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【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之整式及其加减
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．﹣x2的系数是 B．πa2的系数是
C．3ab2的系数是3a D．xy2的系数是
2．（2015·台州）单项式2a的系数是（　　）
A．2 B．2a C．1 D．a
3．（2024·阳西模拟）多项式的项数及次数分别是（　　）
A．3；3 B．3；2 C．2；3 D．2；2
4．（2023·高明模拟）观察下列一组数：，，，，，根据排列规律推出第8个数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·天河模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2023个这样的小正方形需要小棒（　　）
A．6068根 B．6069根 C．6070根 D．6071根
6．按规律排列的一组数据：，，□，，，，……，其中□内应填的数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2021·澄海模拟）一列数1，3，7，13，…，按此规律排列，第6个数是（　　）
A．21 B．31 C．43 D．57
8．（2019·广州模拟）如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究在第n个图中，黑、白瓷砖分别各有多少块（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
9．（2018·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到 ，第2次移动到 ……，第n次移动到 ，则△ 的面积是（　　）
A．504 B． C． D．
10．（2017·淄川模拟）如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律，（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注“？”的圆圈中的数应是（　　）
A．119 B．120 C．121 D．122
二、填空题
11．（2022·广东）单项式 的系数为　 　．
12．（2024·福田模拟） 平面上5个圆最多能把平面分成 　 　个部分．
13．（2023·河源模拟）已知，则代数式值= 　 　．
14．（2019·广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含 、 代数式表示）.
15．（2023·凤岗模拟）单项式-x2y的系数是　 　．
三、计算题
16．（2020·龙湖模拟）化简求值： ，其中
17．（2020·濠江模拟）先化简，再求值： ，其中
四、解答题
18．（2023·连州模拟）先化简再求值：， 其中
19．（2017·广东模拟）先化简，再求值： ，其中
20．（2017·深圳模拟）先化简，再求值： ，其中a＝ ，b＝ ．
五、综合题
21．（2023·禅城模拟）在一节数学课上，刘老师请同学心里想一个非零的有理数，然后把这个数按照下面的程序进行计算后，刘老师立刻说出计算结果．
（1）小明同学心里想的数是8，列出了下面的算式，请你计算出最后的结果：；
（2）小明又试了几个数进行计算，发现结果都相等，于是小明把心里想的这个数记作，并按照程序通过计算进行验证，请你写出这个验证过程．
22．（2022·龙华模拟）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a 1 2 3 4 5 … 8 …
S 1 3 6 　 　 … 　 …
（1）【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式　 　．
（2）【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．
23．（2022·光明模拟）如图
（1）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a 1 2 3 4 5 … 8 …
S 1 3 6 　 　 … 　 …
（2）【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式　 　．
（3）【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】单项式的概念
【解析】【解答】A、﹣x2的系数是﹣，故A错误；B、πa2的系数是π，故B错误；C、3ab2的系数是3，故C错误；D、xy2的系数，故D正确．
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案．
2．【答案】A
【知识点】单项式的概念
【解析】【解答】根据单项式系数的定义，单项式的系数为2．故选：A
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
3．【答案】A
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：2a2b-ab2-ab是三次三项式，故次数是3，项数是3；
故答案为：A.
【分析】根据多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察这组数可知，分子与序号相同，可表示为n，分母是连续的奇数，可表示为2n+1，∴这组数可表示为：，因此，第8个数是：，故选：C.
【分析】观察这组数，根据这组数的分子和分母的变化规律可求解.
