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【提升卷】2024年北师大版数学八（下）6.4多边形的内角与外角和 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·杭州月考）若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．9 D．8
2．（2024八下·道县月考）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（　　）
A．7或8或9 B．8或9或10 C．6或7或8 D．5或6或7
3．（2019八下·义乌期末）一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（　　）
A．减少180° B．不变
C．增加180° D．以上都有可能
4．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°.设∠ADE=α，∠ADC=β，则一定有（　　）
A． B． C． D．
5．当多边形的边数增加1时，它的内角和会（　　）
A．增加90° B．增加180° C．增加270° D．增加360°
6．若把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，则这个多边形原来的边数为（　　）
A．9 B．10
C．11 D．以上都有可能
7．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG.若∠CFB=57°，则∠AGD的度数为（　　）
A．114° B．123° C．129° D．135°
8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=67°，则∠AED的度数是（　　）
A．78° B．88° C．92° D．112°
9．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45%后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（　　）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
10．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（　　）
A．14米 B．15米 C．16米 D．17米
二、填空题
11．若一个九边形的8个外角的和为200°，则它的第9个外角的度数为　 　°.
12．（2023八下·东港期末）如果一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的边数为　 　．
13．（2023八下·鲁甸期末）已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为，则原多边形的边数为　 　.
14．如图，六边形A A A A A A 的内部有一个五边形B B B B B ，六边形的6个内角都相等，五边形的5个内角也都相等，且A A ∥B B .若直线经过点B ，B ，则直线l与A A 的夹角α的度数为　 　°.
15．（2023八下·海淀期末）如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．
若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为360°，则k关于边数n的函数是　 　（写出n的取值范围）
三、作图题
16．（2019八下·永年期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件： 画出图形，把截去的部分打上阴影
（1）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了 ．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 ．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为 ，求原多边形的边数．
四、解答题
17．如图所示，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE=124°，∠DCF=155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？
18．（2022八下·卢龙期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．
（1）你知道这个多边形是几边形吗 你是怎么知道的
（2）这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
19．（2023八下·梅州期末）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出与、之间的数量关系： ▲ ．
【探究】如图②，是四边形的外角，求证：．
【结论】若边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则，与的数量关系是 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为x，
由题意得，180°（x-2）=360°×3，
∴x=8，
故答案为：D.
【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°列出方程，解方程即可.
2．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得：
．
解得∶．
因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
所以原多边形的边数可能为7、8或9．
故答案为：A
【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数．
3．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四角纸片是一个四边形，
观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．
内角和可能是：540°或360°或180° ．
所以内角和可能减少180°，可能不变、也可能增加180°
故答案为：D.
【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∠ADC=β，
而∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，
∴3∠A+β=360°，
在三角形ADE中，∠A+∠AED+∠ADE=180°，
∵∠AED=60°，∠ADE=α，
∴∠A+60°+α=180°，
∴∠A=180°-60°-α，
∴3（180°-60°-α）+β=360°，
整理得：α=β.
故答案为：C.
【分析】根据四边形的内角和等于360°可得∠A与β的关系式，在三角形ADE中，由三角形的内角和等于180度可得∠A与α的关系式，整理这两个关系式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设原多边形边数为n，则n边形的内角和是（n-2）180°，边数增加1，则新多边形的内角和为（n+1-2）·180°，
于是（n+1-2）·180°-（n-2）180°=180°.
故答案为： 它的内角和增加180°.
【分析】设原多边形边数为n，则新多边形的边数为（n+1），然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可求解.
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 设这个多边形割去一个角后的边数n，
则（n-2）×180= 1440° ，
解得n=10，
∵割去一个角后的边数比原多边形增加1，不变，减少1，
∴ 这个多边形原来的边数为9或10或11.
故答案为：D.
【分析】先根据多边形的内角和公式建立方程求出新多边形的边数，再根据把一个多边形割去一个角后， 新多边形的边数比原多边形增加1，不变，减少1，可得答案.
