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广东省广州市执信中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分．共4页．满分为120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答题卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案;不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整．
第一部分选择题(共30分)
一、选择题(每题3分,共30分)
1. 9的算术平方根是（ ）
A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D.
2. 若点的坐标为，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知是二元一次方程ax+y=2的一个解，则a的值为（）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
4. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（）
A. B. C. D.
5. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 估算的值( )
A. 在6与7之间 B. 在5与6之间 C. 在4与5之间 D. 在3与4之间
7. 下列命题中，假命题是（　　）
A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 对顶角相等
C过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 如果，那么
8. “践行垃圾分类 助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池．”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池，乙收集了节废电池，根据题意可列方程组为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，将一条对边互相平行纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
10. 如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（　　）
A. B. C. D.
第二部分非选择题(共90分)
二、填空题(每题3分．共18分)
11. 比较大小：______________2．(填“>”“<”或“=”)
12若，则___________；
13. 如图，将沿平移得到，若，则的长是___________．
14. 若关于的ニ元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则_________．
15. 在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离相等，则的值是_________．
16. 如图，在四边形ABCD中，如果，，是边上一点，平分交边于点E，平分交边于点．以下四个结论中正确的是_________．(填写序号)
①，
②，
③若，则平分，
④若，则．
三、解答题(共9小题,共72分)
17. 计算
18. 解列方程组
19. 填空，完成下列说理过程：
已知：如图，点E，F分别在线段AB，CD上，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（______）．
∵（已知），
∴（______）．
∴____________（______）．
∴（______）．
20. 已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求
（1）该正数是多少？
（2）的算术平方根．
21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B，C点平移后的对应点分别是E，F．
（1）画出平移后的；
（2）连接，则这两条线段之间的关系是______；
（3）的面积为______．
22. 在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：
点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）①点A的坐标为，对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标为　　；
②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，则对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为　　；
（2）点C在x轴上，若对点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，直接用等式表示a与b的数量关系为　　；
（3）点P坐标，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
23. 在平面直角坐标系中，已知，
（1），，．
（2）如图，点在线段上，线段轴，、P、Q在一条直线上，点从点出发，沿轴正方向平移，若，求点的坐标．
（3）在（2）条件下，点在四边形内，若，求点Q的坐标．
24. 某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元．
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？
25. 如图，过点作直线分别与直线相交于E、F两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，其中满足．
（1）____________，____________．
（2）求证：．
（3）过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合，作的角平分线交线段于点，探究与的数量关系．广东省广州市执信中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
本试卷分选择题和非选择题两部分．共4页．满分为120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答题卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案;不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保持答题卡的整洁和平整．
第一部分选择题(共30分)
一、选择题(每题3分,共30分)
1. 9的算术平方根是（ ）
A. ﹣3 B. ±3 C. 3 D.
【答案】C
【解析】
试题分析：9的算术平方根是3，
故选C．
考点：算术平方根．
2. 若点的坐标为，则点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与象限的关系，根据象限的符号特征判断即可．熟练掌握点的坐标与象限的符号特征是解题的关键．
解：因为点的坐标为，所以符号特征为，故点位于第四象限，
故选：D．
3. 已知是二元一次方程ax+y=2的一个解，则a的值为（）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
把代入方程得：2a+4=2，
解得：a=-1，
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】标出字母，根据平行线的性质即可求解．
标出字母，如图
∵AB∥CD，
∴∠2=∠CEM，
∵∠1+90°+∠CEM=180°，
∴∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=40°，
∴∠1=90°-40°=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
5. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了立方根以及算术平方根，正确掌握立方根以及算术平方根的求法是解题关键．
解：A. ，故此选项错误不合题意；
B. ，故此选项错误不合题意；
C. ，故此选项正确符合题意；
D. ，故此选项错误不合题意；
故选：C．
6. 估算的值( )
A. 在6与7之间 B. 在5与6之间 C. 在4与5之间 D. 在3与4之间
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用逼近法，即可解答，熟练用逼近法算无理数的大小是解题的关键．
解：，
．
故选：B．
7. 下列命题中，假命题是（　　）
A. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 对顶角相等
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定和性质、垂直的判断、对顶角的性质判断即可．
解:A、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，真命题，不符合题意；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，符合题意；
D、如果，那么，是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据平行线的判定和性质、垂直的判断、对顶角的性质进行判断．
8. “践行垃圾分类 助力双碳目标”主题班会结束后，甲和乙一起收集了一些废电池，甲说：“我比你多收集了7节废电池．”乙说：“如果你给我9节废电池，我的废电池数量就是你的2倍”设甲收集了节废电池，乙收集了节废电池，根据题意可列方程组为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据两人收集废电池数量间的关系，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解：甲比乙多收集了7节废电池，
；
若甲给乙9节废电池，则乙的废电池数量就是甲的2倍，
．
根据题意可列方程组为．
故选：D．
9. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折党，折痕分别为若，则的度数是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的性质得到，再根据平行线的性质得到，则，即可得到的度数．
解：∵翻折前后角度不变，
∴，
∵，
∴，
∴，,
∵,
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了折叠的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行形的性质是解题的关键．
10. 如图，将边长为的正方形沿轴正方向连续翻转次，点依次落在点、、、、、的位置上，则点的坐标为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了通过图形观察规律，根据题意分别求出、、、横坐标，再总结出规律即可得出，解题的关键是善于观察，总结规律．
根据规律
、、、、
、、、、
，；
每个一个循环，，
依次规律在次循环后与纵坐标一致，
横坐标分别为：为、为、为、为；
为、为、为、为；
依次规律与横坐标为减，
∴横坐标为，
则坐标是，
故选：．
第二部分非选择题(共90分)
二、填空题(每题3分．共18分)
11. 比较大小：______________2．(填“>”“<”或“=”)
【答案】>
【解析】
【分析】根据立方根定义可得，再进行实数的大小比较即可．
解：∵，
∴，即，
故答案为：>．
12. 若，则___________；
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数小数点每移动两位，则它的算术平方根小数点就向相同方向移动一位．
解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的变化规律，解题的关键是掌握被开方数小数点每移动两位，则它的算术平方根小数点就向相同方向移动一位．
13. 如图，将沿平移得到，若，则的长是___________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，线段的和差．根据平移的性质得到，再根据线段的差即可求解．
解：由平移可得：，
∴．
故答案为：2
14. 若关于的ニ元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则_________．
【答案】
【解析】
分析】本题考查了二元一次方程的解，用加减消元法求解二元一次方程组，解得，再将方程组得解代入二元一次方程，即可求解的值，掌握代入法和加减消元法解二元一次方程是关键．
解：，
①②，得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
方程组的解为：，
关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
，
解得：．
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，若点到两坐标轴的距离相等，则的值是_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了到两坐标轴的距离相等的点、绝对值方程等知识点，掌握绝对值方程的解答方法成为解题的关键．
由于点到两坐标轴的距离相等，则，然后解绝对值方程即可解答．
解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，即或；
解得：或．
故答案为：或．
16. 如图，在四边形ABCD中，如果，，是边上一点，平分交边于点E，平分交边于点．以下四个结论中正确的是_________．(填写序号)
①，
②，
③若，则平分，
④若，则．
【答案】①③
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识，掌握相应性质判断角相等是求解的关键．根据平行线的性质以及角平分线可以判断①，根据无法判断四边形是平行四边形，故无法得到②，根据平行线性质及角平分线性质，通过等量代换可以判断③，通过，可证，，无法判断四边形是平行四边形，无法证明，故无法证明，故可判断④．
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
又∵为角平分线，
∴，
∴，
故①正确；
∵根据无法判断四边形是平行四边形，
∴无法判断，故②错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴平分，
故③正确；
若，
则为等边三角形，
∵线段为角平分线，
∴，
∴，
要证，
需证明，
根据题目给出的条件无法证明四边形为平行四边形，故无法证明，
故④错误；
故答案为：①③．
三、解答题(共9小题,共72分)
17. 计算
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，求绝对值、求算术平方根、求立方根等知识，数量掌握相应运算法则是求解的关键．先根据绝对值、平方根、立方根的定义对每个式子进行化简再计算即可求解．
解：原式
18. 解列方程组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键，利用加减法解二元一次方程组即可．
解：由，得，
由，得，
解得．
把代入①，得，
解得，
∴原方程组的解是．
19. 填空，完成下列说理过程：
已知：如图，点E，F分别在线段AB，CD上，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴（______）．
∵（已知），
∴（______）．
∴____________（______）．
∴（______）．
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；AF；ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，即可解答
证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；AF；ED；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握和运用平行线的性质与判定是解决本题的关键．