5．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：搭2个正方形需要根火柴棒；
搭3个正方形需要根火柴棒；
，
搭个这样的正方形需要根火柴棒，
搭2023个这样的正方形需要（根）火柴棒．
故答案为：C．
【分析】根据前几项中数据与序号的关系可得规律搭个这样的正方形需要根火柴棒，再求解即可。
6．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】观察这组数据可以发现，分子为连续的奇数，分母为序号的平方加一。所以第n个数据为。当n=3时，分子为5，分母为10，所以这个数为。
故答案为：D
【分析】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律即可，可以发现分子为连续的奇数，分母为序号的平方加一。
7．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第1个数1=1+0×1；
第2个数3=1+1×2；
第3个数7=1+2×3；
第4个数13=1+3×4；
…
第n个数为1+n（n-1），
∴第6个数为1+5×6=31；
故答案为：B．
【分析】先根据题干中的数据，观察分析，总结规律，再求解即可。
8．【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：通过观察图形可知，当 时，用白瓷砖2块，黑瓷砖10块；
当 时，用白瓷砖6块，黑瓷砖14块；
当 时，用白瓷砖12块，黑瓷砖18块；
可以发现，需要白瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即白瓷砖块数等于图形数的平方加上图形数；
需要黑瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即黑瓷砖块数等于图形数的4倍加上图形数．
所以，在第n个图形中，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为 ；
黑瓷砖的块数可用含n的代数式表示为 ．
故答案为：A．
【分析】分别清点题目给出的三个图形中的白瓷砖和黑瓷砖的块数，然后通过分析，找出白瓷砖和黑瓷砖的块数与图形数之间的规律，即可解答此题．
9．【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：依题可得：
A2（1，1），A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）……
∴A4n（2n，0），
∴A2016=A4×504（1008，0），
∴A2018（1009，1），
∴A2A2018=1009-1=1008，
∴S△ OA2A2018= ×1×1008=504（ ）.
故答案为：A.
【分析】根据图中规律可得A4n（2n，0），即A2016=A4×504（1008，0），从而得A2018（1009，1），再根据坐标性质可得A2A2018=1008，由三角形面积公式即可得出答案.
10．【答案】D
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得a=2，b=6，则本题的转换规律为2n+6．
当n=26时，2n+6=2×26+6=58；
当n=58时，2n+6=2×58+6=122；
所以图中标注问号的圆圈中的数是122．
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据题意可得到关于a、b的方程组，从而求出a、b的值，从而可得到转换规律为2n+6．进而求得图中标注问号的圆圈中的数.
11．【答案】3
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】 的系数是3，
故答案为：3．
【分析】根据单项式的系数的定义求解即可。
12．【答案】22
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：如图
1个圆把平面分成2个部分；
2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分；
3个圆把平面最多分成（1+2）×2+2=8个部分；
平面上n个圆最多能把平面分成（1+2+3++n-1）×2+2部分，
5个圆把平面最多分成（1+2+3+4）×2+2=22个部分；
故答案为：22.
【分析】观察可知1个圆把平面分成2个部分；2个圆把平面最多分成1×2+2=8个部分；3个圆把平面最多分成（1+2）×2+2=8个部分根据此规律可得到平面上n个圆最多能把平面分成（1+2+3++n-1）×2+2部分，据此可得答案.
13．【答案】14
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵，m≠0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴=14.
故答案为：14.
【分析】先求出，再利用完全平方公式可得，再求出=14即可。
14．【答案】a+8b
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为：a+8B.
【分析】观察图形，可从两个、三个、四个拼接时的总长度，找到规律，写出即可。
15．【答案】-1
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式-x2y的系数是-1.
故答案为：-1.
【分析】根据单项式的系数定义，即可得出答案.
16．【答案】解：原式
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】先将原式进行因式分解，化成最简结果，再将x值代入求出值。
17．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】将代数式进行因式分解，化为最简形式，再将x值代入求解。
18．【答案】解：原式＝
＝
＝，
当x＝时，
原式＝＝﹣2．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先将括号内的分式进行统分，分母不变，分子合并同类项化到最简，除数的分子根据平方差公式进行展开，然后按照分式的除法进行计算，化简以后，将x的值代入即可.
19．【答案】解：原式＝ 将 代入得：
＝
原式＝ =
＝ ，
当 时，
原式=
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x的值即可求解．
20．【答案】试题解析：原式= )
=
=
=
当a＝ ，b＝ 时
原式= =
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】试题分析：先根据分式的混合运算的法则和要求，分别进行因式分解，通分，然后化除法为乘法，再约分，最后代入求值.
