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专题03 直角三角形（十大题型）
【题型1：已知直角三角形的两边，求第三边长】
【题型2：求直接三角形周长，面积的问题】
【题型3：等面积法求斜边上的高问题】
【题型4：勾股定理的证明】
【题型5：直角三角形的判断】
【题型6：勾股数】
【题型7：勾股定理的应用】
【题型8：勾股定理的逆定理应用】
【题型9 ：直角三角形全等的判定】
【题型10 ：四种命题及其关系】
【题型1：已知直角三角形的两边，求第三边长】
（2022秋 紫金县期末）
1．如图，在中，，，则（ ）
A． B． C． D．6
（2022秋 临猗县期末）
2．如图，在中，，D为上一点．若，的面积为40，则的长是（ ）
A．5 B． C．6 D．8
（2023秋 长春期中）
3．若的两边长为和，则第三边长为（ ）
A． B． C． D．或
（2023秋 临淄区期中）
4．如图，在中，，，，线段的垂直平分线交于点P和点Q，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
（2023秋 兴化市期中）
5．如图，在中，于点是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（2022秋 宿城区期末）
6．已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边长是 ．
【题型2：求直接三角形周长，面积的问题】
（2022秋 宿城区期末）
7．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
（2023秋 莱西市期末）
8．如图，直角三角形三边向外作正方形，字母A所代表的正方形的面积为( )
A．4 B．8 C．16 D．64
（2022秋 上蔡县期末）
9．如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋 建湖县期中）
10．如图，在中，的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
（2023 宜州区二模）
11．如图所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是（ ）.
A．9 B．10 C．11 D．12
（2023秋 中原区校级期中）
12．如图，正方形的边长为4，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…按照此规律继续下去，则的值为（　　）

A． B． C． D．
（2022秋 峄城区期末）
13．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是 cm2．
【题型3：等面积法求斜边上的高问题】
（2022秋 文山市期末）
14．如图，在中，已知，，，则斜边上的高为（　　）
A． B． C． D．
（2022秋 雁峰区校级期末）
15．如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为 ( )

A． B． C． D．
【题型4：勾股定理的证明】
（2023秋 辽宁期末）
16．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋 沈北新区期末）
17．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄做，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是（ ）
A．121 B．144 C．169 D．196
（2023秋 皇姑区期末）
18．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，如果图中勾，弦，则小正方形的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
（2022秋 长春期末）
19．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A．148 B．100 C．196 D．144
（2023秋 太原期中）
20．在学习勾股定理时，小明利用右图验证了勾股定理．若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（ ）

A．5 B． C． D．
（2022秋 邓州市期末）
21．【教材呈现】
下图为华师大版数学教材八年级上册第110页的部分内容：
图14.1.4是弦图的示意图，它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．大正方形的面积等于，同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和，于是有，化简即得，这就证明了勾股定理．
这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．类比上面教材中证明勾股定理的方法，我们还可以通过别的图形来进行证明．
【动手操作】
(1)请你利用2个或4个图①所示的直角三角形设计出一个图形，画出来，并证明勾股定理．
【定理应用】
(2)如图②，四边形中，于点，，，，请求出的值．
（2023秋 沭阳县期中）
22．如图，火柴盒的侧面为长方形，其中，，．把直立的火柴盒放倒，侧面旋转至长方形处（如图）．

(1)__________，__________，__________；（用、、有关代数式表示）__________；（用、有关代数式表示）
(2)由（1）的结论证明勾股定理：；
(3)若，，求的值．
（2023春 交城县期中）
23．问题情境：
勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．
定理表述：
（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；

