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【提升卷】2024年北师大版数学八（下）6.2平行四边形的判定 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·夏津期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
2．从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中选取两个，使四边形 ABCD 为平行四边形，选法有（　　）
A．2 种 B．3种 C．4 种 D．6 种
3．小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
4．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6，则四边形ABCD的面积为 （　　）
A．4 B．2 C．8 D．6
5．（2023八下·朝阳期末）如图，在 中，、是对角线上的两点若四边形为平行四边形，则以下三种方案中正确的方案是（　　）
甲：只需要满足；
乙：只需要满足；
丙：只需要满足．
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
6．如图，已知 ABCD，点 E，F 在对角线AC 上，且AE=CF，连结 DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF 为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF 为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC.
③连结 BD，交 AC 于点O.
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
证明步骤正确的顺序是 （　　）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
7．（2023八下·南开期末）如图，在四边形中，，且 交于点E，平分．若，则的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
8．（2023八下·承德期末）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　）
A．只有乙、丙才是 B．只有甲，丙才是
C．只有甲，乙才是 D．甲、乙、丙都是
9．（2023八下·南开期末）如图，已知的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
二、填空题
10．如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF 是平行四边形的有　 　(填序号).
11．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为　 　.
12．（2023八下·临潼期末）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于　 　．
13．（2023八下·闵行期末）如图，在梯形中，，，，那么边的长为　 　．
三、作图题
14．（2023八下·樟树期中）已知四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，点P为AB上任意一点，请仅用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ；
（2）如图②，点P为BD上任意一点，请仅用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ．
四、综合题
15．（2021八下·海拉尔期末）如图，点 是 内一点，连接 ， ，并将 ， ， ， 的中点 ， ， ， 依次连接，得到四边形 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 为 的中点， ， 和 互余，求 的长度．
16．（2023八下·修水期末）在 ABCD中，E，F分别为对角线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，且AE∥CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，若2BE＝3EF，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图2中面积是△ABD面积的的四个三角形．
17．（2023八下·大兴期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．（不必写出推理过程）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、∵OA＝OC，OB＝OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、由已知条件无法判断四边形ABCD是平行四边形，B符合题意；
C、AB＝CD，AD＝BC ，
∴四边形ABCD是平行四边形，C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质和平行四边形的判定对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，①③使四边形 ABCD 为平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②④使四边形 ABCD 为平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ①②使四边形 ABCD 为平行四边形，③④使四边形 ABCD 为平行四边形；
选法共4种.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理可选.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵ 只有②③两块碎玻璃的两边互相平行，且这两块有公共边
∴ 角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点.
∴ 带②③两块玻璃就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
四块玻璃中需要找到两边互相平行且可以连在一起的两块玻璃.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC AE＝AB AF，
∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝2，BC＝4
∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质.先作辅助线：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，平行四边形ABCD的面积可表示为：BC AE＝AB AF，可推出：BC＝2AB.进而得出AB与BC的数量关系：BC＝2AB，结合AB+BC＝6，可求AB和BC，即可求出平行四边形的面积．
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
甲：
四边形AECF为平行四边形
乙：由AE=CF不能证明，不能使四边形AECF为平行四边形，乙不正确
丙：
四边形AECF为平行四边形
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质即可求出答案。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接BD 交 AC 于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
∴四边形DEBF 为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】连接BD 交 AC 于点O. 由平行四边形的性质可得OD=OB，OA=OC.结合AE=CF，可推出OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证结论.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=3，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=3，
∵BC=7，
∴BE=BC-CE=4.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线和平行线得到AB=AD=3，利用平行四边形的判定得到AECD是平行四边形，从而求得CE=AD=3，即可求得BE=BC-CE.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：由作图知M、N分别为AD、BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AM=CN，且AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
乙：由作图知：BN=AB，DM=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴BN=DM，
∴AD-DM=BC-BN，
∴AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
丙：由作图知：BN=AB，CM=BN=AB=CD，
∴不能判断DM=BN，也就不能得出AM=CN，
∴不能得出四边形ANCM是平行四边形。
所以甲、乙是正确方案。
故答案为：C。
【分析】根据作图步骤，依据平行四边形的判定，即可得出正确方案。
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短；全等三角形的应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设直线x=2交x轴于点F，交OC于点G，设直线x=5交AB于点H，
过点B作BD⊥x轴于点D，BE⊥直线x=5于点E，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∠BCO=∠OAB，OA=BC，
∵直线x=5∥直线x=2，即AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴∠HCG=∠GAH，
∴∠BCO-∠HCG=∠OAB-∠GAH，即∠OAG=∠BCH，
在△OAF和△BCE中，
∴△OAF≌△BCE（AAS），
∴BE=OF=2，
∴OD=5+2=7，
∴点B在直线BD（直线x=7）上运动，
∴当点B与点D重合时OB取得最小值7.
