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专题01 集合（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】集合的基本概念 7
【考点2】集合间的基本关系 10
【考点3】集合的运算 13
【分层检测】 17
【基础篇】 17
【能力篇】 23
【培优篇】 26
考试要求：
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A).
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
1．B
【分析】
根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
3．A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
4．B
【分析】
根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】
依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
5．A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
6．D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
7．A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
8．D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
9．B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【详解】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
10．B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
11．B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为，所以,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
12．C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
【考点1】集合的基本概念
一、单选题
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
二、多选题
3．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合的真子集个数是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
4．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，若，则实数 .
6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ．
参考答案：
1．A
【分析】解指数不等式化简集合，用列举法表示集合，再进行并集运算即可.
【详解】由题意知，
，
所以.
故选：A.
2．D
【分析】根据集合中元素和为1，确定一元二次方程的根，即可得出的取值集合.
【详解】因为集合的元素之和为1，
所以一元二次方程有等根时，可得，即，
当方程有两不相等实根时，，即，
综上，实数a 所有取值的集合为.
故选：D
3．AC
【分析】A. 利用集合相等判断；B.根据集合的真子集定义判断；C.利用一元二次不等式的解法判断；D.利用分式不等式的解法判断.
【详解】A. ，故正确；
B.集合的真子集个数是3，故错误；
C.不等式的解集是，故正确；
D. 的解集是或，
故选：AC
4．BCD
【分析】求出集合，根据集合的运算即可判断A，B；结合，可判断C；由，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D.
【详解】由题意得，
故，，A错误，B正确；
由于，故，则，C正确；
若，则能取到所有的正数，
即，则或，
即，D正确，
故选：BCD
5．
【分析】根据得或，分类讨论结合集合中元素的互异性求解即可.
【详解】由，可得或，
当时，集合不满足集合的互异性；
当时，或1（舍去），集合，符合题意.
综上，.
故答案为：.
6．
【分析】
根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【详解】由题意，所以或，则或，
所以实数的取值集合为.
故答案为：.
反思提升：
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【考点2】集合间的基本关系
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）满足且的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（ ）
A．
B．的元素个数为16
C．
D．的子集个数为64
4．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列说法正确的是（ ）
A．集合，，，若则或
B．设全集为，若，则
C．集合
D．“和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，．若，则的最大值为 ．
6．（2021·山东淄博·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列．若集合，集合，集合（，），且，则 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合中的元素，即可求解集合的个数.
【详解】由可得：，，.又因为，
所以或.
故选：B
2．D
【分析】根据对数函数单调性求集合A，由题意可知，即可得结果.
【详解】由题意可得，
因为，则，所以．
故选：D．
3．BCD
【分析】解二次不等式化简集合，进而求得集合，利用集合的交并运算与常用数集的定义，结合集合子集个数的求法逐一分析各选项即可得解.
【详解】对于ABC，因为，
所以，即，
所以有个元素，故A错误，BC正确；
对于D，而有个元素，所以的子集个数为，故D正确.
故选：BCD.
4．BC
【分析】对于A：由，得出或等于2，分别求解，然后验证互异性即可判断为错；对于B：由集合间的包含关系和补集的概念判断正确；对于C：令集合中的，即可判定为正确；对于D，取特值即可判定为错误.
【详解】对于A：由，
若或1，
当时，不满足互异性，舍去，当时，，不满足互异性，舍去；
若或2，
当时，合题意，当时，，合题意，
故或2，A错误；
对于B：若，则，B正确；
对于C：令集合中的，得，故C正确；
对于D：不是无理数，若为无理数，可取，和不都是无理数，故“和都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件，故D错.
故选：BC.
5．
【分析】先求集合，对分类讨论，并结合，数形结合求出的取值范围，注意端点值能否取到．
【详解】因为，
当时，，若，则．
在数轴上表示出集合，，如图，
则；
当时，，此时不成立，
当时，，此时不成立．
综上，的最大值为．
故答案为：
6．5
【解析】根据题意判断出，根据等比数列的性质可得，根据等差数列的性质，列出等式（或），求出即可.
【详解】由，其中，，
可得，则，令，或可得，①
令中的，根据等差数列的性质可得，
所以，②
根据①②得出，所以；
令中的，根据等差数列的性质可得，
所以，③
根据①③得出，所以；
同理令中的，根据等差数列的性质可得，
所以，与①联立可；
令中的，根据等差数列的性质可得，
所以，与①联立可；综上所述.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的性质与集合相等，关键点是判断出，根据等比数列的性质可得，根据等差数列的性质，列出等式（或），考查学生分析问题、解决问题的能力.
反思提升：
1.若B A，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
【考点3】集合的运算
一、单选题
1．（2024·河北·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·北京·模拟预测）设是中两个子集，对，定义：，若对任意，，则的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知表示集合的整数元素的个数，若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·甘肃·二模）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中 ； ； .