21．【答案】（1）解：
．
（2）解：根据题意，得：
．
【知识点】代数式求值；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可；
（2）利用整式的混合运算的计算方法求解即可。
22．【答案】（1）
（2）解：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为，
经过2轮分裂后细胞总数为，
经过3轮分裂后细胞总数为，
经过4轮分裂后细胞总数为，
归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为，
假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，
则，
解得或（不符题意，舍去），
所以假设成立，
所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时．
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为，
第2个图形的小圆圈的总数为，
第3个图形的小圆圈的总数为，
归纳类推得：第个图形的小圆圈的总数为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意找出规律：第个图形的小圆圈的总数为，即可作答；
（2）先求出 经过轮分裂后细胞总数为， 再求出 ， 最后作答即可。
23．【答案】（1）解：由图可知，第1个图形中每条边上的小圆圈个数为1，小圆圈的总数为，
第2个图形中每条边上的小圆圈个数为2，小圆圈的总数为，
第3个图形中每条边上的小圆圈个数为3，小圆圈的总数为，
第4个图形中每条边上的小圆圈个数为4，小圆圈的总数为，
归纳类推得：第个图形中每条边上的小圆圈个数为，小圆圈的总数为，
则当时，，
当时，，
将表格填写如下：
1 2 3 4 5 … 8 …
1 3 6 10 15 … 36 …
（2）S=3n(n+1)
（3）解：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为，
经过2轮分裂后细胞总数为，
经过3轮分裂后细胞总数为，
经过4轮分裂后细胞总数为，
归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为，
假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，
则，
解得或（不符题意，舍去），
所以假设成立，
所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（2）变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为，
第2个图形的小圆圈的总数为，
第3个图形的小圆圈的总数为，
归纳类推得：第n个图形的小圆圈的总数为，
故答案为：S=3n(n+1)；
【分析】（1）由表中数字可知，第n个图形中小圆圈的总数为S=，即可完成表格；
1 / 1【北师大版·数学】2024年中考二轮复习之整式及其加减
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．﹣x2的系数是 B．πa2的系数是
C．3ab2的系数是3a D．xy2的系数是
【答案】D
【知识点】单项式的概念
【解析】【解答】A、﹣x2的系数是﹣，故A错误；B、πa2的系数是π，故B错误；C、3ab2的系数是3，故C错误；D、xy2的系数，故D正确．
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，进而得出答案．
2．（2015·台州）单项式2a的系数是（　　）
A．2 B．2a C．1 D．a
【答案】A
【知识点】单项式的概念
【解析】【解答】根据单项式系数的定义，单项式的系数为2．故选：A
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数．
3．（2024·阳西模拟）多项式的项数及次数分别是（　　）
A．3；3 B．3；2 C．2；3 D．2；2
【答案】A
【知识点】多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：2a2b-ab2-ab是三次三项式，故次数是3，项数是3；
故答案为：A.
【分析】根据多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数，即可求解.
4．（2023·高明模拟）观察下列一组数：，，，，，根据排列规律推出第8个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察这组数可知，分子与序号相同，可表示为n，分母是连续的奇数，可表示为2n+1，∴这组数可表示为：，因此，第8个数是：，故选：C.
【分析】观察这组数，根据这组数的分子和分母的变化规律可求解.
5．（2023·天河模拟）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2023个这样的小正方形需要小棒（　　）
A．6068根 B．6069根 C．6070根 D．6071根
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】解：搭2个正方形需要根火柴棒；
搭3个正方形需要根火柴棒；
，
搭个这样的正方形需要根火柴棒，
搭2023个这样的正方形需要（根）火柴棒．
故答案为：C．
【分析】根据前几项中数据与序号的关系可得规律搭个这样的正方形需要根火柴棒，再求解即可。
6．按规律排列的一组数据：，，□，，，，……，其中□内应填的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】观察这组数据可以发现，分子为连续的奇数，分母为序号的平方加一。所以第n个数据为。当n=3时，分子为5，分母为10，所以这个数为。
故答案为：D
【分析】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律即可，可以发现分子为连续的奇数，分母为序号的平方加一。
7．（2021·澄海模拟）一列数1，3，7，13，…，按此规律排列，第6个数是（　　）
A．21 B．31 C．43 D．57
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第1个数1=1+0×1；
第2个数3=1+1×2；
第3个数7=1+2×3；
第4个数13=1+3×4；
…
第n个数为1+n（n-1），
∴第6个数为1+5×6=31；
故答案为：B．
【分析】先根据题干中的数据，观察分析，总结规律，再求解即可。
8．（2019·广州模拟）如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究在第n个图中，黑、白瓷砖分别各有多少块（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：通过观察图形可知，当 时，用白瓷砖2块，黑瓷砖10块；
当 时，用白瓷砖6块，黑瓷砖14块；
当 时，用白瓷砖12块，黑瓷砖18块；
可以发现，需要白瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即白瓷砖块数等于图形数的平方加上图形数；
需要黑瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即黑瓷砖块数等于图形数的4倍加上图形数．
所以，在第n个图形中，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为 ；
黑瓷砖的块数可用含n的代数式表示为 ．
故答案为：A．
【分析】分别清点题目给出的三个图形中的白瓷砖和黑瓷砖的块数，然后通过分析，找出白瓷砖和黑瓷砖的块数与图形数之间的规律，即可解答此题．
9．（2018·广州）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m，其行走路线如图所示，第1次移动到 ，第2次移动到 ……，第n次移动到 ，则△ 的面积是（　　）
A．504 B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：依题可得：
A2（1，1），A4（2，0），A8（4，0），A12（6，0）……
∴A4n（2n，0），
∴A2016=A4×504（1008，0），
∴A2018（1009，1），
∴A2A2018=1009-1=1008，
∴S△ OA2A2018= ×1×1008=504（ ）.