20. 已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求
（1）该正数是多少？
（2）的算术平方根．
【答案】（1）49（2）4
【解析】
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可；
（1）先求出，代入代数式求出，再求出算术平方根即可．
小问1】
解：由题意，得：，解得：；
∴；
∴该正数是：49；
【小问2】
解：∵b的立方根是，
∴；
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B，C点平移后的对应点分别是E，F．
（1）画出平移后的；
（2）连接，则这两条线段之间的关系是______；
（3）的面积为______．
【答案】（1）见解析（2）平行
（3）
【解析】
【分析】（1）由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移4个格，向上平移1个格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可；
（2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出；
（3）用正方形的面积减去3个三角形的面积即可解答．
【小问1】
如图，即为所作；
【小问2】
如图，由平移性质即可得出．
故答案为：平行；
【小问3】
解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，在网格中求三角形的面积．利用数形结合的思想是解题关键．
22. 在平面直角坐标系中，对于点P，给出如下定义：
点P的“第Ⅰ类变换”：将点P向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度；
点P的“第Ⅱ类变换”：将点P向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．
（1）①点A的坐标为，对点A进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标为　　；
②点B为平面内一点，若对点B进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，则对点B进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为　　；
（2）点C在x轴上，若对点C进行a次“第Ⅰ类变换”，再进行b次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在x轴上，直接用等式表示a与b的数量关系为　　；
（3）点P的坐标，对点P进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点Q，请问是否存在一种上述两类变换的组合，使得点Q恰好在y轴上？如果存在，请求出此时点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①利用点的“第Ⅰ类变换”的定义，可求解；②利用点的“第Ⅰ类变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义，可求解；
（2）利用点的“第Ⅰ类变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义列出方程可求解；
（3）利用点的“第Ⅰ类变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义列出方程可求解．
【小问1】
解：①点的坐标为，
点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到的点的坐标，
故答案为：；
②点进行1次“第Ⅰ类变换”后得到点，
点坐标为，
点进行1次“第Ⅱ类变换”后得到的点的坐标为，
故答案为：；
【小问2】
设点，
点进行次“第Ⅰ类变换”，再进行次“第Ⅱ类变换”后，所得到的点仍在轴上，
，
，
故答案为：；
【小问3】
不存在，理由如下：
设经过次“第1类变换”，经过次“第Ⅱ类变换”，使得点恰好在轴上，
点的坐标，对点进行“第1类变换”和“第Ⅱ类变换”共计20次后得到点，点恰好在轴上，
，
，
为非负整数，
不合题意舍去，
不存在一种上述两类变换的组合，使得点恰好在轴上．
【点睛】本题是平移变换综合题，理解点的“第Ⅰ类变换”的定义和点的“第Ⅱ类变换”的定义是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，已知，
（1），，．
（2）如图，点在线段上，线段轴，、P、Q在一条直线上，点从点出发，沿轴正方向平移，若，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，点在四边形内，若，求点Q的坐标．
【答案】（1），，
（2）
（3）
【解析】
【分析】此题是几何变换综合题，考查三角形的面积以及梯形的面积公式，关键是根据三角形的面积以及梯形的面积公式解答．
（1）根据A，B，C的坐标，即可求解；
（2）根据面积公式得出方程解答即可：
（3）分两种情况，利用面积公式得出方程解答即可；
【小问1】
解：∵，
∴，，；
【小问2】
设，
，
，
，
，
，
解得．
点．
【小问3】
由（2）得，点，
设，
，
，
由，得，，
，
∵，
，
点在四边形的内部，
，
，
．
24. 某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元．
（1）求m和n的值；
（2）某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
（3）为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？
【答案】（1）m的值为80，n的值为60
（2）该商场可获利1200元
（3）该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论；
（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
【小问1】
依题意得：，
解得：．
答：m的值为80，n的值为60．
【小问2】
依题意得：，
∴，
∴．
答：该商场可获利1200元．
【小问3】
设该日销售A款足球a个，B款足球b个，
依题意得：，
又∵a，b均为正整数，b为3的倍数，
∴或．
答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个．
25. 如图，过点作直线分别与直线相交于E、F两点，的角平分线交直线于点，射线交直线于点．设，，其中满足．
（1）____________，____________．
（2）求证：．
（3）过点作直线分别交直线于点，交直线于点，且不与重合，不与重合，作的角平分线交线段于点，探究与的数量关系．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3），或或；理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的应用，平行线的判定与性质，角平分线的定义与性质，三角形的外角的性质，分类讨论的思想方法，利用猪脚型构造恰当的辅助线是解题的关键．
（1）利用非负数的意义解答即可；
（2）过作，利用平行线的性质求得的度数，再利用平行线的判定定理解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：①当点在点与点之间时，②当点在点的左侧时，③当点在点的右侧时，分别解答即可．
【小问1】
解：∵，
，
解得：；
【小问2】
证明：如图，过作，
，，
，
，
，
，
，
．
，，
．
【小问3】
设，，
分别平分，
，
同理可得，，
当点在线段上时，如图所示：
过点S作，，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
当点在点的左侧时，过点作，如图所示：
同理可得，，
，
，
当点在点的右侧时，过点作，，如图所示：
同理可得，，，
．

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