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【提升卷】2024年北师大版数学八（下）第六章 平行四边形 章末检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2017八下·港南期中）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
2．（2023八下·泉港期中）如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为
A． B． C． D．
3．在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，有下列条件：
①OA=OC，OB=OD；
②AD∥BC，AB∥DC；
③AB=DC，AD=BC；
④AB∥DC，AD=BC.
其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④
4．（2023八下·石家庄期末）如图，四边形中，为对角线，，，E，F分别是边，的中点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（　　）
A．4s B．3s C．2s D．1s
6．（2022八下·余杭月考）如图，一块长方形场地 的长 与宽 的比是 ： ， ， ，垂足分别是 、 两点.现计划在四边形 区域种植花草，则四边形 与长方形 的面积比等于（　　）
A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：4
7．（2023八下·泸县月考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点是对角线上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定四边形是平行四边形的有（ ）
A．① B．①④ C．①③④ D．①②③④
8．（2023八下·灵丘期中）如图，在中，，，平分，对角线相交于点O，连接，下列结论中正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2023八下·黄岛期末）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2023八下·孝义期中）如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023八下·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是　 　．
12．如图，已知在△ABC 中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点 C 作CG⊥AD于点F，交 AB 于点 G，连结EF，则线段 EF 的长为　 　.
13．（2017八下·钦南期末）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　 　．
14．（2023八下·柯桥期末）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
15．（2021八下·丹东期末）如图，四边形中，，cm，cm，点P以1cm/s的速度由A点向B点运动，同时点Q以2cm/s的速度由C点向D点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段将四边形截出一个平行四边形时，此时的运动时间为　 　s．
三、解答题（共10题，共75分）
16．（2023八下·都昌期末）如图，在中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图（1）中，以为腰作一个等腰三角形；
（2）在图（2）中，以为边作．
17．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
18．如图，在 ABCD中，AF 平分∠BAD，交 BC 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点 E.
（1）若AD=12，AB=8，求CF 的长.
（2）连结 BE，与 AF 相交于点 G，连结 DF，与CE 相交于点 H，连结 EF，GH 相交于点O.求证：EF 和GH 互相平分.
19．（2024八下·武汉期中）在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O．
（1）如图1，M是中点，N是中点，
①求证：；
②求证：；
（2）如图2，若，则，，之间的数量关系为　 　．
20．
（1）用一条直线去截多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件(在对应的图中画出图形，把截去的部分打上阴影)：
①在图1中，新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了 180°.
②在图2中，新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③在图3中，新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180°.
（2）若将一个多边形截去一个角后，得到的新多边形的内角和为 2 520°，求原多边形的边数.
21．（2023八下·虹口期末）如图1，在梯形中，，，，，，点O是对角线的中点．点E为边上一动点，联结．
（1）求的长；
（2）如果点E为边的中点，联结，求的面积；
（3）如图2，延长交射线于点F，联结，如果平分，求四边形的周长．
22．（2023八下·金坛期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，一次函数的图像与x轴交于点B，与交于点C．点P是y轴上一点，点Q是直线上一点．
（1）求的面积；
（2）若点P在y轴的负半轴上，且是轴对称图形，求点P的坐标；
（3）若以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标．
23．（2022八下·济南期末）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．
（1）【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．
（2）【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是 ▲ ，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝CE，请直接写出CF的长．
24．（2023八下·富县期末）（1）问题提出
在平面内，已知线段，，则线段的最小值为　 　．
（2）问题探究
如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值．
（3）问题解决
如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．
25．（2020八下·泰兴期末）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动.
（1）活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移.
（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由.
（2）（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）.求AF的长.
（3）活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）.
（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
故选：A．
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由折叠可得∠ADB=∠BDF，
∴∠DBC=∠BDF，
又∠DFC=40°，
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，
又∵∠ABD=48°，
∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°，
∴∠E=∠A=112°，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得∠DBC=∠BDF，然后由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DFC=∠DBC+∠BDF，于是可求得∠DBC的度数，在三角形ABD中，用三角形的内角和定理可求得∠E=∠A的值.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解；①∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
③∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；
④∵AB∥CD，AD=BC，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形；
故选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】①根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断求解；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
③根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断求解；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形.
