资源简介

《4.4.2二面角》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
知道二面角及其平面角定义，能解决求二面角大小的简单问题；知道直二面角定义，知道两个相交平面所成角的概念． (1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。 （2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
学习重难点
重点 难点
二面角概念及二面角的平面角的求法． 对二面角及其平面角概念的理解及求法．
教材分析
二面角是立体几何中的重要章节，综合了线面垂直、线面所成角的概念等较多知识点.
学情分析
学生通过前面的学习掌握了许多相关的知识点，并掌握了解决立体几何的基本方法， 将立体几何问题通过连线转化为平面几何问题．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
4.4.2二面角
（一）创设情境，生成问题
打开笔记本计算机时,显示屏的开合程度不同,键盘与屏幕所在平面的相对位置就不同,如图所示.怎样来描述这种不同呢？
【设计意图】通过熟悉物体创设情境，引入二面角.
（二）调动思维，探究新知
观察可知,显示屏的开合程度可以用角度来描述.
平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.
根据二面角的不同摆放位置,常常把二面角画成图所示图形.
当二面角的棱为l,两个面分别为α、β时,二面角记为α-l-β.图(4)所示的二面角也可记为A-BD-C.
如图所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,分别在两个面内作垂直于校的射线OA、OB,射线 OA、OB 所成的最小正角称为这个二面角的平面角.
可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.
如图,平面角∠AOB的大小就是二面角α-l-β的大小.
规定,当二面角的两个半平面重合时,二面角为零角;当二面角的两个半平面构成一个面时,二面角为平角.于是,二面角的取值范围是[0,π].当二面角的平面角为直角时,称为直二面角.
【设计意图】借助图形的直观或操作演示的方式帮助学生理解.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】已知二面角α-l-β是锐角,其面α内一点A到棱l的距离为2,到面的距离为l,求这个二面角的大小.
解：如图所示,过点A作AB⊥l,垂足为B;
再作AC⊥β,垂足为C,连接. 由题意可知AB=2,AC=1.
因为AC⊥β, l β ,所以AC⊥ l ,又因为AB⊥l,AB交AC于点A,所以l⊥平面ABC.
又因为 BC 平面ABC,所以l⊥BC,从而∠ABC 是二面角α-l-β的一个平面角.
因为AB=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以，
因此,二面角α-l-β的大小是.
【设计意图】利用线面所成角来求二面角的平面角.
【典例2】求证:如果一个平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l,O为垂足,且与两半平面的交线分别为 OA、OB,如图所示.那么∠AOB 是二面角α-l-β的平面角 .
证明:因为γ∩α=OA,γ∩α=OB,所以OA γ,OB γ.
又因为l⊥γ ,所以l⊥OA,l⊥OB. 因此,∠AOB 是二面角α-l-β的一个平面角.
典例2中,垂直于棱l的平面,与二面角α-l-β的交线 OA、OB构成了二面角的平面角∠AOB,这又为我们提供了一种寻找二面角的平面角的方法.
【设计意图】利用面面相交的交线来求二面角的平面角.
探究与发现
我们己经知道了两条直线所成的角和直线与平面所成的角的定义,那么,两个平面所成的角怎样定义呢？
在两个相交平面形成的四个二面角中,至少有一个不大于,这个二面角称为两个相交平面所成的角.
于是,两个相交平面所成角的范围是，这样的角有两个.
【典例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面 AB1C1D与平面ABCD 所成的角的大小.
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面均是正方形,所以 AD⊥AA1 , AD⊥AB. 又因为 AA1与AB 相交,所以AD⊥平面AA1B1B.
因为AB1 平面AA1B1B,所以 AD⊥AB1,从而∠B1AB是二面角B1-AD-B的一个平面角.
因为AB1是正方形 AA1B1B的对角线,所以∠B1AB=
因此,平面AB1C1D与平面ABCD所成的角的大小是
【设计意图】巩固学生对面面所成角的定义的理解.
（四）巩固练习，提升素养
1. 己知二面角α-l-β,C∈α ,D∈β,AC⊥AB,AD⊥AB,垂足均为A,则二面角α-AB-β的平面角是 .
2. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1,试找出二面角A1-BD-A 与二面角A1-BD-C 的一个平面角,并分析二者之间的大小关系.
3.判断下列说法是否正确.
（1）两个相交平面所成的角的取值范围是而二面角的取值范围是[0,π]；
（2）在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,∠D1AB1是二面角D1-AA1-B1的平面角；
（3）分别在二面角的两个面内取一条直线,使两条直线相交,则相交直线所成的角是二面角的平面角.
4. 己知等腰ΔABC的腰长为5cm,底边长为8cm. 现沿着底边上的高AD 对折,折后BC=cm，求二面角B-AD-C的大小.
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=，BC=AA1=1，求二面角B1-CD-A的大小.
6.我国水利建设具有悠久的历史,尤其中华人民共和国成立后,修建了许多水车,在防洪、用水、供电、灌溉等方面发挥了巨大作用.如图所示,某水库大坝高85m,斜坡面与水平面成45°角,则斜坡面有多长？
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（六）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.4.2；
(2)书面作业： P144习题4.4的3.
（七）教学反思

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