尝试证明：
（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．

定理应用：
（3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

（2023秋 丰县期中）
24．勾股定理证明：如图，中，，，，，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，．
设正方形中，，
试求用含、、的代数式表示．
小明的方法
，
，．
，，
①，解得②．
小丽的方法
利用可以得到与、、的关系
……
(1)请补全小明的求解过程，并根据小丽的思路完成她的求解过程．
(2)请结合小明和小丽得到的结论完成勾股定理的证明．
【题型5：直角三角形的性质与判断】
（2023秋 新和县期中）
25．如图，在RtABC中，＝90°，＝55°，则的度数为（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
（2023秋 灵宝市期中）
26．在下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋 滨城区期中）
27．在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
（2023秋 青秀区校级期中）
28．如图，是的高，，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
（2023 梁园区一模）
29．如图，直线a//b，Rt△ABC 如图放置，若∠1=28°，∠2=80°，则∠B的度数为( )
A．62° B．52° C．38° D．28°
（2023秋 雁峰区校级期末）
30．中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　）
A． B．，， C． D．
（2022秋 秀英区校级期末）
31．如图，的每个顶点都在边长为的正方形格点上，则的度数为 ．

【题型6：勾股数】
（2022春 龙亭区校级期中）
32．下列各组数为勾股数的是（ ）
A．7，12，13 B．3，4，7 C．8，15，17 D．1.5，2，2.5
（2023春 铜仁市期末）
33．成书于大约公元前1世纪的《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，里面记载的勾股定理的公式与证明相传是在西周由商高发现，故又称之为商高定理．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1；古希腊哲学家柏拉图（公元前427年—公元前347年）研究了勾为（，m为正整数），弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为12，则其股为（ ）

A．14 B．16 C．35 D．37
【题型7：勾股的应用】
（2023春 金安区校级期末）
34．如图，在中，，，，求的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．
(1)作于D，设，用含x的代数式表示，则___________；
(2)请根据勾股定理，利用作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；
(3)利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积．
（2023秋 榆阳区校级月考）
35．如图，工作人员要从电线杆离地4米的A处，向地面拉一条钢缆，要使地面钢缆的固定点C到电线杆底部B的距离为3米，求钢缆（）的长．
（2023秋 中原区校级期中）
36．周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.65米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？
（2023秋 青羊区校级期中）
37．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
（2023春 桥西区期末）
38．在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由，C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3km，CH＝2.4km，BH＝1.8km．求原来的路线AC的长．
【题型8：勾股定理的逆定理应用】
（2022秋 榕城区期末）
39．如图，四边形中，，，，，．
(1)判断是否是直角，并说明理由．
(2)求四边形的面积．
（2022秋 绿园区校级期末）
40．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，，，，，又已知．求这块土地的面积．

（2023秋 芦溪县期中）
41．如图正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
（1）求△ABC的面积；
（2）判断△ABC是什么形状 并说明理由.
（2023春 康县期末）
42．一个零件的形状如图所示，按规定应为直角，工人师傅测得，，，，．请你帮他看一下．这个零件符合要求吗？为什么．

