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专题03 不等关系与不等式性质（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 6
【考点1】比较数(式)的大小 6
【考点2】不等式的基本性质 10
【考点3】不等式性质的综合应用 16
【分层检测】 20
【基础篇】 20
【能力篇】 25
【培优篇】 28
考试要求：
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
一、单选题
1．（2019·全国·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
2．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数满足，则有最小值4
B．若正实数满足，则
C．的最小值为
D．若，则
二、多选题
3．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
6．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有 个.
【考点1】比较数(式)的大小
一、单选题
1．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知,,则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
6．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在使得 D．若且，则
反思提升：
1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
【考点2】不等式的基本性质
一、单选题
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海长宁·二模）已知函数满足：对任意，都有．
命题：若是增函数，则不是减函数；
命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（ ）
A．和都是真命题 B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题
二、多选题
3．（2021·江苏扬州·模拟预测）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ．
6．（2024·北京丰台·一模）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为，
其中．
注：表示人造天体质量，表示第（）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
①；
②当时，；
③当时，若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
反思提升：
解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值法排除错误答案；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
【考点3】不等式性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南红河·一模）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
6．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
反思提升：
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）是的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）将椭圆上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆，设的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2020·湖南永州·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
6．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
8．（19-20高一上·北京密云·期末）已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
9．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
10．（2022·上海·模拟预测），，则的最小值是 .
四、解答题
11．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围.
（2）比较与的大小，其中.
12．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
附：椭圆上一点处的切线方程为.
A． B．
C． D．和的大小关系无法确定
二、多选题
2．（2024·安徽池州·模拟预测）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
3．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 .
四、解答题
4．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且．
(1)证明:若，则;
(2)若，求实数 t 的取值范围．
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知，当时，恒成立，则b的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（22-23高二下·广东广州·期末）已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．有最大值
B．
C．若时，恒成立，则
D．设为两个不相等的正数，且，则
三、填空题
3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ．
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专题03 不等关系与不等式性质（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 6
【考点1】比较数(式)的大小 6
【考点2】不等式的基本性质 10
【考点3】不等式性质的综合应用 16
【分层检测】 20
【基础篇】 20
【能力篇】 25
【培优篇】 28
考试要求：
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a＞b＞0 ＞(n∈N，n≥2).
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b <.
一、单选题
1．（2019·全国·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
2．（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．若正实数满足，则有最小值4
B．若正实数满足，则
C．的最小值为
D．若，则
二、多选题
3．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 .
6．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有 个.
参考答案：
1．C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
2．D
【分析】对于A，利用即可证明，再给出取等的情况即可得到A正确；对于B，利用即可证明，得到B正确；对于C，利用换元法与对勾函数单调性判断；对于D，验证当，时不等式不成立，得到D错误.
【详解】对于A，若正实数满足，则，而当时，有，，从而的最小值是，故A正确；
对于B，若正实数满足，则，故B正确；
对于C，设，则，由对勾函数单调性得最小值是，故C正确；
对于D，当，时，有，但，故D错误.
故选：D.
3．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
4．AC
【分析】对于A：根据不等式的性质分析判断；对于BD：举反例说明即可；对于C：结合指数函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为，可得，故A正确；
对于选项B：例如满足，但，故B错误；
对于选项C：因为在上单调递增，且，所以，故C正确；
对于选项D：例如满足，
但，即，故D错误；
故选：AC.
5．
【分析】先得到，并根据得到，从而求出.
【详解】因为，故，
由得，解得，
故.
故答案为：
6．
【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，想要有实根，则，结合根的判别式与基本不等式得，中至少一个成立，同理得到，中至少一个成立，，，中至少一个成立，且，即可解决问题.
【详解】由题意得，，
又因为，，
代入得，要使方程有实数解，则，
显然第个方程有解，设方程与方程的判别式分别为，
则
即，等号成立的条件，
所以，中至少一个成立，
同理可得，中至少一个成立，，，中至少一个成立，且，
综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少个，
故答案为：.
【考点1】比较数(式)的大小
一、单选题
1．（2024·北京丰台·二模）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）已知,,则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
6．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C．存在使得 D．若且，则
参考答案：
1．D
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由于，取，，，无法得到，，故AB错误，
取,则，无法得到，C错误，
由于，则，所以，
故选：D
2．D
【分析】根据不等式的性质即可判断A；根据幂函数单调性可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；利用作差法即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
3．BC
【分析】两式平方再作差,利用基本不等式即可得大小关系,进而得选项A,B正误,两式相除,由于,将分子分母同时除以,再利用基本不等式即可求出其范围.
