期末)已知函数则( )
A． B．-4 C． D．4
5．(2021·全国高一)设函数，若，则t的值是( )
A．2 B．0 C．0或 D．
6．(2021·全国高一)已知函数．
(1)求的值；
(2)画出函数的图象．
答案与解析
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精练)
【题组一 解一元二次不等式】
1．(2021·浙江高一)不等式的解为( )
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】，解得或故选：B
2．(2021·陕西西安市西光中学)不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分式不等式等价于，即
解一元二次不等式得：故不等式的解集是故选：B.
3．(2021·江苏淮安市)不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得，故选：C.
4．(2021·民勤县第四中学高三期末(理))设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为“”不能推出“”，而“”可以推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.
5．(2021·青海西宁市)“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】记“”的解集为集合B，则或
所以“”能推出“”“”不能推出“”
所以“”是“”的的充分不必要条件.故选：A.
6．(2021·全国高二单元测试)不等式的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以故选：C
7．(2021·吴江汾湖高级中学高一月考)(多选)下列不等式的解集为的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A选项，，故解集为：；
对于B选项，，解集为；
对于C选项，，解集为；
对于D选项，，显然开口向上，，故不等式解集不是；
故选：BC
8．(2021·江苏月考)解下列不等式：
(1)；(2)：
【答案】(1)； (2).
【解析】(1)因为的两根为，，
所以原不等式的解集为.
(2)由，得，即，
所以，所以 ，所以原不等式的解集为.
9．(2021·全国高一课时练习)求下列不等式的解集：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．
【解析】(1)令，解得：，，
又二次函数的图象开口方向向上，
的解集为.
(2)令，解得：，，
又二次函数的图象开口方向向下，
的解集为.
(3)令，解得：，，
又二次函数的图象开口方向向上，
的解集为.
(4)令，解得：，
又二次函数的图象开口方向向下，
的解集为.
【题组二 根据一元二次不等式的解求参】
1．(2021·浙江高一期末)已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A． B．{或} C． D．或
【答案】A
【解析】不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A
2．(2021·全国高一)已知不等式的解集是，则不等式的解集是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由不等式的解集是可知，，
且方程的两个根分别为.
由韦达定理可得：，
代入所求不等式得：化简得：即，解得或
所以不等式的解集为，故选:C
3(2021·三亚华侨学校高一开学考试)(多选)若不等式的解集是，则下列选项正确的是( )
A．且 B．
C． D．不等式的解集是
【答案】ABD
【解析】因为的解集为，解集属于两根之内的情况，所以，
又因为，所以；
A．，故正确；
B．因为，所以，故正确；
C．因为解集为，所以，故错误；
D．因为即为，即，解得，故正确；
故选：ABD.
4．(2021·广东东莞市)(多选)若不等式的解集是，则下列选项正确的是( )
A． B．且
C． D．不等式的解集是
【答案】AB
【解析】由题意，不等式的解集是，
可得是方程的两个根，所以，且，所以A正确；
又由，所以，所以B正确；
当时，此时，所以C不正确；
把代入不等式，可得，
因为，所以，即，此时不等式的解集为，
所以D不正确.故选：AB.
5．(2021·浙江高一)已知函数，若不等式的解为，则的值为( )
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【解析】由题知，-1,4为方程的两个根，则，解得，
故，故选：A
6．(2021·江苏宿迁市·)已知函数的图象与x轴交于、两点，则不等式 的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由条件可知的两个根分别为或，
则，，得，，
，
整理为：，
解得：或，
所以不等式的解集是.故选：D
7．(2021·福建厦门市·高一期末)(多选)关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则实数的值可以是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BC
【解析】易知，即，解原不等式可得，
而解集中只有5个整数，则，解得，只有BC满足．
故选：BC．
8．(2021·云南昆明市·高一期末)(多选)已知函数，若方程有两个不等的实数根，且( )
A．当时，不等式的解集为
B．当时，不等式的解集为
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，则
【答案】AD
【解析】A.当时，函数图象开口方向向上，所以不等式的解集为，故正确；
B. 当时，函数图象开口方向向上，所以不等式的解集为，故错误；
C.若不等式的解集为，则，对称轴，函数又过定点，则，故错误；
D.若不等式的解集为，则，对称轴，则，故正确；
故选：AD
9．(2021·吴县中学高一月考)若方程的两根都大于，则的范围是_______．
【答案】
【解析】令，其对称轴方程为，
由题意得，，
即，
解得，
所以的范围是，
故答案为：
10．(2021·上海高一)已知关于的不等式恰好有一个解，则的值为____________.
【答案】
【解析】因为关于x的不等式恰好有一解,
所以必有有唯一解,
因此一元二次方程的判别式为零.
即,
此时不等式成立.
故答案为：
11．(2021·安徽蚌埠市·)二次函数()的部分对应值如下表：
则关于的不等式的解集为______.
【答案】(或)
【解析】代入，可得，再代入和，可得，得，
所以，解得.
