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专题02 等边三角形（六大题型）
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
【题型3 等边三角形的判定】
【题型4等边三角形的判定与性质】
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
【题型6 反证法】
【题型1利用等边三角形的性质求边长】
1．如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为（ ）
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
2．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
3．如图所示，已知是等边三角形，点是上任意一点，，分别于两边垂直，等边三角形的高为1，则的值为（ ）

A． B．1 C．2 D．不确定
4．如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．如图，是等边三角形，，若，，则四边形的周长为（ ）

A．8 B．9 C．13 D．15
6．如图，是等边三角形，，若，，则的周长为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【题型2利用等边三角形的性质求角度】
7．如图，等边的两条高和相交于点O，则度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，为等边三角形，．若，则（　　）

A． B． C． D．
9．如图，在等边中，外角（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
11．如图，在等边三角形中，于点D，点E是延长线上一点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
12．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示．若，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）

A．45° B．55° C．60° D．75°
14．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD＝AP，且∠APD＝70°，则∠PAB的度数是(　　)

A．10° B．15° C．20° D．25°
15．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，等于（ ）
A． B． C． D．
【题型3 等边三角形的判定】
16．以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）．
A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4
17．下列对的判断，错误的是（ ）
A．若，，则是等边三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，，则是等腰三角形
D．若，，则
18．的三边长分别为，，，若满足，则的形状为( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．有角的直角三角形 D．钝角三角形
19．已知如图，，点D是的中点，平分，，垂足为E．且．求证：是等边三角形．
20．已知：如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点E、D，连接．求证：是等边三角形．
21．如图，在中，于点D，且，试判断的形状，并说明理由．
22．如图，，，，．
(1)求的度数；
(2)求证：是等边三角形．
【题型4等边三角形的判定与性质】
23．如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接．
(1)求证：是等边三角形．
(2)求证：．
24．已知：如图，，，．
(1)求证：为等边三角形；
(2)求的度数．
25．如图1，已知等边中，、分别是、上的点，连接．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)如图2，若、分别为、中点，连接、，与相交于点，请直接写出图中所有等腰三角形．与除外
26．图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
(1)求证：△PMN是等边三角形；
(2)若AB＝12cm，求CM的长．
27．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）若BC=10，求△ODE的周长．
【题型5 含30°角的直角三角形的性质】
28．如图，在中，，，的垂直平分线，交于点E，交与点D，若．则的长是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
29．如图，在中，，，，点P是边上的动点，则的长不可能是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
30．如图，已知，点Р在边OA上，，点M，N在边OB上，．若，则OM的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．如图，中，为中线，，，，则长（ ）
A． B．2 C． D．
32．如图，在中，，，， D为的中点，若动点E以每秒的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，点E运动t秒后，是直角三角形，则t的值为（　　）
A．2 B．0.5
C．2或3.5 D．2或0.5
【题型6 反证法】
33．用反证法证明，“在中，、对边是、．若，则．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
34．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．每一个内角都大于 B．每一个内角都小于
C．有一个内角大于 D．有一个内角小于
35．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
36．用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（ ）
A．一个三角形中至少有一个钝角 B．一个三角形中至多有一个钝角
C．一个三角形中至少有两个钝角 D．一个三角形中没有钝角
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】因为每个三角形都是等边的，从其中一个三角形入手，比右下角的以AB为边的三角形，设它的边长为x，则等边三角形的边长依次为x，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2．所以六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7 x+18，而最大的三角形的边长AF等于AB的2倍，所以可以求出x，则可求得周长．
【详解】设AB=x，
∴等边三角形的边长依次为x，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，
∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）=7x+18，
∵AF=2AB，即x+6=2x，
∴x=6cm，
∴周长为7 x+18=60cm．
故选：D
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确表示各个等边三角形的边长是解题的关键．
2．C
【分析】根据△A1B1A2为等边三角形，可得∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，从而得到∠A1B1O＝∠MON，进而得到A1B1＝A1A2＝OA1，同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，由此得到规律
AnBn＝AnAn+1＝2n-1 OA1＝2n，，即可求解．