【详解】解:由题知,
所以,
当且仅当时取等,
因为,所以,
即,故,
即选项A错误,选项B正确;
因为,
所以,
当且仅当,即时取等,
所以可得,
故选项C正确,选项D错误.
故选:BC
4．ABC
【详解】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.
【分析】由，得，所以，A正确．
因为，所以，所以0，所以，B正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，C正确．
因为，所以，D错误．
故选：ABC．
5．ACD
【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.
【详解】因为，设
对A，知，易知.选项A正确.
对C，因为，，，所以，，，
于是，选项C正确.
对D，若，则，即，则.
由知.选项D正确.
对B，取，则，而，此时，选项B错误.
故选：ACD.
6．ABD
【分析】由不等式的性质即可判断A，可以得出且，结合基本不等式即可判断B，由不等式性质得，由此即可判断C，由基本不等式得，进一步注意到，由此即可判断D.
【详解】对于A，由及，得，所以，A正确．
对于B，由及，得，所以．同理可得．
又，所以，所以，B正确．
对于C，由及，得，所以，得，
所以，得，C错误．
对于D，由，得．由，得．
因为，所以，所以，D正确．
故选：ABD．
反思提升：
1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.
2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.
3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.
4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.
【考点2】不等式的基本性质
一、单选题
1．（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海长宁·二模）已知函数满足：对任意，都有．
命题：若是增函数，则不是减函数；
命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（ ）
A．和都是真命题 B．和都是假命题
C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题
二、多选题
3．（2021·江苏扬州·模拟预测）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ．
6．（2024·北京丰台·一模）目前发射人造天体，多采用多级火箭作为运载工具．其做法是在前一级火箭燃料燃烧完后，连同其壳体一起抛掉，让后一级火箭开始工作，使火箭系统加速到一定的速度时将人造天体送入预定轨道．现有材料科技条件下，对于一个级火箭，在第级火箭的燃料耗尽时，火箭的速度可以近似表示为，
其中．
注：表示人造天体质量，表示第（）级火箭结构和燃料的总质量．
给出下列三个结论：
①；
②当时，；
③当时，若，则．
其中所有正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设，
所以，解得，
所以，
又，
所以，故A，C，D错误.
故选：B.
2．C
【分析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q的真假而得解.
【详解】对于命题：设，因为是上的增函数，所以，
所以，
因为，
所以
所以
故函数不是减函数，
故命题为真命题；
对于命题在上有最大值，此时，有最小值，此时，
因为，
所以，
所以有界，但不一定有最大值和最小值，故命题为假命题．
故选：C
【点睛】结论点睛：含绝对值不等式转化方法：a>0时，；或.
3．AC
【分析】对四个选项一一验证：
对于A：利用为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若时，利用同向不等式相乘判断；若时，有，直接判断；若时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】对于A：因为两个不为零的实数，满足，所以，而为增函数，所以，即；故A正确；
对于B：可以取，则有，所以；故B不正确；
对于C：若时，则有根据同向不等式相乘得：，即成立；
若时，有，故成立；
若时，则有，，因为，所以，即成立；
故C正确；
对于D：可以取，则有，所以；故D不正确；
故选：AC
【点睛】（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
4．BC
【分析】通过取特殊值确定AD错误，通过证明当时，，由此证明B，通过证明时，，由此证明C.
【详解】选项：，当时不成立，A错误
B选项：等价于，
故要证明只需证明，且，
只需证明，只需证明，
故考虑构造函数，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以当时，，即，当且仅当时取等号，
当时，，
将中的替换为，
可得，即，
所以，，，，
所以，B选项正确
选项，设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，，即，当且仅当时取等号，
将中的替换为，因为，
所以
所以，
又，
所以，
当时，，
故，C正确；
选项：因为，D错误，
故选：BC.
【点睛】在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
5．
【分析】由已知可得，结合基本不等式求的最小值，再求的最小值.
【详解】因为，，
所以，又，，
所以，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为.
故答案为：.