故答案为：7.
【分析】根据平行四边形的性质可证得三角形全等，从而可以得点B在直线x=7上运动，根据点到直线的距离垂线段最短得点B与点D重合时取得最小值.
10．【答案】①③④
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 在 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵ BF=DE ，
∴ BF-OA=DE-OD，即OF=OE，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
由AB=CD， AE=CF，根据SSA不能判定△ABE≌△CDF，
则不能证明四边形AECF 是平行四边形 ，故不符合题意；
③∵∠ABE=∠CDF，AB=CD， ∠EAB=∠FCD ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD ，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴AE∥CF，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
④∵ AF∥CE.
∴∠AFB=∠CED ，
∵∠ABF=∠CDE ，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴BFDE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意.
故答案为：①③④.
【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质逐一判断即可.
11．【答案】7
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为40，
∴S△ABD=S平行四边形ABCD=×40=20，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，
∵四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，
∴S△BGD=S平行四边形BGPF=，S△PED=S平行四边形PEDH=，
∴S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED=20--=7.
故答案为：7.
【分析】利用平行四边形ABCD的面积，可求出△ABD的面积；再利用平行四边形的性质和EF∥AB，GH∥AD，可证得EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，由此可推出四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，即可求出△BGD，△PED的面积；然后根据S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED，代入计算求出四边形AGPE的面积.
12．【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DO=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，
则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴PC+PB的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】首先根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等，可证明该四边形为平行四边形得到四边形DPBQ是平行四边形，再将PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再用勾股定理求解即可.
13．【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点A作AH//CD，交BC于H，
∵AH//CD，AD//BC，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∴AD=CH=4，
∵AH//CD，
∴∠C=∠AHB=60°，
∵∠B=60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB=BH=4，
∴BC=8，
故答案为：8.
【分析】根据平行四边形的判定方法求出四边形ADCH是平行四边形，再求出△ABH是等边三角形，最后计算求解即可。
14．【答案】（1）解：根据平行四边形的性质可得，
如图①，点Q即为所求作．
（2）解：连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q，
则如图②，点Q即为所求作．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，作直线OP交CD于点Q，点Q即为所求；
（2）连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q即为所求．
15．【答案】（1）证明： 、 分别是 、 的中点，
， ，
同理， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 和 互余，
，又 为 的中点，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到 ，根据平行四边形的性质可得答案。
16．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：、、、，理由如下：
由（1）得：，
，
，
，
的面积的面积的面积的面积面积的．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定方法求出AB//CD，AB=CD，再利用全等三角形的判定方法求出△ABE≌△CDF，最后利用平行四边形的判定方法证明即可；
（2）利用全等三角形的性质，结合题意，计算求解即可。
17．【答案】（1）解：把点C（m，4），代入正比例函数y＝x得，
4＝m，解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，4），
∵A的坐标为（-3，0），
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y＝x+2
（2）解：（-3，-2）、（3，2）、（3，6）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）在直线y=x+2中，令x=0，y=2
∴点B的坐标为(0，2)
∴OB=2
∵D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形
∴只要BD平行且等于OC；CD平行且等于OB即可。
当BD平行且等于OC时，
∵点C向左平移3个单位长度、再向下平移4个单位长度得到点O，
∴将点B向左平移3个单位长度、再向下平移4个单位长度得到点D，此时，点D的坐标为（-3，-2)；
当CD平行且等于OB时，
∵点B在y轴上，且OB=2
∴将点C向上（或下）平移2个单位长度得到点D，此时，点D的坐标为（3，2）或（3，6)，
综上，点D的坐标为（-3，-2)或（3，2）或（3，6)。
【分析】（1）根据题意把点C的坐标代入正比例函数的解析式，可求得m的值，故而得出点C的坐标，再根据待定系数法即可求解；
（2）先求出B点的坐标，利用BD平行且等于OC，CD平行且等于OB即可求解。
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）6.2平行四边形的判定 同步练习
一、选择题
1．（2023八下·夏津期中）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（　　）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：
A、∵OA＝OC，OB＝OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形，A不符合题意；
B、由已知条件无法判断四边形ABCD是平行四边形，B符合题意；
C、AB＝CD，AD＝BC ，
∴四边形ABCD是平行四边形，C不符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质和平行四边形的判定对选项逐一分析即可求解。
2．从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中选取两个，使四边形 ABCD 为平行四边形，选法有（　　）
A．2 种 B．3种 C．4 种 D．6 种
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，①③使四边形 ABCD 为平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②④使四边形 ABCD 为平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ①②使四边形 ABCD 为平行四边形，③④使四边形 ABCD 为平行四边形；
选法共4种.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理可选.
