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专题04 垂直平分线和角平分线（八大题型）
【题型1：题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】
【题型5：线段垂直平分线的作法】
【题型6：角平分线的作法及应用】
【题型7：角平分线性质的应用】
【题型8：角平分线的性质与全等】
【题型1：题型1 线段垂直平分线的性质在线段中的应用】
（2022秋 河东区期末）
1．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为（ ）

A． B． C． D．
（2023秋 新城区校级期中）
2．如图，在中，，是的垂直平分线，恰好平分．若，则的长是（　　）
A．2 B．3 C． D．
（2022秋 新宾县期末）
3．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，则的周长为（　　）

A．7 B．10 C．14 D．16
（2022秋 费县期末）
4．如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2023秋 滨城区期末）
5．如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【题型2：线段垂直平分线的性质在求角中的应用】
（2022秋 下陆区期末）
6．如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023秋 南浔区期中）
7．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，若，，则的度数为（ ）．
A．12° B．14° C．16° D．18°
（2023秋 牟平区期中）
8．如图所示，是线段，的垂直平分线的交点，若，，则的大小是（ ）

A． B． C． D．
（2023秋 富县期中）
9．如图，在中，的垂直平分线相交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【题型3：线段垂直平分线的性质在实际中的应用】
（2022秋 阜康市校级期末）
10．如图，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在边两条高的交点处
B．在边两条中线的交点处
C．在边两条垂直平分线的交点处
D．在两条角平分线的交点处
（2022秋 凉山州期末）
11．某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）

A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【题型4：线段垂直平分线的性质的综合应用】
（2023秋 凉州区校级期末）
12．如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，则的长为多少？
（2023春 丰城市期末）
13．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．
(1)若，求的周长．
(2)若，求的度数．
（2022秋 永年区期末）
14．如图，是的角平分线，是的垂直平分线．求证：
(1)．
(2)．
(3)．
【题型5：线段垂直平分线的作法】
（2022春 梅县区期末）
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．在CB上找一点E，使EB=EA（利用尺规作图，保留作图痕迹），并求出此时CE的长．
（梅州）
16．如图，在中，．

(1)用圆规和直尺在边上作点P，使点P到A，B的距离相等；(保留作图痕迹)
(2)若(1)的点P到的距离相等，求的度数．
（2022秋 湘乡市校级期中）
17．已知：是中点，是的垂直平分线，
(1)求证：；
(2)在上找一点到、的距离相等．（尺规作图，保留痕迹）
（2022秋 东兰县期中）
18．已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
(1)在直线l上求一点P，使PA=PB；
(2)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
【题型6：角平分线的作法及应用】
（2023春 榆次区校级期末）
19．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
（2022 宜城市模拟）
20．作图题：在∠ABC内找一点P，使它到∠ABC的两边的距离相等，并且到点A、C的距离也相等．（写出作法，保留作图痕迹）
（2023春 银川校级期末）
21．作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，，表示公路），现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你确定仓库P修建的位置．
（2022秋 西市区校级期中）
22．电信部门要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2022秋 沙洋县期中）
23．如图，某个居民小区附近有三条两两相交的道路、、，拟在上建造一个大型超市，使得它到、的距离相等，请确定该超市的位置．
【题型7：角平分线性质的应用】
（2022秋 乳山市期末）
24．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2022秋 南华县期末）
25．如图，在中，，是的平分线，于点E，已知，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．
（2022秋 方城县期末）
26．如图，是的角平分线，，垂足为E，若，，，则的长为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．3
（2022秋 通河县期末）
27．如图，AB//CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P且与AB垂直，已知AD=10，则点P到BC的距离是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
（2022秋 海沧区校级期末）
28．如图，在四边形中，平分，，则的面积是（ ）

A．3 B．4 C．6 D．12
（2023秋 铁岭县期末）
29．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
【题型8：角平分线的性质与全等】
（2023秋 聊城期中）
30．如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分．
（2022秋 安陆市期末）
31．如图，于E，于F，若
(1)求证：平分；
(2)直接写出之间的等量关系．
（2023秋 铁西区期中）
32．如图，，，于E，交的延长线于点F．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
（2022秋 梁平区期末）
33．如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)证明：；
(2)如果，，求AE、BE的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件三角形的周长计算．
【详解】解：∵垂直平分，
∴．
∵的周长，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
2．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，熟记角平分线的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，，结合角平分线的性质和，得到，，进而得到，由此即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
，
，，恰好平分，
，，
，
，
，
，
故选：B．
3．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴的周长等于．
故选：B
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
4．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
∵点E为边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，，然后利用等量代换可得的周长，即可解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，
∴，
∴，
∴，
∴的长为；
故选D．
6．B
【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°
∵平分
∴∠ACB=2∠ACD=100°
∴∠B=180°-100°-50°=30°
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
7．C
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，同理，，计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是根据线段的垂直平分线得到相等的线段．根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，，由三角形的内角和定理得到，，于是得到结论．
【详解】解：∵D是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵、的垂直平分线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10．C
【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在，两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决问题的关键．
11．D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质的应用，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由垂直平分可得，由，可得，等量代换即可求证；
（）由的周长为可得，利用，可得到，即可求解；
本题考查了线段垂直平分线的性质，线段的和差，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
13．(1)9
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，计算即可．
【详解】（1）是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
的周长；
（2），
，
，，
，，
，
．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，．
（1）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到，再根据等角对等边可得到；
（2）根据线段垂直平分线的性质证明，进而得到，再利用角平分线的性质可得到，利用等量代换可得，再根据平行线的判定即可得到；
（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1），
即，
∵，
，
∴．
15．CE=
【分析】作AB的垂直平分线交BC于E，则根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，设CE=x，则EA=EB=8-x，利用勾股定理得到62+x2=(8-x)2，然后解方程即可．
【详解】如图，点E为所作；
设CE=x，则EA=EB=8-x，
在Rt△AEC中，∵AC2+CE2=AE2，
∴62+x2=(8-x)2，解得x=，
即CE=．
【点睛】本题考查了作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及勾股定理的内容是解题的关键.
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点P，得；
（2）由角平分线判定定理得．由等边对等角，得，于是，得．
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P．
由中垂线定理，得

