资源简介 广西示范性高中4月联合调研测试高一数学试卷试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.考查范围:必修第一册占20%,必修第二册第六章至第八章第四节占80%.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合,,则( )A. B. C. D.2 若实数,满足,则( )A. B. 3 C. D. 13. 已知中,内角,,所对的边分别为,,,满足,,,则( )A. B. C. D.4. 已知正三棱柱中,,则该三棱柱的体积为( )A. B. C. D.5. 已知角的终边经过点,若,则( )A. B. C. D.6. 如图所示,某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成,则( )A. B. C. D.7. 已知重心为,若,且,则( )A. B. C. 3 D.8. 在一节数学选修课上,为了让大家更加直观地体会旋转体的生成过程,唐老师用电脑绘制了一个,其中,,,然后分别以,,为旋转轴,利用电脑的3D制图功能将旋转一周,得到几何体,,,则,,的体积之比为( )A B. C. D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 如图1是水平放置的边长为4的正方形,则在由斜二测画法画出的该正方形的直观图中(如图2所示),下列说法正确的是( )A. B.C. D. 面积为10. 若复数,是方程的两根,则( )A. ,实部相等 B. ,虚部相等C. D. 在复平面内所对应的点位于第三象限11. 已知中,点满足,点在内(含边界),其中,则( )A. 若,,则 B. 若两点重合,则C. 若存,使得能成立 D. 存在,使得能成立三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知向量,,若,则______.13. 如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则______.14. 已知圆台的上、下底面积分别为,,体积为,则圆台的高为______;若线段,分别为圆台上、下底面的两条直径,且A,B,C,D四点不共面,则四面体的外接球表面积为______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (1)已知复数为纯虚数,其中为实数,求;(2)若复数满足,求.16. 已知,是平面内两个不共线的单位向量,,,,是该平面内的点,其中,,,, ,三点共线.(1)求的值;(2)若,求,夹角的余弦值.17. 已知正方体中,,点M,N分别是线段,的中点.(1)求点M到平面的距离;(2)判断,M,B,N四点是否共面,若是,请证明;若不是,请说明理由.18. 已知中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.(1)求C的值;(2)若,,求的周长;(3)若,点M为平面内的一动点,求的最小值.19. 若定义在D上的函数满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是D上的有界函数,其中称为函数的上界,最小的M称为函数的上确界.(1)求函数的上确界;(2)已知函数,,证明:2为函数的一个上界;(3)已知函数,,若3为的上界,求实数的取值范围.参考数据:,.广西示范性高中4月联合调研测试高一数学试卷试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.考查范围:必修第一册占20%,必修第二册第六章至第八章第四节占80%.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将答题卡交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若集合,,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义计算可得.【详解】因为,,所以.故选:D.2. 若实数,满足,则( )A. B. 3 C. D. 1【答案】B【解析】【分析】根据复数相等的充要条件求出,的值,即可得解.【详解】因为实数,满足,所以,则.故选:B3. 已知中,内角,,所对的边分别为,,,满足,,,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理,则,解得.故选:C.4. 已知正三棱柱中,,则该三棱柱的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出底面的面积,再根据柱体的体积公式计算可得.【详解】在正三棱柱中,,所以,所以.故选:C5. 已知角的终边经过点,若,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义求出,再由三角函数的定义计算可得.【详解】因为角的终边经过点,且,所以,解得,所以.故选:A.6. 如图所示,某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成,则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的线性运算可求得结论.【详解】依题意,.故选:.7. 已知的重心为,若,且,则( )A. B. C. 3 D.【答案】B【解析】【分析】首先判断,再根据重心的向量表示,变形后,利用数量积公式,即可求解.【详解】因为,故.而,故,则.故选:B8. 在一节数学选修课上,为了让大家更加直观地体会旋转体的生成过程,唐老师用电脑绘制了一个,其中,,,然后分别以,,为旋转轴,利用电脑的3D制图功能将旋转一周,得到几何体,,,则,,的体积之比为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用余弦定理判断得为锐角三角形,再以为旋转轴为例,求得几何体的体积,同理得到,从而利用比例的性质即可得解.【详解】因为,,,所以是中最大的内角,且,即,所以是锐角三角形,不妨设几何体,,对应的体积为,当以为旋转轴,将旋转一周时,过作,垂足为,得到几何体为以和绕直角边所在直线旋转所成两个圆锥的组合体,其体积为,又,即,即,所以,同理:,,所以.故选:B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 如图1是水平放置边长为4的正方形,则在由斜二测画法画出的该正方形的直观图中(如图2所示),下列说法正确的是( )A. B.C. D. 的面积为【答案】ACD【解析】【分析】根据斜二测画法判断A、B,利用余弦定理求出,即可判断C,根据面积公式判断D.详解】根据斜二测画法可知,,,故A正确,B错误;又,所以,在中由余弦定理,而,因为,,所以,所以,故C正确;,故D正确.