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专题02 常用逻辑用语（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 9
【考点1】充分、必要条件的判定 9
【考点2】充分、必要条件的应用 12
【考点3】全称量词与存在量词 16
【分层检测】 20
【基础篇】 20
【能力篇】 26
【培优篇】 28
考试要求：
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
1.区别A是B的充分不必要条件(A B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B A且AB)两者的不同.
2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若A是B真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
3.p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.
4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.
6.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
8．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
10．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
1．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.，
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
2．B
【分析】
根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】
由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
3．B
【分析】
根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】
当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．C
【分析】
解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【详解】
解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
5．C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
6．A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
7．A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，
由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，
综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
8．B
【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
9．B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
10．A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
【考点1】充分、必要条件的判定
一、单选题
1．（2024·河北·二模）已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知中角，的对边分别为，，则可作为“”的充要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的 条件．
6．（2020·江苏苏州·模拟预测）“≥3”是“函数在区间上单调递增”的 条件．（填充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）
参考答案：
1．A
【分析】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，则，，
若则，
即，故充分性成立，
若，则，
解得或，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．B
【分析】利用向量数量积的坐标表示，结合充分性和必要性的定义求解即可.
【详解】由题意，得，，
若，则，
即，解得，
所以“”推得出“”，即必要性成立，
但“”推不出 “”，即充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
3．AB
【分析】
由三角形中的大边对大角，利用正弦定理和三角函数的性质，结合充要条件的定义，判断各选项的正误
【详解】中，由正弦定理可知，时有，时有，A选项正确；
余弦函数在上单调递减，中，当时有，则有；当时有，则有，B选项正确；
中，当时有，当为钝角，为锐角时，，C选项错误；
中，当时有，当为钝角，为锐角时，，D选项错误.
故选：AB
4．CD
【分析】根据给定函数，探讨函数的奇偶性，利用导数探讨函数的单调性，再利用性质即可判断作答.
【详解】函数的定义域为，，
即函数是上的偶函数，当时，，
求导得，则函数在上单调递增，
对于A，取，满足，而，A不是；
对于B，取，满足，而，B不是；
对于CD，，于是，由函数是偶函数得，CD是.
故选：CD
5．充分必要
【分析】先由函数的图象关于中心对称求得的值，再解方程求得的值，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】函数图象的对称中心为，
所以由“函数y=tanx的图象关于(x0,0)中心对称”等价于“”．
因为等价于，即．
所以“函数的图象关于中心对称”是“”的是充分必要条件．
故答案为：充分必要
6．既不充分又不必要
【详解】因为函数在区间上单调递增，所以，可得，
所以“≥3”是“函数在区间上单调递增”的既不充分又不必要条件．
【点睛】本题考查了逻辑用语中充分与必要条件，注意如何用集合的关系来表示充分与必要条件，此题属于简单题.
反思提升：
充分条件、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
【考点2】充分、必要条件的应用
一、单选题
1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·安徽滁州·模拟预测）下列命题中正确的命题是 （ ）
A．，使；
B．若，则；
C．已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；
D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为．
4．（2023·广东·模拟预测）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2020·河南·模拟预测）若关于的不等式成立的充要条件是，则 .
6．（2022·吉林长春·模拟预测）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
参考答案：
1．D
【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项.
【详解】若命题“，”为假命题，
则命题的否定“，”为真命题，
即，恒成立，
，，当，取得最大值，
所以，选项中只有是的真子集，
所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为.
故选：D
2．A
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，求得不等式的解集，结合选项，以及必要不充分条件的判定方法，即可求解.
【详解】由不等式，可得，即，解得，
结合选项，可得的一个必要不充分条件为.
故选：A.