4．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BD的中点H，连接EH，FH，
∵点E、F分别是AD，BC的中点，
∴EH、FH分别是 △ ABD和 △ BCD的中位线，
∴EH=，FH=，
∴FH-EH＜EF≤FH+EH，
即0.4＜EF≤2.4.
故答案为：A。
【分析】取BD的中点H，连接EH，FH，先根据三角形中位线定理，求得EH和FH的长度，然后根据三角形三边之间的关系，求得EF的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 四边形 ABCD 是矩形，
， ， ，
.
， ，
， .
在 和 中，
，
≌△CBF（AAS） ，
， ，
又 ，
四边形DEBF是平行四边形，
设 ，则 ，
，
于点 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为1：3.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，根据平行线的性质可得∠DAE=∠BCF，证明△ADE ≌△CBF，得到DE=BF，AE=CF，推出四边形DEBF是平行四边形，设AD=BC=x，则CD=AB=x，利用勾股定理可得AC=x，然后根据三角形的面积公式表示出DE，由勾股定理表示出AE，由EF=AC-AE-CF可得EF，然后表示出四边形DEBF、ABCD的面积，据此解答.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ABC =120°，
∴∠BCD = 180°-∠ABC= 60°，AB= CD，∠ADC = 120°， BO = OD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC = ∠ADE= 60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴CD = CE，∠EDC= 60°，
∵BC = 2AB，
∴BC =2CD = 2CE，
∴E是BC的中点，
∴BE=CE，
又∵DE= EC，
∴BE= DE，
∴∠EBD=∠EDB= ∠DEC =30°，
∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=90°，
∴∠ADB=30°，
∴结论①正确；
∵BE = EC，BO = DO，
∴OE=DC=AB，
即AB = 2OE，
∴结论②正确；
∵DE = DC = AB，
∴DE = AB，
∴结论③正确；
∵OD=BD，CD=BC，BD≠ BC，
∴OD ≠ CD，
∴结论④不正确；
∴∠ABD = ∠BDC = 90°，
∴S平行四边形ABCD=AB·BD，
∴结论⑤正确；
综上所述：结论中正确的有4个，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线等计算求解即可。
9．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形的内角度数是：=108°，
则正五边形围成的多边形的内角的度数是：360-2×108=144°
根据题意得：180（n-2）=144n
解得：n=10
故答案为：C.
【分析】先求出正五边形围成的多边形的内角的度数，然后根据多边形的内角和定理即可求得n的值。
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴DE=AC， DF=BC，BF=AB，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=（AC+BC+AB）=，
∴第二个三角形的周长为，
同理可得，第三个三角形的周长是，
……
∴第2023个小等边三角形的周长为，
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，再求出第三个三角形的周长是，最后找出规律计算求解即可。
11．【答案】1
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点M关于AC的对称点M'，连接M'P
菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点M'，点M是AB的中点
点M'是AD的中点，MP=M'P
当点M'，P，N三点共线时，MP+NP有最小值为M'N的长
点M'是AD的中点，点N是BC边上的中点
在菱形ABCD中，AD||BC，AD=BC
四边形AM'NB是平行四边形
故 MP+NP的最小值是 1
故答案为：1
【分析】作点M关于AC的对称点M'，连接M'P，当点M'，P，N三点共线时，MP+NP有最小值，根据平行四边形的判定定理证明四边形AM'NB是平行四边形，即可求出答案。
12．【答案】
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ AD平分∠CAG，
∴ ∠GAF=∠CAF，
∵ CG⊥AD，
∴ ∠AFG=∠AFC=90°，
∵ AF=AF，
∴ △AFG≌△AFC（ASA），
∴ GF=FC，AG=AC=3，
∵ AB=4，
∴ GB=AB-AG=1，
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，
∴ EF是△GBC的中位线，
∴ EF=GB=.
故答案为：.
【分析】依据ASA判定△AFG≌△AFC推出GF=FC，AG=AC=3，得到GB的长，再根据中位线的性质即可求得.
13．【答案】360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）
=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）
=900°﹣（5﹣2）×180°
=900°﹣540°
=360°．
故答案为：360°．
【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接并延长，作，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当点是边延长线上时，点在的延长线上 ，
，，
，
的最小值是，
故答案为：.
【分析】利用瓜豆原理可知点F的运动轨迹是一条直线，故勾手拉手全等三角形模型是本题的解题关键.利用等边三角形的性质通过SAS判定得到，再通过直角三角形的性质求得CM的长度即FC的最小值.