7．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：过点D作DH∥FB交AB于H，
∵ ∠CFB=57° ，
∴∠CDH=∠CFB=57° ，
∵ 五边形ABCDE是正五边形 ，
∴∠CDE=（5-2）x180°=108°，
∴∠HDG=∠CDE-∠CDH=108°-57°=51°，
∵ BF∥AG ，DH∥FB
∴AG∥DH，
∴∠AGD=180°-∠HDG=180°-51°= 129° .
故答案为：C.
【分析】过点D作DH∥FB交AB于H，根据平行线的性质可得∠CDH=∠CFB=57° ，再求出正五边形内角的度数，从而得出∠HDG的度数，再利用平行于同一直线的两条直线互相平行得AG∥DH，最后根据二直线平行，同旁内角互补可求解.
8．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∠1=∠2=∠3=∠4=67°，
∴ ∠5=92°，
∵ ∠5+∠AED=180°，
∴ ∠AED=88°，
故选：B.
【分析】根据多边形的外角和定理求得∠5，再根据邻补角性质求得结果.
9．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 小明每次都是沿直线前进10米后向左转 45°，
∴他走过的图形是正多边形，其边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8X10=80(米).
故答案为：D.
【分析】本题考查正多边形的边数的求法和多边形的外角和.根据题意判断出小明走过的图形是正多边形即可.
10．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：机器人转了一周共360度，
360°÷45°=8，共走了8次，
机器人共走了8×2=16米．
故选：C．
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正八边形．
11．【答案】160
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
而 一个九边形的8个外角的和为200°，
∴它的第9个外角的度数=360°-200°=160°.
【分析】根据多边形的外角和等于360° 可求解.
12．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 设多边形一个外角是x度，则相邻的内角是5x度，
根据题意得：x+5x=180，
解得x=30．
则多边形的边数是：360÷30=12．
故答案为：12.
【分析】先设多边形一个外角是x度，根据题意可得相邻的内角是5x度，根据外角与相邻的内角互补可列方程，求解得到一个外角是30度，根据多边形的外角之和是360度，用360除外角的度数即可求解.
13．【答案】10或11或12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设内角和为1620°的多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）×180°=1620°
解得：n=11，
∵一个多边形被截取一个角后，边数会不变或增加一边或减少一边，
∴原多边形的边数为：10或11或12.
故答案为：10或11或12.
【分析】设内角和为1620°的多边形的边数为n，根据内角和可求得其边数，根据一个多边形被截取一个角后，边数会不变或增加一边或减少一边，即可得到原多边形的边数.
14．【答案】48
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：设l交A A 于E，交A A 于D，
∵ 六边形的6个内角都相等，五边形的5个内角也都相等，
∴∠A3=∠A =（6-2）×180°=120°，∠B B B4=（5-2）×180°=108°，
∴∠DB B4=180°-∠B B B4=72°，
∵ A A ∥B B .
∴∠EDA3=∠B4B3D=72°，
∴∠A2ED=360°-∠ A -∠A3-∠EDA3=48°，
∴ α=∠A2ED=48°.
故答案为：48.
【分析】设l交A A 于E，交A A 于D，先计算出∠A3、∠A 、∠B B B4的度数，再利用邻补角求出∠DB B4的度数，利用平行线的性质可得∠EDA3=∠B4B3D=72°，根据四边形内角和求出∠A2ED的度数，最后利用对顶角相等即可求解.
15．【答案】（n=3，4，6）
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和为（n-2）×180°
∴正n边形的每个内角度数
，解得：
∴n-2=1，2，±4
∴n=3，4，6，-2
∵n≥3
∴n=3，4，6
即（n=3，4，6）
【分析】根据n边形的内角和定理可求出，再代入360=kα，可求出k关于n的函数关系式，根据k为正整数可求出n的取值，即可求出答案。
16．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设新多边形的边数为n，
则 ，
解得 ，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
17．【答案】解：设AB与CD的延长线相交于点G，如图，
则∠A+∠E+∠F+∠C+∠G=540°
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠E=∠F=90°.
