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【提升卷】2024年北师大版数学八（下）6.3三角形的中位线 同步练习
一、选择题
1．如图，M 是△ABC的边 BC 的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，且 AB=10，MN=3，则AC的长（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长线段BN交AC于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
在△ABN和△AEN中
∴△ABN≌△AEN（ASA）
∴AE=AB=10，BN=EN，
而M是BC边的中点，
∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.
故答案为：C.
【分析】延长线段BN交AC于E，由角平分线定义可得∠BAN=∠EAN，结合已知用角边角可证△ABN≌△AEN，则AE=AB=10，BN=EN，由三角形中位线定理得CE=2MN求出CE的值，然后根据线段的构成AC=AE+CE可求解.
2．如图，□ABCD的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点O，E 是CD 的中点，连结OE.若 BD =12，则△DOE 的周长为 （　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD=BC，AB=CD， OB=OD，
∵□ABCD的周长为36 ，
∴ BC+CD=18，
∵ OB=OD，DE=CE，
∴ OE=BC，OD=BD，DE=CD，
∴ OE+OD+DE=（BC+BD+CD）=×30=15，
即△DOE的周长为 15.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得AD=BC，AB=CD，OB=OD，可求得 BC+CD=18，再根据三角形的中位线的性质得OE=BC，推出△DOE的周长为（BC+BD+CD），即可求得.
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上-点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，则PQ的长为（　　）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，
∴
∵即
∴
∴
同理：
∴为直角三角形，
∴
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得到：然后根据垂直的定义证明为直角三角形，最后利用勾股定理即可求解.
4．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O是DB的中点，
∴
∵DP为∠ADC的角平分线，
∴
∴
∴
∴
∵E是PD中点，O是DB的中点，
∴OE为的中位线，
∴
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得到：O是DB的中点，根据平行线的性质和角平分线的性质得到：即进而求出PB的长度，最后根据三角形中位线定理即可求解.
5．（2023八下·辛集期末）如图，在平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别是，的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AE
∵ 点，分别是，的中点，
∴，
易知当点E和点C重合时AE最大，这时AE=，∴MN最大=，
当AE⊥BC时AE最小，这时AE=1，∴MN最小=
∴的最大值与最小值的差为
故C正确，A、B、D错误。
故答案为： C
【分析】由题可知线段MN是三角形FAE的中位线，利用中位线性质可知MN是AE的一半，所以MN的最大、最小值转化为AE最大或最小值，根据垂线段最短且点E运动到点C时AE最长，借助直角三角形勾股定理可以求解。
6．（2023八下·武汉期末）如图，点D，E分别是的边上的中点，的角平分线交于点F，，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是的边上的中点，
∴
∴，
∵BF平分∠ABC，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE的长并得到：，根据平行线的性质得：，然后根据角平分线的性质得：，进而得到：再根据等边对等角得到：最后根据线段间的关系，即可求出EF的长.
7．（2017八下·福清期末）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED= BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG= BC，
∴ED=FG= BC=2，
同理GD=EF= AO=1.5，
∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理，求出ED=FG、GD=EF的长，求出四边形DEFG的周长.
8．（2023八下·荆门期末）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA边上的一个动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（　　）
A．(-，0) B．(-6，0) C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令中y=0，则，
解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数解析式求一次函数与坐标轴的交点坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理：连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位；即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
二、填空题
9．（2024八下·北仑期中）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ EF是△ABC的中位线，AE＝3，
∴BE=AE=3，BC=2EF，EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE=3，
又∵DF=1，
∴EF=ED+DF=4，
∴BC=2EF=8.
故答案为：8.
【分析】由三角形的中位线定理得BE=AE=3，BC=2EF，EF∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠EDB=∠EBD，由等角对等边得ED=BE=3，进而根据EF=ED+DF可算出EF的长，从而即可求出BC的长.
10．（2021八下·海珠期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，
∴BD＝ ＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝ DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
【分析】连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，在根据三角形中位线定理得到EF＝ DN，在结合图形解答即可。
11．（2024八下·道县月考）如图，中，，为边上的中点，为边上一点，，连接、，延长交延长线于，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取的中点G，连接，
则，
为边上的中点，G为的中点，
是的中位线，
在和中
，
在中，
为边上的中点，
在中，
在中，
，
故答案为：
【分析】取的中点G，连接，则，可得，再利用三角形中位线定理得，利用证明得，再利用勾股定理分别求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答。
12．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连结DE，BE，过点C作CF∥BE，交 DE的延长线于点F.若EF=3，则DE的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，即DF∥BC.