（2）解：由题意，得，
∴．
∵，
∴
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形性质，角平分线的判定定理；理解垂直平分线性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，主要考查学生的推理能力和动手操作能力．
（1）根据线段垂直平分线得出，即可得出答案；
（2）作线段的垂直平分线，即可得出答案．
【详解】（1）证明：是中点，
，
是的垂直平分线，
，
；
（2）解：作的垂直平分线，交于，则为所求，如图：
．
18．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；
（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求．
（2）解：如图，点Q即为所求．
【点睛】本题考查了尺柜作图，线段的垂直平分线的性质及轴对称的性质，需用仔细分析题意结合图形才能解决问题．
19．（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40°
【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB
∴DB＝DA
∴∠DAB＝∠B＝30°
∵∠C＝40°
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°
∵AE平分∠DAC
∴∠DAE∠DAC＝40°．
【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法．
20．见解析
【分析】先作出∠ABC的角平分线，再连接AC，作出AC的垂直平分线，两条平分线的交点即为所求点．
【详解】①以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC、AB于D、E两点；
②分别以D、E为圆心，以大于DE为半径画圆，两圆相交于F点；
③连接AF，则直线AF即为∠ABC的角平分线；
⑤连接AC，分别以A、C为圆心，以大于AC为半径画圆，两圆相交于F、H两点；
⑥连接FH交BF于点M，则M点即为所求．
【点睛】本题考查的是角平分线及线段垂直平分线的作法，熟练掌握是解题的关键．
21．见详解
【分析】连接，分别以M、N为圆心，以大于为半径画弧，在线段两侧交于D，E两点，连接，即为线段的垂直平分线；以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于F，连接，则即为的平分线（或的外角平分线）；与相交于点P，则点P即为所求．
【详解】解：如图点P即为所求．
【点睛】本题主要考查的是尺规作图，角平分线和线段垂直平分线的画法及性质的有关知识．
22．见解析
【分析】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，根据题意，点既在线段的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．得到两线交点即为发射塔的位置是解决问题的关键．
【详解】解：设两条公路相交于O点．P为线段的垂直平分线与的平分线交点或是与的平分线交点即为发射塔的位置．
如图，满足条件的点有两个，即P、．
23．见解析
【分析】作的角平分线，与的交点到的两边，的距离相等．
【详解】如图所示：作的平分线交于点，点即为该超市的位置．
【点睛】此题主要考查了角平分线的作法，关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
24．B
【分析】根据点到直线垂线段最短可得当PM⊥OC时，PM的值最小，然后根据角平分线的性质定理可求解PM的最小值．
【详解】解：由题意得：当PM⊥OC时，PM的值最小，
∵点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM=PD＝3，
∴PM的最小值为3；
故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
25．D
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据角平分线性质得到，，从而得到，即可得到答案；
【详解】解：∵是的平分线，，，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴，又，
∴，
故选：D．
26．D
【分析】如图所示，过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D作于F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
27．D
【分析】作PE⊥BC于E，根据平行线的性质得到AD⊥CD，根据角平分线的性质计算，得到答案．
【详解】解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA=PE=PD，
∵AD=10，
∴PE=5，即点P到BC的距离是5，
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
28．C
【分析】过点作交的延长线于点，然后根据角平分线上的任意一点到角平分线两边的距离相等可得，然后根据三角形面积计算公式进行计算即可．
【详解】解：过点作交的延长线于点，

∵平分，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的任意一点到角平分线两边的距离相等是解本题的关键．
29．42
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可．
【详解】如下图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝4，
∵的周长是21，OD⊥BC于D，且OD＝4，
∴
＝42，
故答案为：42．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键．
30．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论．
【详解】证明： D是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，，
平分．
31．(1)见解析
(2)结论：，见解析部分
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定，注意：全等三角形的判定定理有全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（1）根据相“”定理得出，故可得出，所以平分；
（2）由（1）中可知平分，故可得出，所以，故．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∴在和中，
，
∴
∴，
∵
∴平分；
（2）解：结论：
理由：∵
∴
∵
∴
∵，
∵
即：．
32．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质；熟练运用此部分知识是解题关键．
（1）证明，可得，结论得证；
（2）证明，可得，可求出．
【详解】（1）证明：∵，,
∴，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴（AAS），
∴，
∴平分；
（2）由（1）可得，
在和中，
，
∴（HL），
∴，
∴．
33．(1)见解析
(2)AE=4，BE=1
【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论；
（2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长．
【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD，
∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
答案第1页，共2页
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