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3.2.1 单调性与最大(小)值(精讲)
考点一 定义法判断或证明函数的单调性
【例1】(2021·浙江高一期末)已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；
(2)求函数在区间上的值域．
【一隅三反】
1．(2021·福建福州市·高一期末)已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)判断在区间上的单调性并用定义证明.
2．(2021·云南文山壮族苗族自治州·高一期末)已知函数其中为常数且满足
(1)求函数的解析式；
(2)证明：函数在区间(0，1)上是减函数.
考法二 性质法判断函数的单调性
【例2】(1)(2021·全国高一课时练习)函数的单调减区间是( )
A． B． C． D．和
(2)(2021·全国高一课时练习)函数在区间(2，4)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)函数的单调减区间是( )
A．， B．
C． D．
2．(2021·青海西宁市)已知函数，则的单调增区间是( )
A．和 B．
C．和 D．
3．(2021·四川省)下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是(　　)
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
考法三 分类常数法判断函数的单调性
【例3】(2021·鄂尔多斯市第一中学高一期末(理))函数( )
A．在内单调递增 B．在内单调递减
C．在内单调递增 D．在内单调递减
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)函数f(x)=在( )
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
2．(2020·全国高一单元测试)函数f(x)＝的定义域为___，单调递减区间为____.
3．(2021·河南安阳市)函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在定义域内单调递减
考点四 图像法判断函数的单调性
【例4】(2021·广东)作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
【一隅三反】
1．(2021·重庆市)如图是定义在区间的函数，则的增区间是________.
2.(2021·全国高一)已知函数，则下列结论正确的是( )
A．增区间是 B．减区间是
C．增区间是 D．增区间是
3．(2021·安徽)函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是_____.
4．(2021·海南海口市)函数的单调递增区间为__________.
考点五 根据单调性求参数
【例5】(1)(2021·浙江高一期末)函数在上单调，则实数a的取值范围( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·云南丽江市·高一期末)函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(3)．(2021·全国高一课时练习)若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·广西钦州市·高一期末)函数在单调递增，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．(2021·浙江省淳安县汾口中学高一开学考试)函数满足条件：对任意的，都有，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．且 D．
3．(2021·全国高一单元测试)如果在区间上为减函数，则的取值( )
A． B． C． D．
考点六 利用单调性解不等式
【例6】(2021·全国高一)已知,则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·深圳市高级中学)已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是( )．
A． B．
C． D．
2．(2021·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试)已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
3．(多选)(2021·浙江高一期末)已知函数，则下列x的范围满足不等式的是( )
A． B． C． D．
考点七 函数的最值
【例7】(1)(2021·全国高一课时练习)函数y＝在[2，3]上的最小值为( )
A．2 B．
C． D．－
(2)(2021·安徽六安市·六安一中高一期末)已知函数，则在区间上的最大值为( )
A． B．3 C．4 D．5
(3)(2021·全国高一课时练习)已知函数()在上的最大值为1，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【一隅三反】
1．(2021·上海浦东新区·高一期末)已知函数，，则此函数的值域是____.
2．(2021·内蒙古通辽市·通辽实验中学高一期末(文))函数的最大值是：( )
A． B． C． D．
3．(2021·全国高一课时练习)(多选)函数 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 ( )
A．最小值为 B．最大值为4
C．无最大值 D．无最小值
4．(2021·全国)函数在区间上的值域为_____
5．(2021·上海长宁区·高一期末)已知函数的最小值为-2，则实数a=________.
6．(2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考)若函数在区间上的最大值为，则实数( )
A． B． C． D．或
答案与解析
3.2.1 单调性与最大(小)值(精讲)
考点一 定义法判断或证明函数的单调性
【例1】(2021·浙江高一期末)已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)函数在上是增函数，证明见解析；(2).
【解析】(1)函数在上是增函数.
证明：任取，且，
，
，，
，即，
函数在上是增函数；
(2)由(1)知函数在区间上是增函数，
又，，
所以函数在区间上的值域为.
【一隅三反】
1．(2021·福建福州市·高一期末)已知函数，且.
(1)求实数的值；
(2)判断在区间上的单调性并用定义证明.