（2023春 黄冈期中）
43．如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【题型9 ：直角三角形全等的判定】
（2022秋 梁山县期末）
44．如图，，，若利用“”，证明RtRt．请你添加一个条件（ ）
A． B． C． D．
（2023秋 西青区校级期中）
45．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一条直角边对应相等
C．两个锐角对应相等 D．一个锐角和一条直角边对应相等
【题型10 ：四种命题及其关系】
（2023秋 渌口区期末）
46．“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为 ．
（2023 滨湖区一模）
47．命题“如果，那么”，则它的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
（202 姜堰区二模）
48．命题：若，则．则该命题的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
（2022秋 汝阳县期末）
49．命题“如果，那么”的逆命题是 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据勾股定理即可直接求出答案．
【详解】∵在中，，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．
2．C
【分析】本题考查了三角形面积公式及勾股定理．根据为中上的高及面积，可得，再利用勾股定理可求得，即可求解．
【详解】解：∵，的面积为40，
∴，解得：，
∵，
∴，
故选：C．
3．D
【分析】分两种情况考虑：若为直角边，可得出也为直角边，第三边为斜边，利用勾股定理求出斜边，即为第三边；若为斜边，可得和第三边都为直角边，利用勾股定理即可求出第三边．
【详解】解：若为直角边，可得为直角边，第三边为斜边，
根据勾股定理得第三边为；
若为斜边，和第三边都为直角边，
根据勾股定理得第三边为，
则第三边长为或．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
4．D
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理求出，然后设，则，在中，由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∵，，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：．
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查了用勾股定理解三角形，先根据勾股定理求出，再根据三角形面积相等求出，再利用勾股定理求出，再由已知条件求出，进而可求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵
∴，即，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
6．5
【分析】根据勾股定理计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，斜边长，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
7．A
【分析】根据勾股定理先求出另外一条直角边，然后由三角形面积公式求解即可得．
【详解】解：根据勾股定理可得：
另一条直角边长为：，
∴，
故选：A．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解题关键．
8．D
【分析】根据勾股定理的几何意义解答即可．
【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式可得，以直角三角形两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
∴A=289-225=64．
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式，熟练掌握勾股定理，理解勾股定理的“数形结合”思想是解题关键．
9．B
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答．
10．A
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据线段垂直平分线的性质证明AD=BD，问题得解．
【详解】解：∵，
∴，
由垂直平分线的性质得AD=BD，
∴的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=7，
故选：A
【点睛】本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质，解决此题的关键是将的周长转化为AC+BC．
11．B
【分析】根据勾股定理，在直角三角形中，若a,b是直角边，c是斜边，那么a2+b2=c2，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积.
【详解】根据勾股定理，可知，以直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积.
即：SA+SB+SC+SD=SE=2+5+1+2=10
故选B
【点睛】勾股定理在面积中的运用.
12．A
【分析】本题主要考查规律型：图形变化类，由特殊情况总结出一般规律，先用勾股定理求出第二个正方形的边长，进而找到与之间的关系，依次类推，得出规律，进而得出答案．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
，
∴，
∴，
故选：A．
13．5
【分析】由勾股定理求出直角三角形的斜边长，再由长方形的面积公式即可得出结果．
【详解】解：由勾股定理得：＝5（cm），
∴阴影部分的面积＝5×1＝5（cm2）；
故答案为5．
【点睛】本题考查了勾股定理、长方形的性质，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
14．D
【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，首先利用勾股定理计算出的长，再根据三角形的面积计算出长即可，巧妙利用直角三角形两种面积求法是解题的关键．
【详解】解：过作于，
∵，，，
∴（），
∵的面积=，
∴，
∴，
∴斜边上的高为，
故选：．
15．A
【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图所示：记BC上的高为AE，
∵AE=4，AC=
BC=4 ，
即
解得：
故选：A．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出AC的长．
16．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
D．大正方形的边长无法确定，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
17．C
【分析】本题考查了勾股定理和求正方形的面积，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，小正方形的面积为，则，可得，则大正方形的面积为，即可求解．
【详解】设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，
又∵小正方形的面积为，则，
解得，
∴大正方形的面积为，
故选：C．
18．A
【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用正方形的面积公式求解即可．
【详解】∵勾，弦，
∴
∴小正方形的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理中赵爽弦图模型，关键在于正确找出勾股关系．