故答案为：A.
【分析】根据图中规律可得A4n（2n，0），即A2016=A4×504（1008，0），从而得A2018（1009，1），再根据坐标性质可得A2A2018=1008，由三角形面积公式即可得出答案.
10．（2017·淄川模拟）如图，从左上角标注2的圆圈开始，顺时针方向按an+b的规律，（n表示前一个圆圈中的数字，a，b是常数）转换后得到下一个圆圈中的数，则标注“？”的圆圈中的数应是（　　）
A．119 B．120 C．121 D．122
【答案】D
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
解得a=2，b=6，则本题的转换规律为2n+6．
当n=26时，2n+6=2×26+6=58；
当n=58时，2n+6=2×58+6=122；
所以图中标注问号的圆圈中的数是122．
故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据题意可得到关于a、b的方程组，从而求出a、b的值，从而可得到转换规律为2n+6．进而求得图中标注问号的圆圈中的数.
二、填空题
11．（2022·广东）单项式 的系数为　 　．
【答案】3
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】 的系数是3，
故答案为：3．
【分析】根据单项式的系数的定义求解即可。
12．（2024·福田模拟） 平面上5个圆最多能把平面分成 　 　个部分．
【答案】22
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：如图
1个圆把平面分成2个部分；
2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分；
3个圆把平面最多分成（1+2）×2+2=8个部分；
平面上n个圆最多能把平面分成（1+2+3++n-1）×2+2部分，
5个圆把平面最多分成（1+2+3+4）×2+2=22个部分；
故答案为：22.
【分析】观察可知1个圆把平面分成2个部分；2个圆把平面最多分成1×2+2=8个部分；3个圆把平面最多分成（1+2）×2+2=8个部分根据此规律可得到平面上n个圆最多能把平面分成（1+2+3++n-1）×2+2部分，据此可得答案.
13．（2023·河源模拟）已知，则代数式值= 　 　．
【答案】14
【知识点】代数式求值
【解析】【解答】∵，m≠0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴=14.
故答案为：14.
【分析】先求出，再利用完全平方公式可得，再求出=14即可。
14．（2019·广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含 、 代数式表示）.
【答案】a+8b
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为：a+8B.
【分析】观察图形，可从两个、三个、四个拼接时的总长度，找到规律，写出即可。
15．（2023·凤岗模拟）单项式-x2y的系数是　 　．
【答案】-1
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：单项式-x2y的系数是-1.
故答案为：-1.
【分析】根据单项式的系数定义，即可得出答案.
三、计算题
16．（2020·龙湖模拟）化简求值： ，其中
【答案】解：原式
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】先将原式进行因式分解，化成最简结果，再将x值代入求出值。
17．（2020·濠江模拟）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】将代数式进行因式分解，化为最简形式，再将x值代入求解。
四、解答题
18．（2023·连州模拟）先化简再求值：， 其中
【答案】解：原式＝
＝
＝，
当x＝时，
原式＝＝﹣2．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先将括号内的分式进行统分，分母不变，分子合并同类项化到最简，除数的分子根据平方差公式进行展开，然后按照分式的除法进行计算，化简以后，将x的值代入即可.