3．BCD
【分析】根据指数函数的性质，得到，可判定A不正确；由三角函数的基本关系式，可判定B正确；由指数函数与对数函数的性质，结合充分、必要条件的判定，可判定C正确；求得，分类讨论，结合三角函数的符号，可判定D正确．
【详解】对于A中：当时，，即，所以A不正确；
对于B中：若，则，
所以，可得或，此时，
所以B正确；
对于C：由，可得，又由，可得则，
所以“”是“”的必要不充分条件，所以C正确；
对于D：由角的终边在第一象限，可得，
当为偶数时，在第一象限时，可得；
当为奇数时，在第三象限时，可得，
所以的取值集合为，所以D正确．
故选：BCD．
4．AB
【分析】设切点坐标为，则有，所以问题转化为方程恰有两个解，令，然后利用导数求解其零点即可.
【详解】由，得，
设切点为，则切线的斜率为，
所以有，
整理可得：，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，
，
，
令，则，
所以在上单调递增，因为，
所以当时，；当时，，
①当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要或，即或；
②当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，，
所以只要或，由可得：，
由得；
③当时，，所以函数在上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当时，或；
当时，或，
所以选项A正确，B正确，C错误，D错误，
故选：AB
【点睛】关键点睛：解题的关键是根据题意将问题转化为方程恰有两个解，构造函数，再次将问题转化为此函数有两个零点，然后利用导数通过分析其单调性可求得结果.
5．2
【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】因为是不等式成立的充分条件，
所以，
因为是不等式成立的必要条件，
所以，
故.
故答案为：2
【点睛】本题考查不等式的解法、简易逻辑，还考查了推理能力与运算能力，属于基础题..
6．
【分析】化简命题和，利用真子集关系列式可求出结果.
【详解】由，得，即；
由，得，
因为q是p的必要不充分条件，所以是的真子集，
所以且两个等号不同时取，解得.
故答案为：
反思提升：
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
【考点3】全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．
C．
D．的充要条件是
2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知，，则是方程的解的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·山西吕梁·一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．记为函数图象上的任意两点，则
4．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ．
参考答案：
1．B
【分析】举反例来判断ACD，利用指数函数的性质判断B.
【详解】对于A，当时，满足，但不满足，故“”不是“”的必要条件，故错误；
对于B，根据指数函数的性质可得，对于，即，故正确；
对于C，当时，，故错误；
对于D，当时，满足，但不成立，故错误.
故选：B.
2．C
【分析】利用二次函数的图象和性质，理解全称量词命题和存在量词命题的真假以及充要条件的意义即可.
【详解】因为，所以函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为：，函数的最小值为.
若“是方程的解”，则，那么就是函数的最小值，
所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分条件；
若“，”，则为函数的最小值，所以，即，
所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要条件.
综上可知：“是方程的解”的充要条件是“，”.
故选：C
3．BCD
【分析】根据全称存在量词命题的否定形式，判断A，根据充分，必要条件的定义，判断B，根据复合函数的定义域公式，判断C，利用作差法判断D.
【详解】对于A选项，“，”的否定为“”，故A错误；
对于B选项，由，得，故或，
因此是的充分不必要条件，故B正确；
对于C选项，中，，中，，即，故C正确；
对于D选项，
，
,
，
，故D正确.
故选：BCD
4．BCD
【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案.
【详解】，
则对都成立，
又，所以，
观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
5．
【分析】将问题转化为“在上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“，使”是假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
6．（答案不唯一）
【分析】当时，，当时，可得可取任意负数，即可求解.
【详解】对于，，
当时，对于，，则可取任意负数，如；
故答案为：.
反思提升：
(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与p的关系，转化成p的真假求参数的范围.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
2．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列的前项和为，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·全国·模拟预测）命题“，函数在上单调递增”的否定为（ ）
A．，函数在上单调递减
B．，函数在上不单调递增
C．，函数在上单调递减
D．，函数在上不单调递增
二、多选题
5．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“”的否定形式是“”
B．“复数”是“”的充分不必要条件
C．若，则
D．函数 的最小值为4
6．（2023·广东广州·模拟预测）下列是（，，）的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）设m，n是空间中两条不同直线，，是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是（ ）
A．当时，“”是“”的充要条件．
B．当时，“”是“”的充要条件．
C．当时，“”是“”的充分不必要条件．
D．当时，“”是“”的必要不充分条件．
三、填空题
8．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 ．
9．（21-22高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 .
