资源简介

《4.1 平面》教学设计
学习目标
知识 能力与素养
（1）了解平面的概念、平面的基本性质； （2）掌握平面的表示法与画法． （1）画出平面及两个相交平面的直观图； （2）利用平面的性质和三个结论，解释生活空间的一些实例； （3）培养学生的空间想象能力和数学思维能力．
学习重难点
重点 难点
平面的表示法与画法． 对平面的概念及平面的基本性质的理解．
教材分析
本节课是立体几何的起始课，是立体几何全部理论的基础，起到了奠基的作用.它是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用.
学情分析
通过基础模块下第七章的学习，学生从整体的角度对空间几何体有了一定程度的认识，初步掌握了柱、锥、球体的结构特征以及它们的表面积和体积，学生已经具备了一定的空间想象能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
我们知道,构成空间的基本要素是点、线、面,在平面几何中,我 们学习的重点是点与直线,下面我们先重点学习平面.
4.1.1平面的特征和表示
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
茶卡盐湖被称为“中国的天空之镇”,当其湖面平静之时就像一面镜子,给人很“平”的印象.面对浩瀚的大海时,我们会感慨大海“一望无际”.茶卡盐湖湖面和海面都可以用“平面”来描述.类似地,课桌桌面、书本封面也可以用“平面”来描述.这些平面有什么共同特征呢？
【设计意图】创设情境，帮助学生直观感受平面的特征
（二）调动思维，探究新知
这些面都是平的,可以向各个方向无限延展.数学中的平面具有平和无限延展的特征.
怎样画出具有无限延展性的平面呢？
数学中,因直线具有无限延伸性,所以人们作直线时实际只画出直线的一部分来表示整条直线.
类似地,我们用平面的一部分来表示平面.通常我们用平行四边形三角形、圆等平面图形来表示平面.
观察右图粉笔盒的正面、顶面、侧面所在平面可以分别画成下图所示的三个图形.
为叙述方便,常常把几何对象用字母表示.例如,点可以用大写英文字母A、B、 表示.直线可以用小写英文字母l、m 、 表示,也可以用直线上两点的字母AB、CD、 表示.
类似地,可以用小写希腊字母α、β、 表示平面,如平面α 、平面β;也可以用多边形的顶点字母表示平面,对于平行四边形,可选用其中一组对角线的顶点字母表示平面.
平面可表示为平面ABCD或平面AC.
如图所示,ΔABC所在的平面可表示为面ABC, ABCD所在的平面可表示为平面ABCD或平面AC.
考虑到直线和平面均可看作由无数个点组成的点集,当点P在直线l或平面α内时,可分别表示为P∈l, P∈α.当点P不在直线l或不在平面α内时,可分别表为P l, P α.
【设计意图】引导学生领悟平面是无限延伸的，联系生活认识问题，说明自然语言、图形语言三者之间的关系.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】用符号语言表示以下点与直线,平面的位置关系,并画出满足条件的一个图形.
（1）点A在直线l上,且在平面α内.
（2）点C 不在平面β内,直线m经过点C且与平面β有一个公共点B.
解：（1） A∈l且 A∈α,如图所示.
画法：
①画平行四边形表示平面α；
②将点A画在平行四边形的内部；
③经过点A画直线l.
（2） C β,C∈m,B∈m, B∈ β ,如图所示.
画法：
①画平行四边形表示平面β ；
②将点C画在平行四边形的外部；
③将点B画在平行四边形内；
④连接点C与点B并向两个方向延长,将直线CB标注为直线m,并将直线被平面遮挡部分擦除或画为虚线.
画直线与平面相交时,直线被平面遮挡的部分画出虚线或不画.
【设计意图】例1帮助学生了解空间中点与线、和面关系的符号表示，初步体会自然语言、符号语言、图语言三者之间的联系.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固】表示出正方体（如图）的6个面．
【说明】如图所示的正方体一般写作正方体，也可以简记作正方体 .
解 这6个面可以分别表示为：平面、平面、平面、平面、平面、平面．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 判断下列说法是否正确.
（1）平整的课桌面是一个平面的一部分；
（2）不同平面的大小是不同的：
（3）光滑的玻璃球的表面是一个平面；
（4）长方体 ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1,所在平面可表示为平面AB1；
（5）把一块长为3m、宽为1.5m 的黑板看作一个平面，这个平面的面积是 4.5 m.
2.已知ABCD-A1B1C1D1,如图所示.试用符号“∈”或“ ”填空.
A 直线 AD, A 直线 A1B1 , A 平面BD, A 平面BC1.
3. 请画出符合下列条件的一个图形.
（1） A l, A∈α; （2） B l, B β.
4. 观察自己身边有哪些事物可以看作平面的一部分.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
4.1.2 平面的基本性质
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
如图所示,分别尝试用一个指尖、两个指尖、三个指尖顶起一块硬纸板,看看哪种方式能比较稳地将硬纸板顶起来？
你有什么发现？
【设计意图】纸板实验操作性强，方便学习公理1
（二）调动思维，探究新知
尝试后发现,当三个指尖不在同一条直线上时,能将硬纸板平稳地顶起来.
这个现象蕴含着平面的如下重要性质.
公理1 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
这个公理也可以说成“不共线的三点确定一个平面”.
如图所示,点A、B、C不共线．由公理 1可知,存在唯一的平面α,使得A∈α, B∈α, C∈α.
容易看出,经过一个点、两个点或共线的三个点有无数个平面,也可以说成“一个点，两个点或共线的三个点不能确定一个平面”.
将一根细线拉直,然后把它的两个端点固定在桌面上,如图所示,观察细线上其他的点与桌面的关系.如果抓住细线中的一点并拉离桌面,细线还是直线吗？
容易看出,当把拉直的细线的两个端点放在桌面上时,细线上的所有点都在桌面上.