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC=EF=3，
∴DE=BC=
故答案为：
【分析】根据三角形中位线性质可得出DE//BC，DE=BC，即DF∥BC.，从而证明出四边形BCFE为平行四边形，从而求出BC=EF=3，最后根据DE=BC，即可求出DE的长.
13．如图，△ABC的周长为 28，点 D，E都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 P，连结PQ.若 BC=10，则PQ的长是　 　.
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC的周长为28， BC=10 ，
∴AB+AC=18，
∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE ，
∴∠AQB=∠BQE=90°，∠ABQ=∠QBE，
∵BQ=BQ，
∴△ABQ≌△QBE（ASA），
∴AQ=QE，AB=BE，
同理可证AP=PD，AC=DC，
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=8，
∴PQ=DE=4.
故答案为：4.
【分析】易求AB+AC=18，可证△ABQ≌△QBE（ASA），可得AQ=QE，AB=BE，同理可证AP=PD，AC=DC，从而求出DE=BE+CD-BC=8，最后利用三角形中位线定理即可得解.
三、综合题
14．（2024八下·北仑期中）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH．
【答案】证明：如图，取BC的中点M，连接EM、FM，
在△ABC中，∵点M为BC的中点，点E为AB的中点，
∴EM∥AC，且，
∴∠AHE=∠MEF，
在△DBC中，∵点M为BC的中点，点F为CD的中点，
∴FM∥BD，且，
∴∠DGF=∠MFE，
∵AC=BD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠AHE=∠DGF，
∴OG=OH.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】如图，取BC的中点M，连接EM、FM，根据三角形的中位线定理得EM∥AC，且，FM∥BD，且，结合AC=BD可推出EM=FM，由等边对等角及由二直线平行，内错角相等得∠AHE=∠DGF，从而根据等角对等边可得OG=OH.
15．（2023八下·电白期末）在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、、，与交于点O．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：∵E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴且，
又，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）解：∵在中，，，，
∴由勾股定理得 ，
又由（1）知，，且，
∴，
∴在中，， ， ，
∴由勾股定理得.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理即可求出AD∥EF，EF=AB，再结合已知条件求出EF=AD，即可判断四边形AFED为平行四边形，从而证明AF与DE互相平分；
（2）根据勾股定理求出AC的长度，结合四边形AEFD是平行四边形即可求出OA长度，最后利用勾股定理和已知条件即可求出DO长度.
16．（2023八下·河东期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，，连接和的交点为M，和的交点为N，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形；
（2）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，可得，利用三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，据此即得结论.
17．（2023八下·临汾期末）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
年月日星期一
今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：
I.若是边的中点，且，则是边的中点．
II.若，且，则分别是边的中点．
III.若是边的中点，且，则是边的中点．
任务：
（1）从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明．
【答案】（1）解：假命题为命题I，
所画图形如解图1，
，
如图，是边的中点，且，但显然不是的中点；
（2）解：真命题为命题II，
证明：如解图，过点作交边于点，连接，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
分别是边的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可求出答案。
（2） 过点作交边于点，连接， 根据平行四边形的判定定理和性质即可求出答案。
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）6.3三角形的中位线 同步练习
一、选择题
1．如图，M 是△ABC的边 BC 的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，且 AB=10，MN=3，则AC的长（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
2．如图，□ABCD的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点O，E 是CD 的中点，连结OE.若 BD =12，则△DOE 的周长为 （　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是CA延长线上-点，F是CB上一点，AE=12，BF=8，点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，则PQ的长为（　　）
A． B．4 C．6 D．
4．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD=4，CD=6，则EO的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023八下·辛集期末）如图，在平行四边形中，，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别是，的中点，连接，则的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023八下·武汉期末）如图，点D，E分别是的边上的中点，的角平分线交于点F，，则的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．（2017八下·福清期末）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=4，AO=3，则四边形DEFG的周长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．12
8．（2023八下·荆门期末）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA边上的一个动点，当PC+PD值最小时，点P的坐标为（　　）
A．(-，0) B．(-6，0) C． D．
二、填空题
9．（2024八下·北仑期中）如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为　 　．
10．（2021八下·海珠期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　．
11．（2024八下·道县月考）如图，中，，为边上的中点，为边上一点，，连接、，延长交延长线于，若，，则　 　．
12．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连结DE，BE，过点C作CF∥BE，交 DE的延长线于点F.若EF=3，则DE的长为　 　.