10．（2022·北京海淀·三模）能够说明“若均为正数，则”是真命题的充分必要条件为 .
四、解答题
11．（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足．
(1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
12．（2023·河南·模拟预测）已知对任意实数恒成立.
(1)求实数的取值所构成的集合;
(2)在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】利用圆上恰存在三个点到直线的距离等于，等价于到直线：的距离为，从而利用点线距离公式与充分必要条件即可得解.
【详解】因为圆：的圆心，半径为，
当圆上恰存在三个点到直线的距离等于时，
则到直线：的距离为，
所以，解得，即必要性不成立；
当时，由上可知到直线：的距离为，
此时圆上恰存在三个点到直线的距离等于，即充分性成立；
所以“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的充分不必要条件.
故选：A.
2．B
【分析】求出不等式成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断.
【详解】，
因为是成立的必要不充分条件，
所以.
故选：B.
3．C
【分析】根据等差数列的通项以及前项和的函数性质，即可结合充要条件的定义求解.
【详解】因为是公差不为0的无穷等差数列，若“为递减数列”，
可得的通项公式为一次函数且一次性系数小于0，一定存在正整数，
当时,有，故存在，当远远大于时， 时，此时，故充分性成立，
若存在正整数，当时，，故二次函数开口向下，
因此，故为递减数列，故必要性成立.
故选：C．
4．B
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，函数在上单调递增”的否定为“，函数在上不单调递增”．
故选：B．
5．BC
【分析】根据命题的否定即可判断A，根据复数根的求解即可判断B，根据不等式的性质及可求解C，根据对勾函数的单调性即可求解D.
【详解】对于A，由全称命题的否定知，原命题的否定为：，故A错误；
对于B，因为或，所以是的充分不必要条件，B正确；
对于C，，因为，故，，故，故C正确；
对于D，因为，令，，又在上单调递减，所以 ，故D错误．
故选：BC．
6．CD
【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，利用指数函数单调性可进行判断.
【详解】A选项，若，则A错误，
B选项，等价为，当时不成立，故B错误，
C选项，因为在R上单调递增，而，所以，C正确；
D选项，因为在R上单调递增，而，所以，D正确.
故选：CD
7．AD
【分析】根据线面之间的位置关系结合充分条件和必要条件逐一判断即可.
【详解】对于A，当时，若，则或或m，相交,
若，则或或m，相交，
故不是的充分条件，也不是必要条件，故A错误；
对于B，根据面面平行的性质B正确；
对于C，当时，若，由面面垂直的判定定理得，
若，则或或m，相交，故C正确；
对于D，当时，若，则m，n平行或异面，
若，则或，
所以不是的充分条件也不是必要条件，故D错误．
故选：AD．
8．
【分析】根据已知条件，推得，为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．
【详解】命题“，”为假命题，
则，为真命题，又
则，
故实数的取值范围为．
故答案为：．
9．
【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.
【详解】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以是的一个真子集，
则，即实数a的取值范围是.
故答案为：.
10．
【分析】利用充分必要条件的定义判断.
【详解】解：，
因为均为正数，
所以，反之也成立，
故“若均为正数，则”是真命题的充分必要条件为，
故答案为：
11．(1)；
(2).
【分析】（1）根据一元二次不等式求解p，q为真命题时的范围，即可求解，
（2）根据充分不必要条件，即可列不等式求解.
【详解】（1）当时，由，得，
解得，即p为真命题时，实数x的取值范围是
由，解得，
即q为真命题时，实数x的取值范围是．
所以若p，q均为真命题，则实数x的取值范围为．
（2）由，得，
因为，所以，故p：．
若是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，
所以，解可得．故实数a的取值范围是
12．(1)
(2).
【分析】（1）通过讨论实数是否为时，即可通过解不等式求出实数的取值所构成的集合；
（2）求出集合，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，
对恒成立，
当时，原不等式变为，符合题意;
当时，对恒成立的充要条件为
解得：.