19．A
【分析】通过勾股定理可求出“数学风车”的斜边长，然后求出风车外围的周长即可．
【详解】解：如图，设将延长到点，连接，
由题意得：，
，
，
∴这个风车的外围周长是，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
20．D
【分析】本题考查勾股定理，根据图形及勾股定理求出c，再利用三角形面积公式求解即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：D．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）画出图形，利用等积法进行证明，推出即可；
（2）根据，，，均为直角三角形，根据勾股定理得出即可求出的值.
【详解】（1）
方案一：图示为直角梯形，面积的两种求法：
方法一：，
方法二：，
则，
整理可得：，
即：，
故：勾股定理成立
方案二：图示内外均为为正方形，面积的两种求法：
方法一：
方法二：
则
即
故：勾股定理成立，
（2）由题意可得，，，，均为直角三角形，
由勾股定理可得，
①，
②，
③，
④，
①②，可得，
③④，，
即：，
，
，
【点睛】本题考查勾股定理的几何验证及勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理找到题目中的条件，进行证明．
22．(1)，，，
(2)证明见详解
(3)6
【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练的利用面积法进行证明是解本题的关键.
（1）根据三角形面积公式分别表示、、的面积，根据梯形面积公式表示梯形的面积计算即可；
（2）根据，列出方程并整理可证．
（3）根据公式求出，即可；
【详解】（1）解： ， ，
为直角三角形，
，；
；
故答案为：，，，
（2）由图形可知，
则
．
因此，．
（3）∵
∴
∵，
∴
∵
∴
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）8000元
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据等积法可进行求解；
（3）利用勾股定理可进行求解．
【详解】解：（1）如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么
（2），
，
∴，
∴；
（3）在中，，
∴（元）；
答：增加了8000元．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
24．(1)，，见解析
(2)见解析
【分析】本题考查勾股定理的证明，全等三角形的性质；
（1）根据列方程，即为①式，解①得到的值即为②，填入横线中即可；分别用代数式表示出，代入整理即可完成小丽的求解过程；
（2）利用小明和小丽得到的的值相等，列出等式，整理即可完成证明．
【详解】（1）解：，，
，．
，，
，
解得：，
故答案为：，．
小丽的求解过程：
，
其中，，，，
，
；
（2）证明：由小明的结论知：，由小丽的结论知：，
，
即，
即，
，
，
25．B
【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键．
26．C
【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形．
【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意；
C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意；
D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意
故答案为：C
【点睛】本题考查了直角三角形的定义及判定，根据三个角的数量关系进行细致的计算是解题的关键．
27．B
【分析】根据三角形的内角和是，对选项逐个判断即可．
【详解】解：①设，则，、
∵，
∴，
解得，
∴，
∴为直角三角形；
②设，则，，
∵，
∴，
解得，即，
∴，
∴不是直角三角形；
③∵、，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
④设，则，、
∵，
∴，
解得，
∴，
∴为直角三角形；
能确定为直角三角形的有3个，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活利用三角形内角和定理求得内角的度数．
28．A
【分析】本题主要考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
根据直角三角形的性质求出，再根据直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的高，
∴，
故选：A．
29．C
【分析】如图：根据两直线平行、同位角相等可得∠1+∠3=∠2，进而求得∠3，再根据直角三角形的性质求得∠B即可．
【详解】解：如图，∵ab,
∴∠1+∠3=∠2，
∵∠3=∠2-∠1=80°-28°=52°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠3 =90°，
∴∠B=90°-52°=38°．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活应用平行线的性质成为解答本题的关键．
30．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A和B；根据三角形的内角和定理即可判断C和D．
【详解】解：A、，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，，，
，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
最大角，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
31．
【分析】直接根据格点，运用勾股定理求出三边长，再根据勾股定理的逆定理确定的形状，即可求解．
【详解】解：根据勾股定理可得：，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形格点中勾股定理及逆定理的运用，熟练掌握勾股定理及逆定理的应用是解题的关键．
32．C
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A、72+122≠132，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、32+42≠72，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、82+152=172，能构成直角三角形，且8、15、17都是整数，故此选项符合题意；
D、1.52+22=2.52，能构成直角三角形，但1.5、2.5不是整理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，以及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
33．C
【分析】依题意，设斜边为x，则股为，根据勾股定理即可求出x的值．
【详解】解：依题意，设斜边为x，则股为，
∴，
解得：，
∴股为，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
34．(1)
(2)见解析，9
(3)12，84
【分析】本题考查了勾股定理和面积公式，
（1）根据题意即可求得；
（2）在中，根据勾股定理求得，在中，根据勾股定理求得，代入数据列出方程，解方程即可；
（3）在（2）的基础上求得的长，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设，
∵，
∴；
（2）∵是边上的高，
∴和都是直角三角形．
