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2023~2024学年度第二学期期中检测试题（卷）
七年级数学
注意事项：
1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2.答卷前将装订线内的项目填写清楚.
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
2. 利用太阳能热水器加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（　　）
A. 水的温度 B. 太阳光的强弱 C. 太阳光照射的时间 D. 热水器的容积
3. 嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1米大约需要秒.数据用科学记数法表示为（　）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，表示自变量与因变量的关系，当每增加1时，增加（ ）
A. 3 B. 5 C. 9 D. 12
6. 已知与互补，与互余，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则等于（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
8. 研究表明，当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口，海洋研究所通过实时监测获得6月份某天记录港口湖水高度和时间的部分数据，绘制出函数图像如图：小颖观察图象得到了以下结论：①当时，；②当时，y随x的增大而增大；③当时，y有最小值为80；④当天只有在时间段时，货轮适合进出此港口．以上结论正确的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若，，则的值为______．
10. 某市话费按每分钟元计，则乐乐一个月话费（元）与通话时长（分钟）之间的关系式是______．
11. 如图，直线相交于点O，平分，若，则度数为______°．
12. 如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______．
13. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是________．（用含，的式子表示）
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 已知：，求的值．
16. 华氏温度与摄氏度之间存在如下的关系．
（1）如果某地早晨的温度为，那么此地早晨的华氏温度是多少？
（2）李华对潇潇说：“现在室内的摄氏温度是，此时对应的华氏温度应该是”，请你通过计算说明李华的说法对吗？
17. 如图，在三角形中，请用尺规作图法在上找一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，回答下面问题：
放水时间（分钟） 1 2 3 4 5 …
水池中水量 48 46 __ 42 40 …
（1）如图所示，将表格补充完整；
（2）根据表格中的数据，说明在放完水前，水池中水量是随放水时间的增长而怎样变化的？
（3）当放水时间为7分钟时，水池中水量是多少立方米？
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 如图，与相交于点O，平分．和互余，且，求的度数．
21. 如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点B，C在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积；
（3）当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？
22. 如图，点O在直线上，F是上一点，连接，平分，平分交于点D．
（1）试说明；
（2）若与互余，试说明．
23. 某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．
（1）求安装健身器材的区域面积；
（2）当，时，求安装健身器材的区域面积．
24. 下面的图象反映的过程是：小明从家里跑步去书店，在那里买了一本书，又步行到小洪家，借了一本书，然后跑回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离．
问：
（1）书店离小明家多远？小明从家到书店用了多少时间？
（2）书店离小洪家多远？小明在小洪家逗留时间？
（3）小明从小洪家回家的平均速度是多少？
25. 在“趣味数学”的社团活动课上，学生小白给大家分享了一个自己发现的关于8的倍数和最近学方差公式之间的有趣关系．
小白同学的具体探究过程如下，请你根据小白同学的探究思路，解决下面的问题：
（1）观察下列各式并填空：；；；；
______；______；…
（2）通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）等式表示上述各式所反映的规律；
（3）请验证（2）中你所写的规律是否正确．
26. 【问题情境】
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C、D．
【初步探究】
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当时，试说明；
（2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示；
【类比探究】
（3）“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使时，结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由．2023~2024学年度第二学期期中检测试题（卷）
七年级数学
注意事项：
1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2.答卷前将装订线内的项目填写清楚.