【答案】(1)1；(2)在区间上单调递减，证明见解析.
【解析】(1)由，得，所以.
(2)由(1)知，其定义域为，
在区间上单调递减.
证明如下：
任取，且，
.
因为，，且，
所以，，，
则，所以，
故在区间上单调递减.
2．(2021·云南文山壮族苗族自治州·高一期末)已知函数其中为常数且满足
(1)求函数的解析式；
(2)证明：函数在区间(0，1)上是减函数.
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】(1)解：，解得，
的解析式为
(2)证明：任取，
则
即
故函数在区间(0，1)上是减函数.
考法二 性质法判断函数的单调性
【例2】(1)(2021·全国高一课时练习)函数的单调减区间是( )
A． B． C． D．和
(2)(2021·全国高一课时练习)函数在区间(2，4)上( )
A．单调递增 B．单调递减
C．先减后增 D．先增后减
【答案】(1)D(2)C
【解析】(1)根据题意，函数的定义域为，
由反比例函数的单调性可知，函数在区间和上都是减函数，但在定义域上不单调，因此，函数的单调递减区间为和.故选：D.
(2)函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.故选：C
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)函数的单调减区间是( )
A．， B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为的减区间为，
又的图像是将的图像向右平移一个单位得到，
即函数的单调减区间是，，故选A.
2．(2021·青海西宁市)已知函数，则的单调增区间是( )
A．和 B．
C．和 D．
【答案】D
【解析】二次函数的对称轴为，并且开口向上
则函数在上单调递增，即D选项正确；故选：D
3．(2021·四川省)下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是(　　)
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
【答案】C
【解析】A中，因为y＝x2－2在(－∞，0)上为减函数，所以A不对；
B中，因为y＝在(－∞，0)上为减函数，所以B不对；
C中，∵y=1+2x在(－∞，+∞)上为增函数，故C正确；
D中，∵y＝－(x＋2)2的对称轴是x=－2，∴在(-∞，－2)上为增函数，在(－2，+∞)上为减函数，故D不对．故选：C
考法三 分类常数法判断函数的单调性
【例3】(2021·鄂尔多斯市第一中学高一期末(理))函数( )
A．在内单调递增 B．在内单调递减
C．在内单调递增 D．在内单调递减
【答案】C
【解析】因为，函数的图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如下图所示．所以函数在内单调递增，
故选：C.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)函数f(x)=在( )
A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增
B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减
C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增
D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减
【答案】C
【解析】f(x)的定义域为{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，
因为函数y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，由平移关系得，
f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增.故选：C.
2．(2020·全国高一单元测试)函数f(x)＝的定义域为___，单调递减区间为____.
【答案】 和
【解析】函数f(x)的定义域为；
任取且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f(x)在(－∞，－1)上也为减函数，故的单减区间为和
故答案为：；和
3．(2021·河南安阳市)函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在定义域内单调递减
【答案】B
【解析】因为数，所以，
因为，所以函数在递减，在上递减，故选B.
考点四 图像法判断函数的单调性
【例4】(2021·广东)作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
【答案】见解析
【解析】(1)，图象如图所示：
函数在和为减函数，因为，所以，故值域为：；
(2)，图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，
当时，取得最小值，故值域：；
(3)，图象如图所示：
函数在和为增函数，在为减函数，
值域为：.
(4)，图象如图所示：
函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：；
(5)，
函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.
【一隅三反】
1．(2021·重庆市)如图是定义在区间的函数，则的增区间是________.
【答案】和
【解析】由图可知：在、上都单调递增，在上单调递减，
故答案为：和
2.(2021·全国高一)已知函数，则下列结论正确的是( )
A．增区间是 B．减区间是
C．增区间是 D．增区间是
【答案】D
【解析】根据题意，函数，
当时，，在区间上为减函数，在区间上为增函数；
当时，，在区间上为增函数，在区间上为减函数；
综合可得：在区间和上为减函数，在区间上为增函数，故选：D.
3．(2021·安徽)函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是_____.
【答案】[2,+∞)
【解析】由图象可知,f(x)的单调递增区间是[2,+∞).