故答案为：或
【题组三 含参数的一元二次不等式的解法】
1．(2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一开学考试)设，则关于x的不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】等价于，
因为，所以所以不等式的解集为，故选：C
2．(2021·浙江高一)解下列不等式：解关于的不等式：.
【答案】答案见解析.
【解析】因为，所以，即.
令，解得.
①当时，，解集为或；
②当时，，解集为，且；
③当时，，解集为，或.
综上所述：当时，不等式的解集为，或；当时，不等式的解集为，且；当时，不等式的解集为，或.
3．(2021·上海交大附中高一开学考试)已知，求不等式的解集．
【答案】答案见解析.
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
4．(2021·江苏)已知关于的不等式.
(Ⅰ)若不等式的解集为，求，的值；
(Ⅱ)求不等式的解集.
【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)；
【解析】(Ⅰ)不等式的解集为或，
的两根为或，且，
，，
解得，；
(Ⅱ)
，
即，
，，
或
原不等式解集为
5(2021·全国高三专题练习)已知关于的不等式：.
(1)当时解不等式；
(2)当时解不等式.
【答案】(1)；(2)见详解.
【解析】(1)当时，即，
所以，所以或，所以解集为：；
(2)原不等式可变形为：，
当时，，所以即解集为；
当时，，所以即解集为；
当时，，令，所以，
若时，，所以解集为，
若时，，所以解集为，
若时，，所以解集为，
综上可知：时解集为；时解集为；
时解集为；时解集为.
【题组四 一元二次不等式恒成立】
1．(2021·重庆市万州南京中学高一开学考试)关于x的不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】①当时，则成立，故符合题意，
②时，因为对任意恒成立，所以，
不等式变为：，，所以：，综上：.故选：B.
2．(2021·广东东莞市·高一期末)使“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为不等式在上恒成立，所以，
即，而可以推出，不能推出，
所以“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是，故选：．
3．(2021·全国高一)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以不等式恒成立，
若，则不等式可化为，显然恒成立；
若，又恒成立，只需，解得，
综上，实数的取值范围是.故选：C.
4．(2021·山东高三其他模拟)若不等式对任意成立，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题得不等式对任意成立，
所以，即，解之得或.故选：A
5．(2021·江苏常州市)若对于任意的，不等式恒成立，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不等式，转化为，
设，，，则，
当时，取得最大值为，
所以实数的取值范围是．
故选：．
6．(2021·浙江金华市·高一期末)已知关于的不等式在上有解，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式在上有解，
在上有解，
在单调递增，，.故选：D.
7．(2021·安徽宣城市·高一月考)已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】时，不等式可化为；令，则，当且仅当时，等号成立，综上所述，实数a的取值范围是．故选：A．
8．(2021·全国高一)在区间上，不等式有解，则m的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令
当时，原不等式为，解得，满足条件；
当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有解，只需，即解得
当时，函数的对称轴为，要使不等式在区间有解，当，即时，只需，即无解；
当，即时，只需，即解得；
当，即时，只需，即解得；综上可得
故选：C
【题组五 实际问题】
1．(2021·湖南长沙市·雅礼中学高一期末)为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】第一次操作后，利下的纯药液为，
第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：
，
因为，所以，
故答案为：
2．(2021·浙江高一期末)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
【答案】20
【解析】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.
七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.
所以一月份至十月份的销售总额为:
3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以xmin=20.
3．(2021·通化县综合高级中学高一期末)某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？
【答案】每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．
【解析】设提价后每本杂志的定价为元，则销售总收入为
，即
解得，
所以，每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元．
4．(2021·全国高一课时练习)某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售,每天能卖出30个;若一个削笔器的售价每提高1元,日销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格
【答案】销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元)
【解析】设这批削笔器的销售价格定为元/个
由题意得,即
∵方程的两个实数根为,
解集为
又
故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入.
5．(2020·湖北高一期中)某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个.
(1)据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？
(2)为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元.公司计划投入万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？
【答案】(1)90元；(2)20万，30元.
【解析】(1)设每件零售价为元，由题意可得即，
，∴.
故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元.
(2)当时，有解，
当时，有解，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴，因此，该削笔器的年销售量至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元.
6．(2020·昆明市官渡区第一中学高一月考)2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，在党和国家强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情，之后一方面防止境外输入，另一方面复工复产．某厂经调查测算，某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并将定价提高到元．公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【答案】(1)40；(2)10.2，30元．
【解析】(1)设每件定价为元，
依题意得，
整理得，解得
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意知当时，不等式成立
等价于时，有解，
由于，
当且仅当，即时等号成立，
所以
当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
7．(2021·泰州市第二中学)2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围；
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.
【答案】(1)的取值范围为；(2)的最大值为．
【解析】(1)由题意，得，
整理得，解得，又，故．
(2)由题意知网店销售的利润为万元，
技术指导后，养羊的利润为万元，
则恒成立，
又，∴恒成立，
又，当且仅当时等号成立，
∴，即的最大值为．
答：(1)的取值范围为；(2)的最大值为．

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