15．【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t，由题意可得AP=tcm，PB=（9-t）cm，CQ=2tcm，DQ=（6-2t）cm，
∵AB∥CD
∴当四边形APQD是平行四边形时，DQ=AP，
∴t=6-2t，
解得t=2；
当四边形BPQC是平行四边形时，CQ=BP，
∴9-t=2t，
解得t=3，
∴当t=2或3时，线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，
故答案为：2或3．
【分析】设运动时间为t，可得AP=tcm，PB=（9-t）cm，CQ=2tcm，DQ=（6-2t）cm，由AB∥CD
可知当DQ=AP或CQ=BP时，可截出一个平行四边形，据此分别建立方程并解答即可.
16．【答案】（1）解：在图1中，延长DC和AE交于点F，即为所作．
（2）解：在图2中，连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形即为所作．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作等腰三角形即可；
（2）根据题意作平行四边形即可。
17．【答案】（1）解：在四边形BCDM中，
∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，
∠1+∠3+∠E+∠F=360°
∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.
（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形和三角形外角，得出 ∠C+∠B+∠D+∠2=360° ， ∠1+∠3+∠E+∠F=360° ，从而得出结果。
（2）利用三角形外角，得到 ∠7=∠1+∠5，∠8=∠4+∠6，从而得出结果。
18．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF=8，
∴CF=BC-BF=12-8=4
（2）证明：同理可证DE=DC=8，
∴AE=AD-DE=12-8=4，
∵CF=4，BF=8，
∴AE=CF，BF=DE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴EF和GH互相平分.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠DAF=∠AFB，利用角平分线的定义可推出∠BAF=∠AFB；再利用等角对等边可求出BF的长，然后根据CF=BC-BF，可求出CF的长.
（2）同理可证DE=DC=8，由此可求出AE的长，可证得AE=CF，BF=DE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，可推出四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.
19．【答案】（1）解：证明：①∵，分别是边，上的中线，
∴是的中位线，
∴，
又∵M是中点，N是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴；
②由①可知，是的中位线，是的中位线，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形的中位线定理
20．【答案】（1）解：如图，
（2）解：设多边形的边数为n，
则（n-2）·180°=2520°，解得：n=16，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15；
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16；
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17.
故原多边形的边数可以为15、16、17.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻两边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况讨论求解.
21．【答案】（1）解：过A作，过D作，垂足分别为M、N，
则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点O作，垂足为点Q，则，
∵O是的中点，E是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴ 在中，，，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过点D作于点N，
由（1）可知，，
∴，
由勾股定理得，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴四边形的周长．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出四边形是平行四边形， 再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）根据线段的中点求出 ，，， 再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求出四边形是平行四边形， 最后利用勾股定理计算求解即可。
22．【答案】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
联立，
解得：，
∴点C的坐标，
∴
（2）解：设点P的坐标为：，
∵是轴对称图形，则是等腰三角形，
根据勾股定理得
，
故等腰中，，
即，解得.
∴点P的坐标为：；
（3）解：设点Q（m，n），
当以BC为平行四边形的一边，CQ为另一边时，
∵BP∥CQ，
∴设直线BP的解析式为，
∵点B（14，0），
∴
解之：b=-7，
∴，
当x=0时y=-7，
∴此时点P（0，-7），
将点B向左平移6个单位，再向上平移8个单位得到点C，
∴将点P向左平移6个单位，再向上平移8个单位得到点Q，
∴点Q（-6，1）；
当BC为平行四边形的一边，CQ为对角线时
∵PQ∥BC，
0-m=8-14，
解之：m=6，
∴n=×6+4=7，
∴点Q（6，7）
当BC为对角线时
∵BP∥CQ，
∴此时点P的坐标为（0，-7），
∴14-0=m-8，8-（-7）=n-0
解之：m=22，n=15，
∴点Q（22，15）
∴点Q的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；轴对称图形
【解析】【分析】利用两函数解析式，由y=0可求出x的值，可得到点A的坐标和点B的坐标，由此可求出AB的长；再将两函数解析式联立方程组，解方程组求出方程组的解，可得到点C的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
（2）设点P的坐标为（0，m）（m＜0），利用△PBC是轴对称图形，可知PA=AB或PB=AB，根据PA2=AB2和PB2=AB2，分别得到关于m的方程，分别解方程求出m的值，可得到符合题意的点P的坐标.
