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2023-2024学年度第二学期期中学业水平检测
八年级数学试题
（时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）.
1. 下列各数没有算术平方根的是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，分别计算出选项B、C、D中的数值，根据负数没有算术平方根解答即可．
【详解】解：，，根据负数没有算术平方根得C选项符合题意．
故选：C．
2. 给出下列四个命题
（1）一组对边平行的四边形是平行四边形　
（2）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形　
（4）顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
其中正确命题的个数为（　 　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】解：（1）一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，还可能是梯形，所以此命题错误；
（2）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，此命题正确；
（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此命题正确；
（4）顺次连接四边形四边中点所得的四边形，由三角形中位线定理可判定一组对边平行且相等，此四边形是平行四边形，所以此命题正确.
正确的命题有3个，
故选：C.
【点睛】本题主要考查平行四边形及特殊的平行四边形的判定，牢记平行四边形与特殊的平行四边形的判定方法是解题的关键．
3. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根的性质，利用算术平方根、立方根的性质对各项计算得到结果，即可作出判断，熟练掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．
【详解】、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
故选：．
4. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　）
A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5°
【答案】D
【解析】
【详解】正方形对角线平分直角，故∠ACD=45°，
已知DC⊥CE，则∠ACE=135°，
又∵CE=AC，
∴∠E=22.5°．
故选D．
5. 如图，在直角坐标系中，的顶点B、C、D的坐标分别是，，，则顶点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，根据平行四边形的性质得出对边平行且相等，进而求出点坐标．
【详解】解：的顶点、、的坐标分别是，，，
，点纵坐标为：3，
．
故选：D．
6. 在解不等式的步骤中，应用不等式基本性质的是（ ）
解：…………① …………② …………③ …………④ …………⑤
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得．
【详解】解：在框中解不等式的步骤中，
应用不等式基本性质的是①、③、⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键.
7. 不等式组的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出解集即可．
【详解】解不等式x+9>4x十3，
得： x< 2，
解不等式x-k< 3，得：x∵不等式组的解集为x < 2 ，
∴k+3≥2，
解得： k≥-1，
故选： C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．
8. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8﹣3=5，
在Rt△CEF中，CF==4，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．
9. 用A4纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过 20页时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元． 在乙复印店复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元． 则复印的页数m（ ）时选择甲复印店使总价格比较便宜．
A. 小于20页 B. 大于20页 C. 小于50页 D. 大于60页
【答案】D
【解析】
【分析】根据收费标准，列代数式即可；当m≤20时，很显然两处收费不等，根据所得的关系式建立不等式，解出即可．
【详解】解：当m＞20时，甲复印店收费为：2.4+0.09（m-20）；
图书馆收费为：0.1m；
由题意得，24+0.09（m-20）＜0.1m，
解得：m＞60．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学模型．
10. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（　　）
A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，由勾股定理可求BC的长，可证四边形OEPF是矩形，可得EF＝OP，OP⊥BC时，OP有最小值，由面积法可求解．
【详解】连接OP，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，
∴∠FOE=∠PEO=∠PFO=90°
∴四边形OEPF是矩形，
∴FE＝OP，
∵当OP⊥BC时，OP有最小值，
此时S△OBC＝OBOC＝BCOP，
∴OP＝＝4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是本题的关键．
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
12. 已知关于的不等式的解集是，则m的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键在于掌握不等号两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生变化，根据题意得到，然后运用不等式的性质即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
13. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【详解】解：
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x<，
∴不等式组的解集是1＜x＜，
∵x的一元一次不等式组有2个整数解，
∴x只能取2和3，
∴，
解得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的取值范围．
14. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】首先由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得AB的长，即CD的长，又由M是AD的中点，可得OM是△ACD的中位线，进而求得答案．
【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，OB=5，
∴AC=2OB=10，
∴CD=AB=，
∵M是AD的中点，
∴OM=CD=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键．
15. 如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若，则菱形ABCD的面积为________．
【答案】80
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接AP
四边形ABCD是菱形
菱形ABCD周长为40
菱形ABCD的面积
菱形ABCD的面积
故答案为：80．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
16. 如图，已知，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，那么_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类规律探索，先求出，再利用勾股定理求出，进而求出，同理可得，进而找到规律，据此规律求解即可．
【详解】解：由题意可得
在中，由勾股定理得
∴，
同理可得：，
…
以此类推，可知
∴
故答案为：．
三、解答题（本题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题的关键．
（）先进行负整数次幂，立方根，绝对值，算术平方根计算，然后加减运算即可；
（）先算术平方根、绝对值、立方根，有理数乘方运算，再加减运算即可．
【小问1详解】
解：原式，
，
；
【小问2详解】
解：原式，
，
．
18. 解不等式（组）：
（1）解不等式，并求出该不等式的非负整数解；
（2）解不等式组
【答案】（1），非负整数解：，，，；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据去分母，移项合并同类项，化系数为，求出解集即可；
（）先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可；
本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法．
【小问1详解】
解：，
，
，
，
∴非负整数解：，，，；
【小问2详解】
，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
19. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a=_______，b= _______，c=_______；
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
【答案】（1）n2-1，2n，n2+1；（2）见详解.