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂熟，练掌握运算法则是解题的关键．
求出负整数指数幂即可．
【详解】解：，
故选：D．
2. 利用太阳能热水器加热的过程中，热水器里水的温度随着太阳光照射时间的变化而变化，这一变化过程中因变量是（　　）
A. 水的温度 B. 太阳光的强弱 C. 太阳光照射的时间 D. 热水器的容积
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一的值与它对应，那么称y是x的函数，x叫自变量．函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量．
【详解】解：根据题意可知水温是随着所晒时间的长短而变化，可知水温是因变量，所晒时间为自变量，
故选：A．
3. 嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1米大约需要秒.数据用科学记数法表示为（　）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选A．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂相乘除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘除的法则，逐项计算，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
5. 如图，表示自变量与因变量的关系，当每增加1时，增加（ ）
A. 3 B. 5 C. 9 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据自变量的值求对应的函数值，设自变量x由a增加到，则可分别求得对应的函数值，从而可得y增加的值．
【详解】解：当时，，
当时，，
∵，
∴当每增加1时，增加3，
故选：A．
6. 已知与互补，与互余，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的意义是解决问题的关键．
与互补，与互余，列出关系式，然后根据求出，即可求出的度数．
【详解】解：∵与互补，与互余，
，
，
，
．
故选：B．
7. 若，则等于（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算．
根据多项式乘多项式的法则即可求出答案．
【详解】解：由于，
，
，
，
，
故选：D．
8. 研究表明，当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口，海洋研究所通过实时监测获得6月份某天记录的港口湖水高度和时间的部分数据，绘制出函数图像如图：小颖观察图象得到了以下结论：①当时，；②当时，y随x的增大而增大；③当时，y有最小值为80；④当天只有在时间段时，货轮适合进出此港口．以上结论正确的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，根据图象逐一分析即可，理解图象的横纵坐标的含义是解本题的关键．
【详解】解：由图象可得：当时，；故①符合题意；
当时，y随x先减小后增大；故②不符合题意；
当时，y有最小值为80；故③符合题意；
当天在或时间段时，货轮适合进出此港口．故④不符合题意；
故选B
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若，，则的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，掌握成为解题的关键．
直接运用积的乘方公式计算即可．
【详解】解：．
故答案为：8．
10. 某市话费按每分钟元计，则乐乐一个月的话费（元）与通话时长（分钟）之间的关系式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，掌握话费与通话时间和每分钟计费的关系成为解题的关键．
根据“话费=每分钟收费×时间”进行列式即可解答．
【详解】解：根据“话费=每分钟收费×时间”可得话费（元）与通话时长（分钟）之间的关系式是．
故答案为：．
11. 如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数为______°．
【答案】64
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据对顶角相等解答．
【详解】解：∵平分，
，
，
故答案为：64．
12. 如果单项式与的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是单项式乘单项式、同类项的概念，掌握单项式与单项式相乘的运算法则是解题的关键．
根据同类项的概念分别求出、，再根据单项式与单项式相乘的运算法则计算即可．
【详解】解：∵单项式与的差是一个单项式，
∴单项式与是同类项，
∴，
解得：，
则，
故答案为：．
13. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则是________．（用含，的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】由得到，代入，得到，由即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了零次幂、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
先根据零次幂、负整数次幂的知识化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：
．
15. 已知：，求的值．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
根据幂乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
．
16. 华氏温度与摄氏度之间存在如下的关系．
（1）如果某地早晨的温度为，那么此地早晨的华氏温度是多少？
（2）李华对潇潇说：“现在室内的摄氏温度是，此时对应的华氏温度应该是”，请你通过计算说明李华的说法对吗？
【答案】（1）
（2）李华的说法正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，理解一次函数自变量与函数的关系成为解题的关键．
（1）直接将代入计算即可解答；
（2）将代入计算，再与比较即可解答．
【小问1详解】
解：当时，．
答：此地早晨的华氏温度是．
【小问2详解】
解：李华的说法正确，理由如下：
当时．
答：李华的说法正确．
17. 如图，在三角形中，请用尺规作图法在上找一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等角，以点C为圆心，任意的长为半径画弧分别交于D、E两点，再以B为圆心，的长为半径画弧交为G，接着以G为圆心，的长为半径画弧交圆B于F，连接并延长交于P，点P即为所求．
【详解】解：如图所示，以点C为圆心，任意的长为半径画弧分别交于D、E两点，再以B为圆心，的长为半径画弧交为G，接着以G为圆心，的长为半径画弧交圆B于F，连接并延长交于P，点P即为所求．
18. 一个蓄水池有水，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，回答下面问题：
放水时间（分钟） 1 2 3 4 5 …
水池中水量 48 46 __ 42 40 …
（1）如图所示，将表格补充完整；
（2）根据表格中的数据，说明在放完水前，水池中水量是随放水时间的增长而怎样变化的？
（3）当放水时间为7分钟时，水池中水量是多少立方米？
【答案】（1）44 （2）水池中水量随放水时间的增长而减少
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了列式计算，数字规律等知识点，从表格数据中发现规律是解决本题的关键．
（1）先算出放水速度，然后列式计算即可解答；
（2）根据表格数据总结规律即可解答；
（3）根据表格列式计算即可．
【小问1详解】
解：由表格可知放水速度为：分，则第三分钟水池中的水量为．
故答案为：44．
【小问2详解】
解：通过观察发现：水池中水量是随放水时间的增长减少．
【小问3详解】
解：当放水时间为7分钟时，水池中水量．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】此题主要考查了整式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
原式中括号中利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
20. 如图，与相交于点O，平分．和互余，且，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角的定义，先根据余角的定义得到，则由平角的定义得到，再由角平分线的定义和角之间的关系可得，则．
【详解】解：∵和互余，
∴，即，
∴．
∵，平分，
∴，
∴．
21. 如图，长方形的四个顶点在互相平行的两条直线上，，当点B，C在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果长方形的长为，那请用含的式子表示长方形的面积；
（3）当长方形的长从变到时，长方形的面积怎么变化？
【答案】（1）自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积
（2）
（3）长方形的面积从变到
【解析】
【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式的方法．
（1）根据函数的定义求解；
（2）通过长方形的面积=长×宽求解；
（2）分别代入两值求解；
【小问1详解】
解：在这个变化过程中，自变量是（或）的长，因变量为长方形的面积．
【小问2详解】
长方形的面积，即，
答：长方形的面积与之间的关系式为：．
【小问3详解】
当时，，
当时，，
答：当长方形的长从变到时，长方形的面积从变到．
22. 如图，点O在直线上，F是上一点，连接，平分，平分交于点D．
（1）试说明；
（2）若与互余，试说明．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定等知识点，掌握平行线的常见判定方法成为解题的关键．
（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；
（2）利用结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
【小问1详解】
解：因为平分，平分
所以，.