（3）设点Q（m，n），分情况讨论：当以BC为平行四边形的一边，CQ为另一边时，利用AC∥BP，设直线BP的解析式为，将点B的坐标代入，可求出其函数解析式，利用此函数解析式求出点P的坐标，利用点的坐标平移可知将点P向左平移6个单位，再向上平移8个单位得到点Q，可得到点Q的坐标；当BC为平行四边形的一边，CQ为对角线时，利用PQ∥BC，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再求出n的值，可得到点Q的坐标；当BC为对角线时，利用BP∥CQ，可得到点P的坐标，然后利用平行四边形的性质可得到14-0=m-8，8-（-7）=n-0，解方程求出m，n的值，可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
23．【答案】（1）证明：延长至M，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①
线段与的数量关系为：，
理由：延长至点，使，连接、，
点F为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
线段绕点E逆时针旋转得到线段，
，，
，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；
②或
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(2)②的长为 或．
当为的中位线时，，，
点是的中点，
为的中点，
，
；
如图，当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，
为等腰三角形，，
，
，，
，
，
为的中点，F为的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，即，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）延长至M，使，连接，利用“SAS”证明可得 ，，再证明出可得AC=MC，再利用等量代换可得AC=BF；
（2）①延长至点，使，连接、，先证明是等边三角形，证明出，再证明 是等边三角形， 可得，从而得解；
②当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，先证明可得CH=EI，再利用线段的和差可得NC=CE，再求出，即可得到答案。
24．【答案】（1）2
（2）解：如图，过点P作PF⊥AB交BA延长线于点F，连接BP．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵P是AD的中点，AD=4，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得．
由折叠得，
∴，
∴点E在线段PB上时，BE取最小值，
即BE的最小值为；
（3）解：如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F．
∵，为定值，
∴当最小时，最小．
又∵为定值，∴当最小时，最小．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴，．
∴，
∴，
当P在线段BF上时，PE取最小值．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴．
∴四边形APCD面积的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵（当且仅当点C在线段AB上时，等号成立）
∴BC ≥5-3，
即BC ≥2，
∴BC的最小值为2；
故答案为：2；
【分析】（1）根据三角形三边关系即可得答案；
（2）如图，过点P作PF⊥AB交BA延长线于点F，连接BP，根据含30°角直角三角形的性质及平行四边形的性质可求出AF、PF的长度，进而确定BF的长度，再根据勾股定理得到PB的长度，再由（1）同理可知， 即可确定BE的最小值；
（3）如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，由题图可知，，且为定值，当PE最小时，最小，即最小，意味着本题只需求出PE的最小值，问题就迎刃而解；由（1）同理可知，，根据勾股定理建立方程求出FB、BP的长度即可.
25．【答案】（1）解：四边形ABDE是平行四边形.
证明：如图，∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x（cm），则OA＝OE＝ （x+4），
∴OF＝OA﹣AF＝2﹣ x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴ ，
解得：x＝ ，
∴AF＝ cm.
（3）解：BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；【发现】连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝ （x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣ x，由勾股定理可得 ，解方程求出x，则AF可求出；【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证.
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）第六章 平行四边形 章末检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2017八下·港南期中）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（　　）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
【答案】A
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°﹣140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．
故选：A．
【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．
2．（2023八下·泉港期中）如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由折叠可得∠ADB=∠BDF，
∴∠DBC=∠BDF，
又∠DFC=40°，
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，
又∵∠ABD=48°，
∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°，
∴∠E=∠A=112°，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得∠DBC=∠BDF，然后由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得∠DFC=∠DBC+∠BDF，于是可求得∠DBC的度数，在三角形ABD中，用三角形的内角和定理可求得∠E=∠A的值.
3．在四边形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，有下列条件：
①OA=OC，OB=OD；
②AD∥BC，AB∥DC；
③AB=DC，AD=BC；
④AB∥DC，AD=BC.
其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解；①∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形；
②∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
③∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；
④∵AB∥CD，AD=BC，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形；
故选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】①根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断求解；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
③根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断求解；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形不能判定四边形ABCD是平行四边形.