6．②③
【分析】只需证明每个都大于1即可判断①错误；直接考虑时的表达式即可判断②正确；时，将条件转化为关于的等式，再得到一个不等关系，即可证明，推出③正确.
【详解】首先，对，有，故，，这推出.
由于，故每个都大于1，从而，①错误；
由于当时，有，故②正确；
由于当时，，若，则.
从而，故.
这意味着，即，从而我们有
.等号成立当且仅当，
故，即，即，
分解因式可得，再由即知，故，③正确.
故答案为：②③.
【点睛】关键点点睛：判断第三问的关键是得到条件等式，结合基本不等式即可顺利得解.
反思提升：
解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值法排除错误答案；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
【考点3】不等式性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·河南洛阳·模拟预测）设实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·云南红河·一模）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·湖南邵阳·二模）已知，若恒成立，则实数的取值范围是 .
6．（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】由不等式性质可知，当时，取得最大值8，利用对进行放缩，然后结合基本不等式可得的最小值为4，得集合A；解一元二次不等式求出集合B，然后由交集运算可得答案.
【详解】因为，所以，得，
又，所以，
当时，取得最大值8；
又，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，
所以.
由解得，
所以.
故选：C
2．B
【分析】根据题意进行转化，利用完全平方式的性质即可得解.
【详解】由可得：
，
当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
3．AC
【分析】根据不等式的性质，变形求解.
【详解】，两式相乘得，所以，A正确；
由题得，又，两式相乘得，所以，B错误；
因为，所以两式相乘得，C正确；
因为，所以两式相乘得，D错误．
故选：AC
4．BC
【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的或转化，即可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为或，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围.
【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确；
对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确；
对于C：，
令，，即，故C正确；
对于D，，令，，即，故D不正确，
故选：BC．
5．
【分析】
根据题意，将原不等式分离参数，然后换元，由函数的单调性可得最值，即可得到结果.
【详解】
原不等式等价于，
令.
令，且，
则在上单调递减，
.
故的范围是.
故答案为：
6．/0.2
【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.
【详解】令其中，
所以，
若，则，故，
令，
因此,故,则，
若，则，即，
，
则,故,则，
当且仅当且时等号成立，
如取时可满足等号成立，
综上可知的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在和前提下进行合理分类讨论，根据题意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.
反思提升：
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）是的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·北京西城·一模）设，其中，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）将椭圆上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆，设的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2020·湖南永州·三模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于2
B．，
C．若，，则
D．的最小值为2
6．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
8．（19-20高一上·北京密云·期末）已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．
9．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ．
10．（2022·上海·模拟预测），，则的最小值是 .
四、解答题
11．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求的取值范围.
（2）比较与的大小，其中.
12．（21-22高三·贵州贵阳·阶段练习）已知实数，，满足．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】利用不等式的性质，分别判断充分性和必要性.
【详解】由不等式的性质可知， 时一定有成立，
而成立时，若就不能推出.
所以是的充分不必要条件.
故选：B.
2．C
【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.
【详解】由，故，故，
由对勾函数性质可得，
，且，
综上所述，有.
故选：C.
3．B
【分析】由已知，可得，由表示出，即可判断.
【详解】由题意知，椭圆，上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆，
则，
若，则，
则，所以，则.
若，则；
若，则可能出现，即椭圆焦点在y轴上的情况，
此时，，均可能出现.
故选：B.
4．B
【解析】根据指数函数的单调性，可以判断的大小；根据作商法可得,可得答案.
【详解】是减函数，
，即，
而，即，
，
故选：B
5．AC
【分析】根据逆否命题的真假性即可判断A，根据幂的运算性质即可判断B，根据不等式的性质即可判断C,根据对勾函数的单调性即可判断D.
【详解】对于A,若，均不大于2，则 ，则 ，故，则，至少有一个大于2为真命题，故A正确，
对于B, B. ，，故 B错误，
对于C,由得，由得，所以，故C正确，
对于D，由于 ，函数 在单调递增，故，D错误，
故选:AC
6．AC
【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳.
【详解】对A，因为，则两边同乘得，两边同乘得，
则，故A正确；
对B，当时，，故B错误；
对C，因为，则，又因为，所以，故C正确；
对D，举例，则，而，
此时两者相等，故D错误.
故选：AC.
7．BD
【分析】
利用举反例和不等式得性质进行判断.
【详解】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的.