【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°-30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
……
∴AnBn＝AnAn+1＝2n-1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律题，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，明确题意，准确的到规律是解题的关键．
3．B
【分析】根据等边三角形的性质可得，根据，可得的值．
【详解】解：连接，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，
∵，等边三角形的高为1，
又∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得DE的长，本题得以解决．
【详解】解：作QF⊥AC，交AC的延长线于点F，
则∠QFC=90°，
∵△ABC是等边三角形，PE⊥AC于点E，
∴∠A=∠ACB=60°，∠PEA=90°，
∴∠PEA=∠QFC，
∵∠ACB=∠QCF，
∴∠A=∠QCF，
在△PEA和△QFC中，
，
∴△PEA≌△QFC（AAS），
∴AE=CF，PE=QF，
∵AC=AE+EC=4cm，
∴EF=CF+EC=4cm，
∵∠PED=90°，∠QFD=90°，
∴∠PED=∠QFD，
在△PED和△QFD中，
，
∴△PED≌△QFD（AAS），
∴DE=FD，
∵DE+FD=EF=4cm，
∴DE=2cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定与性质和数形结合的思想解答．
5．C
【分析】根据等边三角形的判定和性质求解，即可得到答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
四边形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、平行线的性质，解题关键是掌握等边三角形三条边相等，三个角均为．
6．C
【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可以确定是等边三角形，结合已知条件得出等边三角形边长，根据周长公式求解即可．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，∠AED=∠C=60°，
是等边三角形，
，
，，
，
的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形周长，涉及到等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质及判定是解决问题的关键．
7．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质，首先根据题意得到，，然后利用三角形外角的性质求解即可，熟练掌握各性质定理是解题的关键．
【详解】∵等边的两条高和相交于点O，
∴，
∴．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质．得用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”求解即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
故选：D．
9．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，然后利用邻补角的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵于F，交于点E，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
11．D
【分析】在等边三角形中，于点D，由等边三角形的性质得到，由得到是等腰三角形，利用等边对等角即可得到答案．
【详解】解：在等边三角形中，于点D，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一和等边对等角是解题的关键．
12．C
【分析】
设围成的小三角形为，分别用、、表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解．
【详解】解：如图，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，用、、表示出的三个内角是解题的关键．
13．C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
14．C
【详解】因为AD=AP，所以∠APD=∠ADP，因为∠APD＝70°，所以∠ADP=70°，所以∠PAD=180°-70°-70°=40°，因为∠BAC=60°，所以∠PAB=60°-40°=20°，故选C.
15．C
【分析】
根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可．
【详解】
解：等边三角形的各个内角都是，
根据三角形的外角的性质，得，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，涉及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
16．D
【分析】此题考查等边三角形的判定，关键是根据等边三角形的三边相等解答．根据等边三角形的性质和判定解答即可．
【详解】解：A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意；
B、2，3，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意；
C、2，4，5是不等边三角形，不符合题意；
D、4，4，4是等边三角形，符合题意；
故选：D．
17．D
【分析】利用等边三角形的性质（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）即可判断A；设三个角的度数之比为，利用三角形内角和为计算求解即可判断B；利用三角形内角和为求解未知角度数即可判断C；根据等腰三角形的性质（等边对等角）即可判断D．
【详解】选项A：，，
是等边三角形，故本选项正确，不符合题意．
选项B：，，
最大角的度数是．
是直角三角形，故本选项正确，不符合题意．
选项C：，，
．
．
是等腰三角形，故本选项正确，不符合题意．
选项D：，
．
，
．
，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定的理解能力以及三角形的内角和定理．涉及有一个角是的等腰三角形是等边三角形；在同一个三角形中，有两个底角相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角度数相等（等边对等角）；内部有一个角为的三角形为直角三角形；任意三角形内角和为．明确相关知识点进行分析是解本题的关键．
18．A
【分析】本题考查了等边三角形的判定，涉及了绝对值和偶次方的非负性，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴的形状为等边三角形，
故选：A
19．见解析
【分析】由等腰三角形的性质可得，，由角平分线的定义和平行线的性质可求，可求解．
【详解】证明：，点D是的中点，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
20．见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识，先利用等边对等角求出，根据垂直平分线的性质和等边对等角得到，，进一步即可得到结论，
【详解】证明：∵，
∴，
∵边的垂直平分线分别交于点E、D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
21．等边三角形，见解析
【分析】根据已知条件证明，在根据条件得出，即可证明条件；
【详解】是等边三角形．
理由：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，准确根据条件分析是解题的关键．
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）因为，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又，根据三角形内角和，可求出的度数为．