∵∠BAE=124°，∠DCF=155°
G=540°-（124°+155°+90°×2）=540°-459°=81°.
∴81°≠80°，
∴不符合规定。
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】由垂直得出 ∠E=∠F=90° ，利用五边形内角和为 540° ，得出结果。
18．【答案】（1）解：这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n-1=6．
所以这个多边形是六边形；
（2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，据此求出n值，再减1即可；
（2）先求出多边形内角和，由多边形的外角和为360° 即可判断.
19．【答案】回顾：∵，，
∴；
故答案为：；
探究：∵，，
∴，
∴．
结论：∵n边形的某一个外角的度数是，
∴与这个外角相邻的内角是，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是，
∴，
整理得：，
故答案为：．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【分析】【回顾】由邻补角的性质可得∠BCD+∠ACB=180°，根据内角和定理可得∠A+∠B+∠ACB=180°，据此解答；
【探究】由四边形内角和为360°可得∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，由邻补角的性质可得∠ADE+∠ADC=180°，据此解答；
【结论】由邻补角的性质可得：与这个外角相邻的内角是(180-x)°，由与这个外角不相邻的所有内角的和是y°可得(180-x)+y=(n-2)×180，然后化简即可.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）6.4多边形的内角与外角和 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·杭州月考）若一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形的边数为（　　）
A．6 B．7 C．9 D．8
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为x，
由题意得，180°（x-2）=360°×3，
∴x=8，
故答案为：D.
【分析】设这个多边形的边数为x，根据多边形的内角和公式、任意多边形的外角和等于360°列出方程，解方程即可.
2．（2024八下·道县月考）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为，原多边形的边数是（　　）
A．7或8或9 B．8或9或10 C．6或7或8 D．5或6或7
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设切去一角后的多边形为n边形．根据题意得：
．
解得∶．
因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，
所以原多边形的边数可能为7、8或9．
故答案为：A
【分析】根据切后的内角和可以求出切后的多边形边数，然后又知一个多边形切去一个角可得到的多边形有三种可能，分别是比原边数少1，相等，多1．所以可求得原多边形边数．
3．（2019八下·义乌期末）一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（　　）
A．减少180° B．不变
C．增加180° D．以上都有可能
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四角纸片是一个四边形，
观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．
内角和可能是：540°或360°或180° ．
所以内角和可能减少180°，可能不变、也可能增加180°
故答案为：D.
【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．
4．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°.设∠ADE=α，∠ADC=β，则一定有（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∠ADC=β，
而∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，
∴3∠A+β=360°，
在三角形ADE中，∠A+∠AED+∠ADE=180°，
∵∠AED=60°，∠ADE=α，
∴∠A+60°+α=180°，
∴∠A=180°-60°-α，
∴3（180°-60°-α）+β=360°，
整理得：α=β.
故答案为：C.
【分析】根据四边形的内角和等于360°可得∠A与β的关系式，在三角形ADE中，由三角形的内角和等于180度可得∠A与α的关系式，整理这两个关系式即可求解.
5．当多边形的边数增加1时，它的内角和会（　　）
A．增加90° B．增加180° C．增加270° D．增加360°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设原多边形边数为n，则n边形的内角和是（n-2）180°，边数增加1，则新多边形的内角和为（n+1-2）·180°，
于是（n+1-2）·180°-（n-2）180°=180°.
故答案为： 它的内角和增加180°.
【分析】设原多边形边数为n，则新多边形的边数为（n+1），然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可求解.
6．若把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，则这个多边形原来的边数为（　　）
A．9 B．10
C．11 D．以上都有可能
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 设这个多边形割去一个角后的边数n，
则（n-2）×180= 1440° ，
解得n=10，
∵割去一个角后的边数比原多边形增加1，不变，减少1，
∴ 这个多边形原来的边数为9或10或11.