因为根据不等式性质可得正确.
因为，所以所以即所以故C错误.
因为，所以，
所以正确.
故选：BD
8．若a＞b，a＜0且b＜0，则＜（或若＜，a＜0且b＜0，则a＞b）
【分析】直接利用不等式性质得到答案.
【详解】若a＞b，a＜0且b＜0，则＜，
证明：，，故；，，故，
则，故.
故答案为：若a＞b，a＜0且b＜0，则＜.
【点睛】本题考查了不等式性质，属于简单题.
9．（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.
【详解】由题意可知的定义域为，且在上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的，，
，
则，
当且仅当时取等号，
即，即满足③，
故答案为：
10．/
【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值.
【详解】设，则，解得，
所以，，
因此，的最小值是.
故答案为：.
11．（1）； （2）.
【分析】根据不等式的基本性质，逐个运算，即可求解.
【详解】（1）解：由不等式，可得，
因为，所以，即的取值范围为.
（2）解：由，，
因为，所以，
故.
12．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据不等性质变形证明不等式；
（2）由已知得，且，利用基本不等式可求的最值，进而得解.
【详解】（1）证明：由，且，得，，
故，所以，
所以，即；
（2）解：由且，得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（ ）
附：椭圆上一点处的切线方程为.
A． B．
C． D．和的大小关系无法确定
二、多选题
2．（2024·安徽池州·模拟预测）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
3．（2024·浙江·模拟预测）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知，若关于的不等式组恰好有3个整数解，则实数的取值范围是 .
四、解答题
4．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d均为正数，且．
(1)证明:若，则;
(2)若，求实数 t 的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】运用圆和椭圆的切线方程分别求得、，结合可判断两者大小.
【详解】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为，如图所示，
则，解得，
所以，
若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，设椭圆方程为，如图所示，
则切点坐标为，
则椭圆上一点的切线方程为，
所以椭圆的切线方程的斜率为，
将切点坐标代入切线方程可得，解得，
所以，
又因为，
所以，即，
所以.
故选：A.
2．BCD
【分析】对A，举反例说明；对B，作差因式分解判断；对C，由，得，可判断；对D，利用基本不等式求解判断.
【详解】对于A，当时，不成立，故A错误；
对于B，由，得，所以，故B正确；
对于C，由，得，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，
故D正确．
故选：BCD.
3．
【分析】根据已知得出关于的方程组，求出，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.
【详解】因为，
所以，解得，
所以，，
因为不等式组恰有3个整数解，
所以，
故答案为：.
4．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质推理即得.
（2）结合已知可得，再利用基本不等式求解即得.
【详解】（1）由均为正数，，得，又，
则，所以.
（2）显然，
而均为正数，则，
又，当时取等号，
而，因此，，
所以实数 t 的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·全国·模拟预测）已知，当时，恒成立，则b的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（22-23高二下·广东广州·期末）已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．有最大值
B．
C．若时，恒成立，则
D．设为两个不相等的正数，且，则
三、填空题
3．（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ．
参考答案：
1．A
【分析】转化问题为，恒成立，令，，结合导数分析其单调性，从而求得最值，可得，，进而结合不等式的基本性质求解即可.
【详解】由题意，即，恒成立，
即，
即，
即．
令，，
则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
又，，，
且，即，
所以的最小值为，最大值为．
由知，，，
设，
即，
则，解得，，
所以，
因为，，
所以，
，
则，
即，
所以b的最大值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将问题转化为，恒成立，进而结合导数分析其最值，最后结合不等式的基本性质求解.
2．ACD
【分析】
对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.
【详解】对于选项A：由题意可得：函数的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以有最大值，故A正确；
对于选项B：因为，
则，
所以，故B错误；
对于选项C：构建，则，
因为，且当时，恒成立，
则，解得，
若，则当时恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意
综上所述：符合题意，故C正确；
对于选项D：因为，
整理得，即，
由选项A可知：函数在上单调递增，在上单调递减，
当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，
不妨设，
构建，
因为在上恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以，即，
可得，
注意到在上单调递减，且，
所以，即，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
3．
【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解．
【详解】设，
则由题意可得，
因为，所以
①当时，，
只需考虑，
所以，，
所以，可得，当且仅当时取等号；
②当时，，只需考虑，
所以，
可得，当且仅当时取等号.
综上所述，的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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