【解析】
【分析】结合表中的数据，观察a，b，c与n之间的关系，可直接写出答案；
（2）分别求出a2+b2，c2，比较即可．
【详解】解：（1）由题意有：n2-1，2n，n2+1；
（2）猜想为：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
证明：∵a=n2-1，b=2n；c=n2+1,
∴a2+b2=（n2-1）2+（2n）2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2.
而c2=（n2+1）2.
∴根据勾股定理的逆定理可知以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
20. 已知实数a+b的平方根是±4，实数a的立方根是﹣2，求a+b的平方根．
【答案】±6．
【解析】
【分析】利用平方根及立方根定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算求出平方根即可．
【详解】∵实数a+b的平方根是±4，实数a的立方根是﹣2，
∴a+b＝16，a＝﹣8，
解得a＝﹣24，b＝40，
∴a+b＝×（﹣24）+40＝36，
∴a+b的平方根为±6．
【点睛】此题考查平方根，立方根，解题关键在于掌握运算法则和列出方程.
21. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．
求证：BE=DF．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OD＝OB，再由全等三角形的判定证△BEO≌△DFO即可；
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AF＝CE，
∴AF-OA＝CE-OC，
即OF＝OE，
在△BEO和△DFO中，
，
∴△BEO≌△DFO（SAS），
∴BE＝DF．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）当AB＝AC时，四边形BECF是菱形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由已知各件，据AAS很容易证得：△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即得结论；
（2）连接BF、CE，由AB＝AC，D是BC边的中点，可知AD⊥BC，结合（1）结论可得四边形BECF是菱形．
【小问1详解】
证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BED，
在△CFD和△BED中，
，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF＝BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
【小问2详解】
解：当AB＝AC时，四边形BECF是菱形；理由如下：
∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形
∵ D是BC边的中点，
∴ AD⊥BC，
∴ EF⊥BC，
∴ 四边形BECF是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的判定方法或等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
23. 为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
【答案】（1）原计划篮球买40个，则足球买20个
（2）篮球最多能买24个
【解析】
【分析】（1）设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据：“恰好能够购买篮球和足球共60个、原计划募捐5600元”列方程组即可解答；
（2）设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，根据“实际收到捐款共6890元”列不等式求解即可解答．
【小问1详解】
解：设原计划篮球买x个，则足球买y个，根据题意得：
，解得：．
答：原计划篮球买40个，则足球买20个．
【小问2详解】
解:设篮球能买a个，则足球（80﹣a）个，
根据题意得：100a+80（80﹣a）≤6890，
解得：a≤24.5，
答：篮球最多能买24个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组和不等式．
24. 如图，在四边形中，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）__________，__________（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形的面积与四边形面积相等时，求出t的值；
（3）当点P、Q与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出t的值．
【答案】（1），
（2）
（3）t的值为或3或
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，平行四边形的性质．熟练掌握列代数式，一元一次方程的应用，平行四边形的性质并分类讨论是解题的关键．
（1）由题意知，，，然后作答即可；
（2）由题意知，，，设点A到的距离为，由题意知，，即，计算求解即可；
（3）由题意知，分四边形，，，是平行四边形4种情况，根据平行四边形对边相等性质列方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，，
设点A到的距离为，
由题意知，，即，
解得，；
【小问3详解】
解：由题意知，分四边形，，，是平行四边形4种情况求解；
①当四边形是平行四边形，则，
∴，
解得，；
②当四边形是平行四边形，则，
∴．
解得，；
③当四边形是平行四边形，则，
∴，
解得（舍去）；
④当四边形是平行四边形，则，
∴．
∴；
综上所述：当t的值为或3或时，点P、Q与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形．
25. 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用．
【操作发现】
对折（），使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，小明发现四边形满足：，．查阅相关资料得知，象这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【类比探究】
借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小宛同学对“筝形”的性质和判定方法进行了探究．
请根据示例图形，对比表格内容完成相关问题．
四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线
平行 四边形 是中心对称图形 两组对边分别平行，两组对边分别相等． 两组对角分别相等 对角线互相平分．
菱形 ① 两组邻边分别相等 有一组对角相等 ②
（1）表格中①、②处应分别填写的内容是：
①____________；②______________________________；
（2）证明筝形有关对角线的性质．
已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．
求证：______________________________；
证明：
（3）写出这类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）：
__________________________________________________________________．
迁移应用】
（4）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，当四边形为筝形时，直接写出的度数．
【答案】（1）既是轴对称图形，又是中心对称图形；对角线互相垂直且平分
（2），且平分；证明见解析
（3）若四边形的对角线互相垂直，且其中有一条对角线被另一条对角线平分，则这个四边形是筝形
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质进行解答即可；
（2）结合题中给出的筝形定义，先给出一个结论，再利用筝形的定义证明结论即可；
（3）从筝形的对角线考虑，结合筝形定义，给出一个新的筝形判定方法即可；