综上可知，实数的取值所构成的集合
（2）由题意，
，
∴，
∵是的充分不必要条件，
∴解得：，
经检验知满足题意，
故实数的取值范围为：.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·广东梅州·一模）已知直线，和平面，，且，则下列条件中，是的充分不必要条件的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
3．（2020·湖南衡阳·三模）设条件p：；条件q：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
4．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】根据特称名为假命题可得，对恒成立，令，利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论.
【详解】因为命题“，”是假命题，所以，恒成立，
则，对恒成立，
令，则二次函数的对称轴为直线，
要使得，恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A.
2．BCD
【分析】结合命题的充分不必要条件：由线面关系可得到A错误；由线面垂直的性质和判定可推出B正确；由线面平行的性质和判定可推出C正确；由面面垂直的性质和判定可推出D正确.
【详解】A：若，，则直线，可能平行或异面，所以不能推出，故A错误；
B：若，则直线m垂直于平面的每一条直线，又，所以成立，
但若成立，根据线面垂直的判定，还需在平面找一条与n相交的直线，且m不在平面内，故q不能推出p，故B正确；
C：若，且，由面面平行的性质可知，成立；反之，由线面平行的判定可知当，不能推出，故C正确；
D：若，且，由面面垂直的判定定理可知成立；反之，若，且，则直线n与平面可能成任意角度，故D正确.
故选：BCD.
3．
【分析】分别解得不等式，可得，，由q是p的必要不充分条件，可得，且,进而可得A是B的真子集，即可得出结果.
【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴，且.
记p：，
q：，
则A是B的真子集，从而解得.
故实数a的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查了含有绝对值不等式和一元二次不等式的解法，充分必要条件，集合之间的关系等基本数学知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
4．(1)证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义、结合充要条件的意义推理即得.
（2）利用偶函数性质及在的单调性求解不等式即可.
【详解】（1）函数的定义域为R，不恒为0，
函数为偶函数
，
所以“”是“函数为偶函数”的充要条件.
（2）当时，，求导得，函数在R上单调递增，
当时，，即函数在单调递增，又是偶函数，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，则“有两个极值”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·江苏南京·一模）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（ ）
A．是函数为偶函数的充分不必要条件；
B．是函数为奇函数的充要条件；
C．如果，那么为单调函数；
D．如果，那么函数存在极值点.
三、填空题
3．（2020·全国·模拟预测）已知向量，满足，且对任意，但有，则的最大值是 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据有两个正的穿越零点，求得有两个极值点的充要条件，再求其充分不必要条件即可.
【详解】由题可得，
若满足题意，则有两个正的穿越零点，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
又，，当趋近于正无穷时，趋近于，
若有两个正的穿越零点，则，解得，
即有两个极值的充要条件是：，
根据选项，则有两个极值的一个充分不必要条件是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对，分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，从而求得有两个极值点的充要条件.
2．BCD
【分析】根据奇偶函数的定义、充分条件和必要条件的定义即可判断AB；利用导数，分类讨论函数的单调性，结合极值点的概念即可判断CD.
【详解】对于A，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为偶函数；
当函数为偶函数时，，故，
即，又，故，
所以是函数为偶函数的充要条件，故A错误；
对于B，当时，函数定义域为R关于原点对称，
，故函数为奇函数，
当函数为奇函数时，，
因为，，故.
所以是函数为奇函数的充要条件，故B正确；
对于C，，因为，
若，则恒成立，则为单调递增函数，
若则恒成立，则为单调递减函数，
故，函数为单调函数，故C正确；
对于D，，
令得，又，
若，
当，，函数为单调递减.
当，，函数为单调递增.函数存在唯一的极小值.
若，
当，，函数为单调递增.
当，，函数为单调递减.故函数存在唯一的极大值.
所以函数存在极值点，故D正确.
故答案为：BCD.
3．6
【分析】由题意，由可得，进而可得，利用完全平方公式结合基本不等式，即可得解.