3．小明不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵ 只有②③两块碎玻璃的两边互相平行，且这两块有公共边
∴ 角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点.
∴ 带②③两块玻璃就可以确定平行四边形的大小.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
四块玻璃中需要找到两边互相平行且可以连在一起的两块玻璃.
4．如图，两条宽度分别为1和2的长方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD.若AB+BC=6，则四边形ABCD的面积为 （　　）
A．4 B．2 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意得：AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．
如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AE＝1，AF＝2，
∴BC AE＝AB AF，
∴BC＝2AB．
又∵AB+BC＝6，
∴AB＝2，BC＝4
∴四边形ABCD的面积＝2×2＝4
故答案为：A．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质.先作辅助线：过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，平行四边形ABCD的面积可表示为：BC AE＝AB AF，可推出：BC＝2AB.进而得出AB与BC的数量关系：BC＝2AB，结合AB+BC＝6，可求AB和BC，即可求出平行四边形的面积．
5．（2023八下·朝阳期末）如图，在 中，、是对角线上的两点若四边形为平行四边形，则以下三种方案中正确的方案是（　　）
甲：只需要满足；
乙：只需要满足；
丙：只需要满足．
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙 D．甲、乙、丙
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形
甲：
四边形AECF为平行四边形
乙：由AE=CF不能证明，不能使四边形AECF为平行四边形，乙不正确
丙：
四边形AECF为平行四边形
故答案为：B
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质即可求出答案。
6．如图，已知 ABCD，点 E，F 在对角线AC 上，且AE=CF，连结 DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF 为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF 为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD=OB，OA=OC.
③连结 BD，交 AC 于点O.
④∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
证明步骤正确的顺序是 （　　）
A．①②③④ B．③④②① C．③②④① D．④③②①
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图：连接BD 交 AC 于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
∴四边形DEBF 为平行四边形.
故答案为：C.
【分析】连接BD 交 AC 于点O. 由平行四边形的性质可得OD=OB，OA=OC.结合AE=CF，可推出OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即证结论.
7．（2023八下·南开期末）如图，在四边形中，，且 交于点E，平分．若，则的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=3，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴CE=AD=3，
∵BC=7，
∴BE=BC-CE=4.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线和平行线得到AB=AD=3，利用平行四边形的判定得到AECD是平行四边形，从而求得CE=AD=3，即可求得BE=BC-CE.
8．（2023八下·承德期末）如图1， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角．要用尺规作图的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（　　）
A．只有乙、丙才是 B．只有甲，丙才是
C．只有甲，乙才是 D．甲、乙、丙都是
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：甲：由作图知M、N分别为AD、BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AM=CN，且AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
乙：由作图知：BN=AB，DM=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴BN=DM，
∴AD-DM=BC-BN，
∴AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形；
丙：由作图知：BN=AB，CM=BN=AB=CD，
∴不能判断DM=BN，也就不能得出AM=CN，
∴不能得出四边形ANCM是平行四边形。
所以甲、乙是正确方案。
故答案为：C。
【分析】根据作图步骤，依据平行四边形的判定，即可得出正确方案。
9．（2023八下·南开期末）如图，已知的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】垂线段最短；全等三角形的应用；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设直线x=2交x轴于点F，交OC于点G，设直线x=5交AB于点H，
过点B作BD⊥x轴于点D，BE⊥直线x=5于点E，如图，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，∠BCO=∠OAB，OA=BC，
∵直线x=5∥直线x=2，即AG∥CH，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∴∠HCG=∠GAH，
∴∠BCO-∠HCG=∠OAB-∠GAH，即∠OAG=∠BCH，
在△OAF和△BCE中，
∴△OAF≌△BCE（AAS），
∴BE=OF=2，
∴OD=5+2=7，
∴点B在直线BD（直线x=7）上运动，
∴当点B与点D重合时OB取得最小值7.
故答案为：7.
【分析】根据平行四边形的性质可证得三角形全等，从而可以得点B在直线x=7上运动，根据点到直线的距离垂线段最短得点B与点D重合时取得最小值.
二、填空题
10．如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF=DE；②AE=CF；③∠EAB=∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF 是平行四边形的有　 　(填序号).
【答案】①③④
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 在 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，OB=OD，OA=OC，
①∵ BF=DE ，
∴ BF-OA=DE-OD，即OF=OE，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
②∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
由AB=CD， AE=CF，根据SSA不能判定△ABE≌△CDF，
则不能证明四边形AECF 是平行四边形 ，故不符合题意；
③∵∠ABE=∠CDF，AB=CD， ∠EAB=∠FCD ，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD ，
∴∠AEF=∠CFE ，
∴AE∥CF，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意；
④∵ AF∥CE.