4．（2023八下·石家庄期末）如图，四边形中，为对角线，，，E，F分别是边，的中点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BD的中点H，连接EH，FH，
∵点E、F分别是AD，BC的中点，
∴EH、FH分别是 △ ABD和 △ BCD的中位线，
∴EH=，FH=，
∴FH-EH＜EF≤FH+EH，
即0.4＜EF≤2.4.
故答案为：A。
【分析】取BD的中点H，连接EH，FH，先根据三角形中位线定理，求得EH和FH的长度，然后根据三角形三边之间的关系，求得EF的取值范围。
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（　　）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
6．（2022八下·余杭月考）如图，一块长方形场地 的长 与宽 的比是 ： ， ， ，垂足分别是 、 两点.现计划在四边形 区域种植花草，则四边形 与长方形 的面积比等于（　　）
A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．1：4
【答案】A
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解： 四边形 ABCD 是矩形，
， ， ，
.
， ，
， .
在 和 中，
，
≌△CBF（AAS） ，
， ，
又 ，
四边形DEBF是平行四边形，
设 ，则 ，
，
于点 ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为1：3.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，根据平行线的性质可得∠DAE=∠BCF，证明△ADE ≌△CBF，得到DE=BF，AE=CF，推出四边形DEBF是平行四边形，设AD=BC=x，则CD=AB=x，利用勾股定理可得AC=x，然后根据三角形的面积公式表示出DE，由勾股定理表示出AE，由EF=AC-AE-CF可得EF，然后表示出四边形DEBF、ABCD的面积，据此解答.
7．（2023八下·泸县月考）如图，在平行四边形中，对角线相交于点是对角线上的两点，给出下列四个条件：①；②；③；④．其中能判定四边形是平行四边形的有（ ）
A．① B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
8．（2023八下·灵丘期中）如图，在中，，，平分，对角线相交于点O，连接，下列结论中正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ABC =120°，
∴∠BCD = 180°-∠ABC= 60°，AB= CD，∠ADC = 120°， BO = OD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC = ∠ADE= 60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴CD = CE，∠EDC= 60°，
∵BC = 2AB，
∴BC =2CD = 2CE，
∴E是BC的中点，
∴BE=CE，
又∵DE= EC，
∴BE= DE，
∴∠EBD=∠EDB= ∠DEC =30°，
∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=90°，
∴∠ADB=30°，
∴结论①正确；
∵BE = EC，BO = DO，
∴OE=DC=AB，
即AB = 2OE，
∴结论②正确；
∵DE = DC = AB，
∴DE = AB，
∴结论③正确；
∵OD=BD，CD=BC，BD≠ BC，
∴OD ≠ CD，
∴结论④不正确；
∴∠ABD = ∠BDC = 90°，
∴S平行四边形ABCD=AB·BD，
∴结论⑤正确；
综上所述：结论中正确的有4个，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线等计算求解即可。
9．（2023八下·黄岛期末）如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形．用个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则的值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正五边形的内角度数是：=108°，
则正五边形围成的多边形的内角的度数是：360-2×108=144°
根据题意得：180（n-2）=144n
解得：n=10
故答案为：C.
【分析】先求出正五边形围成的多边形的内角的度数，然后根据多边形的内角和定理即可求得n的值。
10．（2023八下·孝义期中）如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示：
∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，
∴DE=AC， DF=BC，BF=AB，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=（AC+BC+AB）=，
∴第二个三角形的周长为，
同理可得，第三个三角形的周长是，
……
∴第2023个小等边三角形的周长为，
故答案为：B.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE、EF、DF分别为△ABC的中位线，再求出第三个三角形的周长是，最后找出规律计算求解即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2023八下·克孜勒苏柯尔克孜期末）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP+NP的最小值是　 　．
【答案】1
【知识点】平行四边形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点M关于AC的对称点M'，连接M'P
菱形ABCD关于AC对称，点M关于AC的对称点M'，点M是AB的中点
点M'是AD的中点，MP=M'P
当点M'，P，N三点共线时，MP+NP有最小值为M'N的长
点M'是AD的中点，点N是BC边上的中点
在菱形ABCD中，AD||BC，AD=BC
四边形AM'NB是平行四边形
故 MP+NP的最小值是 1
故答案为：1
【分析】作点M关于AC的对称点M'，连接M'P，当点M'，P，N三点共线时，MP+NP有最小值，根据平行四边形的判定定理证明四边形AM'NB是平行四边形，即可求出答案。
12．如图，已知在△ABC 中，AB=4，AC=3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点 C 作CG⊥AD于点F，交 AB 于点 G，连结EF，则线段 EF 的长为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ AD平分∠CAG，
∴ ∠GAF=∠CAF，
∵ CG⊥AD，
∴ ∠AFG=∠AFC=90°，
∵ AF=AF，
∴ △AFG≌△AFC（ASA），
∴ GF=FC，AG=AC=3，
∵ AB=4，
∴ GB=AB-AG=1，
∵ AE是△ABC的中线，
∴ BE=CE，
∴ EF是△GBC的中位线，
∴ EF=GB=.