故选:ACD10. 若复数,是方程的两根,则( )A. ,实部相等 B. ,虚部相等C. D. 在复平面内所对应的点位于第三象限【答案】AC【解析】【分析】由实系数一元二次方程在复数范围内解可得两根互为共轭复数,判断AB两个选项;再由韦达定理可得到和之间的关系,判断CD两个选项.【详解】因为复数,是实系数一元二次方程的两根,所以,互为共轭复数且符合韦达定理,故A正确,B错误;由韦达定理,,所以,故C正确;由韦达定理,,所以,对应的点为在第一象限,故D错误.故选:AC.11. 已知中,点满足,点在内(含边界),其中,则( )A. 若,,则 B. 若两点重合,则C. 若存在,使得能成立 D. 存在,使得能成立【答案】BCD【解析】【分析】由平面向量的线性运算即可判断A;由重心的性质即可判断B;由平面向量基本定理即可判断CD.【详解】对A,,即,故,则,故,故A错误;对B,由得,,故为的重心,则为的重心,故,故正确;对C,D,取的中点,则,由点在内(含边界),过点作,与线段交于点M,与射线交于点如图所示,设,则,设,则,因为,所以,则,故C和D正确,故选:BCD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知向量,,若,则______.【答案】【解析】【分析】首先求出的坐标,再根据,则,由数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为,,所以,又,所以,解得.故答案:13. 如图,在复平面内,复数,对应的向量分别是,,则______.【答案】【解析】【分析】根据复数的几何意义得到,,再由复数的乘法运算得到的值.【详解】由图可知,所以,,所以,所以.故答案为:.14. 已知圆台的上、下底面积分别为,,体积为,则圆台的高为______;若线段,分别为圆台上、下底面的两条直径,且A,B,C,D四点不共面,则四面体的外接球表面积为______.【答案】 ①. 4 ②.【解析】【分析】利用圆台的体积公式即可求出圆台的高;根据题意可得四面体的外接球等价于圆台的外接球,且球的球心在圆台的轴上,设球心到圆台底面的距离为,利用勾股定理联立方程即可求解求的半径,从而得到球的表面积.【详解】根据题意可得,,设圆台的高为,所以由圆台的体积公式,可得,解得:,因为线段,分别为圆台上、下底面的两条直径,且A,B,C,D四点不共面,则四面体的外接球等价于圆台的外接球,由题可得:,,,设球心到圆台底面的距离为,球半径为,因为,故球的球心在圆台的轴上,所以有,解得:,,所以四面体的外接球表面积为:,故答案为:4;四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (1)已知复数为纯虚数,其中为实数,求;(2)若复数满足,求.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)设,根据复数代数形式的除法运算化简,由为实数求出的值,从而得到复数,即可得到其共轭复数;(2)设,利用复数的乘法法则化简,再根据复数相等得到,即可求出、,最后根据复数模的公式计算可得.【详解】(1)设,则,因为为实数,所以,解得,所以,则.(2)设,则,又,所以,则,所以,解得,所以.16. 已知,是平面内两个不共线的单位向量,,,,是该平面内的点,其中,,,, ,三点共线.(1)求的值;(2)若,求,夹角余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用向量共线可得,从而求出的值;(2)设的夹角为,由,求出,结合向量模长公式,即可求出,夹角的余弦值.【小问1详解】因为三点共线,故存在,使得,则,则解得.【小问2详解】设的夹角为.依题意,,故,解得,即夹角的余弦值为17. 已知正方体中,,点M,N分别是线段,的中点.(1)求点M到平面的距离;(2)判断,M,B,N四点是否共面,若是,请证明;若不是,请说明理由.【答案】(1);(2)是,证明见详解.【解析】【分析】(1)由即可求解;(2)利用三角形中位线性质证明,然后证明为平行四边形,即可得,再由直线平行的传递性可证.【小问1详解】记点M到平面的距离为h,易知为正三角形,且,所以,又,所以,因为,所以,即,解得,即点M到平面的距离为.【小问2详解】,M,B,N四点共面,证明如下:连接,因为M,N分别是线段,的中点,所以,由正方体性质可知,且,所以四边形为平行四边形,所以,所以,所以,M,B,N四点共面.18. 已知中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足.(1)求C的值;(2)若,,求的周长;(3)若,点M为平面内的一动点,求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)由正弦定理边化角,再由两角和的正弦公式以及三角形的内角和为即可求解;(2)由三角形的面积公式求得,再由余弦定理得到,即可求得的周长;(3)是等腰三角形,以底边的中点为原点建立平面直角坐标系,表示出、和从而得到,利用即可求得最小值.【小问1详解】由正弦定理得,即,因为,所以,因为,所以,因为,所以【小问2详解】,所以由余弦定理得所以,所以的周长.【小问3详解】取中点,因为,所以是等腰三角形,所以,以为原点,以为轴,以为轴,建立平面直角坐标系,如图,所以,设,则,,,因为,所以,当且仅当时等号成立.所以的最小值为.19. 若定义在D上的函数满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是D上的有界函数,其中称为函数的上界,最小的M称为函数的上确界.(1)求函数的上确界;(2)已知函数,,证明:2为函数的一个上界;(3)已知函数,,若3为的上界,求实数的取值范围.参考数据:,.【答案】(1)2 (2)证明见解析(3)【解析】【分析】(1)将函数写成分段函数的形式,再根据上确界的定义即可求解.(2)对函数进行换元,并根据定义域求出值域,进而证明2是一个上界.(3)将问题转化为对恒成立,再构造函数,利用函数的单调性即可得解.【小问1详解】依题意,故,故的上确界为2.【小问2详解】证明:令,故原函数化为,由对勾函数性质可知,在上单调递减,在上单调递增,且;故,故2为函数的一个上界.【小问3详解】依题意,在上恒成立,即对恒成立;令,故对恒成立,所以,设.因为在上单调递增,在上单调递减,所以在上的最大值为在上的最小值为;所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题考查函数新定义的问题.关键点是根据题意理解有界函数的新定义,并结合函数的换元法求值域,以及分离参数解决恒成立问题. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 广西示范性高中2023-2024学年高一下学期4月期中联合调研数学试题(原卷版).docx 广西示范性高中2023-2024学年高一下学期4月期中联合调研数学试题(解析版).docx