∴∠AFB=∠CED ，
∵∠ABF=∠CDE ，AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS）
∴BFDE，
∴OF=OE，
∵OA=OC，
∴ 四边形AECF 是平行四边形 ，故符合题意.
故答案为：①③④.
【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质逐一判断即可.
11．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为　 　.
【答案】7
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为40，
∴S△ABD=S平行四边形ABCD=×40=20，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，
∵四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，
∴S△BGD=S平行四边形BGPF=，S△PED=S平行四边形PEDH=，
∴S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED=20--=7.
故答案为：7.
【分析】利用平行四边形ABCD的面积，可求出△ABD的面积；再利用平行四边形的性质和EF∥AB，GH∥AD，可证得EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，由此可推出四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，即可求出△BGD，△PED的面积；然后根据S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED，代入计算求出四边形AGPE的面积.
12．（2023八下·临潼期末）如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值等于　 　．
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DO=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，
则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴PC+PB的最小值为10.
故答案为：10.
【分析】首先根据平行四边形的判定：一组对边平行且相等，可证明该四边形为平行四边形得到四边形DPBQ是平行四边形，再将PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再用勾股定理求解即可.
13．（2023八下·闵行期末）如图，在梯形中，，，，那么边的长为　 　．
【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点A作AH//CD，交BC于H，
∵AH//CD，AD//BC，
∴四边形ADCH是平行四边形，
∴AD=CH=4，
∵AH//CD，
∴∠C=∠AHB=60°，
∵∠B=60°，
∴△ABH是等边三角形，
∴AB=BH=4，
∴BC=8，
故答案为：8.
【分析】根据平行四边形的判定方法求出四边形ADCH是平行四边形，再求出△ABH是等边三角形，最后计算求解即可。
三、作图题
14．（2023八下·樟树期中）已知四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图①，点P为AB上任意一点，请仅用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ；
（2）如图②，点P为BD上任意一点，请仅用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ．
【答案】（1）解：根据平行四边形的性质可得，
如图①，点Q即为所求作．
（2）解：连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q，
则如图②，点Q即为所求作．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，作直线OP交CD于点Q，点Q即为所求；
（2）连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q即为所求．
四、综合题
15．（2021八下·海拉尔期末）如图，点 是 内一点，连接 ， ，并将 ， ， ， 的中点 ， ， ， 依次连接，得到四边形 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 为 的中点， ， 和 互余，求 的长度．
【答案】（1）证明： 、 分别是 、 的中点，
， ，
同理， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解： 和 互余，
，又 为 的中点，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据三角形内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到 ，根据平行四边形的性质可得答案。
16．（2023八下·修水期末）在 ABCD中，E，F分别为对角线BD上两点，连接AE、CE、AF、CF，且AE∥CF．
（1）如图1，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，若2BE＝3EF，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图2中面积是△ABD面积的的四个三角形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：、、、，理由如下：
由（1）得：，
，
，
，
的面积的面积的面积的面积面积的．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定方法求出AB//CD，AB=CD，再利用全等三角形的判定方法求出△ABE≌△CDF，最后利用平行四边形的判定方法证明即可；
（2）利用全等三角形的性质，结合题意，计算求解即可。
17．（2023八下·大兴期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象的交点为C（m，4）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标．（不必写出推理过程）．
【答案】（1）解：把点C（m，4），代入正比例函数y＝x得，
4＝m，解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，4），
∵A的坐标为（-3，0），
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y＝x+2
（2）解：（-3，-2）、（3，2）、（3，6）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）在直线y=x+2中，令x=0，y=2
∴点B的坐标为(0，2)
∴OB=2
∵D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形
∴只要BD平行且等于OC；CD平行且等于OB即可。
当BD平行且等于OC时，
∵点C向左平移3个单位长度、再向下平移4个单位长度得到点O，
∴将点B向左平移3个单位长度、再向下平移4个单位长度得到点D，此时，点D的坐标为（-3，-2)；
当CD平行且等于OB时，
∵点B在y轴上，且OB=2
∴将点C向上（或下）平移2个单位长度得到点D，此时，点D的坐标为（3，2）或（3，6)，
综上，点D的坐标为（-3，-2)或（3，2）或（3，6)。
【分析】（1）根据题意把点C的坐标代入正比例函数的解析式，可求得m的值，故而得出点C的坐标，再根据待定系数法即可求解；
（2）先求出B点的坐标，利用BD平行且等于OC，CD平行且等于OB即可求解。
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