故答案为：.
【分析】依据ASA判定△AFG≌△AFC推出GF=FC，AG=AC=3，得到GB的长，再根据中位线的性质即可求得.
13．（2017八下·钦南期末）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　 　．
【答案】360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）
=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）
=900°﹣（5﹣2）×180°
=900°﹣540°
=360°．
故答案为：360°．
【分析】首先根据图示，可得∠1=180°﹣∠BAE，∠2=180°﹣∠ABC，∠3=180°﹣∠BCD，∠4=180°﹣∠CDE，∠5=180°﹣∠DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少即可．
14．（2023八下·柯桥期末）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接并延长，作，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当点是边延长线上时，点在的延长线上 ，
，，
，
的最小值是，
故答案为：.
【分析】利用瓜豆原理可知点F的运动轨迹是一条直线，故勾手拉手全等三角形模型是本题的解题关键.利用等边三角形的性质通过SAS判定得到，再通过直角三角形的性质求得CM的长度即FC的最小值.
15．（2021八下·丹东期末）如图，四边形中，，cm，cm，点P以1cm/s的速度由A点向B点运动，同时点Q以2cm/s的速度由C点向D点运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动，当线段将四边形截出一个平行四边形时，此时的运动时间为　 　s．
【答案】2或3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：设运动时间为t，由题意可得AP=tcm，PB=（9-t）cm，CQ=2tcm，DQ=（6-2t）cm，
∵AB∥CD
∴当四边形APQD是平行四边形时，DQ=AP，
∴t=6-2t，
解得t=2；
当四边形BPQC是平行四边形时，CQ=BP，
∴9-t=2t，
解得t=3，
∴当t=2或3时，线段PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，
故答案为：2或3．
【分析】设运动时间为t，可得AP=tcm，PB=（9-t）cm，CQ=2tcm，DQ=（6-2t）cm，由AB∥CD
可知当DQ=AP或CQ=BP时，可截出一个平行四边形，据此分别建立方程并解答即可.
三、解答题（共10题，共75分）
16．（2023八下·都昌期末）如图，在中，是的平分线．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）
（1）在图（1）中，以为腰作一个等腰三角形；
（2）在图（2）中，以为边作．
【答案】（1）解：在图1中，延长DC和AE交于点F，即为所作．
（2）解：在图2中，连接AC和BD交于一点O，再连接EO并延长交AD于点F，四边形即为所作．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作等腰三角形即可；
（2）根据题意作平行四边形即可。
17．如图
（1）如图1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数；
（2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数。
【答案】（1）解：在四边形BCDM中，
∠C+∠B+∠D+∠2=360°，在四边形MEFN中，
∠1+∠3+∠E+∠F=360°
∠1=∠A+∠G，∠2+∠3=180°，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+360°-180°=540°.
（2）解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠2+∠3+∠7+∠8=360°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）利用四边形和三角形外角，得出 ∠C+∠B+∠D+∠2=360° ， ∠1+∠3+∠E+∠F=360° ，从而得出结果。
（2）利用三角形外角，得到 ∠7=∠1+∠5，∠8=∠4+∠6，从而得出结果。
18．如图，在 ABCD中，AF 平分∠BAD，交 BC 于点F，CE平分∠BCD，交 AD于点 E.
（1）若AD=12，AB=8，求CF 的长.
（2）连结 BE，与 AF 相交于点 G，连结 DF，与CE 相交于点 H，连结 EF，GH 相交于点O.求证：EF 和GH 互相平分.
【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF=8，
∴CF=BC-BF=12-8=4
（2）证明：同理可证DE=DC=8，
∴AE=AD-DE=12-8=4，
∵CF=4，BF=8，
∴AE=CF，BF=DE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，
∴AF∥CE，BE∥DF，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴EF和GH互相平分.