故答案为：D.
【分析】先根据多边形的内角和公式建立方程求出新多边形的边数，再根据把一个多边形割去一个角后， 新多边形的边数比原多边形增加1，不变，减少1，可得答案.
7．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG.若∠CFB=57°，则∠AGD的度数为（　　）
A．114° B．123° C．129° D．135°
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：过点D作DH∥FB交AB于H，
∵ ∠CFB=57° ，
∴∠CDH=∠CFB=57° ，
∵ 五边形ABCDE是正五边形 ，
∴∠CDE=（5-2）x180°=108°，
∴∠HDG=∠CDE-∠CDH=108°-57°=51°，
∵ BF∥AG ，DH∥FB
∴AG∥DH，
∴∠AGD=180°-∠HDG=180°-51°= 129° .
故答案为：C.
【分析】过点D作DH∥FB交AB于H，根据平行线的性质可得∠CDH=∠CFB=57° ，再求出正五边形内角的度数，从而得出∠HDG的度数，再利用平行于同一直线的两条直线互相平行得AG∥DH，最后根据二直线平行，同旁内角互补可求解.
8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=67°，则∠AED的度数是（　　）
A．78° B．88° C．92° D．112°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∠1=∠2=∠3=∠4=67°，
∴ ∠5=92°，
∵ ∠5+∠AED=180°，
∴ ∠AED=88°，
故选：B.
【分析】根据多边形的外角和定理求得∠5，再根据邻补角性质求得结果.
9．如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45%后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（　　）
A．100米 B．80米 C．60米 D．40米
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 小明每次都是沿直线前进10米后向左转 45°，
∴他走过的图形是正多边形，其边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8X10=80(米).
故答案为：D.
【分析】本题考查正多边形的边数的求法和多边形的外角和.根据题意判断出小明走过的图形是正多边形即可.
10．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（　　）
A．14米 B．15米 C．16米 D．17米
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：机器人转了一周共360度，
360°÷45°=8，共走了8次，
机器人共走了8×2=16米．
故选：C．
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正八边形．
二、填空题
11．若一个九边形的8个外角的和为200°，则它的第9个外角的度数为　 　°.
【答案】160
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
而 一个九边形的8个外角的和为200°，
∴它的第9个外角的度数=360°-200°=160°.
【分析】根据多边形的外角和等于360° 可求解.
12．（2023八下·东港期末）如果一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解： 设多边形一个外角是x度，则相邻的内角是5x度，
根据题意得：x+5x=180，
解得x=30．
则多边形的边数是：360÷30=12．
故答案为：12.
【分析】先设多边形一个外角是x度，根据题意可得相邻的内角是5x度，根据外角与相邻的内角互补可列方程，求解得到一个外角是30度，根据多边形的外角之和是360度，用360除外角的度数即可求解.
13．（2023八下·鲁甸期末）已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为，则原多边形的边数为　 　.
【答案】10或11或12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设内角和为1620°的多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）×180°=1620°
解得：n=11，
∵一个多边形被截取一个角后，边数会不变或增加一边或减少一边，
∴原多边形的边数为：10或11或12.
故答案为：10或11或12.
【分析】设内角和为1620°的多边形的边数为n，根据内角和可求得其边数，根据一个多边形被截取一个角后，边数会不变或增加一边或减少一边，即可得到原多边形的边数.
14．如图，六边形A A A A A A 的内部有一个五边形B B B B B ，六边形的6个内角都相等，五边形的5个内角也都相等，且A A ∥B B .若直线经过点B ，B ，则直线l与A A 的夹角α的度数为　 　°.
【答案】48
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：设l交A A 于E，交A A 于D，
∵ 六边形的6个内角都相等，五边形的5个内角也都相等，
∴∠A3=∠A =（6-2）×180°=120°，∠B B B4=（5-2）×180°=108°，
∴∠DB B4=180°-∠B B B4=72°，
∵ A A ∥B B .