（4）分两种情况：①当，时；②当，时；分别进行求解即可．
【详解】（1）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故①处为既是轴对称图形，又是中心对称图形；
菱形的对角线互相垂直且平分，故②处填对角线互相垂直且平分；
故答案为：既是轴对称图形，又是中心对称图形；对角线互相垂直且平分；
（2）求证：，且平分；
证明：在和中，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴，
∴，且平分；
（3）由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
可得出“筝形”的一个判定方法为：若四边形的对角线互相垂直，且其中有一条对角线被另一条对角线平分，则这个四边形是筝形；
（4）当四边形为筝形时，
分两种情况：①当，时，
如图，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当，时，
如图，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴。
∴．
综上，当四边形为筝形时，的度数为或．
【点睛】本题考查了实践应用，新定义四边形问题，菱形的性质，垂直平分线的性质与证明，全等三角形的性质与判定，读懂题意，灵活运用新定义是解题的关键．2023-2024学年度第二学期期中学业水平检测
八年级数学试题
（时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）.
1. 下列各数没有算术平方根的是（ ）
A. 0 B. C. D.
2. 给出下列四个命题
（1）一组对边平行的四边形是平行四边形　
（2）一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
（3）两条对角线互相垂直矩形是正方形　
（4）顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形.
其中正确命题的个数为（　 　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C D.
4. 如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，则∠E=（　　）
A. 90° B. 45° C. 30° D. 22.5°
5. 如图，在直角坐标系中，的顶点B、C、D的坐标分别是，，，则顶点A的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 在解不等式的步骤中，应用不等式基本性质的是（ ）
解：…………① …………② …………③ …………④ …………⑤
A. ①②③ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ②③⑤
7. 不等式组的解集为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
9. 用A4纸在甲复印店复印文件，复印页数不超过 20页时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元． 在乙复印店复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元． 则复印的页数m（ ）时选择甲复印店使总价格比较便宜．
A. 小于20页 B. 大于20页 C. 小于50页 D. 大于60页
10. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且点P不与点B、C重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值为（　　）
A. 4 B. 4.8 C. 5 D. 6
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 的平方根是_______．
12. 已知关于不等式的解集是，则m的取值范围是___________.
13. 若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
14. 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，M是AD的中点．若BC=8，OB=5，则OM的长为_______．
15. 如图，菱形ABCD的周长为40，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，若，则菱形ABCD的面积为________．
16. 如图，已知，过点P作，且；再过点作；且；又过点作且；又过点作且；……，按照这种方法依次作下去得到一组直角三角形，，，，……，它们的面积分别为，那么_________．
三、解答题（本题共9个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17 计算：
（1）；
（2）．
18. 解不等式（组）：
（1）解不等式，并求出该不等式的非负整数解；
（2）解不等式组
19. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a=_______，b= _______，c=_______；
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
20. 已知实数a+b的平方根是±4，实数a的立方根是﹣2，求a+b的平方根．
21. 如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．
求证：BE=DF．
22. 如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．
23. 为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
（1）原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共60个，那么篮球和足球各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共6890元，若购买篮球和足球共80个，且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？
24. 如图，在四边形中，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）__________，__________（分别用含有t的式子表示）；
（2）当四边形的面积与四边形面积相等时，求出t的值；
（3）当点P、Q与四边形的任意两个顶点所组成的四边形是平行四边形时，请直接写出t的值．
25. 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动，类比探究一种特殊四边形的定义、性质、判定和应用．
【操作发现】
对折（），使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，小明发现四边形满足：，．查阅相关资料得知，象这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【类比探究】
借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小宛同学对“筝形”的性质和判定方法进行了探究．
请根据示例图形，对比表格内容完成相关问题．
四边形 示例图形 对称性 边 角 对角线
平行 四边形 是中心对称图形 两组对边分别平行，两组对边分别相等． 两组对角分别相等 对角线互相平分．
菱形 ① 两组邻边分别相等 有一组对角相等 ②
（1）表格中①、②处应分别填写的内容是：
①____________；②______________________________；
（2）证明筝形有关对角线的性质．
已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．
求证：______________________________；
证明：
（3）写出这类“筝形”的一条判定方法（除“筝形”的定义外）：
__________________________________________________________________．
【迁移应用】
（4）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，当四边形为筝形时，直接写出的度数．

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