如果将细线抽象为直线,桌面抽象成平面,可以得出平面的如下性质.
公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.有且只有一个平面.
当一条直线上的所有点都在平面内时,称直线在平面内,或者说平面经过直线.
因为直线和平面都是由点组成的集合,所以直线m在平面α内可表示为m α .当直线m不在平面α内时,表示为 m α ,此时直线与平面有一个公共点或没有公共点.
如图所示,由A∈α, B∈α,可知AB α .
温馨提示
表示直线在平面内时,要把直线画在表示平面的图形的内部.
【设计意图】用图形再次强调三点不能共线，绳子实验方便学生学习公理2，学习图形语言的表达.
由公理1、2得到以下结论.
推论1 经过一条直线和该直线外的一点有且只有一个平面.
如图所示,A∈l,存在唯一的平面α,使得A∈α,l α.
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面.
如图所示,直线m与直线n相较于点A,存在唯一的平面α,使得m α,n α.
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面.
如图所示, m∥n,存在唯一的平面α,使得m α,n α.
【设计意图】学生利用公理进行讨论并完成对推论的证明，提升逻辑推理核心素养
将一块薄的硬纸板平放到桌面上,可视作硬纸板和桌面所在的平面重合,如图所示.抬起硬纸板的一端,让另一端紧贴桌面,则硬纸板和桌面所在台面有一条公共直线.继续抬起硬纸板,将纸板的一角支在桌面上,则支点就是硬纸板和桌面所在平面的一个公共点.这时,它们所在的平面就只有这一个公共点么？
考虑到平面具有无限延展性,我们把硬纸板向下延展.容易看出,硬纸板所在的平面与桌面所在的平面有一条公共直线由此,得到平面的性质：
公理3 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过该点的公共直线.
此时,称两个平面相交,并把公共直线称为两个平面的交线.当平面α与平面β相交于直线l 时,记作α β=l.
如图所示,A∈α, A∈β,存在唯一的直线l,使得A∈l, α β=l.
温馨提示
画两个平面相交时,一定要画出它们的交线,平面被遮挡部分用虚线表示或者不画.
【设计意图】折纸实验方便学生学习公理3
（四）巩固知识，典例练习
【典例2】试用符号语言表示下列语句,并画出相应的图形.
（1）点A、B在直线l上,直线l 在平面α内.
（2）平面α和平面β相交于直线l.
解：（1） A、B ∈l, l α,如图所示.
画法：
①画平行四边形表示平面α；
②在平行四边形内画点A、B ；
③连接A、B并延长,在直线AB上标出直线l.
（2） α β=l,如左图所示.
画法：
①画线段 AB表示交线l,如右图所示；
②过点A画与l不同的两条相交线段CD、EF,再过点B画 C'D'与E'F' ,使C'D'∥CD、E'F'∥EF , C'D'=CD,E'F'=EF；
③连接 CC' 、DD'、EE'、FF',分别将平面 CD'和平面EF'标注为平面α和平面β,再将被遮挡部分改为虚线或不画,最后擦去字母A、B、C、D、A'、B'、C'、D'.
【典例3】判断下列说法是否正确.
（1）经过三个点有且只有一个平面；
（2）如果直线l与平面α有三个公共点,那么l α；
（3）用三角板的一个顶点与桌面接触,只有一个公共点,故两 个平面可以只有一个公共点.
（1）错误.经过不共线的三点有且只有一个平面.当三点共线时,经过这三个点有无数个平面；
（2）正确.当一条直线有两个点在平面内时,这条直线就在平面内；
（3）错误.当两个平面有一个公共点时,这两个平面就有一条经过该点的公共直线,因此它们一定有无数个公共点.
【典例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中,找出符合下列条件的平面.
（1）经过点A1、B、D的平面；
（2）经过直线BC和点D1的平面；
（3）经过直线BD和DD1的平面；
（4）经过直线AB和C1D1的平面；
解：（1）经过点A1、B、D的平面是平面A1BD,如图(2)所示；
（2）经过直线BC和点D1平面是平面BCD1,如图(3)所示；
（3）经过直线BD和DD1的平面是平面BDD1,如图(4)所示；
（4）经过直线AB和C1D1的平面是平面ABC1D1,如图(5)所示.
【设计意图】例2帮助学生进一步熟练使用自然语言、符号语言、图形语言表达数学对象，培养学生的作图能力
（四）巩固练习，提升素养
【巩固】用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；
(2)平面ABD与平面BCD交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.
[解析]　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.
图形表示：如图1所示．
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.
图形表示：如图2所示．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1.判断下列说法是否正确.
（1）经过直线m和点A的平面有且只有一个；
（2）两条相交直线可以确定一个平面；
（3）同时经过两条平行直线的平面不止一个；
（4）两个平面可以只有一条公共线段.
2. 根据平面的基本性质和推论证明平行四边形是平面图形(填空).
已知：四边形 ABCD 是一个平行四边形.
求证：AB、BC、CD、DA 四条边共面.
证明：因为 AB∥CD,所以 AB 和CD 确定平面α,如图所示.
因为A∈AB,B∈AB,C∈CD,D∈CD,
所以A、B、C、D均在平面α内.
从而,有AD ,BC , AB , CD .
所以,AB、BC、CD、DA四条边共面.
3.试用12根长短相等的小木棍(或铁丝等) 制作正方体模型 ABCD-A1B1C1D1, 并指出由顶点A和棱CC1所确定的平面.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.1；
(2)书面作业： P86习题4.1的1，2，3，4，5.
（八）教学反思

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