4．(2021·海南海口市)函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】由题意可知，，
当时，，单调递增区间为；
当时，，此时函数恒为减函数，
综上所述，函数的单调递增区间为，
故答案为：.
考点五 根据单调性求参数
【例5】(1)(2021·浙江高一期末)函数在上单调，则实数a的取值范围( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·云南丽江市·高一期末)函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(3)．(2021·全国高一课时练习)若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】(1)D(2)D(3)D
【解析】(1)因为函数在和上单调递减，由题意，在上单调，所以或，解得或，所以a的取值范围为.
故选：D
(2)函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，所以的取值范围为，故选：D
(3)因为函数在上是单调递减的，
又是R上的单调函数，
所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0，
并且，解得，
综上所述，a的取值范围为.故选：D
【一隅三反】
1．(2021·广西钦州市·高一期末)函数在单调递增，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为
函数在单调递增，则，解得.故选：A.
2．(2021·浙江省淳安县汾口中学高一开学考试)函数满足条件：对任意的，都有，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】因为对任意的，都有，所以在上单调递增，
当时，在定义域上单调递增，满足条件；
当时，则，解得，综上可得；
故选：A
3．(2021·全国高一单元测试)如果在区间上为减函数，则的取值( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意；
当时，显然不成立；
当时，要使在上为减函数，
则，解得：，∴；
综上： ，
故选：C．
考点六 利用单调性解不等式
【例6】(2021·全国高一)已知,则不等式的解集为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】的图象如下图所示：
由图象可知：在上单调递增，
因为，所以，
所以即，所以解集为：.
故选：C.
【一隅三反】
1．(2021·深圳市高级中学)已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是( )．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数是定义在的单调递增函数，且，
所以，
解得或．
故选：C．
2．(2021·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试)已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在定义域上是减函数，且，
所以,解得,
所以实数a的取值范围是.故选：B.
3．(多选)(2021·浙江高一期末)已知函数，则下列x的范围满足不等式的是( )
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】因为函数，画出函数图象如图所示：
所以函数在上为增函数，
由得，
即
解得，
故选：B C D．
考点七 函数的最值
【例7】(1)(2021·全国高一课时练习)函数y＝在[2，3]上的最小值为( )
A．2 B．
C． D．－
(2)(2021·安徽六安市·六安一中高一期末)已知函数，则在区间上的最大值为( )
A． B．3 C．4 D．5
(3)(2021·全国高一课时练习)已知函数()在上的最大值为1，则的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】(1)B(2)C(3)B
【解析】(1)y＝在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为，故选：B.
(2)在单调递减，.故选：C.
(3)当时，函数在上单调递减，
所以函数()在处取得最大值，最大值为，
解得．故选：B.
【一隅三反】
1．(2021·上海浦东新区·高一期末)已知函数，，则此函数的值域是____.
【答案】
【解析】因为函数在区间上为增函数，当时，，即.
因此，函数，的值域为.
故答案为：.
2．(2021·内蒙古通辽市·通辽实验中学高一期末(文))函数的最大值是：( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，最大值为．
故选：A.
3．(2021·全国高一课时练习)(多选)函数 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 ( )
A．最小值为 B．最大值为4
C．无最大值 D．无最小值
【答案】BD
【解析】函数在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，
由于x=5取不到，则最小值取不到．故选：BD
4．(2021·全国)函数在区间上的值域为_____
【答案】
【解析】由题：，函数在单调递减，在单调递减，
可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：
所以函数在递减，在递减，，，
所以函数的值域为.
故答案为：
5．(2021·上海长宁区·高一期末)已知函数的最小值为-2，则实数a=________.
【答案】
【解析】，所以该二次函数的对称轴为：，
当时，即，函数在时单调递减，
因此，显然符合；
当时，即时，，显然不符合；
当时，即时，函数在时单调递增，
因此，不符合题意，综上所述：，
故答案为：
6．(2021·浙江湖州市·湖州中学高一月考)若函数在区间上的最大值为，则实数( )
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】函数，即，，
当时，不成立；
当，即时，在递减，可得为最大值，
即，解得成立；
当，即时，在递增，可得为最大值，
即，解得不成立；
综上可得．
故选：．

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