13．如图，△ABC的周长为 28，点 D，E都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于 AE，垂足为 Q，∠ACB的平分线垂直于 AD，垂足为 P，连结PQ.若 BC=10，则PQ的长是　 　.
三、综合题
14．（2024八下·北仑期中）如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH．
15．（2023八下·电白期末）在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、、，与交于点O．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，，求的长．
16．（2023八下·河东期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，，连接和的交点为M，和的交点为N，连接，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）若，求的长．
17．（2023八下·临汾期末）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
年月日星期一
今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：
I.若是边的中点，且，则是边的中点．
II.若，且，则分别是边的中点．
III.若是边的中点，且，则是边的中点．
任务：
（1）从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
（2）从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长线段BN交AC于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠EAN，
在△ABN和△AEN中
∴△ABN≌△AEN（ASA）
∴AE=AB=10，BN=EN，
而M是BC边的中点，
∴CE=2MN=2×3=6，
∴AC=AE+CE=10+6=16.
故答案为：C.
【分析】延长线段BN交AC于E，由角平分线定义可得∠BAN=∠EAN，结合已知用角边角可证△ABN≌△AEN，则AE=AB=10，BN=EN，由三角形中位线定理得CE=2MN求出CE的值，然后根据线段的构成AC=AE+CE可求解.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AD=BC，AB=CD， OB=OD，
∵□ABCD的周长为36 ，
∴ BC+CD=18，
∵ OB=OD，DE=CE，
∴ OE=BC，OD=BD，DE=CD，
∴ OE+OD+DE=（BC+BD+CD）=×30=15，
即△DOE的周长为 15.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得AD=BC，AB=CD，OB=OD，可求得 BC+CD=18，再根据三角形的中位线的性质得OE=BC，推出△DOE的周长为（BC+BD+CD），即可求得.
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P，Q，D分别是AF ，BE，AB的中点，
∴
∵即
∴
∴
同理：
∴为直角三角形，
∴
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理得到：然后根据垂直的定义证明为直角三角形，最后利用勾股定理即可求解.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O是DB的中点，
∴
∵DP为∠ADC的角平分线，
∴
∴
∴
∴
∵E是PD中点，O是DB的中点，
∴OE为的中位线，
∴
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质得到：O是DB的中点，根据平行线的性质和角平分线的性质得到：即进而求出PB的长度，最后根据三角形中位线定理即可求解.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接AE
∵ 点，分别是，的中点，
∴，
易知当点E和点C重合时AE最大，这时AE=，∴MN最大=，
当AE⊥BC时AE最小，这时AE=1，∴MN最小=
∴的最大值与最小值的差为
故C正确，A、B、D错误。
故答案为： C
【分析】由题可知线段MN是三角形FAE的中位线，利用中位线性质可知MN是AE的一半，所以MN的最大、最小值转化为AE最大或最小值，根据垂线段最短且点E运动到点C时AE最长，借助直角三角形勾股定理可以求解。
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是的边上的中点，
∴
∴，
∵BF平分∠ABC，
∴，
∴
∴
∴
故答案为：A.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE的长并得到：，根据平行线的性质得：，然后根据角平分线的性质得：，进而得到：再根据等边对等角得到：最后根据线段间的关系，即可求出EF的长.
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED= BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG= BC，
∴ED=FG= BC=2，
同理GD=EF= AO=1.5，
∴四边形DEFG的周长为1.5+1.5+2+2=7．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理，求出ED=FG、GD=EF的长，求出四边形DEFG的周长.
8．【答案】A
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令中x=0，则y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
令中y=0，则，
解得：x=-6，
∴点A的坐标为（-6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（-3，2），点D（0，2），CD∥x轴，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，-2），点O为线段DD′的中点．
又∵OP∥CD，
∴点P为线段CD′的中点，
∴点P的坐标为．
故答案为：A.