因为，
所以，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，
所以
因为与互余，
所以，
所以，
所以.
23. 某居民小组正在进行美丽乡村建设，为了提升居民的幸福指数，现规划将一块长、宽的长方形场地（如图）打造成居民健身场所，具体规划为：在这块场地中分割出一块长、宽的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材．
（1）求安装健身器材的区域面积；
（2）当，时，求安装健身器材的区域面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的乘法及整式的减法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）用大长方形的面积减去小长方形的面积列式化简即可；
（2）先列出篮球长的面积代数式，再代入求值即可．
【小问1详解】
解：
．
答：安装健身器材的区域面积为．
【小问2详解】
（2）当，时，（）．
答：安装健身器材的区域面积为．
24. 下面的图象反映的过程是：小明从家里跑步去书店，在那里买了一本书，又步行到小洪家，借了一本书，然后跑回家，其中x表示时间，y表示小明离家的距离．
问：
（1）书店离小明家多远？小明从家到书店用了多少时间？
（2）书店离小洪家多远？小明在小洪家逗留时间？
（3）小明从小洪家回家的平均速度是多少？
【答案】（1），分钟；
（2），分钟；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了函数图像的认识，读懂图意，理解时间增多，路程没有变化的函数图象是与轴平行是解决本题的关键．
（1）x表示时间，y表示小明离家的距离．到书店买书时，第一次出现时间增多，路程没有增加．y此时为2千米，故书店离小明家2千米．
（2）小明最远到小洪家，函数图象中最大是3千米，那么书店离小洪家千米，逗留时间为分；
（3）平均速度=总路程÷总时间，根据该公式求解即可．
【小问1详解】
解： x表示时间，y表示小明离家的距离．由图可知书店离小明家，所用的时间为分钟；
【小问2详解】
解：根据函数图象可知书店离小洪家；分钟；
【小问3详解】
解：根据求平均速度的公式可得：
．
故小明从小洪家回家的平均速度是．
25. 在“趣味数学”的社团活动课上，学生小白给大家分享了一个自己发现的关于8的倍数和最近学方差公式之间的有趣关系．
小白同学的具体探究过程如下，请你根据小白同学的探究思路，解决下面的问题：
（1）观察下列各式并填空：；；；；
______；______；…
（2）通过观察、归纳，请你用含字母n（n为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律；
（3）请验证（2）中你所写的规律是否正确．
【答案】（1），6
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字规律、平方差公式等知识点，根据已知等式归纳出规律是解本题的关键．
（1）观察算式，发现规律即可解答；
（2）观察算式，归纳总结得到一般性规律并用字母n表示出来即可；
（3）利用平方差公式证明即可．
【小问1详解】
解：观察下列算式：
；
；
；
；
故答案为：，6；
【小问2详解】
解：通过观察归纳，猜想第n个式子为；
【小问3详解】
解：能．证明如下，
∴．
26. 【问题情境】
在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C、D．
【初步探究】
“快乐小组”经过探索后发现：
（1）当时，试说明；
（2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示；
【类比探究】
（3）“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使时，的结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）定值，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、有关角平分线的计算等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键
（1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后代入计算即可求证结论；
（2）根据角平分线的定义可得、，再根据平行线的性质可得即可解答；
（3）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，最后代入计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴.
∵，分别平分和，
∴，
∴.
（2）∵，分别平分和，
∴，，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）∵，
∵，
当时，有，
∴，
∴.
∵，分别平分和，
∴.
∵，
∴，
∴.

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