（2），，，三个角是的三角形是等边三角形．
【详解】（1）解：，，
，
即．
（2）：，，．
，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；
（2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴E是的中点，
∴是边的中线，
∵是等边三角形，
∴．
【点睛】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质和可得，得到，再由可得，即可证明；
（2）根据等边三角形的性质和三角形外角的定义即可求解．
【详解】（1），
，
，
，
，
，
，
为等边三角形．
（2）为等边三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的定义，熟练掌握等边三角形的判定，平行线的性质是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)，，和为等腰三角形
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；
（1）根据为等边三角形，则，由得到，然后根据等边三角形的判定方法得到是等边三角形；
（2）由等边三角形的性质可得出结论．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形．
（2）解：，，和为等腰三角形．
由（1）可知，，，
、分别为、中点，
，
，
为等边三角形，
，
，
即为等腰三角形，
同理为等腰三角形．
，为的中点，
，
，
，
，
同理，
，
，．
即和都为等腰三角形．
26．(1)见解析
(2)4cm
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；
（2）易证得，得出，，从而求得cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得PB的长，进而得出CM的长．
【详解】（1）证明：∵是正三角形，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，是正三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
∴，
同理可得
∴，
∴，，
∴cm，
∵△ABC是正三角形，
∴，
∴，
∴cm，
∴cm，
∴cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定和性质等，得出是本题的关键．
27．（1）△ODE是等边三角形；理由见解析；（2）△ODE的周长为10．
【分析】(1)根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；
(2)根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB，根据等角对等边可得到DB=DO，同理可证明EC=EO，问题得解.
【详解】解：（1）△ODE是等边三角形；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°；
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，
∴△ODE为等边三角形．
（2）∵BO平分∠ABC，OD∥AB，
∴∠ABO=∠DBO，∠ABO=∠DOB，
∴∠DOB=∠DBO，
∴BD=OD；同理可证CE=OE；
∴△ODE的周长=BC=10．
故答案为(1)△ODE是等边三角形；理由见解析；(2)10．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三条边相等，三个内角都是60°是解答此题的关键．
28．C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、含角的直角三角形的特征，根据直角三角形的特征得，根据线段垂直平分线的性质得，进而可得，，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的性质及直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，，
∴，
．
故选：C．
29．D
【分析】利用垂线段最短分析最小不能小于6，利用含度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于12，据此即可判定．
【详解】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于6；
中，，，，
，
的长不能大于12，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质和含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出．
30．B
【分析】作PH⊥MN于H，如图，根据等腰三角形的性质得MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中由∠POH＝60°得到∠OPH＝30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OH＝OP＝4，然后计算OH﹣MH即可．
【详解】解：作PH⊥MN于H，如图，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝×8＝4，
∴OM＝OH﹣MH＝4﹣1＝3．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质和含30°角的直角三角形的性质，利用三线合一作出辅助线是本题的解题关键．
31．D
【分析】过点作，交的延长线于点，证明，得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵中，为中线
∴，
又∵
∴
∴，
又∵在中，，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明是解题的关键．
32．C
【分析】分当时，当时，再结合运动方向分两种情况求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
当时，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，
点E从时，(秒)，
当时，如图所示：
∵，，D为的中点，
∴，
点E从时，(秒)，
故选：C．
【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，动点问题，理解题意，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．
33．C
【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可．
【详解】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设不成立，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是关键．
34．B
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都小于．
故选：B
【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
35．D
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可
【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时，
首先应假设与不平行，即与相交．
故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
36．C
【分析】根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可．
【详解】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，
∴证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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