【分析】根据一次函数解析式求一次函数与坐标轴的交点坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D关于x轴的对称点D′的坐标，根据三角形中位线定理：连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位；即可得出点P为线段CD′的中点，由此即可得出点P的坐标．
9．【答案】8
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ EF是△ABC的中位线，AE＝3，
∴BE=AE=3，BC=2EF，EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE=3，
又∵DF=1，
∴EF=ED+DF=4，
∴BC=2EF=8.
故答案为：8.
【分析】由三角形的中位线定理得BE=AE=3，BC=2EF，EF∥BC，由平行线的性质及角平分线的定义可推出∠EDB=∠EBD，由等角对等边得ED=BE=3，进而根据EF=ED+DF可算出EF的长，从而即可求出BC的长.
10．【答案】2
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DN、DB，如图所示：
在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2 ，AD＝2，
∴BD＝ ＝4，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△DMN的中位线，
∴EF＝ DN，
由题意得，当点N与点B重合时DN最大，最大值为4，
∴EF长度的最大值为2，
故答案为：2．
【分析】连接DN、DB，先根据勾股定理求出BD，在根据三角形中位线定理得到EF＝ DN，在结合图形解答即可。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取的中点G，连接，
则，
为边上的中点，G为的中点，
是的中位线，
在和中
，
在中，
为边上的中点，
在中，
在中，
，
故答案为：
【分析】取的中点G，连接，则，可得，再利用三角形中位线定理得，利用证明得，再利用勾股定理分别求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答。
12．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，即DF∥BC.
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴BC=EF=3，
∴DE=BC=
故答案为：
【分析】根据三角形中位线性质可得出DE//BC，DE=BC，即DF∥BC.，从而证明出四边形BCFE为平行四边形，从而求出BC=EF=3，最后根据DE=BC，即可求出DE的长.
13．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC的周长为28， BC=10 ，
∴AB+AC=18，
∵ ∠ABC 的平分线垂直于 AE ，
∴∠AQB=∠BQE=90°，∠ABQ=∠QBE，
∵BQ=BQ，
∴△ABQ≌△QBE（ASA），
∴AQ=QE，AB=BE，
同理可证AP=PD，AC=DC，
∴DE=BE+CD-BC=AB+AC-BC=8，
∴PQ=DE=4.
故答案为：4.
【分析】易求AB+AC=18，可证△ABQ≌△QBE（ASA），可得AQ=QE，AB=BE，同理可证AP=PD，AC=DC，从而求出DE=BE+CD-BC=8，最后利用三角形中位线定理即可得解.
14．【答案】证明：如图，取BC的中点M，连接EM、FM，
在△ABC中，∵点M为BC的中点，点E为AB的中点，
∴EM∥AC，且，
∴∠AHE=∠MEF，
在△DBC中，∵点M为BC的中点，点F为CD的中点，
∴FM∥BD，且，
∴∠DGF=∠MFE，
∵AC=BD，
∴EM=FM，
∴∠MEF=∠MFE，
∴∠AHE=∠DGF，
∴OG=OH.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】如图，取BC的中点M，连接EM、FM，根据三角形的中位线定理得EM∥AC，且，FM∥BD，且，结合AC=BD可推出EM=FM，由等边对等角及由二直线平行，内错角相等得∠AHE=∠DGF，从而根据等角对等边可得OG=OH.
15．【答案】（1）解：∵E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴且，
又，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）解：∵在中，，，，
∴由勾股定理得 ，
又由（1）知，，且，
∴，
∴在中，， ， ，
∴由勾股定理得.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理即可求出AD∥EF，EF=AB，再结合已知条件求出EF=AD，即可判断四边形AFED为平行四边形，从而证明AF与DE互相平分；
（2）根据勾股定理求出AC的长度，结合四边形AEFD是平行四边形即可求出OA长度，最后利用勾股定理和已知条件即可求出DO长度.
16．【答案】（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形；
（2）根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，可得，利用三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，据此即得结论.
17．【答案】（1）解：假命题为命题I，
所画图形如解图1，
，
如图，是边的中点，且，但显然不是的中点；
（2）解：真命题为命题II，
证明：如解图，过点作交边于点，连接，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
分别是边的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可求出答案。
（2） 过点作交边于点，连接， 根据平行四边形的判定定理和性质即可求出答案。
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