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠DAF=∠AFB，利用角平分线的定义可推出∠BAF=∠AFB；再利用等角对等边可求出BF的长，然后根据CF=BC-BF，可求出CF的长.
（2）同理可证DE=DC=8，由此可求出AE的长，可证得AE=CF，BF=DE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，可推出四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.
19．（2024八下·武汉期中）在中，，分别是边，上的中线，与相交于点O．
（1）如图1，M是中点，N是中点，
①求证：；
②求证：；
（2）如图2，若，则，，之间的数量关系为　 　．
【答案】（1）解：证明：①∵，分别是边，上的中线，
∴是的中位线，
∴，
又∵M是中点，N是中点，
∴是的中位线，
∴，
∴；
②由①可知，是的中位线，是的中位线，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形的中位线定理
20．
（1）用一条直线去截多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件(在对应的图中画出图形，把截去的部分打上阴影)：
①在图1中，新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了 180°.
②在图2中，新多边形的内角和与原多边形的内角和相等.
③在图3中，新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 180°.
（2）若将一个多边形截去一个角后，得到的新多边形的内角和为 2 520°，求原多边形的边数.
【答案】（1）解：如图，
（2）解：设多边形的边数为n，
则（n-2）·180°=2520°，解得：n=16，
① 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15；
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16；
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17.
故原多边形的边数可以为15、16、17.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻两边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况讨论求解.
21．（2023八下·虹口期末）如图1，在梯形中，，，，，，点O是对角线的中点．点E为边上一动点，联结．
（1）求的长；
（2）如果点E为边的中点，联结，求的面积；
（3）如图2，延长交射线于点F，联结，如果平分，求四边形的周长．
【答案】（1）解：过A作，过D作，垂足分别为M、N，
则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点O作，垂足为点Q，则，
∵O是的中点，E是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴ 在中，，，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
过点D作于点N，
由（1）可知，，
∴，
由勾股定理得，
设，则，
在中，，
即，
解得，
∴四边形的周长．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据题意先求出四边形是平行四边形， 再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）根据线段的中点求出 ，，， 再利用勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求出四边形是平行四边形， 最后利用勾股定理计算求解即可。
22．（2023八下·金坛期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，一次函数的图像与x轴交于点B，与交于点C．点P是y轴上一点，点Q是直线上一点．
（1）求的面积；
（2）若点P在y轴的负半轴上，且是轴对称图形，求点P的坐标；
（3）若以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
解得：，
∴点B的坐标为，
∴，
联立，
解得：，
∴点C的坐标，
∴
（2）解：设点P的坐标为：，
∵是轴对称图形，则是等腰三角形，
根据勾股定理得
，
故等腰中，，
即，解得.
∴点P的坐标为：；
（3）解：设点Q（m，n），
当以BC为平行四边形的一边，CQ为另一边时，
∵BP∥CQ，
∴设直线BP的解析式为，
∵点B（14，0），
∴
解之：b=-7，
∴，
当x=0时y=-7，
∴此时点P（0，-7），
将点B向左平移6个单位，再向上平移8个单位得到点C，
∴将点P向左平移6个单位，再向上平移8个单位得到点Q，
∴点Q（-6，1）；
当BC为平行四边形的一边，CQ为对角线时
∵PQ∥BC，
0-m=8-14，
解之：m=6，
∴n=×6+4=7，
∴点Q（6，7）
当BC为对角线时
∵BP∥CQ，
∴此时点P的坐标为（0，-7），
∴14-0=m-8，8-（-7）=n-0
解之：m=22，n=15，
∴点Q（22，15）
∴点Q的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的判定；轴对称图形
【解析】【分析】利用两函数解析式，由y=0可求出x的值，可得到点A的坐标和点B的坐标，由此可求出AB的长；再将两函数解析式联立方程组，解方程组求出方程组的解，可得到点C的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
（2）设点P的坐标为（0，m）（m＜0），利用△PBC是轴对称图形，可知PA=AB或PB=AB，根据PA2=AB2和PB2=AB2，分别得到关于m的方程，分别解方程求出m的值，可得到符合题意的点P的坐标.