6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ．
参考答案：
1．A
【分析】解不等式得到不等式，求出交集.
【详解】，，
故.
故选：A
2．B
【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.
【详解】解：因为，
，
所以．
故选：B．
3．AC
【分析】根据题意，由时，，或时，求解.
【详解】解：因为，且对任意，，
所以m，n的值一个为0，另一个为1，即时，，或时，，
所以的关系为或，
故选；AC
4．BC
【分析】分别求解集合，再根据选项依次判断.
【详解】，得，所以，
，，，所以，
所以，，，
，其中只有BC正确；
故选：BC
5．
【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.
【详解】由题意得：，解得：.
故答案为：；；.
6． 22
【分析】根据定义，结合等差数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】当时，表示有2个元素的集合，，
因为，且有2个元素，
所以或或，所以；
由题中定义可知：，
于是由
，
而，
即，又因为，
所以m的最大值为，
故答案为：；
【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义，运用等差数列的前项和公式.
反思提升：
1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·陕西·二模）集合，，则的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．2
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广东深圳·二模）对于任意集合，下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（22-23高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广西·二模）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2024·辽宁·二模）已知集合，集合，写出满足的一个实数的值 ．
9．（2024·山西晋城·二模）已知集合，，若，则的子集的个数为 ．
10．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
11．（2023·安徽·模拟预测）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知集合，集合．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】先求集合A，确定即可求解.
【详解】因为，，所以，
所以集合的真子集的个数为.
故选:D.
2．A
【分析】求出的元素个数，即可得出其子集个数.
【详解】由题意可得，所以，共两个元素，
所以其子集的个数为.
故选：A．
3．D
【分析】根据题意，由集合的运算结合的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
，
则,，
由集合的运算可知，表示中去掉的部分，
所以.
故选：D
4．B
【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果.
【详解】
对于：如图所知，为区域①，所以，故错误；
对于：为区域①和③；为区域③，为区域①，则也为为区域①和③；两边相等，故正确；
对于：为区域①，为区域①，不等于区域②（区域②为），故错误；
对于：为区域①和③；而为区域③，为区域①，所以为空集，所以错误；
故选：.
5．ABD
【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.
【详解】根据“影子关系”集合的定义，
可知，，为“影子关系”集合，
由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．
故选：ABD
6．ACD
【分析】根据Venn图可知 ，依次判定选项即可.
【详解】根据Venn图可知 ，
对于A，显然 ，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则 ，故C正确；
对于D，，或，
则 ，故D正确.
故选：ACD
7．CD
【分析】由成立的充要条件求出对应的参数的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【详解】当且仅当是的子集，当且仅当，即，
对比选项可知使得成立的充分不必要条件有，.
故选：CD.
8．1（答案不唯一）
【分析】由已知得出，设，结合图象列出不等式组求解即可．
【详解】因为，所以，
设，则的整数解为，
则，，且，解得，
故答案为：1．
9．8
【分析】由求得，求得集合，进而求得，结合元素个数可得结果.
【详解】由可知，则，可得，解得：，
所以，即.
,
所以，则的子集的个数为.
故答案为：8
10．
【分析】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.
【详解】因为，，若中有2个元素，
所以，所以，解得，
则实数a的取值范围是.
故答案为：.
11．(1)；
(2).
【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、B集合的包含关系，即可得
（2）先判断出是A的真子集，再考虑B是否为空集两种情况考虑
【详解】（1）由题意知，
因为，所以，
则，解得，则实数的取值范围是；
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以是A的真子集，
当时，解得；
当时，（等号不能同时取得），解得，
综上，.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式化简，即可由交集为空集，分情况讨论，
（2）根据真子集，即可列不等式求解.
【详解】（1）由得，
由，
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，需或，解得．
综上，实数m的取值范围为．
（2）由已知A是B的真子集，知，且两个端点不同时取等号，解得．
由实数m的取值范围为．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·福建厦门·二模）设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
二、多选题
2．（2022·河北衡水·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
三、填空题
3．（2024·河南信阳·二模）已知集合，，那么 ．
四、解答题
4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;
(2)若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;
(3)已知数列，求证:.
参考答案：
1．D
【分析】明确集合中满足的含义，结合组合数的计算，即可求得答案.
【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，
即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为（个），
故选：D
2．AB
【分析】根据给定条件求出函数的解析式，进而求出的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系列式作答.
【详解】依题意，，由，得：，
于是得的一个单调递增区间是，因在上为增函数，
因此，，即有，解得，
所以，选项C，D不满足，选项A，B满足.
故选：AB
3．
【分析】首先由函数定义域化简集合，求复杂分式、根式函数的值域得集合，结合集合的交集、补集概念即可求解.
【详解】要使得有意义，则，解得，即集合，
若有意义，则，且，
而且，所以且，
所以或，从而，.
故答案为：.
4．(1).