在中，根据勾股定理，得
在中，根据勾股定理，得
∴，
解得：，
即．
（3），得；
则．
35．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【详解】由题意，得，．
在中，．
答：钢缆（）的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
36．(1)风筝的垂直高度为17.65米；
(2)他应该往回收线5米．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键．
（1）在中，利用勾股定理即可求解；
（2）在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知：米，米，
在中，由勾股定理得，，
，
（米），
答：风筝的垂直高度为17.65米；
（2）解：风筝沿方向下降7米，保持不变，如图，
此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
他应该往回收线5米．
37．(1)15米；
(2)米
【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，
，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
38．原来的路线AC的长为2.5km．
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明∠CHB＝90°，得出∠CHA＝90°，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出AC的长度．
【详解】解：∵，，
∴，
∴△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°，
∴∠CHA＝90°，
∴，
∵AB＝AC，
∴AH＝AB HB＝AC 1.8，
∴，
解得：AC＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5km．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．
39．(1)是直角．理由见解析
(2)234
【分析】（1）连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；
（2）根据即可得出结论．
【详解】（1）解：是直角．
理由：连接，
，
，
，
，
是直角三角形，即是直角；
（2）解：，
．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
40．这块土地的面积为36平方米．
【分析】连接，由勾股定理求得，然后勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，进而根据，即可求解．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
则，
因此是直角三角形，，
（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米．
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解答此题的关键．
41．（1）13；（2）网格中的△ABC是直角三角形.
【详解】试题分析：（1）把△ABC放在一个长为8、宽为4的长方形中，用长方形的面积减去周围几个小直接三角形的面积即可得到结果；
（2）先根据勾股定理求得△ABC各边的长的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断．
（1）△ABC的面积；
（2），，，
，
∴△ABC是一个直角三角形.
考点：本题考查的是三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理
点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形ABC的三边满足，则三角形ABC是直角三角形．
42．符合要求；理由见解析
【分析】根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，，即可得出结论．
【详解】解：符合要求；理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴为直角三角形，，
∴这个零件符合要求．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
43．西北方向
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据路程速度时间分别求得、的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形是直角三角形，从而求解．
【详解】解：根据题意，得
（海里），
（海里），
（海里），
，
即，
．
由“远航号”沿东北方向航行可知，，则，
即“海天”号沿西北方向航行．
44．A
【分析】全等条件中斜边已经相等，只需要添加直角边相等即可．
【详解】∵“”表示的意思是两个直角三角形中，斜边和一组直角边对应相等，则两个直角三角形全等，而Rt和Rt中，
∴添加或即可用用“”，证明RtRt，
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等的判定，熟练掌握“”是解题的关键．
45．C
【分析】利用全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、两条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意；
B、斜边和一条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意；
C、两个锐角对应相等，，不能判定两个直角三角形全等，符合题意；
D、一个锐角和一条直角边对应相等，或判定两个直角三角形全等，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判断方法，是解题的关键．
46．同旁内角互补，两直线平行
【分析】根据题意写出逆命题即可，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．
【详解】解：两直线平行，同旁内角互补”的逆命题为：同旁内角互补，两直线平行
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，掌握逆命题中的题设与结论与原命题互换是解题的关键．
47．假
【分析】先写出该命题的逆命题，再进行真假判断即可得到答案．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，
由于如果，那么，
故此命题为假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，先写出该命题的逆命题是解题的关键．
48．假
【分析】先写出逆命题，再判断命题的真假即可．
【详解】解：若，则．则该命题的逆命题是若，则．逆命题是假命题，例如，当时，，但很显然．
故答案为：假
【点睛】此题考查了原命题和逆命题，真命题和假命题，举反例是判断真假命题的关键．
49． 如果a2=b2，那么a=b 假
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再判断命题的真假即可．
【详解】解：根据题意得：命题“如果a=b，那么a2=b2”的条件是如果a=b，结论是a2=b2”，
故逆命题是如果a2=b2，那么a=b，该命题是假命题．
故答案为：如果a2=b2，那么a=b；假．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
答案第1页，共2页
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