【详解】因为对任意，恒成立，即，如图
由图可知，，
又，，
又
，即
，当且仅当时取等号，所以的最大值是6．
故答案为：6．
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算及基本不等式，解题的关键是利用向量的线性运算的相关知识分析出对任意，但有时，必有，然后利用勾股定理得到，即可利用基本不等式求最值．
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专题02 常用逻辑用语（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】充分、必要条件的判定 4
【考点2】充分、必要条件的应用 5
【考点3】全称量词与存在量词 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 9
考试要求：
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
1.区别A是B的充分不必要条件(A B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B A且AB)两者的不同.
2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若A是B真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
3.p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.
4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.
6.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
8．（2021·全国·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
10．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点1】充分、必要条件的判定
一、单选题
1．（2024·河北·二模）已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
3．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知中角，的对边分别为，，则可作为“”的充要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）“函数的图象关于中心对称”是“”的 条件．
6．（2020·江苏苏州·模拟预测）“≥3”是“函数在区间上单调递增”的 条件．（填充分必要，充分不必要，必要不充分，既不充分又不必要）
反思提升：
充分条件、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
【考点2】充分、必要条件的应用
一、单选题
1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·安徽滁州·模拟预测）下列命题中正确的命题是 （ ）
A．，使；
B．若，则；
C．已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件；
D．若角的终边在第一象限，则的取值集合为．
4．（2023·广东·模拟预测）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2020·河南·模拟预测）若关于的不等式成立的充要条件是，则 .
6．（2022·吉林长春·模拟预测）设命题，命题．若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．
反思提升：
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
【考点3】全称量词与存在量词
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）下列命题中，真命题是（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．
C．
D．的充要条件是
2．（23-24高一下·湖南郴州·阶段练习）已知，，则是方程的解的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·山西吕梁·一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．记为函数图象上的任意两点，则
4．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值： ．
反思提升：
(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
(2)判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与p的关系，转化成p的真假求参数的范围.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）已知圆：，直线：，则“”是“圆上恰存在三个点到直线的距离等于”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
2．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）设公差不为0的无穷等差数列的前项和为，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·全国·模拟预测）命题“，函数在上单调递增”的否定为（ ）
A．，函数在上单调递减
B．，函数在上不单调递增
C．，函数在上单调递减
D．，函数在上不单调递增
二、多选题
5．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．“”的否定形式是“”
B．“复数”是“”的充分不必要条件
C．若，则
D．函数 的最小值为4
6．（2023·广东广州·模拟预测）下列是（，，）的必要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）设m，n是空间中两条不同直线，，是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是（ ）
A．当时，“”是“”的充要条件．
B．当时，“”是“”的充要条件．
C．当时，“”是“”的充分不必要条件．
D．当时，“”是“”的必要不充分条件．
三、填空题
8．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 ．
9．（21-22高一上·江西抚州·阶段练习）已知，（a为实数）．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是 .
10．（2022·北京海淀·三模）能够说明“若均为正数，则”是真命题的充分必要条件为 .
四、解答题
11．（2023·河南南阳·模拟预测）设p：实数x满足，q：实数x满足．
(1)若，且p和q均为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
12．（2023·河南·模拟预测）已知对任意实数恒成立.
(1)求实数的取值所构成的集合;
(2)在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数，命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·广东梅州·一模）已知直线，和平面，，且，则下列条件中，是的充分不必要条件的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
3．（2020·湖南衡阳·三模）设条件p：；条件q：，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .
四、解答题
4．（2023·上海普陀·一模）设函数的表达式为.
(1)求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
(2)若，且，求实数的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·吉林·模拟预测）已知函数，则“有两个极值”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·江苏南京·一模）同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（ ）
A．是函数为偶函数的充分不必要条件；
B．是函数为奇函数的充要条件；
C．如果，那么为单调函数；
D．如果，那么函数存在极值点.
三、填空题
3．（2020·全国·模拟预测）已知向量，满足，且对任意，但有，则的最大值是 ．
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