（3）设点Q（m，n），分情况讨论：当以BC为平行四边形的一边，CQ为另一边时，利用AC∥BP，设直线BP的解析式为，将点B的坐标代入，可求出其函数解析式，利用此函数解析式求出点P的坐标，利用点的坐标平移可知将点P向左平移6个单位，再向上平移8个单位得到点Q，可得到点Q的坐标；当BC为平行四边形的一边，CQ为对角线时，利用PQ∥BC，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，再求出n的值，可得到点Q的坐标；当BC为对角线时，利用BP∥CQ，可得到点P的坐标，然后利用平行四边形的性质可得到14-0=m-8，8-（-7）=n-0，解方程求出m，n的值，可得到点Q的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
23．（2022八下·济南期末）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证．
（1）【类比迁移】如图2，AD是BC边的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AC＝BF，求证：AE＝EF．
小明发现可以类比以上思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，……
请你根据小明的思路完成证明过程．
（2）【方法运用】如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点(在点C右侧)，把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段BC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE、CF、EF．
①请你判断线段EF和AE的数量关系是 ▲ ，并说明理由；
②若菱形ABCD的边长为6，CF＝CE，请直接写出CF的长．
【答案】（1）证明：延长至M，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①
线段与的数量关系为：，
理由：延长至点，使，连接、，
点F为的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
线段绕点E逆时针旋转得到线段，
，，
，
四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
；
故答案为：；
②或
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：(2)②的长为 或．
当为的中位线时，，，
点是的中点，
为的中点，
，
；
如图，当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，
为等腰三角形，，
，
，，
，
，
为的中点，F为的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，即，
，即，
综上所述，的长为或．
【分析】（1）延长至M，使，连接，利用“SAS”证明可得 ，，再证明出可得AC=MC，再利用等量代换可得AC=BF；
（2）①延长至点，使，连接、，先证明是等边三角形，证明出，再证明 是等边三角形， 可得，从而得解；
②当不是的中位线时，连接，取的中点N，连接，过点E作，过点作于点I，过点F作于点H，先证明可得CH=EI，再利用线段的和差可得NC=CE，再求出，即可得到答案。
24．（2023八下·富县期末）（1）问题提出
在平面内，已知线段，，则线段的最小值为　 　．
（2）问题探究
如图1，在平行四边形中，，，，P是边的中点，Q是边上一动点，将三角形沿所在直线翻折，得到三角形，连接，求的最小值．
（3）问题解决
如图2，平行四边形为某公园平面示意图，扇形为该公园的人口广场，已知，，，．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧上找一点P，沿，修两条绿色通道，并在上方和右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，求其他设施区域面积的最小值．
【答案】（1）2
（2）解：如图，过点P作PF⊥AB交BA延长线于点F，连接BP．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵P是AD的中点，AD=4，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理，得．
由折叠得，
∴，
∴点E在线段PB上时，BE取最小值，
即BE的最小值为；
（3）解：如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F．
∵，为定值，
∴当最小时，最小．
又∵为定值，∴当最小时，最小．
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴，．
∴，
∴，
当P在线段BF上时，PE取最小值．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴．
∴四边形APCD面积的最小值为．
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵（当且仅当点C在线段AB上时，等号成立）
∴BC ≥5-3，
即BC ≥2，
∴BC的最小值为2；
故答案为：2；
【分析】（1）根据三角形三边关系即可得答案；
（2）如图，过点P作PF⊥AB交BA延长线于点F，连接BP，根据含30°角直角三角形的性质及平行四边形的性质可求出AF、PF的长度，进而确定BF的长度，再根据勾股定理得到PB的长度，再由（1）同理可知， 即可确定BE的最小值；
（3）如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，由题图可知，，且为定值，当PE最小时，最小，即最小，意味着本题只需求出PE的最小值，问题就迎刃而解；由（1）同理可知，，根据勾股定理建立方程求出FB、BP的长度即可.
25．（2020八下·泰兴期末）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动.
（1）活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移.
（思考）图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由.
（2）（发现）当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）.求AF的长.
（3）活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）.
（探究）当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：四边形ABDE是平行四边形.
证明：如图，∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x（cm），则OA＝OE＝ （x+4），
∴OF＝OA﹣AF＝2﹣ x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴ ，
解得：x＝ ，
∴AF＝ cm.
（3）解：BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；【发现】连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝ （x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣ x，由勾股定理可得 ，解方程求出x，则AF可求出；【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证.
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