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；
（2）若为等差数列，且是递减数列，得到，结合，证得充分性成立；再由是递减数列，得到，结合互不相等，得到，得到必要性成立，即可得证；
（3）根据题意，得到，得出，得到，不妨设，则，推得为奇数，矛盾，进而得证.
【详解】（1）解：由题意，数列，
可得，
所以集合，所以.
（2）证明：充分性：若为等差数列，且是递减数列，则的公差为，
当时，，所以，
则，故充分性成立.
必要性:若是递减数列，，则为等差数列，
因为是递减数列，所以，
所以，且互不相等，
所以，
又因为，
所以且互不相等，
所以，
所以，
所以为等差数列，必要性成立.
所以若是递减数列，“”的充要条件是“为等差数列”.
（3）证明：由题意集合中的元素个数最多为个，
即，
对于数列，此时，
若存在，则，其中，
故，
若，不妨设，则，而，
故为偶数，为奇数，矛盾，
故，故，故由得到的彼此相异，所以.
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二、多选题
2．（21-22高三上·江苏徐州·阶段练习）函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
3．（2024·辽宁·模拟预测）若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .
参考答案：
1．C
【分析】根据已知可推出函数周期性，单调性以及函数值情况，由此可作出函数的图象，将问题转化为函数图象的交点问题解决.
【详解】由为R上的奇函数,
①，
又 ②，
由②－①为周期为2的周期函数,
而又，
当时当时,．
又当时，单调递增，且．
故可作出函数 的大致图象如图：
而集合A中的元素个数为函数与图象交点的个数，
由以上分析结合函数性质可知，3为集合A中的一个元素，
且y=f（x）与在（1，3），（3，5），...，（23，25）中各有一个交点，
∴集合中的元素个数为13．
故选：C．
2．ACD
【分析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.
【详解】由于，
，，，，
即函数的定义域为
当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确；
当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确；
即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.
3．960
【分析】结合韦恩图，根据题意先选择3个元素均分给，，三个位置，在排剩余元素，结合组合数和分步乘法计数原理运算求解.
【详解】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，

则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法，
剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法；
所以“有序子集列”共有个.
故答案为：960.
【点睛】关键点点睛：本题关键是将集合问题转化为元素分配问题，先排重叠部分，再排剩余元素即可.
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专题01 集合（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】集合的基本概念 7
【考点2】集合间的基本关系 10
【考点3】集合的运算 13
【分层检测】 17
【基础篇】 17
【能力篇】 23
【培优篇】 26
考试要求：
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.在具体情境中，了解全集与空集的含义.
4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算.
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N＋ Z Q R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A).
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
4. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
5．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·全国·高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·全国·高考真题）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国·高考真题）设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【考点1】集合的基本概念
一、单选题
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济南·二模）已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
二、多选题
3．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合的真子集个数是4
C．不等式的解集是 D．的解集是或
4．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合，若，则实数 .
6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ．
反思提升：
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
【考点2】集合间的基本关系
一、单选题
1．（2024·四川成都·三模）满足且的集合的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，．若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·甘肃定西·一模）设集合，则（ ）
A．
B．的元素个数为16
C．
D．的子集个数为64
4．（23-24高一上·重庆永川·期中）下列说法正确的是（ ）
A．集合，，，若则或
B．设全集为，若，则
C．集合
D．“和都是无理数”是“是无理数”的必要不充分条件
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，．若，则的最大值为 ．
6．（2021·山东淄博·模拟预测）已知数列为等差数列，数列为等比数列．若集合，集合，集合（，），且，则 ．
反思提升：
1.若B A，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
【考点3】集合的运算
一、单选题
1．（2024·河北·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·北京·模拟预测）设是中两个子集，对，定义：，若对任意，，则的关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知表示集合的整数元素的个数，若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2022·甘肃·二模）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中 ； ； .
6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设表示不超过的正整数集合，表示k个元素的有限集，表示集合A中所有元素的和，集合，则 ；若，则m的最大值为 ．
反思提升：
1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·陕西·二模）集合，，则的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．2
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广东深圳·二模）对于任意集合，下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（22-23高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广西·二模）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
7．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2024·辽宁·二模）已知集合，集合，写出满足的一个实数的值 ．
9．（2024·山西晋城·二模）已知集合，，若，则的子集的个数为 ．
10．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
11．（2023·安徽·模拟预测）已知集合.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
12．（2023·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知集合，集合．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)命题，命题，若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·福建厦门·二模）设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60 B．100 C．120 D．130
二、多选题
2．（2022·河北衡水·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的值可能为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
三、填空题
3．（2024·河南信阳·二模）已知集合，，那么 ．
四、解答题
4．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列的各项均为正整数，设集合，，记的元素个数为.
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合，并写出的值;
(2)若是递减数列，求证:“”的充要条件是“为等差数列”;
(3)已知数列，求证:.
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则集合中的元素个数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
二、多选题
2．（21-22高三上·江苏徐州·阶段练习）函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
3．（2024·辽宁·模拟预测）若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” .
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