19．（2017·广东模拟）先化简，再求值： ，其中
【答案】解：原式＝ 将 代入得：
＝
原式＝ =
＝ ，
当 时，
原式=
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x的值即可求解．
20．（2017·深圳模拟）先化简，再求值： ，其中a＝ ，b＝ ．
【答案】试题解析：原式= )
=
=
=
当a＝ ，b＝ 时
原式= =
【知识点】代数式求值
【解析】【分析】试题分析：先根据分式的混合运算的法则和要求，分别进行因式分解，通分，然后化除法为乘法，再约分，最后代入求值.
五、综合题
21．（2023·禅城模拟）在一节数学课上，刘老师请同学心里想一个非零的有理数，然后把这个数按照下面的程序进行计算后，刘老师立刻说出计算结果．
（1）小明同学心里想的数是8，列出了下面的算式，请你计算出最后的结果：；
（2）小明又试了几个数进行计算，发现结果都相等，于是小明把心里想的这个数记作，并按照程序通过计算进行验证，请你写出这个验证过程．
【答案】（1）解：
．
（2）解：根据题意，得：
．
【知识点】代数式求值；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可；
（2）利用整式的混合运算的计算方法求解即可。
22．（2022·龙华模拟）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a 1 2 3 4 5 … 8 …
S 1 3 6 　 　 … 　 …
（1）【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式　 　．
（2）【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）
（2）解：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为，
经过2轮分裂后细胞总数为，
经过3轮分裂后细胞总数为，
经过4轮分裂后细胞总数为，
归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为，
假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，
则，
解得或（不符题意，舍去），
所以假设成立，
所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时．
【知识点】探索数与式的规律；探索图形规律
【解析】【解答】（1）解：变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为，
第2个图形的小圆圈的总数为，
第3个图形的小圆圈的总数为，
归纳类推得：第个图形的小圆圈的总数为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意找出规律：第个图形的小圆圈的总数为，即可作答；
（2）先求出 经过轮分裂后细胞总数为， 再求出 ， 最后作答即可。
23．（2022·光明模拟）如图
（1）【问题提出】如图（1），每一个图形中的小圆圈都按一定的规律排列，设每条边上的小圆圈个数为a，每个图形中小圆圈的总数为S．
请观察思考并完成以下表格的填写：
a 1 2 3 4 5 … 8 …
S 1 3 6 　 　 … 　 …
（2）【变式探究】请运用你在图（1）中获得的经验，结合图（2）中小圆圈的排列规律，写出第n个图形的小圆圈总数S与n之间的关系式　 　．
（3）【应用拓展】生物学家在研究时发现，某种细胞的分裂规律可用图（3）的模型来描述，请写出经过n轮分裂后细胞总数W与n的关系式．并计算经过若干轮分裂后，细胞总数能否达到1261个，若能，求出n的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）解：由图可知，第1个图形中每条边上的小圆圈个数为1，小圆圈的总数为，
第2个图形中每条边上的小圆圈个数为2，小圆圈的总数为，
第3个图形中每条边上的小圆圈个数为3，小圆圈的总数为，
第4个图形中每条边上的小圆圈个数为4，小圆圈的总数为，
归纳类推得：第个图形中每条边上的小圆圈个数为，小圆圈的总数为，
则当时，，
当时，，
将表格填写如下：
1 2 3 4 5 … 8 …
1 3 6 10 15 … 36 …
（2）S=3n(n+1)
（3）解：由图可知，经过1轮分裂后细胞总数为，
经过2轮分裂后细胞总数为，
经过3轮分裂后细胞总数为，
经过4轮分裂后细胞总数为，
归纳类推得：经过轮分裂后细胞总数为，
假设经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，
则，
解得或（不符题意，舍去），
所以假设成立，
所以经过若干轮分裂后，细胞总数能达到1261个，此时．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（2）变式探究：由图可知，第1个图形的小圆圈的总数为，
第2个图形的小圆圈的总数为，
第3个图形的小圆圈的总数为，
归纳类推得：第n个图形的小圆圈的总数为，
故答案为：S=3n(n+1)；
【分析】（1）由表中数字可知，第n个图形中小圆圈的总数为S=，即可完成表格；
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