∴∠EDA3=∠B4B3D=72°，
∴∠A2ED=360°-∠ A -∠A3-∠EDA3=48°，
∴ α=∠A2ED=48°.
故答案为：48.
【分析】设l交A A 于E，交A A 于D，先计算出∠A3、∠A 、∠B B B4的度数，再利用邻补角求出∠DB B4的度数，利用平行线的性质可得∠EDA3=∠B4B3D=72°，根据四边形内角和求出∠A2ED的度数，最后利用对顶角相等即可求解.
15．（2023八下·海淀期末）如图，蜂巢的横截面由正六边形组成，且能无限无缝隙拼接，称横截面图形由全等正多边形组成，且能无限无缝隙拼接的多边形具有同形结构．
若已知具有同形结构的正n边形的每个内角度数为α，满足：360=kα（k为正整数），多边形外角和为360°，则k关于边数n的函数是　 　（写出n的取值范围）
【答案】（n=3，4，6）
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和为（n-2）×180°
∴正n边形的每个内角度数
，解得：
∴n-2=1，2，±4
∴n=3，4，6，-2
∵n≥3
∴n=3，4，6
即（n=3，4，6）
【分析】根据n边形的内角和定理可求出，再代入360=kα，可求出k关于n的函数关系式，根据k为正整数可求出n的取值，即可求出答案。
三、作图题
16．（2019八下·永年期末）如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件： 画出图形，把截去的部分打上阴影
（1）①新多边形内角和比原多边形的内角和增加了 ．
②新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
③新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 ．
（2）将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为 ，求原多边形的边数．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设新多边形的边数为n，
则 ，
解得 ，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
四、解答题
17．如图所示，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE=124°，∠DCF=155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？
【答案】解：设AB与CD的延长线相交于点G，如图，
则∠A+∠E+∠F+∠C+∠G=540°
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠E=∠F=90°.
∵∠BAE=124°，∠DCF=155°
G=540°-（124°+155°+90°×2）=540°-459°=81°.
∴81°≠80°，
∴不符合规定。
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】由垂直得出 ∠E=∠F=90° ，利用五边形内角和为 540° ，得出结果。
18．（2022八下·卢龙期末）小刚计算一个多边形的内角和求得结果为900°．老师指出他的计算结果不对．小刚重新检查，发现多数了一条边．
（1）你知道这个多边形是几边形吗 你是怎么知道的
（2）这个多边形的内角和与外角和有什么样的数量关系？
【答案】（1）解：这个多边形是六边形，
理由：由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，
解得：n=7，
由题意得：n-1=6．
所以这个多边形是六边形；
（2）解：由多边形内角和公式得(6-2)×180°=720°，
∵多边形的外角和为360°，
∴这个多边形的内角和是外角和的2倍．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）由多边形内角和公式得(n-2)×180°=900°，据此求出n值，再减1即可；
（2）先求出多边形内角和，由多边形的外角和为360° 即可判断.
19．（2023八下·梅州期末）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出与、之间的数量关系： ▲ ．
【探究】如图②，是四边形的外角，求证：．
【结论】若边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则，与的数量关系是 ▲ ．
【答案】回顾：∵，，
∴；
故答案为：；
探究：∵，，
∴，
∴．
结论：∵n边形的某一个外角的度数是，
∴与这个外角相邻的内角是，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是，
∴，
整理得：，
故答案为：．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；邻补角
【解析】【分析】【回顾】由邻补角的性质可得∠BCD+∠ACB=180°，根据内角和定理可得∠A+∠B+∠ACB=180°，据此解答；
【探究】由四边形内角和为360°可得∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，由邻补角的性质可得∠ADE+∠ADC=180°，据此解答；
【结论】由邻补角的性质可得：与这个外角相邻的内角是(180-x)°，由与这个外角不相邻的所有内角的和是y°可得(180-x)+y=(n-2)×180，然后化简即可.
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